STATISTIKA MATEMATIKA PDF

Preview

Summary

STATISTIKA MATEMATIKA Dr. Akhmad Jazuli, M.Si. FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP) UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2012 PRAKATA Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberi kekuatan dan kesehatan, kesehatan sehingga buku ajar dengan judul Statistika Matematika ini dapat diselesaikan. B...

Description

STATISTIKA MATEMATIKA

Dr. Akhmad Jazuli, M.Si.

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP) UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2012

PRAKATA

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberi kekuatan dan kesehatan, kesehatan sehingga buku ajar dengan judul Statistika Matematika ini dapat diselesaikan. Buku ajar statistika matematika ini digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah statistika matematika yang berbobot 3 sks khususnya pada program studi Pendidikan Matematika. Namun demikian buku ajar ini juga dapat digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah statistika pada program studi di luar program studi Pendidikan Matematika. Buku ajar ini disusun secara sederhana, diawali dengan memaparkan pengertian pengertianpengertian dasar yang meliputi definisi dan teorema serta dilengkapi dengan beberapa contoh penyelesaian.. Disajikan seperti ini dengan harapan agar mudah dipelajari oleh para mahasiswa,maupun maupun dosen yang mengampu mata kuliah statistika statistik matematika matematika.Soalsoal latihan disajikan secara komprehensif dari bentuk yang sederhana meningkat sampai bentuk-bentuk bentuk yang lebih komplek. Rujukan utama penulisan buku ini adalah buku Introduction to Probability and Mathematical Statistics karangan Bain Engelhardt. Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya besarnya kepada

Universitas Muhammadiyah Purwokerto yang telah

memberikan kesempatan kepada penulis untuk menyusun buku ajar ini, serta teman temanteman yang telah meluangkan waktu untuk membaca serta memberi m ri masukan terhadap tulisan ini. Semoga kehadiran buku ajar ini banyak memberi sumbangan yang berharga kepada berbagai pihak. Tak ak lupa segala kritik yang bersifat membangun sangat penulis harapkan. Purwokerto, Maret 2012 Penulis

DAFTAR ISI

Hal . HALAMAN JUDUL……………………………………………………………..

i

PRAKATA ……………………………………………………………..............

ii

DAFTAR ISI…………………………………………………………….............

iii

BAB 1 : PELUANG……………………………………………………………..

1

BAB 2 : VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA................................

22

BAB 3 : DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM KHUSUS .................................

44

BAB 4 : DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM BERSAMA .............................

76

DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................

97

iii

BAB 1

PELUANG 1. PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari, banyak dijumpai fenomena yang dapat dibawa ke dalam model matematika. Secara garis besar dikenal ada dua model yaitu model deterministik dan model probabilistik. Sebagai contoh model deterministik adalah kecepatan jatuhnya benda setelah waktu t. Model ini membawa pengulangan eksperimen terhadap kondisi ideal yang akan menghasilkan secara esensial kecepatan yang sama pada setiap waktu. Dalam kasus lain model deterministik mungkin tidak tepat jika pengulangan eksperimen dibawa ke dalam kondisi ideal, karena kemungkinan adanya variabel-variabel yang tidak terkontrol atau tidak diketahui. Variabel yang tidak terkontrol tersebut meliputi temperatur udara; kelembaban; kesalahan pengukuran; atau faktor lain yang menyebabkan hasil bervariasi atau berbeda-beda dari sejumlah eksperimen tersebut. Ada juga tipe fenomena lain yang hasilnya secara natural berbeda karena suatu perubahan, dan model deterministik tidak akan tepat untuk memprediksinya. Sebagai contoh: eksperimen tentang banyaknya pertikel yang dipancarkan oleh sumber radio aktif; waktu sampai gagalnya komponen yang diproduksi; atau hasil dari suatu permainan. Motivasi mempelajari peluang adalah untuk mengarah

model

matematika pada situasi nondeterministik. Kaitannya dengan model matematika, yaitu dikenal sebagai model probabilistik.Selanjutnya untuk dapat memahami kasus peluang ini dengan baik, maka konsep himpunan perlu dikuasai terlebih dahulu.Dalam bab ini akan dibahas terlebih dahulu konsep-konsep yang berkaitan dengan peluang, seperti ruang sampel dan peristiwa..

