Modul Lingkaran PDF

Preview

Summary

Lingkaran Grup 3 Topik 3 April 2017 PENDAHULUAN Modul ini merupakan bahan ajar yang dapat digunakan oleh mahasiswa ataupun pengguna lainnya yang sedang mempelajari mata kuliah geometri analitik agar dapat memperoleh prestasi belajar yang maksimal. Dalam modul ini membahas tentang materi lingkaran ya...

Description

Lingkaran

Grup 3

Topik 3

April 2017

PENDAHULUAN Modul ini merupakan bahan ajar yang dapat digunakan oleh mahasiswa ataupun pengguna lainnya yang sedang mempelajari mata kuliah geometri analitik agar dapat memperoleh prestasi belajar yang maksimal. Dalam modul ini membahas tentang materi lingkaran yang secara umum tidak asing lagi bagi para mahasiswa. Namun yang membuat modul ini berbeda adalah karena tidak hanya membahas tentang definisi lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran tetapi juga membahas tentang bagaimana cara memperoleh rumus permsamaan lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran. Baik persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) maupun yang berpusat di (𝑎, 𝑏). Dengan adanya modul ini, diharapkan mahasiswa atau pengguna lainnya dapat menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan lingkaran yang ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Modul yang telah disusun sedemikian rupa ini diharapkan dapat membantu mahasiswa untuk lebih antusias dalam belajar terkhusus pada mata kuliah geometri analitik. Modul ini dilengkapi dengan kegiatan belajar siswa yang bervariasi yaitu dengan disediakannya latihan soal, dengan harapan mahasiswa dapat mengerjakan setiap latihan soal yang diberikan untuk memperdalam pengetahuan mahasiswa. Berharap modul ini dapat membantu pengguna modul memahami konsep-konsep penting pada materi hiperbola secara ilmiah, Cara penggunaan modul ini sangatlah mudah karena mahasiswa atau pengguna lainnya hanya perlu melihat daftar isi dan mencari materi yang ingin dipelajari.

I

Daftar Isi Daftar Isi.................................................................................................................................................. ii Daftar Tabel ............................................................................................................................................ iii A.

Definisi lingkaran ............................................................................................................................ 2

B.

Persamaan Lingkaran ...................................................................................................................... 2 1.

Lingkaran yang berpusat di 𝑂(0,0) dan berjari-jari r.................................................................. 2

2.

Lingkaran yang berpusat di (𝑎, 𝑏) dan berjari-jari r.................................................................... 3

3.

Persamaan Umum Lingkaran ...................................................................................................... 4

4.

Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Titik atau Lebih ......................................................... 5

C.

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran ............................................................................................ 8

D.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran ............................................................................................ 9 1.

Persamaan garis singgung dengan gradien 𝑚 ............................................................................. 9

2.

Persamaan garis singgung melalui titik singgung ..................................................................... 12

Uji Kompetensi ..................................................................................................................................... 19 Kunci Jawaban ...................................................................................................................................... 22 Daftar Pustaka ......................................................................................................................................... iv

ii

Daftar Tabel Gambar 3. 1. Lingkaran dalam kehidupan sehari-hari ........................................................................... 1 Gambar 3. 2. Unsur Lingkaran ............................................................................................................... 2 Gambar 3. 3. Lingkaran pusat O(0,0) .................................................................................................... 2 Gambar 3. 4. Lingkaran pusat (a, b) ...................................................................................................... 3 Gambar 3. 5. Lingkaran melalui tiga titik .............................................................................................. 5 Gambar 3. 6. Kedudukan titik terhadap lingkaran ................................................................................. 8 Gambar 3. 7. Garis singgung bergradien 𝑚 lingkaran pusat O(0,0)...................................................... 9 Gambar 3. 8. Garis singgung bergradien 𝑚 lingkaran pusat (𝑎, 𝑏) ..................................................... 11 Gambar 3. 9. Garis singgung melalui titik singgung lingkaran pusat O(0,0) ...................................... 13 Gambar 3. 10. Garis singgung melalui titik singgung lingkaran pusat (𝑎, 𝑏) ...................................... 14

iii

Peta Konsep Pusat (0,0)

