Matematika komputasi - maspeb.com PDF

Preview

Summary

DIII TEKNIK INFORMATIKA KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim BAB I PENGENALAN PAKET PROGRAM KOMPUTASI MATHEMATIKA # TUJUAN# KEBUTUHAN APLIKASI :mathematica dan matlab a. Diharapkan mahasiswa, dapat mengope...

Description

DIII TEKNIK INFORMATIKA

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

BAB I PENGENALAN PAKET PROGRAM KOMPUTASI MATHEMATIKA

# TUJUAN# KEBUTUHAN APLIKASI :mathematica dan matlab

a. Diharapkan mahasiswa, dapat mengoperasikan,memilih paket program komputasi matematika yang sesuai (mathematica dan matlab) dengan baik b. Dapat memberikan informasi berdasarkan permasalahan yang ada, tidak hanya output berupa angka

data-- komputasi -- informasi[not number] 1.1 MENGENAL MATHEMATICA mathematica merupakan suatu sistem aljabar komputer (CAS,Computer Algebra System) yang mengintegrasikan kemampuan komputasi(simbolik,numerik),visualisasi(grafik),bahasa pemrograman dan pengolahan kata (word prosessing) ke dalam suatu lingkungan yang mudah digunakan. sistem matematica terdiri atas 2 bagian : 1. front end : berupa interface dengan lingkungan kerjanya yang disebut notebook. 2. kernel: komputasi matematiknya dalam bab ini akan dibahas tentang : 1. mengenal lingkungan kerja 2. aturan dasar syntak mathematica 3. kalkulasi numerik 2

4. komputasi simbolik 5. list dan matrik DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

1.2 Memulai Program Komputasi (Mathematica dan Matlab)  Cara memulai mathematica: 1. double klik ikon front end mathematica dan kernel akan secara otomatis akan bekerja pada background window mathematica. 2. pada lingkungan kerja windows mathematica terlihat bagian notebook yang terpisah dari baris menu.

3. bagian sel yang dicetak tebal merupakan "input", hasilnya ditampilkan pada sel "output". 4. nomor input dan output dinyatakan dengan ln[n] dan out[n], dengan n adalah bilangan bulat positif

5. kedua lambang "in dan out" disembunyikan melalui kernel --> show In/Out Names 6. Mathematica juga menyediakan banyak pallete yang memudahkan dalam penulisan operasi operasi, yaitu cukup hanya mengklik tombol tombol yang diperlukan. Pallete tersebut dapat dimunculkan dengan mengklik file--pallete 7. jika memerlukan bantuan : help-->help-->Browser

DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

3

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

ada beberapa pilihan dalam help browser yaitu : built in fucntion (menjelaskan fungsi buil in mathematica serta contoh penggunaannya), add-ons (menjelaskan fungsi tambahan yang digunakan dalam kalkulus, aljabar linear dsb.  Di dalam MatLab :

Setelah proses loading usai, akan muncul command prompt di dalam command window: >> Dari prompt inilah kita bisa mengetikkan berbagai command M ATLAB, seperti halnya command prompt di dalam DOS. Sebagai permulaan, mari kita ketikkan command date : >> date setelah menekan Enter, akan muncul ans = 05-Mar-2013

4

DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

1.3 Bekerja dengan mathematica 1.3.1 aturan dasar syntaks mathematica. 1. nama nama fungsi built in mathematica dimulai dengan huruf besar, tanpa spasi dan tanpa underscore"_". Jika suatu fungsi terdiri dari 2 kata atau lebih, huruf pertama masing masing kata menggunakan huruf kapital. dapat pula didefinisikan fungsi baru yang sebaiknya dimulai dengan huruf kecil untuk membedakan dengan fungsi built in. contoh fungsi built-in : Log, ParametricPlot contoh fungsi baru

