Metodos DE Analisis DE Estabilidad EN Sistemas DE Control PDF

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Comparativa sobre los diferentes métodos de análisis de estabilidad en sistemas de control ...

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Estabilidad en Sistema de Control METODOS DE ANALISIS DE ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE CONTROL

Análisis de Estabilidad en Sistemas de control Universidad Tecnológica de Panamá

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Estabilidad en Sistema de Control

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Abstract En este documento se investigó sobre diferentes métodos de análisis de estabilidad para diferentes sistemas ya sea lineal, no lineal, variante o no variante en el tiempo y ya sea para lazo abierto o lazo cerrado. Algunos de los métodos investigados son, método de análisis de estabilidad de Liapunov, Jury, análisis de estabilidad mediante la transformación bilineal y el criterio de estabilidad Routh, Método de Nyquist, entre otros. Por otra parte, se muestra algunas investigaciones realizadas sobre cómo se estabilizan los sensores.

In this document, different stability analysis methods for different systems were investigated, whether linear, non-linear, variant or non-variant in time and whether for open loop or closed loop. Some of the methods investigated are, Liapunov stability analysis method, Jury, stability analysis by bilinear transformation and the Routh stability criterion, Nyquist method, among others. On the other hand, it shows some research done on how sensors are stabilized.

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Aná l i s i sdeEs t a bi l i dade nSi s t e ma sdec o nt r o l Uno de los aspectos más importantes, si no el que más, a la hora del estudio y diseño de sistemas de control es el análisis de estabilidad. La estabilidad se puede asemejar como una continuidad en su comportamiento dinámico, ya que, si se presenta algún pequeño cambio en ciertas variables de un sistema estable, en las entradas o condiciones iniciales, se verá afectada en pequeña medida la respuesta del sistema. Mientras que en un sistema inestable cualquier modificación por minúscula que sea puede llevar a la respuesta del sistema a crecer sin límites hasta que se salga del rango dinámico, se desintegre o queme. (Patiño, n.d). Debido a lo mencionado, el análisis de estabilidad es un requerimiento básico de los sistemas dinámicos destinados a realizar operaciones o procesar señales y debe ser lo primero en garantizarse en el diseño de un sistema de control. Como consecuencia de esto es necesario hacer un documento el cual recopile distintos métodos de análisis de estabilidad para diferentes sistemas de control, el cual nos permita conocer los rangos de operación estable para un sistema basado en ciertas condiciones de operación de este, como lo pueden ser: si el sistema es o no lineal o si trabaja en tiempo variable o invariable Análisis de estabilidad de sistemas de Lazo cerrado Exi s t e nd i f e r e n t e smé t o d o sp a r aa ná l i s i sd ee s t a bi l i d a dd es i s t e ma sd el a z oc e r r a d o . Po d e mo sa g r u p a r l o sp ore lt i p os i s t e maq uee s t u d i a n,y as e a :I n v a r i a b l eov a r i a b l ee ne lt i e mpo . De n t r od el o si n v a r i a bl e se ne lt i e mp op o d e mo sme nc i on a re lmé t o d od eJ u r y ,Ny q u i s t , Tr a n s f o r ma dab i l i n e a lc o nc r i t e r i od eRo u t h, mi e n t r a squ ep a r au ns i s t e mai n v a r i a b l ee ne lt i e mp o t e ne mose lmé t o d od eLi a pu no v . Método de análisis de estabilidad de Jury

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Elmé t o dod ee s t a b i l i d a dd eJ u r yp e r mi t el ad e t e r mi n a c i ó ne x a c t ad el o sp o l o s ,p a r au n s i s t e mae nt i e mp od i s c r e t ol i n e a lei n v a r i a bl e ,l oc u a le su n at a r e ac o mpl i c a d ap a r ap o l i n o mi o s c a r a c t e r í s t i c o sd eo r d e ne l e v a d oye ne lc u a ls ec ome t e ne r r o r e sn u mé r i c o sf r e c u e n t e me nt e ( Me n a , 2 0 1 3 ) . Se g ú nOg a t a , 2 0 0 3,s u p o ni e nd oq u es ec u e n t ac o nu n ae c u a c i ó nc a r a c t e r í s t i c ad el as i g u i e n t e ma ne r a