Lingkaran

Persamaan Lingkaran

Pusat (𝑎, 𝑏)

Persamaan Umum Lingkaran

Bergradien 𝑚

Garis Singgung Lingkaran

Pusat (0,0) Pusat (𝑎, 𝑏) Pusat (0,0)

Melalui titik di

Pusat (a, b)

Lingkaran

Persamaan Umum Lingkaran

Tujuan Pembelajaran ✓ Pembaca mampu melukis lingkaran pada koordinat kartesius ✓ Pembaca mampu merumuskan persamaan lingkaran dengan kriteria tertentu ✓ Pembaca mampu mencari persamaan garis singgung dari lingkaran ✓ Pembaca mampu menyelesaikan persoalan model matematika mengenai lingkaran

Key Word Jari-jari

Garis Singgung

Pusat

Gradien

1

Introduction Gambar di samping membuktikan bahwa ternyata banyak sekali bendabenda

berbentuk

lingkaran

yang

ditemukan dalam kehidupan seharihari. Selain benda-benda di samping, terdapat satu benda yang sangat berguna dalam kehidupan manusia yaitu roda atau ban yang digunakan di Gambar 3. 1. Lingkaran dalam kehidupan sehari-hari

semua alat transportasi.

Pernahkah Anda berpikir bahwa mengapa ban mobil, ban sepeda, ban sepeda motor, dan ban alat transportasi lainnya itu berbentuk lingkaran? Kenapa bukan bentuk persegi, atau persegi panjang, atau segitiga? Berikut akan dijelaskan mengapa ban berbentuk lingkaran. Sebuah benda dapat bergerak dengan mudah pada sebuah bidang di daratan atau lantai jika koefisien geseknya sangat kecil atau hampir mendekati nol. Perhatikan sebuah benda yang berbentuk persegi empat atau koefisien gesek pada benda berbentuk persegi sangat besar. Sedangkan benda yang berbentuk bulat atau lingkaran seperti roda, koefisien geseknya sangat kecil, bahkan hampir nol. Karena gaya gesek permukaan ban tersebut sangat kecil, benda itu pun dapat meluncur di sebuah bidang atau lantai dengan lebih baik dibandingkan dengan benda yang rodanya berbentuk lain. Sekarang coba bayangkan sebuah sepeda yang diberi roda dengan bentuk segitiga atau kotak, sepeda tersebut pasti tidak akan bisa bergerak maju atau mundur. Kendaraan yang beroda lingkaran tentu akan jauh lebih mudah meluncur dan lebih mudah digunakan. Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa lingkaran memiliki kegunaan yang signifikan dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, pada bab ini akan dibahas topik mengenai lingkaran dalam koordinat kartesius. Garis besar pada yang akan dikaji pada topik ini adalah cara menggambar lingkaran dalam koordinat kartesius, menentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada 𝑂(0,0) dan (𝑎, 𝑏) serta menentukan persamaan garis singgung lingkaran.

1

A. Definisi lingkaran Sebuah lingkaran memiliki beberapa unsur yang di

𝐴

antaranya adalah jari-jari lingkaran dan pusat lingkaran. Dari gambar 3. 2 di samping dapat dilihat bahwa 𝑂 adalah titik pusat lingkaran dan 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, dan 𝑂𝐶 adalah jari-jari lingkaran. Jari-jari (𝑟) pada sebuah lingkaran memiliki

𝑂

panjang yang sama sehingga 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶. Dengan

𝐵

demikian dapat simpulkan bahwa lingkaran adalah himpunan titik-titik yang memiliki jarak yang sama

𝐶

Gambar 3. 2. Unsur Lingkaran

terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran dan jarak disebut jari-jari lingkaran.