2. RUANG SAMPEL (SAMPLE SPACE) DAN PERISTIWA (EVENT)

Definisi 1.1 Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu experiment disebut ruang

sampel. Yang dinotasikan dengan S 1

Contoh 1 : Sebuah eksperimen pelemparan dua koin, dan diamati muka dari masing-masing koin yang diharapkan. Himpunan hasil yang mungkin disajikan dalam ruang sampel S= { AA, AG, GA, GG} ket.: A : angka dan G : gambar

Definisi 1.2. Jika ruang sampel S berhingga (finite) atau tak berhingga yang dapat dihitung ( countably infinite) maka S disebut ruang sampel diskrit.

S={e1, e2, ..., eN} : ruang sampel berhingga (finite) S={e1, e2, ......

} : ruang sampel tak berhingga (countably infinite).

Contoh 2: S = {1,2,3,...} = Himp. Bil Asli : ruang sampel tak berhingga S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

: ruang sampel berhingga

Definisi 1.3 Suatu peristiwa (event) adalah subset dari ruang sampel S.

Contoh 3 : P merupakan peristiwa muncul paling sedikit 1 angka (A) dalam pelemparan dua koin. Jadi P = {AA, AG, GA } yang mana S={AA, GA, AG, GG}, sehingga P⊂S.

Definisi 1.4. Suatu peristiwa disebut elementary event(peristiwa sederhana) jika memuat tepat satu hasil dari eksperimen tersebut.

Sebagai contoh pada kasus pelemparan sebuah koin, muncul gambar atau angka..

Definisi 1.5. Dua peristiwa P dan Q disebut mutually exclusive [saling lepas] jikaP ∩ Q = φ

2

Contoh 4: Pada kasus pelemparan dua koin, P : peristiwa munculnya paling sedikit 1 angka dan Q : peristiwa munculnya 2 gambar. Karena P ∩ Q = φ jadi, P dan Q dikatakan saling lepas. Kasus di atas akan berakibat pada definisi berikut :

Definisi 1.6. Peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, . . ., dikatakan saling lepas [mutually exclusive] jika mereka adalah pasangan saling lepas, yaitu jika Ai ∩ Aj = φ bilamana i ≠ j. Catatan :

• Peristiwa-peristiwa yang komplementer adalah saling lepas, dan tak berlaku sebaliknya.

3. PENGERTIANPELUANG (PROBABILITY)

Definisi 1.7 Suatu eksperimen yang diberikan, S adalah ruang sampel dari A, dan A1, A2, . . . menyatakan peristiwa-peristiwa yang mungkin. Suatu himpunan fungsi yang mengkaitkan suatu nilai real P(A) dengan masing-masing peristiwa A disebut peluang himpunan fungsi, dan P(A) disebut peluang dari A, jika sifat-sifat berikut dipenuhi : 0 ≤ P(A) untuk setiap A P(S) = 1

∞  ∞ P  U A i  = ∑ P(A i )  i=1  i =1 Dimana A1, A2, . . . adalah pasangan peristiwa-peristiwa yang saling lepas.

Pengambilan obyek secara random menjadi syarat perlu dalam statistika parametrik. Pengertian random mudah dipahami tetapi dalam prakteknya sering mengalami kesulitan untuk dilaksanakan. Sehingga kasus random dalam pengambilan sampel 3

akan didekati dengan berbagai cara. Kasus pengambilan sampel dibahas tersendiri dalam teknik pengambilan sampel (teknik sampling) 4. SIFAT-SIFAT PELUANG Ada beberapa sifat peluang yang perlu diketahui untuk mendukung pemahaman lebih lanjut.

