Modul 5. Proses Gramm-Schmidt PDF

Preview

Summary

MODUL 5ORTOGONALITAS PROSES GRAMM SCHMIDTPENDAHULUANSebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam disebut himpunanortogonal jika semua pasangan himpunan vektor yang berbeda dalam himpunantersebut saling ortogonal, dan sebuah himpunan ortogonal yang normnya 1 (satu)dinamakan himpunan ortonormal....

Description

MODUL 5 ORTOGONALITAS PROSES GRAMM SCHMIDT

PENDAHULUAN Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan himpunan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut saling ortogonal, dan sebuah himpunan ortogonal yang normnya 1 (satu) dinamakan himpunan ortonormal. Misalkan 𝑆 = {𝑠1, 𝑠2 , 𝑠3, … 𝑠𝑛 } merupakan basis dari suatu ruang hasil kali

dalam 𝑉 dan merupakan himpunan ortonormal, maka 𝑆 disebut Basis Ortonormal.

Dalam Modul 5 ini kita akan membahas jika 𝑆 merupakan basis dari suatu ruang hasil kali dalam 𝑉 dan bukan himpunan ortonormal, maka 𝑆 dapat ditransformasi menjadi Basis Ortonormal.

Sebelum basis dari ruang hasil kali dalam diubah menjadi Basis Ortonormal,

basis 𝑆 tersebut terlebih dahulu diubah menjadi Basis Ortogonal dengan

menggunakan

sebuah proses yang dinamakan proses Gramm-Schmidt.

Selanjutnya Basis Ortogonal tersebut dinormalisasi untuk mendapatkan Basis Ortonornalnya Setelah

mempelajari

Modul

5

ini

diharapkan

mahasiswa

dapat

mentrasformasikan sebuah basis menjadi basis ortogonal dan juga mampu mentransformasikan basis yang bukan ortonormal menjadi basis ortonormal. PENYAJIAN MATERI A. Proses Gramm-Schmidt Berikut definisi dan teorema yang berhubungan dengan basis ortogonal dan basis ortonormal. Definisi 5.1 Diberikan ruang vektor 𝑉. Diambil vektor 𝑢, 𝑣𝜖𝑉. Vektor 𝑢 dikatakan ortogonal (orthogonal) terhadap 𝑣 jika 〈𝑢, 𝑣〉 = 0. Dinotasikan dengan 𝑢 ⊥ 𝑣.

Aljabar Linear

72

Jelas bahwa 𝑢 ⊥ 𝑣 jika dan hanya jika 𝑣 ⊥ 𝑢. Lebih lanjut, jika 𝑢

ortogonal terhadap setiap vektor di suatu himpunan 𝑆, maka dikatakan

𝑢

ortogonal terhadap 𝑆. Vektor 𝟎 ortogonal terhadap setiap vektor dan merupakan

satu-satunya vektor yang tegak lurus dengan dirinya sendiri. Definisi 5.2

1. Suatu himpunan 𝑉 dikatakan ortogonal dengan himpunan 𝑊, dinotasikan dengan 𝑉 ⊥ 𝑊 jika ∀𝑣𝜖𝑉dan 𝑤𝜖𝑊 berlaku 𝑣 ⊥ 𝑤.

2. Suatu himpunan bagian 𝑉dari suatu ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika ∀𝑣, 𝑤𝜖𝑉 dan 𝑣 ≠ 𝑤 maka 〈𝑣, 𝑤〉 = 0.

Definisi 5.3 Suatu himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norm 1 dikatakan ortonormal. Dengan kata lain {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … 𝑣𝑛 } di 𝑉 adalah ortonormal

jika 〈𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 〉 = {

0 ,𝑖 ≠ 𝑗 1 , 𝑖 = 𝑗(𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛).

Definisi 5.3 Diberikan ruang hasil kali dalam 𝑉, jika {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … 𝑣𝑛 } di 𝑉

adalah ortonormal, maka

‖𝑘1 𝑣1 , 𝑘2 𝑣2 , 𝑘3 𝑣3 , … , 𝑘𝑛 𝑣𝑛 ‖2 = |𝑘1 |2 + |𝑘2 |2 + ⋯ + |𝑘𝑛 |2

untuk 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … 𝑣𝑛 𝜖𝑉 dan 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 𝜖ℝ.

