STATISTIKA - PROBABILITAS PDF

Preview

Summary

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat, karunia dan hidayahNya, bahan ajar modul mata kuliah Statistik Probabilitas ini dapat terselesaikan. Modul yang di susun ini diharapkan digunakan sebagai sebagai sumber belajar pokok mahasiswa. Dalam Modul ini akan dipelajari tent...

Description

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat, karunia dan hidayahNya, bahan ajar modul mata kuliah Statistik Probabilitas ini dapat terselesaikan. Modul yang di susun ini diharapkan digunakan sebagai sebagai sumber belajar pokok mahasiswa. Dalam Modul ini akan dipelajari tentang bagaimana cara menyelesaikan Masalah probabilitas sebagai alat pengambil keputusan, alat-alat statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap masalah yang dihadapi. Serta senagaoi dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna memecahkan masalah yang dihadapi. Adapun isi dari mata kuliah Statistik Probabilitas ini adalah sebagai berikut : Teori probabilitas, Distribusi Probabilitas Diskret, Teori Keputusan, Metode dan Distribusi Sampling, Hipotesa, Uji Chi Kuadrat Modul yang merupakan sumber bahan belajar ini untuk membekali kompetensi mahasiswa, namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar selalu relevan dengan kondisi lapangan. Dengan adanya modul ini di harapkan kepada mahasiswa agar lebih mudah dan mengerti didalam pemahaman materi - materi yang ada, karena di susun menggunakan bahasa yang sederhana, dan mudah – mudahan dapat mengaplikasikan dalam kehidupan sehari – hari. Demikian, semoga modul dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya para mahasiswa STMIK TRIGUNA DHARMA. Adapun saran dan kritik dari para praktisi sangat diharapkan dalam meningkatkan kualitas modul ini

Medan, April 2010 Nana Kartika, ST

1

CHAPTER 1 Pertemuan 1 Perkenalan Dengan Statistika Probabilitas A. DESKRIPSI Membahas berbagai macam konsep (teori) maupun metode statistika, yang selanjutnya dapat digunakan untuk melakukan interpretasi terhadap berbagai macam data penelitian dan sekaligus mengetahui alat-alat analisa apa saja yang dibutuhkan sesuai dengan masalah yang dihadapi. Tujuan mata kuliah ini adalah memberi pengetahuan kepada mahasiswa tentang: a. Masalah probabilitas sebagai alat pengambil keputusan. b. Alat-alat statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap masalah yang dihadapi. c. Dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna memecahkan masalah yang dihadapi. B. PRASYARAT : STATISTIKA I C. MATERI 1. Teori probabilitas 1.1. Pengertian dan manfaat probabilitas 1.2. Pendekatan probabilitas 1.3. Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas 1.4. Teorema Bayes 1.5. Beberapa prinsip menghitung dalam probabilitas 2. Distribusi Probabilitas Diskret 2.1. Pengertian distribusi probabilitas 2.2. Distribusi probabilitas Binomial 2.3. Distribusi probabilitas Hipergeometrik 2.4. Distribusi probabilitas Poisson 3. Distribusi probabilitas normal 3.1. Pengertian dan karakteristik Distribusi Probabilitas Normal 3.2. Distribusi Probabilitas Normal 3.3. Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar 3.4. Pendekatan Normal terhadap Binomial 3.5. Faktor koreksi kontinuitas 4. Teori Keputusan 4.1. Elemen-elemen Keputusan 4.2. Keputusan dalam keadaan berisiko 4.3. Keputusan dalam kondisi ketidak pastian 2

5. Metode dan Distribusi Sampling 5.1. Pengertian populasi dan sample 5.2. Metode penarikan sample 5.3. Distribusi Sampel rata-rata dan proporsi 5.4. Distribusi Sampel Selisih rata-rata dan proporsi 5.5. Factor Koreksi untuk populasi terbatas 6. Hipotesa 6.1. Pengertian dan Pengujian Hipotesa 6.2. Prosedur pengujian hipotesa 6.3. Menguji hipotesa Rata-rata dan Proporsi Sampel Besar 6.4. Menguji hipotesa Selisih Rata-rata dan Proporsi Sampel Besar 6.5. Jenis Kesalahan I dan I 7. Uji Chi Kuadrat 7.1. Pendahuluan 7.2. Uji Chi-Kuadrat untuk Keselarasan 7.3. Uji Chi-Kuadrat untuk Kenormalan 7.4. Uji Chi-Kuadrat untuk independensi D. Materi Dalam Petemuan 1 2