P ( z ) =a0 z + a1 z n

n−1

+… … … + an−1 z + an

Do n d e a0 > 0 . To ma n d ol ae c ua c i ónc a r a c t e r í s t i c ad a d a ,P( z ) =0,ya p l i c á n do l el ap r u e b ad ee s t a b i l i d a dd eJ u r y n o sp e r mi t ec o n s t r u i ru n at a bl ac u y o se l e me n t oss eb a s a ne nl o sc o e fic i e n t e sd el ae c ua c i ó n c a r a c t e r í s t i c a , c o mos emue s t r ae nl aTa bl a1 . Do n d e :

| |

|

a n an −1−k , k=0,1, 2…, n – 1 a 0 a k+1 b b c k = n−1 n−2−k , k=0,1, 2…, n – 2 b0 bk+1 . . . p p 2−k qk= 3 , k=0,1, 2 p0 p k+1 Se g ú ne lmé t o d od ee s t a b i l i d a dd eJ u r yu ns i s t e mac onl ae c u a c i ó nc a r a c t e r í s t i c aP( z )s e r áe s t a b l e bk =

|

|

|

s iys o l os i , t oda sl a ss i g u i e n t e sc on d i c i on e ss es a t i s f a c e n : 1.

|a n|0 ¿

3.

P ( z ) ∨¿ z=−1

4.

|b n−1| >|b0| |b n−2| >|c 0|

para n para {¿¿00para nimpar ¿

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. . .

|q 2|>|q 0| Método de análisis de estabilidad de Liapunov Elmé t od od ee s t a bi l i d a dd e Li a p u n o vp a r ae s t u d i a rs i s t e ma sno l i n e a l e sf u eu na t e o r í a i n t r o du c i dap o re lma t e má t i c or u s oe n1 8 9 2 ,a u nq u en of u eh a s t al ad é c a d ad el o s6 0c ua n dos e e mp e z óad i f u n di ryap a r t i rdee s os eh a nd e s a r r o l l a d on u me r os o sr e fin a mi e n t o sd ee s t e( D. e . a Un i v e r s i d a dNa c i o n a ldeSa nJ u a n , n . d ) . Lai d e ad ee s t emé t o dod ea n á l i s i sd ee s t a b i l i d a ds u r g i óe nu n aé p o c ad o n d et o d os eb a s a bae n e n e r g í ad e b i doaq u es o l oe x i s t í a ns i s t e ma sme c á n i c o s ,e n t o n c e ss il ae ne r g í adeu ns i s t e ma me c á n i c ot e n d í aac e r oe nu nt i e mpoi n fini t os ep o d r í aa s u mi rc o mou ns i s t e mae s t a b l e( Ca s t a ñ o , 2 0 1 9 ) . Las i g u i e n t ei n f o r ma c i ó nf u er e c o p i l a dad e( Og a t a ,2 0 0 3 ) . Ex i s t e nd o smé t od o sd ea n á l i s i sd ee s t a b i l i d a dd el i a p un o v ,e lp r i me rmé t o doys e g u n d omé t od o , c o no c i dot a mb i é nc o momé t o d od i r e c t od el i a pu n o v ;a mbo ss onu t i l i z a d o sp a r ad e t e r mi n a rl a e s t a b i l i d a ddel o ss i s t e ma sd i n á mi c o sd i s c r e t o sp o re c u a c i on e sd i f e r e n c i a l e soe nd i f e r e nc i a s o r d i n a r i a s .Po ru n ap a r t e ,e lp r i me rmé t o d oc ue n t ac o np r o c e d i mi e n t o se nl o sc ua l e ss eu t i l i z a n f o r ma se xp l i c i t a sdel a ss o l u c i o n e sd el a se c u a c i o ne sd i f e r e n c i a l e sod el a se c ua c i o n e se n d i f e r e n c i a spa r ae la n á l i s i s .Mi e n t r a sq u ee ls e gu nd omé t o d o ,n or e q u i e r ed el a ss o l u c i o n e sd el a s e c u a c i one sy as e a nd i f e r e n c i a l e soe nd i f e r e n c i a s ,p o rl oc u a l r e s u l t amá sú t i le nl ap r á c t i c a . La i mp o r t a n c i ad el o s mé t o d o sd ea n á l i s i sd ee s t a b i l i d a dd el i a p u no vr a d i c a ne nq u e , c o mp a r á n d o l oc o not r o smé t o d o sdea n á l i s i sd ee s t a bi l i da d ,J u r y ,Ro u t h Hu r wi t z ,e s t en os e l i mi t aas o l a me nt ee la n á l i s i sdes i s t e ma sl i n e a l e si n v a r i a nt e se ne lt i e mp o ,s i n oq u et a mb i é ne s a p l i c a b l eas i s t e ma sn ol i n e a l e syv a r i a n t e se ne lt i e mp o .