B. Persamaan Lingkaran 1. Lingkaran yang berpusat di 𝑶(𝟎, 𝟎) dan 𝑦

berjari-jari r Sekarang kita akan menentukan persamaan lingkaran yang pusatnya di 𝑂(0,0) dan berjari-jari r.

𝐴(𝑥0 , 𝑦𝑜 )

Ambil sembarang titik 𝐴(𝑥0 , 𝑦𝑜 ) pada lingkaran tersebut. Jarak antara titik 𝑂(0,0) dan 𝐴(𝑥0 , 𝑦𝑜 ) dapat

𝑥

𝑂(0,0)

diperoleh dengan menggunakan rumus jarak antar dua titik yaitu √𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = √𝑥 2 + 𝑦 2

Gambar 3. 3. Lingkaran pusat O(0,0)

Jika titik 𝐴(𝑥0 , 𝑦0 ) terletak pada lingkaran yang berpusat di 𝑂, maka berlaku 𝑂𝐴 = jari-jari lingkaran. ⇒ 𝑂𝐴 = 𝑟 = √𝑥0 − 0)2 + (𝑦0 − 0)2 ⇒ 𝑟 2 = (𝑥0 − 0)2 + (𝑦0 − 0)2 ⇒ 𝑟 2 = 𝑥0 2 + 𝑦0 2 Untuk memudahkan penulisan rumus, dapat dihilangkan indeks 0 pada 𝑥0 dan 𝑦0 , sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 . Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat 𝑂(0, 0) dan jari-jari 𝑟 adalah 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓 𝟐 Contoh Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui: a. Pusatnya 𝑂(0,0) dan berjari-jari 12 2

b. Pusatnya 𝑂(0,0) dan melalui (7, −24) Penyelesaian: a. Lingkaran yang berpusat di 𝑂(0.0) dan berjari-jari 12. ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 122 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 144 Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat 𝑂(0,0) dan berjari-jari 12 adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 = 144. b. Lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui (7,-24). Maka jari-jari 𝑟= √𝑥 2 + 𝑦 2 = √72 + (−24)2 = √49 + 576 = √625 = 25 Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat 𝑂(0,0) dan melalui (7, −24) adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 = 625 2. Lingkaran yang berpusat di (𝒂, 𝒃) dan berjari-jari r 𝑦

𝒚′

P(x,y) r b

𝒙′

T(a,b)

𝑥 a Gambar 3. 4. Lingkaran pusat (a, b)

Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik 𝑇(𝑎, 𝑏) dan titik 𝑃(𝑥, 𝑦) berada pada lingkaran, sehingga garis 𝑇𝑃 menjadi jari-jari dari lingkaran tersebut. Perhatikan segitiga 𝑇𝑃𝑄 dengan siku-siku di 𝑄. Dari segitiga 𝑇𝑃𝑄, diketahui bahwa panjang 𝑇𝑄 = 𝑥 – 𝑎 dan panjang 𝑃𝑄 = 𝑦 – 𝑏. Dengan menggunakan teorema phytagoras maka dapat ditentukan persamaan lingkaran, yaitu: ⇒ (𝑇𝑃)2 = (𝑇𝑄)2 + (𝑃𝑄)2 ⇒ 𝑟 2 = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat di titik (𝑎, 𝑏) adalah: (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 Contoh