Pendahuluan, Perkenalan dengan Statistika Probabilitas Konsep Dasar Probabilitas

3

Konsep Dasar Dan Hukum Probabilitas

4

Teorema Bayes

5 6 7

Quiz Karakteristik Distribusi Kurva Normal Distribusi Probabilitas Diskret

8 9 10 11 12 13 14 15 16

UTS Teori Keputusan Metode dan Distribusi Sampling Hipotesa Menguji Hipotesa Rata – Rata Sampel Besar Quiz Pengujian Hipotesa Sampel Kecil Uji Chi-Kuadrat UAS

E. Textbook : 1. Bambang Yuwono, 2006, Bahan Kuliah Statistika, UPN “Veteran” Yogyakarta 2. J. Supranto, 2000, Statistik Teori dan Aplikasi, Erlangga, Jakarta 3. Sudjana, 1992, Metode statistika, Tarsita Bandung 4. Zanzawi soeyuti, 1990, Metode statistika, UT, Jakarta 3

F. Acuan/Referensi : 1. Ronald E Walpole, 1992, Pengantar Statistika, Gramedia, Jakarta 2. Murray R Spiegel, 1994, Statistika, Erlangga, Jakarta 3. Richard Lungan, 2006, Aplikasi Statistika dan Hitung Peluang,Graha Ilmu, Yogyakarta 4. Samsubar Saleh, 1988, Statistik Induktif, AMP YKPN Yogyakarta 5. Samsubar Saleh, 1986, Statistik Deskriptif, AMP YKPN, Yogyakarta 6. Suharyadi dan Purwanto, 2003, Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Salemba, Jakarta G. Penilaian : 1. Absen 10% 2. Quiz & Tugas 20 % 3. UTS 30% 4. UAS 40%

4

CHAPTER 2 Pertemuan 2 KONSEP DASAR PROBABILITAS A. PENDAHULUAN Secara sederhana probabilitas dapat diartikan sebagai sebuah peluang untuk suatu kejadian. 1. Manfaat mempelajari probabilitas sangat berguna untuk pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, sehingga diperlukan untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi. Probabilitas dinyatakan dalam angka pecahan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase. Contoh: Seluruh mahasiswa Panca Budi harus memiliki sertifikat computer untuk program microsoft exel. Di kota Medan sendiri banyak terdapat tempat kursus computer diantaranya LP3I, Medicom, Tricom dll. Maka akan muncul kebingungan dalam memilih tempat kursus. Untuk menentukan pilihan biasanya mahasiswa akan bertanya kepada teman-teman, mereka kursus dimana? Dari ratusan mahasiswa mungkin anda bertanya hanya pada 20 orang mahasiswa. Yang paling banyak diminati anda akan memilih tempat tersebut untuk kursus. Dari contoh tersebut dapat dilihat bahwa keputusan diambil hanya dari beberapa contoh atau sampel dari populasi keseluruhan. 2. Pengertian probabilitas Lind (2002) dalam mendefenisikan probabilitas sebagai: “Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase” Tiga hal penting dalam membicarakan probabilitas: a. Percobaan (experiment) 5

Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperthatikan peristiwa mana yang akan terjadi b. Hasil (outcome) suatu hasil dari sebuah percobaan. Dalam hasil ini semua kejadian akan dicatat atau dalam artian seluruh peristiwa yang akan terjadi dalam sebuah percobaan. Misalnya dalam mengikuti ujian semester maka hasil yang akan diperoleh ada mahasiswa yang lulus dan ada yang tidak lulus. Ada yang lulus memuaskan ada yang tidak memuaskan c. Peristiwa (event) kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan Contoh: Percobaan

Pertandingan sepak bola antara Fakultas Ekonomi UNPAB dan Fakultas Pertanian UNPAB

Hasil

Fakultas Ekonomi menang, Fakultas Ekonomi kalah Seri, tidak ada yang kalah dan tidak ada yang menang