Teorema 1.1: Jika A adalah suatu peristiwa dan A’ adalah komplemennya, maka P(A) = 1 - P(A’) Bukti : S= A ∪ A’ dan A ∩ A’=φ 1 = P(S) = P(A ∪ A’) = P(A)+P(A’)⇒ P(A) = 1 – P(A’)

Teorema 1.2. : Untuk sebarang peristiwa A, P(A)≤1 Bukti : P(A) = 1 – P(A’) Karena P(A’)≥ 0 maka P(A) ≤ 1

Teorema 1.3. : Untuk sebarang dua peristiwa A dan B, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Bukti : A∪B = (A∩B’) ∪ B , dimana (A∩B’) dan B saling lepas. A = (A∩B) ∪ (A∩B’), dimana (A∩B) dan (A∩B’) saling lepas. P(A∪B) = P(A∩B’) + P(B) dan P(A) = P(A∩B) + P(A∩B’) P(A∪B) = P(A∩B’) + P(B) = P(A) - P(A∩B) + P(B) = P(A) + P(B)- P(A∩B)

Teorema 1.4. : Untuk sebarang tiga peristiwa A, B, dan C P(A∪B∪C) = P(A) + P(B)+P(C) - P(A∩B) -P(A∩C) -P(B∩C) +P(A∩B∩C). 4

Bukti : Untuk latihan.

Teorema 1.5: Jika A ⊂ B maka P(A) ≤ P(B) Bukti : B= A∪(B∩A’) dimana A dan (B∩A’) saling lepas P(B) = P(A) + P(B∩A’)

⇒ P(B) ≥ P(A)

Teorema 1.6 : Boole’s Inequality (Ketaksamaan Boole) Jika A1, A2, ... adalah sebuah barisan peristiwa, maka

∞  ∞ P  U A i  ≤ ∑ P(A i )  i=1  i=1 Bukti : Untuk latihan

Teorema 1.7: Bonferroni’s Inequality (Ketaksamaan Bonferroni) JikaA1, A2, ... Ak adalah peristiwa-peristiwa, maka k  k  P I A i  ≥ 1 − ∑ P (A i' ) i =1  i =1 

Bukti : Untuk latihan

5. PELUANG BERSYARAT (CONDITIONAL PROBABILITY)

Definisi 1.9. Peluang bersyarat (The conditional probabillity) dari suatu peristiwa A, dimana peristiwa B telah terjadi, didefinisikan dengan

P(A | B) =

P(A ∩ B) jika P(B) ≠ 0. P(B) 5

Teorema 1.8: Untuk sebarang peristiwa A dan B, P(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)

Teorema 1.9 : Peluang Total Jika B1, B2, B3,...., Bkadalah sebuah kumpulan dari peristiwa-peristiwa yang saling lepas dan sempurnamaka untuk sembarang peristiwa A, k

P(A) = ∑ P(Bi )P(A | Bi ) i =1

Bukti :

A

B1

B2

Bk

Himpunan A terletak pada himpunan B, yang dipartisi menjadi B1, B2, … Bk Jadi, himpunan Adapat dinyatakan sebagai berikut A= (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ ….. ∪(A∩Bk) P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2)+ ….. +P(A∩Bk) P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2)+ ….. +P(Bk)P(A|Bk) k

P(A) =

∑ P(B )P(A | B ) i

i

i =1

Teorema 1.10 : Bayes’ Rule (Aturan Bayes) Jika kita mengasumsi bersyarat teorema 1.9 maka untuk masing-masing j=1,2,...,k

P( B j | A) =

P( B j ) P( A | B j ) k

∑ P( B ) P( A | B ) i

i

i =1

6

Bukti :

P ( B j | A ) P ( A ) = P( B j ) P ( A | B j )

P(B j | A) = P( B j | A) =

P(B j )P(A | B j ) P(A) P( B j ) P(A | B j ) k

∑ P ( Bi ) P ( A | B i ) i =1

Contoh 5: Suatu uji laboratorium untuk penggunaan narkobaoleh atlit professional, mempunyai deteksi rata-rata sebagai berikut : PENGGUNAAN NARKOBA

HASIL TES Positif (+)

Negatif (-)

Ya (Y)

0.90

0.10

Tidak (T)