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Cr i t e r i od ee s t a b i l i d a dp o re lmé t o dod i r e c t od el i a p u n o v :Els e g u nd omé t od od ee s t a b i l i da dd e l i a p u n o vs eb a s ae nu nag e n e r a l i z a c i ó nd el at e or í ad el ame c á ni c ac l á s i c a ,c o mos eme nc i on ó a n t e r i o r me n t e .Si ne mb a r g o ,e ns i s t e ma sp u r a me n t ema t e má t i c o s ,n oe x i s t eu naf o r mas i mp l ed e d e fin i ru n a‘ ’ f u n c i ó nd ee n e r g í a ’ ’ .Po rl oc u a l ,s ei n t r o d u j ol af u n c i ó nd el i a pu n o vl ac u a le su n a f u n c i ó nfic t i c i ad ee n e r g í a . De bi d oaqu el af u n c i ó nd el i a p u n o ve su n af u nc i ó ne s c a l a re sn e c e s a r i oc o n o c e rp r i me r oc i e r t a s d e fin i c i o n e sd ef u nc i on e se s c a l a r e s , c o mos emu e s t r ae nl afi g u r a1 . De fini c i ó npo s i t i v adef unc i o ne se s c a l a r e s :Sedi c eq u eu n af u n c i ó ne s c a l a rV( x )e s d e fin i d ap o s i t i v ae nu n ar e g i ó nΩ,s iV( x ) >0p a r at o d o sl o se s t a d osxn oc e r odel ar e g i ó nΩys i V( 0 )=0 . Sed i c eq u eu n af u n c i ó nv a r i a nt ee ne lt i e mp oV( x ,t )e sd e fin i d ap o s i t i v ae nu n ar e g i ó nΩs ie s t á l i mi t a d ap o rd e b a j odeu n af u nc i ó nd e fin i d ap o s i t i v ai n v a r i a n t ee ne lt i e mp o. De fini c i ó nne g a t i v adef unc i o ne se s c a l a r e s :V( x )e sd e fin i d an e g a t i v as iV( x )e s d e fin i d ap os i t i v a Se mide fini c i ó npo s i t i v adef unc i o ne se s c a l ar e s :V( x )e ss e mid e fin i d ap o s i t i v as ie s p o s i t i v ae nt o do sl o se s t a d o se nl ar e g i ó nΩe x c e p t oe ne lo r i g e nye nde t e r mi n a d o se s t a d o sdo n d e e sc e r o . Se mide fini c i ó nne ga t i v adef unc i o ne se s c a l a r e s :V( x )e ss e mid e fin i d ane g a t i v as i V( x )e ss e mide fin i d ap o s i t i v a I nde fini c i ó ndef unc i o ne se s c a l a r e s :V( x )e si n d e fin i das ie nl ar e gi ó nΩ a d op t a v a l or e spo s i t i v o sc o mon e g a t i v os ,i n d e p e n d i e nt e me n t ed el op e q u e ñ aq ues e al ar e gi ó nΩ. Func i o ne sd eLi a p uno v

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Laf u n c i ó nd el i a pu n o ve su n af un c i ó nd e fin i d apo s i t i v ayc o n t i nu aj u nt oc o ns u sp r i me r a s d e r i v a d a sp a r c i a l e se nl ar e g i ó n Ω

a l r e d e d o rd e lor i g e nyt i e n eu n ad e r i v a d ac o nr e s pe c t oa l

t i e mp oq u e ,c u a n d os et o maal ol a r g od el at r a y e c t o r i a ,e sd e fin i d an e g a t i v a .La sf u n c i o n e sd e l i a p u n o vi n v o l u c r a na x 1 ,x 2 …. . ,x n