: MySqrt, myStandartDeviation

2. perintah matemathica bersifat sensitif , sineSINEsin 3. tanda kurung siku [...] menyatakan argumen fungsi, (..) menyatakan pengelompokan operasi.Kurung kurawal {..} menyatakan list, domain, atau iterator.kurung siku ganda [[...]] menyatakan indeks suatu list. argumen fungsi

: Sin[x], f[x]

pengelompokan

: (x-1)^10-Log[(2x+3)/(x+4)]

list

: List1={1,3,5,7}

domain

: Plot[Sin[x]/x,{x,-10,10}]

iterator

: Sum[i^3, {i, 1,n}]

indeks

: List1[[3]], menghasilkan "5"

Berikut ilustrasi penggunaannya: Fungsi Love… 4. operator aritmatik: ^ *atau spasi / + -

: : : : ;

pangkat kali bagi tambah kurang

5

DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

keterangan: a. penambahan atau pengurangan : memiliki preseden lebih rendah dari pada perkalian yang juga memiliki preseden lebih rendah dari pangkat b. perkalian yang diawali simbol selain angka harus menggunakan notasi : spasi atau * c. perkalian angka dan simbul dapat menggunakan simbil spasi, * atau tanpa spasi contoh1: benar : c u, c*u, 4 u, 4u, 4*u, 4(u) [praktekkan] (X) salah : cu, u2

1.3.2 memasukkan dan mengevaluasi input setelah menuliskan perintah atau operasi pada sel, tekan shift dan enter lalu lepas bersama sama. cara yang lebih ringkas adalah dengan tekan enter di bagian numerik. karena didalam sel notebook, enter hanya berfungsi sebagai pemindah kursor. Contoh 2:      

2+3 4! 2+3*4 2*3^2 Sin[Pi/3] Sin[Pi/2]

BAGAIMANA HASILNYA? COBA ANDA JELASKAN

salah penulisan: Sin [pi/3] pi Sin  3 sin[Pi/3] General ::spell1  :  Possible

sin



spelling

error : new symbol



6

3 Sin [pi/3] pi Sin  3 DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

Latihan1: cari penyelesaian, untuk x=pi: a. cos 5x b. tan 2x c. cos 5x+tan 2x

MENGGAMBAR GRAFIK:

 Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}];  Plot[Sin[x],{x,0,Pi}]

1

1 0.5 0.8 1

0.6 0.4

-0.5

0.2

-1

0.5

1

1.5

2

2.5

2

3

4

5

6

3

7

DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

Plot[Sin[3x],{x,0,2Pi}];

Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}];

1

1

0.5

0.5

1

2

3

4

5

1

6

2

3

4

5

6

-0.5

-0.5

-1

-1

Untuk beberapa fungsi matematika bisa dituliskan dalam satu perintah saja, yaitu: Sin



2

, Sin

 1,



3

, Sin



4

, Sin



5

, Sin



6

, Sin





12



3 1 1 1 1 1 3   , , 5  5  , ,    2 2 2 2 2 2  2

1.3.3 mengacu ke hasil sebelumnya Mathematica mampu mengingat semua input dan output pada suatu sesi.untuk mengacu ke hasil sebelumnya, dapat digunakan tanda persen (%). tanda persen tunggal mengacu ke output trakhir, tanda %% mengacu ke output kedua terakhir, out[n] : mengacu ke out[ke-n]. Sebagai contoh: Misalkan bahwa contoh 3, berikut ini adalah outpt terakhir, Sin



2

, Sin

 1,



3

, Sin



4

, Sin



5

, Sin



6

, Sin





12



3 1 1 1 1 1 3   , , 5  5  , ,   2 2 2 2 2 2  2 8

DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

Maka apabila kita ketikkan % maka akan terlihat nilai berikut: %  1,



3 1 1 1 1 1 3   , , 5  5  , ,    2 2 2 2 2 2  2

LAKUKAN :

 %3  %%%  %%%%%  %8 1.3.4 Bekerja di dalam notebook Mathematica notebook dapat digunakan sebagai lembar kerja untuk memasukkan input komputasi maupun pengolah kata. sebuah notebook memiliki grup grup sel yang berdiri sendiri maupun sebuah hirarki. sebuah grup sel input mislanya, merupakan tempat masukan komputasi dan hasilnya muncul pada grup sel output.