0.01

0.99

Jika rata-rata penggunaan narkoba oleh atlit professional adalah 3 diantara 100 atlit, a. Berapa peluang bahwa atlit professional yang dipilih secara random akan mempunyai hasil tes negatif untuk penggunaan narkoba? b. Jika tes atlit positif, berapa peluang bahwa dia benar-benar menggunakan narkoba? Penyelesaian : Ditanya : a. P(-) b. P(Y|+) Jawab: (+) 0,90 0,03 (Y) (-) 0,10 Peluang penggunaan narkoba (+) 0,01 0,97 (T) (-) 0,99

7

a. P(−) = P(Y) ⋅ P(− | Y) + P(T) ⋅ P(− | T) = 0,03 ⋅ 0,10 + 0,97 ⋅ 0,99 = 0,003+ 0,9603 = 0,9633

P(Y) + P(+ | Y) P(Y) ⋅ P(+ | Y) + P(T) ⋅ P(+ | T) 0,03⋅ 0,90 0,027 = = = 0,736 0,03⋅ 0,90 + 0,97 ⋅ 0,01 0,0367

b. P(Y | +) =

6. PERISTIWA-PERISTIWA SALING BEBAS (INDEPENDENT EVENTS)

Definisi 1.10. Dua peristiwa A dan B disebut independent events [peristiwa-peristiwa saling bebas] jika P(A ∩ B ) = P(A)P(B) Selanjutnya jika tidak dipenuhi, maka A dan B disebut dependent events [peristiwaperistiwa bergantung].

Teorema 1.11 : Jika A dan B adalah peristiwa-peristiwa sedemikian hingga P(A)>0 dan P(B)>0, maka A dan B adalah independen jika dan hanya jika salah satu berikut dipenuhi. P (A B ) = P (A ) P (B A ) = P (B )

Teorema 1.12 : Dua peristiwa A dan B adalah independen jika dan hanya jika berikut pasanganpasangan peristiwa juga independen: i. A dan B’. ii. A’ dan B. iii. A’ dan B’.

Definisi 1.11. Sejumlah k peristiwa A1, A2, . . . , Ak dikatakan independent (bebas) atau mutually

Independent [saling bebas] jika untuk setiap j = 2, 3, . . ., k dan setiap subset yang berbeda ditunjukkan dengan i1, i2, . . ., ij, maka P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aij) = P(Ai1)P(Ai2) . . .P(Aij) 8

7. TEKNIK MENGHITUNG/MENCACAH

a. Pergandaan Teknik pergandaan ini adalah teknik mencacah menggunakan perkalian. Misal ada 3 soal tipe B-S, maka kemungkinan jawaban yang diberikan siswa adalah: BBS, BSB, BBB, SBB, SSB, SBS, BSS, SSS. Jadi, ada 8 macam kemungkinan jawab.

Teorema 1.13 : Jika ada N hasil yang mungkin dari masing-masing r trial (percobaan) dari suatu experimen, maka ada Nr hasil yang mungkin dalam ruang sampel. Contoh 6: Berapa banyaknya cara untuk dapat menjawab 5 pertanyaan benar-salah? Jawab : N=2 yaitu banyaknya pilihan benar-salah r=5 yaitu banyaknya pertanyaan. Sehingga banyaknya hasil yang mungkin adalah 25 [ N=2 dan r=5]= 32

b. Permutasi dan Kombinasi Permutasi dan kombinasi, keduanya merupakan teknik dalam pengambilan sampel. Dalam teknik kombinasi urutan data tidak diperhatikan. Misal mengambil dua pensil warna merah dan biru. Pengambilan pensil merah kemudian biru dianggap sama dengan pengambilan pensil biru kemudian merah. Lain halnya dalam teknik permutasi, pengambilan pensil merah kemudian biru berbeda dengan pengambilan pensil biru kemudian merah.

