Maths Financières - Intérêts simples et escompte PDF

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Cours complet sur les intérêts simples et escompte avec explications et formules...

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L2-Mathématiques 2

F. Le Cornu

Mathématiques Financières

Module 2

Intérêts simples et Escompte

F. Le Cornu

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Module 2: Intérêts simples et Escompte Table des matières Unité 1 - Calculs financiers à intérêts simples ......................................................................... 4 I - Principe .......................................................................................................................................... 4 II - Valeur acquise à intérêts simples ............................................................................................... 5 III - Précisions sur les durées de placement .................................................................................... 5 1 ) Conventions de calculs pour le nombre de jours (n) .................................................................................. 6 2 ) Quinzaines civiles entières (q) ................................................................................................................... 7 3 ) Mois civils entiers ...................................................................................................................................... 8

IV - Taux moyen d’emprunt ............................................................................................................. 8 V - Applications................................................................................................................................ 10 1 ) Exemple 1 ................................................................................................................................................ 10 2 ) Exemple 2 ................................................................................................................................................ 10 3 ) Exemple 3 ................................................................................................................................................ 11 4 ) Exemple 4 ................................................................................................................................................ 12 5 ) Exemple 5 ................................................................................................................................................ 13

VI - Transformations de l’expression générale ............................................................................. 14 1 ) Cas où le capital (C) est inconnu ............................................................................................................. 14 2 ) Cas où la durée (n) est inconnue .............................................................................................................. 15 3 ) Cas où le taux d’emprunt (t) est inconnu ................................................................................................. 15

Unité 2 - Les comptes courants et d’intérêts .......................................................................... 16 I - Principe ........................................................................................................................................ 16 II - Dates de valeur et jours de banque .......................................................................................... 17 III - Commissions et taxes ............................................................................................................... 18

Unité 3 - Escompte .................................................................................................................. 19 I - Introduction et définitions.......................................................................................................... 19 II - Pratique de l’escompte commercial ......................................................................................... 20 1 ) Présentation générale ............................................................................................................................... 20 2 ) L’agio ....................................................................................................................................................... 20 3 ) La valeur nette créditée ............................................................................................................................ 21 4 ) Calcul de l’escompte ................................................................................................................................ 21 5 ) Calcul des commissions ........................................................................................................................... 21 6 ) Calcul des taxes ....................................................................................................................................... 22

III - Taux réel d'escompte - taux de revient - taux de placement ............................................... 22 IV - Applications .............................................................................................................................. 24 V - Valeur actuelle commerciale..................................................................................................... 26 VI - Escompte rationnel .................................................................................................................. 27 1 ) Présentation générale ............................................................................................................................... 27 2 ) Calcul ....................................................................................................................................................... 27

Unité 4 - Equivalence à intérêts simples................................................................................. 29 I - Equivalence de deux capitaux (ou effets) .................................................................................. 29

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1 ) Définition ................................................................................................................................................. 29 2 ) Recherche d’un capital équivalent ........................................................................................................... 30 3 ) Recherche d’une durée ............................................................................................................................. 32

II - Equivalence de groupes de capitaux (ou effets) ...................................................................... 33 1 ) Recherche d’un capital équivalent ........................................................................................................... 34 2 ) Le cas particulier de l’échéance moyenne ............................................................................................... 35

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Module 2: Intérêts simples et Escompte Unité 1 - Calculs financiers à intérêts simples I - Principe Nous allons nous intéresser à des opérations financières (prêt ou placement) réalisées par des agents économiques (particuliers, entreprises, collectivités...). Généralement le calcul d’INTERET SIMPLE caractérise plutôt des opérations financières de court terme (inférieures à l’année). Les principales applications des calculs financiers à intérêts simples sont : - le calcul des "intérêts débiteurs" sur les comptes courants - le calcul de l'escompte - certaines opérations financières sur le marché monétaire (cet aspect ne sera pas traité dans le cadre de ce cours) Un agent économique prête ou emprunte : - une certaine somme d'argent appelée capital (C) ; - durant une certaine durée d généralement calculée en nombre de jours (n), mais nous verrons par la suite qu'il peut s'agir de quinzaines ou de mois ; - à un taux d'intérêt annuel

(t).

On va parler d'intérêts simples si cette opération ne génère le versement que d' UN SEUL intérêt. L’intérêt est généralement versé à terme échu, c'est-à-dire à la fin de la période (on dit aussi en fin de terme). Ce n’est cependant pas toujours le cas, comme nous le verrons dans le cadre de l’escompte. L'intérêt simple est donc versé en une seule fois, il est strictement proportionnel : - Au capital prêté ou emprunté

C

- A la durée de placement ou de l’emprunt - Au taux d'intérêt

d

et

N

représente la période de référence

t I = C t 

d C  t  d Ctd = = N N N

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Remarque : Dans toutes les formules de ce module Donc :

0 t 1

t

représente la valeur exacte du taux annuel.

Exemple : si le taux annuel est de 12,21 % alors

t = 0,1221

On dit aussi qu'un capital produit des intérêts simples si les intérêts sont uniquement calculés sur ce capital. En d'autres mots, il n'y a pas de "capitalisation d'intérêts" comme nous le verrons dans le cas de l'étude des intérêts composés.