yp o s i b l e me nt e ,at .See x p r e s a ne nl af o r maV (

o l ome d i a n t eV( x ,t ) .Sil a sf u n c i o n e sd el i a p u n o vn oi nc l u y e nate nf o r ma x 1 … .. , x n t ¿ ,os e x p l í c i t ae n t o n c e ss ee x p r e s ac omoV( x ) . De fini c i o ne sdee s t a b i l i da d Si s t e ma :Els i s t e maq u es eu t i l i z a r ac o mo b a s epa r al a sd e fin i c i o ne se s t ád e fin i d oc omo u p o n eq u ee ls i s t e mac u e n t ac o nu n aú n i c as o l u c i ó n,q u ee mp i e z ae nl a x=f ´(x , t) .Ses o n d et =t i e mp oo b s e r v a d oyx= x 0 . c o nd i c i ó ni n i c i a ld a d a ,(φ(t ; x 0 , t 0) ,d Es t a dodee qui l i br i o:Esu np u n t oq u eh a c eq uee ls i s t e mas e ai g u a la0p a r at o d ot . Sie ls i s t e ma e sl i n e a lei n v a r i a n t ee ne lt i e mpo ,e n t o nc e ss ol oe x i s t i r áu np u n t odee q u i l i b r i os il ac o n s t a n t en o e ss i n g ul a rmi e n t r a sq u eu nn úme r oi n fin i t od ee s t a do sd ee q u i l i b r i os il ac o ns t a n t ee ss i n g u l a r ( Ga l n a r e s , n. d ) . Es t a bi l i da de ne ls e nt i dodel i a puno v :Su p on g a mo sq ues et i e n eu nc i l i n d r od er a d i oi n t e r i o rδ yr a di oe xt e r i o rε ,c o mos emu e s t r ae nl afi g u r a2 .Se g ú nl i a pu no v ,e ls i s t e mas e r áe s t a b l ep a r a c u a l q u i e rs o l u c i ó n ,t r a y e c t o r i a ,e nt =0q u ec o mi e nc ee nl aba s ed e lc i l i n dr od er a d i oδn op u e de a b a n d o na rl ab a s ed e lc i l i n d r oc o nr a d i oε , c o mos emu e s t r ae nl afi g u r a2( Ga l n a r e s , n . d ) . As i nt ó t i c a me nt ee s t a bl e :Pa r aq u ee ls i s t e mas e aa s i nt ó t i c a me nt ee s t a b l ed e bec ump l i rc o nd o s c o nd i c i o n e s ,l ap r i me r ae sq u es e ae s t a b l ee ne ls e n t i dod el i a p u n o vyl ao t r ae sq uet o d a sl a s s o l u c i o n e sq u ei ni c i e nc e r c ad e lp un t od ee q u i l i b r i od e b e nt e n de raé le nu nt i e mp oi n fin i t oc o mo s emu e s t r ae nl afi g u r a3( Ga l na r e s ,n . d ) .

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Es t a bi l i da da s i nt ót i c ag l o ba l :A d i f e r e n c i ad el ae s t a bi l i d a da s i nt ó t i c ag l o b a l ,e lr a n g od e a t r a c c i ó na li ni c i od el at r a y e c t o r i ae smá sa mpl i o .Esde c i r ,e lpu n t odo n d ei n i c i al at r a y e c t o r i a p u e d ee s t a rmá sa l e j a d od el oq u ee s t a r í ae nl ae s t a b i l i d a da s i n t ó t i c a ,p o rl oc u a le lr a d i oi n t e r i o r d e lc i l i n d r od e ls i s t e maa s i n t ó t i c a me nt eg l o ba lpu e des e rmá sgr a n d ed eé lq u ee sa s i n t ó t i c a me n t e g l o ba lya u na s íe nu nt i e mp oi n fin i t ot e n d e ra lmi s mov a l orq u el ae s t a b i l i da da s i n t ó t i c a ( Ga l n a r e s , n. d ) . =0, e nu n I ne s t abi l i da d:Sed i c eq u ee ls i s t e mae si n e s t a bl es il at r a y e c t o r i ac o ni n i c i oe n x 0 yt t i e mp oi n fin i t ol ad i r e c c i ó nd el at r a y e c t o r i as a l ef u e r ad e lc i l i n d r oc o mos emue s t r ae nl afi gu r a4 ( Ga l n a r e s , n. d ) . Te o r e masd eLi a p uno v Ex i s t e nu nn u me r od et e o r e ma sd eLi a p u n o vl o sc u a l e ss o nut i l i z a d o sp a r ac o n o c e rl ae s t a b i l i d a d d e ls i s t e ma ,de p e n d i e n d od eq u ét i p odes i s t e mas ee s t áe s t ud i a n d o . Al g u n osd el o st e o r e ma smá s i mp or t a n t e ss on : Te o r e madel i a puno vs o br el ae s t a bi l i da das i nt ó t i c a Elp u n t od ee q ui l i b r i o ,d el af u nc i ónd el i a p u n o v ,x =0e sa s i nt ó t i c a me n t ee s t a b l ee nu n ar e g i ó n a c o t a d aa l r e d e d o rd e lo r i g e ns ic u mpl el a ss i g u i e n t e sc o n d i c i on e s :Laf un c i ó nd el i a p u n o vde b e s e rd e fin i d ap o s i t i v ae nl ar e g i ó na c o t a d ayl ade r i v a d al af u n c i ó nd el i a p un o vde b es e rd e fin i da n e g a t i v ar e s p e c t oal a ss o l u c i o ne sd e ls i s t e ma . Sil ar e g i ó na c o t a dae st o doe le s p a c i os ed i c eq u el ae s t a b i l i d a de sa s i nt ó t i c ae ns e n t i d og l o b a l ( f . i . e . tUn i c a u c a , n. d ) . Te o r e madel i a puno vs o br el ae s t a bi l i da d