Teorema 1.14 : Banyaknya kombinasi dari n objek yang berbeda, yang dipilih r obyek adalah:

n n! C(n,r) =   =  r  r!(n − r)! Adapun banyaknya permutasi untuk memilih r obyek dari n obyek yang tersedia adalah:

n! n P(n,r) = C(n,r).r! =  r!=  r  (n − r)! 9

Contoh 7: Banyaknya kombinasi dari 4 huruf, untuk 2 huruf yang diambil adalah

4!  4   = = 6.  2  (4 − 2)!2! Jika urutan huruf diperhatikan maka banyaknya hasil menjadi 6.2! = 12. Penggunaan notasi kombinasi biasa digunakan dalam expansi binomial, yaitu n n (a + b) n = ∑  a k b n −k k = 0 k 

Teorema 1.15 : Banyaknya permutasi yang dapat dibedakan yang mana r dari jenis pertama dan (n-r) dari jenis kedua adalah :

n n!   =  r  r!(n − r)!

Teorema 1.16 : Banyaknya permutasi dari n obyek yang mana r1 dari jenis pertama, r2 dari jenis kedua, …, rk dari jenis ke-k adalah :

n! r1!r2 !...rk ! Teorema 1.17 : Banyaknya cara partisi suatu himpunan dari n obyek ke dalam k sel dengan r1 obyek dalam sel pertama dan r2 dalam sel kedua, dan seterusnya, adalah k n! dimana ∑ rl = n. r1!r2 !...rk ! l =1

Contoh 8: Sepuluh orang yang terdiri dari 2 orang Indonesia; 3 orang USA dan 5 orang Arab. Banyaknya posisi duduk, yang mana mereka pada kelompoknya masing-masing adalah

10! = 2520 2!3!5!

posisi

10

c. Menghitung Peluang Suatu Peristiwa Probabilitas (peluang ) suatu peristiwa adalah banyaknya cacah peristiwa dibagi banyaknya cacah dalam semesta. Misal A adalah suatu peristiwa, maka peluang dari A ditulis P(A) =





Pada permutasi dan kombinasi hanya berbicara tentang banyaknya cara atau cacah.. Selanjutnya kasus tersebut akan digunakan dalam menghitung peluang.

Contoh 9: Sebuah kotak berisi 10 bola hitam dan 20 bola putih, dan 5 bola dipilih tanpa pengembalian. Disini menggunakan konsep kombinasi, sehingga peluang diperolehnya tepat 2 bola hitam adalah sebagai berikut: Karena diambil tepat 2 bola hitam berarti sisanya 3 bola berwarna putih, sehingga 10  20     2 3 P(tepat 2 hitam) =    = 0.360  30    5 

11

SOAL-SOAL LATIHAN BAB 1 1.

Sebuah mesin gum-ball mengeluarkan sebuah bola merah, hitam atau hijau. a.

sajikan ruang sampel yang cocok

b.

daftarkan seluruh peristiwa yang mungkin

c.

Jika R adalah peristiwa “merah” selanjutnya daftarkan hasil di dalam R’

d.

Jika G adalah peristiwa “hijau” selanjutnya apakah R ∩ G ?

Jwb: a. S={r,g,b}

2.

b. {r}, {g}, {b}, {r,g}, {r,b}, {g,b}, S, φ

c. {b,g} d. φ

Dua bola diperoleh dari mesin seperti pada nomor 1 dari dua percobaan. Urutan hasil diperhatikan. Diasumsikan bahwa paling sedikit dua bola dari masing-masing warna ada di dalam mesin. a.

Bagaimana ruang sampel yang cocok.

b.

Berapa banyak seluruh peristiwa yang mungkin yang memuat delapan hasil (outcome).

c.

Nyatakan peristiwa-peristiwa berikut sebagai gabungan dari peristiwaperistiwa elementer. C1 ∩ C2, dan C1’ ∩ C1 dimana C1 : mendapatkan bola merah pada percobaan pertama, dan C2 : mendapatkan paling sedikit satu bola merah.