Peristiwa

Fakultas Ekonomi Menang

Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan dari 0 sampai 1. probabilitas 0 menunjukkan

sesuatu

yang

tidak

mungkin

terjadi,

sedangkan

probabilitas

1

mununjukkan peristiwa pasti terjadi. Contoh penulisan probabilitas dalam desimal atau persentase: 1. Pada hari Jumat adalah penutupan bursa saham, maka kebanyakan investor berusaha meraih keuntungan melalui penjualan saham atau yang biasanya diistilahkan profit taking, sehingga probabilitas menjual mencapai 0,7 sedangkan membeli 0,3. 2. melihat kondisi kesiapan mahasiswa yang mengikuti ujian

Statistika II, maka

mahasiswa yang mempunyai probabilitas untuk lulus 70% dan kalah 30% 6

Probabilitas kejadian dengan nilai 0 berarti peristiwa yang tidak mungkin terjadi, seperti seorang anak balita melahirkan seorang bayi. Sedangkan probabilitas dengan nilai 1 adalah peristiwa yang pasti terjadi, seperti semua manusia pasti akan meninggal. B. PENDEKATAN PROBABILITAS Untuk menentukan tingkat probabilitas suatu kejadian, maka ada tiga pendekatan yaitu pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif. 1. Pendekatan klasik Diasumsikan bahwa semua peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi (equally likely) Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil) Probabilitas 

jumlah kemungkina n hasil (peristiwa) jumlah total kemungkina n hasil

Contoh: Pada kegiatan mahasiswa belajar semua hasil ada yang sangat memuaskan, memuaskan dan terpuji. Jumlah hasil ada 3 dan hanya 1 peristiwa yang terjadi, maka probabilitas setiap peristiwa adalah 1/3. Pada suatu percobaan hanya 1 peristiwa yang terjadi, dan peristiwa lain tidak mungkin terjadi pada waktu yang bersamaan maka dikenal sebagai peristiwa saling lepas. ”Peristiwa saling lepas (mutually exclusive) adalah terjadinya suatu peristiwa sehingga peristiwa yang lain tidak terjadi pada waktu yang bersamaan” Pada suatu percobaan atau kegiatan semua hasil mempunyai probabilitas yang sama, dan hanya satu peristiwa yang terjadi maka peristiwa ini dikenal dengan lengkap terbatas kolektif (collection exhaustive).

7

”lengkap terbatas kolektif (collection exhaustive) adalah sedikitnya satu dari seluruh hasil yang ada pasti terjadi pada setiap percobaan atau kegiatan yang dilakukan” 2. Pendekatan Relatif Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi, yang dinyatakan sebagai berikut: Probabilitas kejadian relatif 

Jumlah peristiwa yang terjadi jumlah total percobaan

Contoh: Dari kegiatan belajar mahasiswa dapat dilihat hasilnya pada Wisuda Sarjana Universitas Panca Budi tahun 2007 sebanyak 800 orang mahasiswa. 500 orang lulus dengan memuaskan, 200 orang dengan sangat memuaskan dan 100 orang dengan prediket terpuji. Maka probabilitas lulus memuaskan adalah 500/800 = 0.625; lulus dengan sangat memuaskan 200/800 = 0.25 dan lulus dengan terpuji 100/800 = 0.125.

3, Pendekatan Subjektif Yang dimaksud dengan pendekatan subjektif adalah menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Contoh: Menurut pengamat politik, Susilo Bambang Yudoyono akan menang dalam Pemilu Indonesia tahun 2009

8

CHAPTER 3 Pertemuan 3 KONSEP DASAR DAN HUKUM PROBABILITAS Dalam teori probabilitas, probabilitas kejadian dilambangkan dengan “P”, apabila kejadian jual saham dilambangkan dengan huruf “A”, maka probabilitas jual saham dilambangkan dengan P (A). Sebaliknya apabila kejadian beli saham dilambangkan dengan “B”, maka probabilitas beli saham dilambangkan dengan P (B). A. Hukum Penjumlahan Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa yang saling lepas (mutually exclusive) yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan. Hukum ini dilambangkan sebagai: P (A atau B) = P (A) + P(B) Untuk kejadian yang lebih banyak dilambangkan sampai n yaitu: P(A atau ... n) = P(A) + P(B) + ......+P(n) Contoh: Berikut adalah kegiatan perdangan saham di BEJ untuk tiga perusahaan perbankan dengan jumlah total sebanyak 200 transaksi Jenis Transaksi Jual saham (A)

Volume Transaksi 120

Beli saham (B)