Akibat 5.4 Setiap vektor di himpunan ortonormal adalah bebas linear. Teorema 5.5 Jika {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … 𝑣𝑛 } adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam 𝑉 dan 𝑣 adalah sebarang vektor di 𝑉, maka: 𝑣 = 〈𝑣, 𝑣1 〉𝑣1 + 〈𝑣, 𝑣2 〉𝑣2 + ⋯ + 〈𝑣, 𝑣𝑛 〉𝑣𝑛

dan

‖𝑣‖2 = |〈𝑣, 𝑣1 〉|2 + |〈𝑣, 𝑣2 〉|2 + ⋯ + |〈𝑣, 𝑣𝑛 〉|2

Teorema 5.6 Diberikan himpunan ortonormal {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … 𝑣𝑛 } di suatu ruang hasil kali dalam 𝑉. Jika 𝑊 adalah ruang yang direntang oleh 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … 𝑣𝑛 , maka setiap vektor 𝑣𝜖𝑉 dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑣 = 𝑤1 + 𝑤2 ,dengan

𝑤1 𝜖𝑊 dan 𝑤2 𝜖𝑊 ortogonal terhadap 𝑊 yang dirumuskan oleh

Aljabar Linear

73

𝑤1 = 〈𝑣, 𝑣1 〉𝑣1 + 〈𝑣, 𝑣2 〉𝑣2 + ⋯ + 〈𝑣, 𝑣𝑛 〉𝑣𝑛 ,

𝑤2 = 𝑣 − 𝑤1 = 𝑣 − 〈𝑣, 𝑣1 〉𝑣1 − 〈𝑣, 𝑣2 〉𝑣2 − ⋯ − 〈𝑣, 𝑣𝑛 〉𝑣𝑛 . Berikut akan diberikan Teorema Dekomposisi Ortogonal yang akan digunakan dalam proses Gramm-Schmidt. Teorema 5.7 (Teorema Dekomposisi Ortogonal) Diberikan 𝑊 adalah subruang dari ruang vektor ℝ𝑛 dan 𝑣 adalah vektor di ℝ𝑛 ,

maka terdapat vektor tunggal 𝑤 di 𝑊 dan 𝑤 ⊥ di 𝑊 ⊥ sehingga: 𝑣 = 𝑤 + 𝑤⊥

Teorema 5.8 Setiap ruang hasil kali dalam tak nol yang berdimensi berhingga mempunyai basis ortonormal. Bukti: Diambil sebarang ruang hasil kali dalam tak nol 𝑉 yang berdimensi 𝑛, dan suatu

himpunan 𝑈 = {𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , … 𝑢𝑛 } merupakan basis untuk 𝑉. Langkah-langkah

berikut yang dikenal dengan istiah ortogonalisasi Gramm-Schmidt akan menghasilkan suatu basis ortogonal {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … 𝑣𝑛 } untuk 𝑉.

Langkah 1. Diambil 𝑣1 = 𝑢1

Langkah 2. Bentuk vektor 𝑣2 yang ortogonal terhadap 𝑣1 dengan cara

menghitung komponen dari 𝑢2 yang ortogonal terhadap ruang 𝑊1 yang direntang oleh 𝑣1 , yaitu:

𝑣2 = 𝑢2 − 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑊1 𝑢2 = 𝑢2 − 𝑘𝑣1 = 𝑢2 −

Dimana 𝑘 =

〈𝑢2 ,𝑣1 〉 ‖𝑣1 ‖2

〈𝑢2 , 𝑣1 〉 𝑣 . ‖𝑣1 ‖2 1

diperoleh dengan cara dekomposisi ortogonal.