Jwb: a. S={(r,r),(r,b),(r,g),(b,r),(b,b),(b,g),(g,r),(g,b),(g,g)} b. 9 c. C1 ∩ C2=C1dan C1’ ∩ C1= {(b,r),(g,r)} 3. Ada 4 grup darah yaitu O, A, B, dan AB. Secara umum seseorang dapat menerima donor darah dari grupnya sendiri. Juga seseorang dapat menerima donor darah dari grup O, dan 4 grup darah dapat digunakan oleh penerima dari grup AB. Semua kemungkinan yang lain dianggap tak ada.Suatu experiment pengambilan darah dan menentukan tipenya untuk masing-masing dua donor berikut yang masuk bank darah. a. Daftarkan urutan hasil yang mungkin dari experiment ini. b. Daftarkan hasil-hasil yang berkaitan terhadap peristiwa bahwa pedonor kedua dapat menerima darah dari pedonor pertama. c. Daftarkan hasil-hasil yang berkaitan terhadap peristiwa bahwa masing-masing pedonor dapat menerima darah dari pedonor yang lain. 12

4. Suatu experimen pengambilan bola dari mesin gum-ball sampai bola merah diperoleh. Sajikan ruang sampel untuk experimen ini. Jwb : S= {r,br,gr,bbr,ggr,bgr,gbr, ...} {x | x = r atau x = c1c2....ckr, dimana ci= b atau g} 5. Banyaknya partikel alpha yang dipancarkan oleh sampel radioaktif dalam interval waktu yang tetap adalah terhitung. a. Berikan ruang sampel untuk experimen ini. b. Waktu jeda diukur sampai partikel alpha pertama dipancarkan. Berilah ruang sampel untuk experimen ini. Jwb : a. S={0,1,2,...} b. S=[0, ∞)

6. Suatu experimen dikendalikan untuk menentukan apakah pecahan dari bagian logam adalah emas. Berilah ruang sampel untuk experiman ini. Jwb : S=[0,1]

7. Sebuah mobil baterai dipilih secara random dites dan waktu rusak dicatat. Berilah ruang sampel yang cocok untuk experimen ini. Jwb : S=[0, ∞ )

8. Kita memperoleh 100 bola dari mesin, dan kita peroleh 20 bola merah, 30 bola hitam dan 50 bola hijau. a. Dapatkah kita gunakan sebagai model peluang untuk warna sebuah bola dari mesin tersebut, yang diberikan oleh p1=P(M), p2=P(Ht) dan p3=P(Hj) b. Pandang bahwa bola kuning juga di dalam mesin. Dapatkah kita gunakan sebagai model p1=0.2, p2=0.3, p3=0.5 dan p4=P(K)=0.1

9. pada soal nomor 2, pandang bahwa masing-masing dari 9 kemungkinan hasil dalam ruang sampel adalah berkemungkinan sama terjadi. Hitung masing-masing berikut : a. P(keduanya merah) b. P(C1) c. P(C2) 13

d. P(C1 ∩ C2) e. P(C1’ ∩ C2) f. P(C1 ∪ C2) Jwb : a. 1/9 b. 1/3 c. 5/9 d. 1/3 e. 2/9 f. 5/9

10. Pandang soal nomor 3. Misal 4 tipe darah berkemungkinan sama terjadi. a. Hitung peluang bahwa pedonor kedua dapat menerima darah dari pedonor pertama b. Hitung peluang bahwa masing-masing pedonor dapat menerima darah dari pedonor yang lain. c. Hitung peluang bahwa tidak ada yang dapat menerima darah dari pedonor yang lain. Jwb : a. 9/16 b. ¼ c. 1/8 11. Buktikan bahwa P( φ )=0 (Ingat ambil Ai= φ untuk semua i)

12. Bila suatu eksperimen ditampilkan, satu dan hanya satu dari peristiwa A1, A2, atau A3 akan terjadi. Tentukan P(A1), P(A2), dan P(A3) terhadap masing-masing asumsi berikut: a. P(A1) = P(A2) = P(A3) b. P(A1) = P(A2) dan P(A3) = ½ c. P(A1) =2P(A2) = 3P(A3) 13. Sebuah koin yang seimbang dilambungkan empat kali. Daftarkan hasil yang mungkin dan hitung peluang dari masing-masing peristiwa berikut : a. Tepat tiga gambar. b. Paling sedikit satu gambar. c. Banyaknya gambar sama dengan banyaknya angka. d. Banyaknya gambar melampaui banyaknya angka. Jwb : a. ¼ b. 15/16 c. 3/8 d. 5/16

14. Dua guru disewa oleh...