80

Jumlah Total transaksi

200

Penyelesaian: Dari data diatas diketahui bahwa: Probabilitas Jual = P(A) = 120/200 = 0.60 Probabilitas Beli = P(B) = 80/200 = 0.40 Sehingga probabilitas A atau B, 9

P(A atau B) = P(A) + P(B) = 0.6 +0.4 = 1.0 1. Peristiwa atau Kejadian Bersama Pada peristiwa bersama dua atau lebih peristiwa dapat terjadi secara bersamasama, peristiwa bersama tersebut dapat lebih mudah dilihat dengan diagram Venn seperti berikut:

A

AD

D

Penjumlahan probabilitas dengan adanya unsur kegiatan bersama, maka rumus penjumlahan dirumuskan kembali menjadi sebagai berikut: P(A atau D) = P(A) + P(D) – P(AD) Dimana: P(A atau D) : probabilitas terjadinya A atau D atau A dan D bersama- sama P(A)

: probabilitas terjadinya A

P(D)

: probabilitas terjadinya D

P(AD)

: probabilitas terjadinya A dan D bersama-sama

2. Kejadian saling lepas (mutually exclusive) Kejadian saling lepas terjadi apabila hanya satu dari dua atau lebih peristiwa yang dapat terjadi. Dapat digambarkan dengan diagram Venn:

A

D

Maka P(AB) = 0 Oleh sebab itu, untuk peristiwa yang saling lepas, probabilitas kejadian A atau B yang dinyatakan P(A atau B) P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB) 10

Karena P(AB) = 0 maka P(A atau B) = P(A) + P(B) – 0 Sehingga: P(A atau B) = P(A) + P(B) Contoh: Cobalah hitung berapa probabilitas kejadian jual saham dan beli saham P(AB) dan probabilitas kejadian untuk saham BCA, BII dan BNI (P(DEF). Perusahaan

Kegiatan

Jumlah

BNI (C)

BII (D)

BCA (E)

Jual (A)

30

50

40

120

Beli (B)

40

30

10

80

Jumlah

70

80

50

200

Penyelesaian: Probabilitas kejadian A dan B adalah kejadian yang saling lepas, maka P(AB)=0. maka hukum penjumlahan untuk peristiwa saling lepas adalah: P(A atau B)

= P(A) + P(B) – P(AB) = 0.6 + 0.4 = 1.0

probabilitas kejadian ketiga saham juga merupakan kejadian saling lepas, maka hukum penjumlahannya adalah: P (C atau D atau E) = P(C) + P(D) + P(E) – P(CDE) = 0.35 + 0.40 + 0.25 – 0 = 1.0 probabilitas P(C atau D) P(C atau D)

= P(C) + P(D) – P(CD) = 0.35 + 0.40 = 0.75

B. Hukum Perkalian.

11

Dalam hukum perkalian dikehendaki setiap peristiwa independent yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. “Peristiwa independent adalah terjadinya peristiwa atau kejadian tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain.” Dapat dinyatakan dalam bentuk: (P(A dan B) = P(A) x P(B) 1. Probabilitas bersyarat (Condicional Probability) Probabilitas bersyarat adalah probabilitas statu peristiwa akan terjadi, dengan ketentuan peristiwa lain telah terjadi. Hukum perkalian untuk probabilitas bersyarat bahwa peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi dinyatakan sebagai berikut: P(A dan B) = P(A) x (P(B|A) 2. Peristiwa Pelengkap (Complementary Event) Peristiwa pelengkap menunjukan bahwa apabila ada dua peristiwa A dan B yang saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. Maka probabilitas keduanya dapat dirumuskan sebagai berikut: P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B) Dalam bentuk diagram Venn dapat digambarkan sebagai berikut A B

C. Diagram pohon probabilitas Tahapan dalam menyusun diagram pohon: 1. Tahap 1 adalah langkah awal kegiatan, kita mulai dengan tanda titik atau bulatan dengan angka, tahap 1 diumpamakan sebagai pohonnya dengan pohon 12