Langkah 3. Bentuk vektor 𝑣3 yang ortogonal terhadap 𝑣1 dan 𝑣2 dengan cara

menghitung komponen dari 𝑢3 yang ortogonal terhadap ruang 𝑊2 yang direntang oleh 𝑣1 dan 𝑣2 , yaitu:

Aljabar Linear

74

𝑣3 = 𝑢3 − 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑊2 𝑢3 = 𝑢3 −

〈𝑢3 , 𝑣1 〉

〈𝑢3 , 𝑣2 〉 𝑣2 . 𝑣1 − ‖𝑣2 ‖2

‖𝑣1 ‖2 Langkah 4. Bentuk vektor 𝑣4 yang ortogonal terhadap 𝑣1 , 𝑣2 dan 𝑣3 dengan cara

menghitung komponen dari 𝑢4 yang ortogonal terhadap ruang 𝑊3 yang direntang oleh 𝑣1 , 𝑣2 dan 𝑣3 , yaitu: 𝑣4 = 𝑢4 − 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑊3 𝑢4 = 𝑢4 −

〈𝑢4 , 𝑣1 〉 〈𝑢4 , 𝑣2 〉 〈𝑢4 , 𝑣3 〉 𝑣1 − 𝑣2 − 𝑣 . 2 2 ‖𝑣1 ‖ ‖𝑣2 ‖ ‖𝑣3 ‖2 3

Proses ini dilanjutkan sampai 𝑣𝑛 , sehingga dihasilkan himpunan ortogonal

{𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … 𝑣𝑛 } yang terdiri dari 𝑛 vektor bebas linear di 𝑉 dan merupakan

suatu basis ortogonal untuk 𝑉.

Secara umum Rumus Gramm-Schmidt dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝑘−1

𝑣𝑘 = 𝑢𝑘 − ∑ 𝑗=1

〈𝑢𝑘 , 𝑣𝑗 〉 2

‖𝑣𝑗 ‖

𝑣𝑗 , 𝑘 = 1, 2, 3, … , 𝑛.

Selanjutnya jika dilakukan penormalan terhadap vektor-vektor basis

ortogonal untuk 𝑉, hal ini akan menghasilkan basis ortonormal untuk 𝑉.

Penormalan terhadap vektor-vektor basis ortogonal dilakukan dengan cara mengalikan vektor-vektor tersebut dengan nilai kebalikan dan panjangnya. Proses untuk memperoleh sebuah vektor dengan norma 1 disebut dengan menormalisasikan (normalizing). Proses menormalkan sebuah vektor tak nol adalah sebagai berikut:

misalkan vektor tak nol 𝑣 akan dinormalkan dengan cara mengalikan 𝑣 dengan

𝑣.

1

‖𝑣‖

1 , ‖𝑣‖

memiliki norma 1, karena ‖𝑣.

Aljabar Linear

1 ‖ ‖𝑣‖

= | ‖𝑣‖| ‖𝑣‖ = 1

1 ‖𝑣‖ ‖𝑣‖

= 1.

75

Contoh 5.1 Diberikan

Ruang Vektor 𝑉 = ℝ3 dengan hasil kali dalam Euclid, dengan

menggunakan proses Gramm-Schmidt carilah basis ortogonal dari basis berikut: {(1, −1,1), (1,0,1), (1,1,2)} Penyelesaian: Langkah 1. Diambil 𝑣1 = (1, −1,1).

Langkah 2. Dibentuk vektor 𝑣2 yang ortogonal terhadap 𝑣1 , yaitu: 𝑣2 = (1,0,1) −

〈(1,0,1),(1,−1,1)〉 ‖(1,−1,1)‖2

= (1,0,1) − 3 (1, −1,1) 2

(1, −1,1)

= ( 2 , , ). 1

2 1

3 3

Langkah 3. Dibentuk vektor 𝑣3 yang ortogonal terhadap 𝑣1 dan 𝑣2 , yaitu: 𝑣3 = (1,1,2) −

〈(1,1,2),(1,−1,1)〉 ‖(1,−1,1)‖2

(1, −1,1) −

= (1,1,2) − 3 (1, −1,1) − 2 ( 2 , 3 , 3) 5 1 2 1

2

1 21

〈(1,1,2),( , , )〉 1 2 1 2 33 ( 2 , 3 , 3) 1 21 2 ‖( , , )‖ 233

= (− 2 , 0, 2) 1

1

Jadi diperoleh basis ortogonal untuk 𝑉 = ℝ3 adalah {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 } = {(1, −1,1), ( , 2 , 1) , (− 1 , 0, 1 )} . 2 2 3 3 2 1

Selanjutnya dengan menormalkan vektor-vektor 𝑣1 , 𝑣2 , dan 𝑣3 akan diperoleh basis ortonornal yaitu: {(√3 ,− 3