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Elp u n t od ee q u i l i b r i o ,d el af u n c i ó nd el i a p u n o v ,x =0e se s t a b l ee nu n ar e g i ó na c ot a daa l r e de d or d e lo r i g e ns ic ump l el a ss i g u i e n t e sc o n di c i o n e s :Laf u n c i ó nd el i a pu n o vd e b es e rd e fin i d ap o s i t i v a e nl ar e g i óna c o t a d ayl ad e r i v a d al af u nc i ónd el i a p un o vde b es e rs e mid e fin i dan e g a t i v ar e s p e c t o al a ss ol u c i o n e sd e ls i s t e ma( f . i . e . tUni c a u c a , n . d ) . Te o r e madeLi a puno vdeI ne s t abi l i da d Sup o n i e n d oq u ee xi s t eu n af un c i ó ne s c a l a rW ( x,t )qu ed e t e r mi n al ai n e s t a b i l i d a dd e le s t a d od e e q u i l i b r os ep o d r í ad e c i re n t o n c e sq u ee ls i s t e ma e si n e s t a b l es ic u mpl el a ss i g u i e n t e s c o nd i c i o n e s :W ( x ,t )e sd e fin i d ap o s i t i v ae na l g u n ar e g i óna l r e de d o rd e lo r i g e nyl ad e r i v a dad e e s t ae sd e fin i d ap o s i t i v ae nl ami s mar e g i ó n( Og a t a , 20 0 3 ) .

Te o r e madeLi a puno vpar as i s t e ma sl i ne a l e s Es t et e o r e man o spe r mi t ec on o c e rl ae s t a b i l i d a dd eu ns i s t e mac o n o c i e n d os ie sa s i n t ó t i c a me n t e e s t a b l ey s il as o l u c i ó nd e ls i s t e man o sa r r o j au n ama t r i zde fin i d ap o s i t i v ap o rmé t o d os ma t e má t i c o s( Ga l n a r e s , n . d ) .

Te o r e madeLi a puno vpar as i s t e ma se nt i e mpodi s c r e t o s Pa r aq ueu ns i s t e mae nt i e mp od i s c r e t o ,s e g ú nLi a p un o v ,s e ae s t a b l ed e b ec u mp l i rc o nl a s s i g u i e n t e sc o nd i c i o n e s :Suf u n c i ó ndeLi a p u n o vd e b es e rma y o rq u e0p a r ac u a l q ui e rxd i f e r e n t e d e0 ,l av a r i a c i ó ndee s t at i e n eq ues e rme n o rq u e0p a r ac u a l q u i e rxd i f e r e n t ed e0 ,l af u n c i ó nd e Li a p u n o ve v a l u a d ae n0d e b es e ri g u a la0yp o rú l t i mol af u nc i ónd e b et e n d e rai n fin i t oc u a n d oe l v a l ora b s o l u t od ext i e n deai nfin i t od ei g u a lma ne r a( Og a t a , 2 0 0 3 ) . Ex i s t eo t r ot e or e map a r aa p l i c a c i o ne sdeo t r ot i p od es i s t e ma ,pe r od e bi d oaqu es ue x p l i c a c i ó n s e r i ame r a me n t ema t e má t i c as o l a me nt es ed i r áe l n o mbr ed e lt e o r e ma

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Te o r e madeLi a puno vpa r as i s t e ma se nl i ne a l e se nt i e mpodi s c r e t oei nv a r i a nt e se ne l t i e mpo .