Sebuah dokumen dapat pula diorganisasikan ke dalam title, subtitle, subsubtitle, section, subsection, sub subsection. keseluruhan grup dapat dipilih melalui menu : format--> style

contoh 4:

nama mahasiswa

TEKNIK INFORMATIKA FMIPA UNS

9

Merupakan salah satu program unggulan di teknik informatika UNS adalah program studi TI, di mana lulusannya diharapkan bisa memenuhi keinginan pasar. DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

contoh 5: I.KOMPUTASI MATEMATIKA 1.1 pendahuluan mempelajari tentang aturan penulisan

1.1.3 BEBERAPA FUNGSI MATEMATIKA Mathematica memiliki fungsi yang sangat banyak . gambar 1.7 adalah beberapa fungsi di dapal matematika

Two important points about functions in Mathematica.  Sangatlah penting untuk selalu ingat bahwa dalam mathematica setiap instruksi harus di dalam bracket atau [ ]  Parentheses in Mathematica are used only to indicate the grouping of terms, and never to give function arguments. contoh 6: Log[8,4] 2 3 Log[8.4] 2.12823

10

DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

LAKUKAN JUGA UNTUK LATIHAN DI BAWAH INI 4  Sqrt[16]  Sqrt[5]  Sqrt[5] //N The presence of an explicit decimal point tells Mathematica to give an approximate numerical |HITUNG nilai 3029...1. Computing factorials like this can give you very large numbers. You should be able to calculate up to at least 2000! in a short time (Wowww…) 30! 265252859812191058636308480000000 Nilai ini bisa dituliskan dalam bentuk yang lebih simple/numeric. 30! //N 2.65253  1032 N[30!] 2.65253  1032 Beberapa nilai penting dalam matematika:

Contoh penggunaan : Sin[20 Degree] //N

1.4 PENULISAN EKSPRESI 1.4.1 SIMBUL a.Simbul dituliskan dengan: guruf, rangkaian huruf-angka, karakter, lambang tertentu b. Semua simbul di awali dengan huruf besar atau diawali dengan $ c. contoh :

11

simbul ( abg,u5ma, ca, Sin, Log, Mod) bukan simbul (4u)

DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

1.4.2 BILANGAN Secara umum ada 4 macam bilangan : a. integer b. Real c. Rasional d. Complex Contoh 7 :

1 , 1  2 {Integer,Real,Rational,Complex} 1 Head  1, 1.0, , 1   ; 2 Head  1, 1.0,

Tanpa perintah tertentu pula, matematika akan secara otomatis mengevaluasi ekspresi bilangan bulat, rasional, dan kompleks secara eksak. Contoh 8:  (3/4)(1/5) 3 20 



3



3

NUMERIK"N" evaluasi hasil secara numerik, yang merupakan hampiran dari ekspresi tersebut. Contoh 9: 

N 3  1.73205  3  N 1.73205 12

1.4.3 STRINGS Karakter String adalah karakter yang ditampilkan dengan tanda :" " DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

Contoh 10: 1. apabila tanda "" tidak ditampilkan dalam tampilan "Praktikum Komputasi Matematika" Praktikum Komputasi Matematika 2. Apabila "" ditampilkan dalam rangkaian kalimat "\"Praktikum Komputasi Matematika\"" "Praktikum Komputasi Matematika"

Kustomisasi text pada notebook: Colors[%,RGBColor[1,0,0]] 1.4.4 PENGISIAN EKSPRESI 

a  4; b  a  a  4; b  a 3a+b

1.4.5 PENGGABUNGAN EKSPRESI (Pembuatan Variabel) dalam penggabungan ekspresi bisa dituliskan dengan kebawah dalam satu group atau kesamping dengan pemisahan tanda kutip. Contoh 11:

13

DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

1.4.6 EVALUASI EKSPRESI ekspresi dievaluasi bisa juga dnegan menggunakan : "/." Contoh: 12 ekspresix2  x  1, ingindievaluasidenganx  2

1.5 OPERATOR 1.5.1 operator ARITMATIKA

14

DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

1.5.6 Relational and Logical Operators

contoh: 5> g=2*x^3+10*x^2-4*x+10; >> limit(f/g,inf)

Hitunglah keluaran hasil dari fungsi limit tersebut! Jawaban :

Komputasi Matematika Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Latihan : Dapatkan hasil limit dari ungkapan berikut ini : 1. 2. 3.

2.4. Kekontinuan

2.5. Turunan Fungsi (modul 1.doc)

>> syms x; >> y=x^3+2*x^2+6*x+7; >> z=diff(y)

Komputasi Matematika Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Apa keluaran perhitungan differensial tersebut ?

z = 3*x^2+4*x+6 Merupakan turunan dari fungsi y.

Task : 1. Bagaimana turunan kedua dari fungsi y? Jawab :

z = 6*x+4 merupakan turunan kedua fungsi y. Latihan : 1. Buatlah program differensial dengan menggunakan Matlab, gunakan dengan inputan.

2.6. Integral Fungsi

Komputasi Matematika Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

Pada Matlab, untuk menentukan integral suatu fungsi dapat menggunakan fungsi inline dan fungsi quad. Fungsi inline digunakan untuk menampung fungsi integralnya, sedangkan fungsi quad digunakan untuk menghitung hasil nilai integralnya. Misalnya : Menentukan nilai integral dari fungsi …

Step 1 : Pada command window Matlab ketik : 1.1. Menampung fungsi dengan fungsi inline :

1.2.

Menghitung nilai dengan fungsi quad :

→ (y,-1,2) artinya y = fungsi integral yang diroses, -1 = batas bawah dari integral, dan 2 = batas atas dari integral.

Step 2 : Dengan menggunakan M-File

2.7. Interpolasi

Komputasi Matematika Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

2.8. Contoh Aplikasi

2.8.1. Contoh Aplikasi Turunan dengan Matlab. Latihan : 2 1. Jika y= x . cos 3x , maka tentukanlah turunan pertamanya. 2 2. Jika ƒ( x)= 6 x − 4x+ 1 maka tentukanlah nilai dari f’(2).

3.

2.8.2. Contoh Aplikasi Integral

Komputasi Matematika Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

2.9. Contoh Aplikasi dengan Matlab

Komputasi Matematika Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

2.8 Soal-Soal Latihan Kerjakan soal-soal berikut: 1. Definisikan fungsi f(x) =

+2

- 10 , kemudian tentukan f(5) dan f(-4).

2. Selesaikan persamaan 2

- 4x + 2 = 0, berikan solusi eksak maupun numeriknya.

3. Gambarkan grafik f yang memenuhi f(x) = 4. Gambarkan grafik y1 = 2

+ 4 dan grafik y2 = 6 -

pada domain 0

x

2 , dengan

y1 dan y2 masing-masing diberi warna merah dan biru , diberi bingkai dan label "Grafik Fungsi". 5. Tentukan nilai limit dari fungsi f(x) berikut untuk x untuk domain -2 a. f(x) =

x

1, kemudian gambarkan fungsinya

5:

+ 2x -1

b. f(x) = 6. Diketahui fungsi f(x) = x

. Tentukan limit kiri maupun limit kanan fungsi f(x) untuk

3. Apa kesimpulan yang saudara peroleh ?

7. Apakah fungsi f berikut kontinu di x = 2 ? Jika tidak, jelaskan alasannya. a. f(x) = 4 - 2x + 12 b. f(x) = Cek lah dengan menggambar grafik fungsinya. 8. Tentukan turunan pertama maupun kedua dari fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = 10 + 2 b. g(x) =

- 5x

Komputasi Matematika Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

c. h(x) =

(2x)

d. l(x) = sin ( cos 3x ) 9. Tentukan nilai integral berikut: a.

b.

c.

d.