√3 √3 √6 √6 √6 √2 , ) , ( , , ) , (− 3 3 6 3 6 2

Aljabar Linear

, 0,

√2 )}. 2

76

Contoh 5.2 Diberikan 𝑉 merupakan ruang vektor polinomial-polinomial 𝑓(𝑡) dengan hasil

kali dalam 〈𝑓, 𝑔〉 = ∫−1 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡 . Gunakan proses 1

Gramm-Schmidt pada

{1, 𝑡 2 , 𝑡 3 } untuk menentukan basis ortogonal {𝑓0 , 𝑓1, 𝑓2 , 𝑓3 , } dengan koefisien-

koefisien bilangan bulat untuk 𝑃3 (𝑡). Penyelesaian:

Diketahui bahwa, jika 𝑟 + 𝑠 = 𝑛, maka berlaku 〈𝑡 𝑟 , 𝑡 𝑠 〉

=

1

∫ 𝑡 𝑛 𝑑𝑡

−1

Langkah 1. Diambil 𝑓0 = 1.

1 2 𝑡 𝑛+1 | = { 𝑛 + 1 jika n genap = 𝑛 + 1 −1 0 jika n ganjil

Langkah 2. Dibentuk 𝑓1 ,yaitu: 𝑓1 = 𝑡 −

〈𝑡,1〉

〈1,1〉

(1) = 𝑡 − 0 = 𝑡

Langkah 3. Dibentuk 𝑓2 , yaitu: 𝑓2 =

𝑡2

−

〈𝑡 2 ,1〉 〈1,1〉

= 3𝑡 2 − 1 .

(1) −

Langkah 4. Dibentuk 𝑓3 , yaitu: 𝑓3 = 𝑡 3 −

〈𝑡 3 ,1〉 〈1,1〉

(1) − 2

〈𝑡 2 ,𝑡〉 (𝑡 ) 〈𝑡,𝑡〉

= 𝑡2 −

〈𝑡 3 ,𝑡〉 (𝑡) 〈𝑡,𝑡〉

−

2 3

2

(1) + 0(𝑡) = 𝑡 2 −

〈𝑡 3 ,3𝑡2 −1〉

〈3𝑡2 −1,3𝑡 2 −1〉

1 3

(3𝑡 2 − 1)

= 𝑡 3 − 0(1) − 52 (𝑡) − 0(3𝑡 2 − 1) = 𝑡 3 − 5 𝑡 = 5𝑡 3 − 3𝑡.

3

3

Jadi diperoleh basis ortogonalnya yaitu: {1, 𝑡, 3𝑡 2 − 1,5𝑡 3 − 3𝑡}

Aljabar Linear

77

Latihan/Tugas 1 1. Diberikan 𝑆 = {[ −1

3 23]}. 0 ] , [ ] , [4 −1 3 a. Buktikan bahwa 𝑆 merupakan basis untuk ℝ3 .

b. Lakukan proses Gramm-Schmidt untuk mengubah 𝑆 menjadi basis ortogonal.

2. Diberikan ruang vektor ℝ3 dengan hasil kali dalam 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑢1 𝑣1 + 2𝑢2 𝑣2 + 3𝑢3 𝑣3 . Gunakan proses

Gramm-Schmidt untuk mengubah

1 1 {𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 } dengan 𝑢1 = [ 1], 𝑢2 = [1] dan 1 0 ortonormal.

1 𝑢3 = [ 0] menjadi basis 0

3 3. Tentukan basis ortogonal untuk ℝ3 yang memuat vektor [ 1]. 5 4. Diberikan 𝑊 adalah subruang ℝ𝑛 , buktikan bahwa: a. 𝑊 ⊥ adalah subruang ℝ𝑛

b. (𝑊 ⊥ )⊥ = 𝑊

c. 𝑊 ∩ 𝑊 ⊥ = {𝟎}

d. Untuk 𝑊 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 (𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤𝑘 ), maka 𝑤 di 𝑊 ⊥ jika dan hanya jika 𝑤. 𝑤𝑖 = 0, untuk semua 𝑖 = 1,2, … , 𝑘.