utamanya berupa kegiatan dibursa saham. Nilai probabilitas pada tahap 1 adalah 1. 2. Tahap 2, membuat cabang. Kegiatan di bursa ada 2 yaitu kegiatan jual dan kegiatan beli saham. Probabilitas jual = 0,6 dan probabilitas beli 0,4. nilai probabilitas pada cabang = 0,6 + 0,4 = 1,0 3. Tahap 3 membuat ranting. Pada setiap cabang baik jual maupun beli ada 3 ranting jenis saham yaitu BCA, BLP dan BNI. Nilai probabilitas setiap ranting = 0,35 + 0,40 + 0,25 = 1 4. Tahap 4, menghitung probabilitas bersama (joint probability) antara kejadian pertama A dan B dengan kejadian kedua D, E dan F. kita bisa menghitung probabilitas P(D|A) atau P(E|B) secara langsung. Nilai probabilitas keseluruhan pada tahap 4 juga harus sama dengan 1. Contoh: Hasil penelitian di Yakarta menunjukan bahwa 60 % dari usa Kecil dan menengah (UKM) tidak berbadan hukum, sedang sisanya berbadan hukum. Bank sebagai lembaga pembiayaan dengan memerhatikan aspek kehati-hatian memberikan probabilitas 80% lepada UKM berbadan hukum untuk mendapatkan kredit, sedangkan yang tidak berbadan hukum masih memopunyai desempatan sebesar 20% untuk mendapatkan kredit. Hitunglah berapa persen probabilitas UKM mendapat kredit dari bank? Penyelesaian:

BCA Beli (0,4)

BLP BNI

1 BCA Jual (0,6)

BLP BNI 13

CHAPTER 4 Pertemuan 4 Teorema Bayes Teorema ini dikembangkan oleh Thomas Bayes pada abad ke-18. Bayes seorang pendeta, bertanya apakah Tuhan ada dengan memerhatikan fakta-fakta yang ada di bumi. Jadi bila Tuhan ada, maka ada fakta sebagai ciptaan Tuhan. Apabila fakta dilambangkan P(A1) untuk suatu fakta dan P(A2) untuk fakta lain, sedang keberadaan Tuhan dinyatakan dengan P(B), maka teorema Bayes dinyatakan sebagai:





          

P A P B A 1 1 PA B 1 P A P B A  P A  P B A 1 1 2 2



Rumus diatas merupakan probabilitas bersyarat, suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada. P(A1|B) menyatakan bahwa fakta-fakta di bumi akan ada apabila Tuhan ada. Karena banyak fakta tersebut maka rumus Bayes diperluas:





  

        

P A P B A 1 1 PA B 1 P A  P B A  P A  P B A  .....  PA i  PB A i  1 1 2 2

BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG A. FAKTORIAL Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu kelompok. Contoh konvensional, apabila kita mempunyai tiga bank yaitu BCA, BII dan BNI ada berapa cara menyusun uratan ketiga bank tersebut? Secara sederhana dapat kita lakukan dengan mengurut ketiga bank sebagai berikut: BCA, BII, BNI

BCA, BNI, BII

BII, BCA, BNI

BII, BNI, BCA

BNI, BII, BCA

BNI, BCA, BII

14

Dari uraian diatas dapat kita ketahui bahwa terdapat 6 cara mengurutkan nama bank tersebut, namun apabila jumlah bank tersebut 100 buah bank, tentu kita akan kewalahan dalam mengurutkan. Maka dapat dilakukan dengan pendekatan faktorial, Apabila bank berjumlah tiga maka cara menurutkan nama bank: 3! = 3 x 2 x 1 = 6

B. PERMUTASI Digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. Pada permutasi ini kita berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek, permutasi dirumuskan sebagai berikut:

n! n Pr  n  r ! dimana : P : Jumlah permutasi atau cara objek disusun n : Jumlah total objek yang disusun r

: Jumlah objek yang digunkan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama dengan n atau lebih kecil

!

: tanda dari faktorial

Contoh: Dari 20 kelas di Universitas Panca budi, ingin dikelompokkan menjadi beberapa kelompok. Jika satu kelompok terdiri dari 5 kelas, ada berapa susunan kelompok yang dapat dibuat? Jawab

20! 20 19 18 17 16 15! P    1.860.480 20 5 20  5 ! 15!

15

C. KOMBINASI Kombinasi digunakan apabila kita tertarik pada berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memerhatikan urutannya. Misalnya ada 10 bank dan kita hanya akan mengambil 3 bank, maka ada beberapa kombinasi bank yang dapat diambil tanpa memerhatikan urutan atau susunannya. Dirumuskan sebagai berikut:

n! n Cr  r! n  r ! Contoh: Ada 5 orang siswa mendaftar sebagai pembawa acara dalam suatu kegiatan hiburan. Pihak penyelengara hanya ...