10. Diketahui fungsi f(x) = -2

+3

a. Tentukan titik-titik kritis f(x) b. Tentukan titik maksimum/ minimumnya (gunakan turunan kedua) 11. Tentukan 2 bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan yang hasil kalinya maksimum. 12. Dono mempunyai 200m kawat duri yang ia rencanakan untuk memagari ladang berbentuk persegi panjang. Jika diinginkan agar luas maksimum, berapa ukuran panjang dan lebarnya ? 13. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh kurva-kurva y =

dan y = 2x -

.

Gambarkan bidang datar tersebut. 14. Tentukan luas daerah R di bawah kurva y =

-2

+ 2 antara x = -1 dan x = 2

15. Seorang manajer perusahaan komputer memperhitungkan bahwa penggunaan seperangkat peralatan akan menghasilkan penghematan operasi pada perusahaan. Dari

Komputasi Matematika Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

data yang lalu, untuk jangka waktu pemakaian sampai dengan 10 tahun, kecepatan penghematan operasi adalah f(x) dolar per tahun bila peralatan tersebut telah dipakai selama x tahun, dengan f(x) = 4000x + 1000. a. Berapa jumlah penghematan ongkos operasi dalam 5 tahun pertama ? b. Jika harga peralatan tersebut $36.000, dalam berapa tahun harga peralatan tersebut kembali ?

Komputasi Matematika Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

2.7 APLIKASI TURUNAN DAN INETGRAL

APLIKASI turunan, misalkan di bidang penjualan. Suatu perusahaan komputer.keuntungan penjualan dituliskan dengan f t  t3 

9 2

t2 

23 4

t

15 8.

. akan ditentukan waktu kapan penjualan tertinggi dan terendah,

dan berapa keuntungan yg bisa diperoleh pada saat itu ?

penyelesaian : berarti menggunakan konsep titik maksimum dan minimum. 1. mendefiniskan fungsi f(x) 2. mennetukan turunan pertama dari f. 3. cari peyelesaian turunan pertama. 4. mengecek apakah t merupakan titik maksimum atau minimum.(jika f'(t)>0--> titik balik minimum dan sebaliknya) maka :

Clearf, x ft_ : t3 

9 2

t2 

23 4

t

15 8

trn1  Dft, t 23 4

 9 t  3 t2

NSolve

23 4

 9 t  3 t2, t

t  0.92265, t  2.07735 trn2  D

23 4

 9 t  3 t2 , t

9  6 t

maka dimasukkan untuk nilai : t0.92265,t2.07735 ke dalam trn2, diperoleh : 9  6 t . t  0.92265 3.4641 9  6 t . t  2.07735 3.4641

didapatkan nilai trn2 (0.92265) < 0, maka t = 0.92265 merupakan titik balik maksimum, atau penjualan tertinggi pada tahun ke - 1. dan penjulan tertendah pada tahun ke - 2. di bulan bulan awal. dengan keuntungan/kerugian :

2

02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2012 - Copy.nb

f0.92265 0.3849 f2.07735 0.3849 perusahaan akan mencapai kerugian sebebsar $384,9dan dipresikai akan mencapai kerugian sebesar $384 di tahun ke-2.

2.7 .2 APLIKASI INTEGRAL

diaplikasikan untuk menghitung luas daerah. misal, tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1  x2  2, y2  x2  6, domain  2  x  3

penyelesaian :

1. plot grafik y1 dan y2 2. tentukan titik potong kedua grafik 3.tentukan luas daerah maka : Plotx2  2, x2  6, x, 2, 3, PlotStyle  RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1, Filling  1  2
<...