5. Buktikan bahwa jika {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … 𝑣𝑛 } , merupakan sebarang basis dari

ruang hasil kali dalam 𝑉, maka terdapat basis ortonormal yaitu

{𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , … 𝑢𝑛 } dari 𝑉 sedemikian hingga matriks perubahan basis dari

{𝑣𝑖 } ke {𝑢𝑖 } adalah matriks segitiga, yaitu untuk 𝑘 = 1, 2, 3, … , 𝑛, 𝑢𝑘 = 𝑎𝑘1 𝑣1 + 𝑎𝑘2𝑣2 + 𝑎𝑘3 𝑣3 + ⋯ + 𝑎𝑘𝑘 𝑣𝑘 .

Rangkuman Pemilihan basis dalam menyelesaikan suatu permasalahan sangatlah penting untuk menyederhanakan permasalahan. Sebuah ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam bisa memiliki beberapa basis. Basis yang bukan ortogonal dapat diubah menjadi basis ortogonal dengan menggunakan Proses Gramm

Aljabar Linear

78

Schmidt. Selanjutnya basis ortogonal dapat diubah menjadi basis ortonormal dengan proses normalisasi. PENUTUP Tes Formatif 1. Diberikan

ruang

vektor

ℝ3

dengan

hasil

kali

dalam

Euclid.

1 0 0 Transformasikan vektor-vektor basis berikut {[ 1] , [1] , [0]} menjadi basis 1 1 1

yang ortonormal.

2. Gunakan proses Gramm-Schmidt untuk membentuk basis ortogonal untuk 2 1 −1 1 subruang 𝑊 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) dengan 𝑥1 = [ ] , 𝑥2 = [ ] dan −1 0 1 1 2 𝑥3 = [2]. 1 2 1 3. Tentukan basis ortogonal untuk ℝ3 yang memuat vektor 𝑣1 = [ 2]. 3

4. Carilah basis ortonormal untuk subruang 𝑈 dari ℝ4 yang direntang oleh: 1 1 1 −3 2 1 𝑣1 = [ ] , 𝑣2 = [ ] dan 𝑣3 = [ ] −4 4 1 5 1 −2

5. Diberikan ruang vektor 𝑃(𝑡) dengan hasil kali dalam 〈𝑓, 𝑔〉 =

∫0 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡 . Gunakan proses Gramm-Schmidt pada {1, 𝑡, 𝑡 2 } untuk 1

menentukan basis ortogonal {𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓2 } dengan koefisien-koefisien

bilangan bulat. Umpan Balik

1. Gunakan Definisi dan Teorema serta lihat Contoh 5.1 2. Lihat Contoh 5.1 3. Lihat Contoh 5.1

Aljabar Linear

79

4. Gunakan Proses Gramm-Schmidt untuk memperoleh basis ortogonalnya, kemudian normalisasikan untuk memperoleh basis ortonormalnya. 5. Lihat Contoh 5.2 Tindak Lanjut Pada Modul 6 ini, dilakukan pengukuran pemahaman Anda tentang mengubah basis menjadi basis ortogonal dan basis ortonormal. 1. Soal 1, 2,3,4 dan 5 mempunyai bobot 10. 2. 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 =

𝐵𝑜𝑏𝑜𝑡 50

× 100.

3. Perhatikan nilai anda peroleh termasuk dalam kategori manakah: 0 ≤ 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 ≤ 50

: kurang, anda wajib mengulang Modul 5.

50 < 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 ≤ 70

: cukup, anda harus lebih banyak mengerjakan soal latihan.

70 < 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 ≤ 100 : Baik, silahkan lanjut ke Modul 6.

Kunci Jawaban 1. {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 } = {(

1

,

1

,

1

√3 √3 √3

, ) , (−

1

,

1

,

1

) , (0, −

√6 √6 √6

1

,

1

√2 √2

, )}

2. {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 } = {(1, −1, −1,1), ( 2 , 2 , 2 , 2) , (− 2 , 0, − 2 , 1)} 3

3 1 1

1

3. {𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 } = {(1, 2, 3), (−1, 5, −3), (−3, 0, 1)} 4. {𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 } = { 2 (1, 1,1,1), 1

1

1 1 (16, −17, −13, 14)} (−2, −1,1, 2), √910 √10

5. {𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 } = {𝑓0 , 𝑓1, 𝑓2 } = {1,2𝑡 − 1, 6𝑡 2 − 6𝑡 + 1}

Aljabar Linear

80...