II - Valeur acquise à intérêts simples La somme du capital simples et est notée

C C

et de l’intérêt simple

I

s’appelle VALEUR ACQUISE à intérêts

:

C' = C + I = C +

Ctd N

Comme nous l’avons déjà vu, la valeur acquise est généralement calculée à la fin de la période (intérêts post-comptés) , comme nous pouvons le voir sur le schéma suivant :

Début de l'opération

Fin de l'opération

C

V = C + I

Nous verrons le cas des intérêts « précomptés » dans le cas de l’escompte commercial.

III - Précisions sur les durées de placement Dans la formule suivante, nous avons vu que

N

représente la période de référence et

durée de placement :

I = C t 

d C t d C t d = = N N N

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d

la

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Le nombre

N

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peut prendre différentes valeurs et la durée

d

peut être exprimée en nombre

de jours, de mois ou de quinzaines.

1 ) Conventions de calculs pour le nombre de jours (n) Les conventions suivantes sont appliquées en France : - L’année financière et commerciale comporte 360 jours - On ne compte pas le jour du prêt, mais on compte celui de son remboursement - Chaque mois à son nombre exact de jours (exemple : le mois de mars aura 31 jours, le mois de septembre 30 jours, le mois de février 28 ou 29 jours selon le cas d’une année bissextile ou non) La formule générale s’écrit donc :

I = C t 

n C t n C t n = = 360 360 360

L’intérêt ainsi calculé est appelé « Intérêt commercial »

Certains contrats de prêt spécifient que l’on se réfère à l’année civile (365 ou 366 jours). Dans ce cas, la formule devient :

I = C t 

n C t n C t n = = 365 365 365

L’intérêt ainsi calculé est appelé « Intérêt civil » ; il n’est que très rarement utilisé.

REMARQUE IMPORTANTE 1 : les conventions utilisées dans le calcul des intérêts simples ne sont pas rationnelles. On peut, effectivement, facilement démontrer qu’elles ont pour but de favoriser le prêteur en augmentant le montant des intérêts dus par l’emprunteur.

Montrons que l’intérêt commercial augmente arbitrairement le montant de l’intérêt simple.

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Dans la formule suivante :

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I =

Ctn 360

n

-

au numérateur, on compte

-

au dénominateur, on compte une année commerciale de 360 jours

le nombre de jours exacts (365 ou 366 jours)

Cela a pour effet d’augmenter le numérateur par rapport au dénominateur et donc d’augmenter l’intérêt. L’exemple suivant le montre bien : un capital de 36500 € est emprunté durant 72 jours au taux annuel de 12% (

t=0,12 ).

L’intérêt civil vaut :

I = C t 

36 500  0,12  72 n = = 864 365 365

L’intérêt commercial vaut :

I = C t 

36 500  0,12  72 n = = 876 360 360

L’écart d’intérêt de 12 € (876 – 864) n’est justifié, ni par le capital, ni par le taux d’intérêt, ni par la durée réelle de l’emprunt (72 jours) La différence est seulement le résultat de la méthode de calcul qui minimise le dénominateur dans le cas de l’intérêt commercial et augmente ainsi le montant de l’intérêt.

REMARQUE IMPORTANTE 2 : dans toute la suite du cours, nous n’utiliserons que la formule

I =

Ctn 360

Nous ne préciserons donc pas qu’il s’agit d’un « Intérêt simple commercial », nous parlerons d’intérêts simples. Cette formule est celle qui est utilisée en France pour la plupart des emprunts à Intérêts simples.

2 ) Quinzaines civiles entières (q) Certains intérêts sont calculés par quinzaine de jours. La règle étant que chaque mois comporte deux quinzaines : - Première quinzaine : du premier jour du mois compris au 15 du mois compris - Deuxième quinzaine : du 16 compris au dernier jour du mois compris (28, 29, 30 ou 31) Il existe dans une année civile 24 quinzaines, c'est-à-dire 24 demi-mois.

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Puisque

N = 24

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, l’expression devient :

I = C t 

q

q C t q C t q = = 24 24 24

est le nombre de quinzaines civiles entières

3 ) Mois civils entiers Certains intérêts sont calculés par mois civils entiers. Les intérêts ne sont donc calculés pour un mois donné, uniquement si une somme est présente sur ce mois civil complet (du premier jour du mois compris jusqu’au dernier jour du mois compris) : Puisque

N = 12

, l’expression devient :

I = C t 

m

m C t m C t m = = 12 12 12

est le nombre de mois civils entiers

IV - Taux moyen d’emprunt Quand on réalise plusieurs emprunts, avec des taux d’intérêts différents, il est souvent intéressant de connaître le taux moyen. Rappelons que la moyenne est un « résumé numérique », c'est-à-dire qu’elle permet de résumer plusieurs nombres en un seul. Ce calcul de taux moyen de l’emprunt est très utile, par exemple, à un gestionnaire financier qui effectue de nombreux emprunts (ou effectue plusieurs placements) simultanés sur une période donnée. Le calcul lui permet de connaître la moyenne des taux de l’emprunt (ou placement).