Aná l i s i sd ee s t a b i l i da dme d i a nt el at r a ns f o r mac i ó nb i l i ne a lye lc r i t e r i odee s t a b i l i da dRo ut h

Es t emé t o d ou t i l i z al at r a n s f or ma d ab i l i ne a lp a r ar e pr e s e nt a re ls i s t e mac o moe li n t e r i o rd eu n c í r c u l ou ni t a r i od e lp l a n ozc o ne ls e mi p l a n oi z q u i e r d od e lp l a n ow.Do n d ee lc i r c u l ou n i t a r i oe n e lp l a n ozc o r r e s p o n d ea le j ei ma g i n a r i oe ne lp l a nowyl ap a r t ee x t e r n ad e lc i r c u l ou n i t a r i oe ne l p l a n ozc o r r e s po n d ea ls e mi p l a n od e r e c h ode lp l a n ow( Og a t a , 2 0 03 ) . Tr a n s f o r ma dab i l i n e a l : w=

z+1 z −1

Lu e g od ec o ns e g u i rl at r a n s f o r ma d ab i l i n e a ld e ls i s t e mas ee xp r e s al ae c u a c i ó nc a r a c t e r í s t i c ade l s i s t e ma d e l a f or ma

P ( z ) =a0 z + a1 z n

n−1

t i l i z a nd o mé t o d o s +… … …+ an−1 z + an=0 , u

Og a t a , 20 0 3 ) . ma t e má t i c o s Q( w ) =b0 w n+ b1 wn−1 +… … …+ b n−1 w + bn ( Un av e zo bt e ni d a se s t a se c u a c i o ne sp o d e mo sa p l i c a re lc r i t e r i od ee s t a bi l i d a dd eRo u t h , u t i l i z a n d ol a Ta b l a2 ,l oc u a ln o si n d i c a r ae x a c t a me n t ec u a n t a sr a í c e sd el ae c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a se s t á ne ne ls e mi p l a n od e r e c h od e lpl a n ow, yc u a n t a ss o b r ee l e j ei ma g i na r i o . Au nq uee s t emé t o d oe smu yu t i l i z a don os i r v ed emu c h od e b i d oaq u eno r ma l me n t enos ed e s e a n s i s t e ma sd ec o n t r o li n e s t a b l e soc r í t i c a me n t ee s t a bl e s( Og a t a ,2 0 0 3)

Cr i t e r i od ee s t a b i l i da ddeNy q ui s t Elc r i t e r i od ee s t a b i l i d a dd eNy qu i s te su nmé t o d ogr a fic oe lc u a ls eu t i l i z ae nr e pr e s e n t a c i o n e se n f r e c u e n c i ad el o ss i s t e ma sd ec on t r o ll i ne a l e si n v a r i a nt e se ne lt i e mpor e t r o a l i me n t a d osp a r a

Estabilidad en Sistema de Control

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d e t e r mi n a rl ae s t a b i l i d a da b s o l ut ae nl a z oc e r r a d oap a r t i rd el a sc u r v a sd ef r e c ue n c i ae nl a z o a b i e r t o , s i nl an e c e s i d a dd ec o n o c e rl o spo l o se nl a z oc e r r a d o . Es t emé t od ou t i l i z ag r á fic o sp o l a r e sp a r ad e t e r mi n a rl ae s t a b i l i d a dd e ls i s t e mae nl a z oc e r r a d o ,a p a r t i rd el ar e s pu e s t ae nf r e c u e n t ae nl a z oa b i e r t oydel o sp ol o se nl a z oa b i e r t o . Es t emé t o d op u e d es e ru t i l i z a d ot a n t op a r at i e mp oc on t i n u oc omop a r at i e mp od i s c r e t o ,pe r o d e b i d oal ao r i e n t a c i ó nd ee s t ed o c u me nt oh a c i aa n á l i s i ...