Soient

k

capitaux :

-

C1 est emprunté au taux annuel t1 durant n1 jours,

-

C2 est emprunté au taux annuel t 2 durant n2 jours,

-

Ck est emprunté au taux annuel t k durant nk jours,

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On s’intéresse à la somme des intérêts :

C1 t1 n1 C 2t 2n 2 Ctn + + .... + k k k 360 360 360

Supposons que tous les placements s’effectuent au taux unique tm

:

C1 t mn1 C2 t m n2 Ct n + + .... + k m k 360 360 360 tm est le taux moyen si l’égalité suivante est vérifiée :

C1 t1 n1 C2 t2 n2 Ctn Ct n Ct n Ct n + + .... + k k k = 1 m 1 + 2 m 2 + .... + k m k 360 360 360 360 360 360 Simplifions l’expression en multipliant les deux membres par 360 :

C 1 t 1 n1 + C 2t 2 n2 + .... + Ck tk nk = C1 tm n1 + C 2 tm n2 + .... + Ck tm nk Factorisons l’expression : i=k

i= k

C t n i=1

i i

i

i =k

= Ci tm ni i=1

i= k

C t n i =1

i

i

i

Ctn i i

i=k

tm =

= tm  Ci ni i =1

i

i =1 i =k

Cn i

i

i =1

Dans le cadre des intérêts simples, le calcul du taux moyen de placement est donné par la formule : i =k

Ctn i i

tm =

i

i =1 i =k

C n i

i

i =1

Le taux moyen de placement est la moyenne des différentes valeurs de t observées (t 1, t2,…, tk) pondérée par les montants des capitaux (C1, C2,…, Ck) et les durées (n1, n2,…,.nk).

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V - Applications 1 ) Exemple 1 Une entreprise emprunte un capital de 1 740 € durant 25 jours au taux d'intérêt annuel de 3,7%. Calculer le montant de l'intérêt (I) et de la valeur acquise (C’). Correction

I = C t

n C  t  n Ctn = = 360 360 360

L'intérêt simple est de 4,47 € La valeur acquise, somme du capital et des intérêts est :

Valeur Acquise = C' = C + I = 1740 + 4,47 = 1744,47 On dit que le capital de 1 740 € a acquis une valeur de 1 744,47 € après 25 jours de placement à intérêt simple au taux d'intérêt annuel de 3,7%.

2 ) Exemple 2 Une entreprise emprunte un capital de 24 800 € du 27 octobre au 18 décembre au taux d'intérêt annuel de 2,1%. Calculer le montant de l'intérêt (I) et de la valeur acquise (C’). Correction Nous devons dans un premier temps déterminer le nombre de jours (n) : Mois d'octobre : Il y a 31 jours en octobre et on ne compte pas le jour du prêt : 31 - 27 = 4 jours Le nombre de jours entre le 28 octobre et le 31 octobre est bien 4 (28 , 29 , 30, 31 octobre). Mois de novembre : Il y a 30 jours en novembre Mois de décembre : On compte le nombre de jours depuis début décembre jusqu'au jour de remboursement, soit 18 jours

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Le nombre total de jours est 52 (4 jours en octobre, 30 jours en novembre, 18 jours en décembre).

I = C t

n C  t  n Ctn = = 360 360 360

I = 24 800  0, 021

52 24 800  0, 021 52 = = 75, 23 360 360

L'intérêt simple s’élève à 75,23 € La valeur acquise est la somme du capital et des intérêts est :

Valeur Acquise = C' = C + I = 24 800 + 75,23 =24 875,23 On dit que le capital de 24 800 € a acquis une valeur de 24 875,23 € après 52 jours de placement à intérêts simples au taux d'intérêt annuel de 2,1%.

3 ) Exemple 3 Une entreprise place un capital de 83 900 € du 10 mars au 27 mai au taux d'intérêt annuel de 1,65%. Calculer le montant de l'intérêt (I) et de la valeur acquise (C’), sachant que les intérêts ne sont calculés que sur les quinzaines civiles entières. Correction Nous devons, dans un premier temps, déterminer le nombre de quinzaines civiles entières (q) : Mois de mars : - Les intérêts entre le 10 mars et le 15 mars sont perdus (la première quinzaine civile du mois de mars n’est pas complète) - On compte une quinzaine pour la fin du mois de mars (du 16 mars à la fin du mois) Mois d’avril : On compte deux quinzaines pour le mois d’avril Mois de mai : - On compte une quinzaine pour la première quinzaine du mois de mai - Les intérêts entre le 16 mai et le 27 mai sont perdus (la seconde quinzaine civile du mois de mai n’est pas complète) Le nombre total de quinzaines civiles entières est de 4 (1 en mars, 2 en avril, 1 en mai).

I = Ct

q C  t  q Ctq = = 24 24 24

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I = 83 900  0,0165

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4 83 900  0,0165  4 = = 230,73 24 24

Valeur Acquise = C' = C + I = 83 900 + 230,73 = 84 130,73 On dit que le capital de 83 900 € a acquis une ...