3

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada (5,10) dengan jari-jari 2. Penyelesaian: Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari 𝑟 adalah, ⇒ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 Diketahui, 𝑎 = 5, 𝑏 = 10 dan 𝑟 = 2, maka: ⇒ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 ⇒ (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 10)2 = 22 ⇒ (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 10)2 = 4 Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat (5, 10) dengan jari-jari 2 adalah (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 10)2 = 4 3. Persamaan Umum Lingkaran Seperti penjelasan di atas, diketahui bahwa persamaan lingkaran di titik 𝑇(𝑎, 𝑏) adalah (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 . Jika persamaan lingkaran dijabarkan lagi maka hasilnya akan menjadi persamaan umum lingkaran. Penjabaran dari persamaan lingkaran di atas adalah: ⇒ 𝑟 2 = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 ⇒ 𝑟 2 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) ⇒ 𝑟 2 = (𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 ) + (𝑦 2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏 2 ) ⇒ 𝑟 2 = 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦 2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏 2 ⇒ 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏 2 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2 = 0 Misalkan nilai tetap −2𝑎 diubah menjadi 𝐴, −2𝑏 = 𝐵 dan 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2 = 𝐶, maka persamaan diatas dapat dituliskan sebagai berikut 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 Persamaan di atas merupakan bentuk umum persamaan lingkaran. Pusat lingkaran dan rumus jari-jari lingkaran dapat diperoleh dengan menjadikan bentuk umum persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Penjabarannya adalah sebagai berikut: ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝑥 2 + 𝐴𝑥 + 𝑦 2 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝑥 2 + 𝐴𝑥 + 𝑦 2 + 𝐵𝑦 = −𝐶 1

2

1

2

1

2

1

2

⇒ 𝑥 2 + 𝐴𝑥 + (2 𝐴) + 𝑦 2 + 𝐵𝑦 + (2 𝐵) = −𝐶 + (2 𝐴) + (2 𝐵)

4

1

2

2

1

1

1

⇒ [𝑥 2 + 𝐴𝑥 + (2 𝐴) ] + [𝑦 2 + 𝐵𝑦 + (2 𝐵) ] = −𝐶 + 4 𝐴2 + 4 𝐵 2 1

2

1

2

⇒ (𝑥 2 + 2 𝐴) + (𝑥 2 + 2 𝐵) =

1 4

1

𝐴2 + 4 𝐵 2 − 𝐶

Jika persamaan lingkarannya adalah (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 , maka lingkaran tersebut berpusat di titik (𝑎, 𝑏). Jadi, jika persamaannya adalah 1 2 1 2 1 1 (𝑥 2 + 𝐴) + (𝑥 2 + 𝐵) = −𝐶 + 𝐴2 + 𝐵 2 2 2 4 4 1

1

Maka, pusatnya menjadi (− 2 𝐴, − 2 𝐵) jari-jari 𝑟 = 1

1 4

1

𝐴2 + 4 𝐵 2 − 𝐶 atau

1

𝑟 = √ 4 𝐴2 + 4 𝐵 2 − 𝐶 Contoh Tentukan persamaan umum lingkaran yang pusatnya (3,4) dengan jari-jarinya 6! Penyelesaian: Persamaan umum lingkaran adalah: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Diketahui, ⇒ 𝑎 = 3, maka 𝐴 = −2𝑎 = −2(3) = −6 ⇒ 𝑏 = 4, maka 𝐵 = −2𝑏 = −2(4) = −8 ⇒ 𝐶 = 𝑎2 + 𝑏 2 – 𝑟 2 = 32 + 42 − 62 = −11 Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat (3,4) dan jari-jari 6 adalah, 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 − 11 = 0 4. Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Titik atau Lebih 𝑦

P(𝑥1 , 𝑦1 )

Q(𝑥2 , 𝑦2 )

r O(0,0)

𝑥

R(𝑥3 , 𝑦3 )

Gambar 3. 5. Lingkaran melalui tiga titik

Misalkan akan ditentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik yaitu 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ), dan 𝑅(𝑥3 , 𝑦3 ). Andaikan persamaan lingkaran yang dicari adalah

5

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 … (𝑖) Karena titik-titik 𝑃, 𝑄, dan 𝑅 pada lingkaran ini, maka koordinat-koordinatnya masingmasing memenuhi persamaan tersebut. Dengan substitusi koordinat-koordinat dari titik tersebut diperoleh 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) → (𝑥1 2 + 𝑦1 2 ) + 𝑥1 𝐴 + 𝑦3 𝐵 + 𝐶 = 0 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ) → (𝑥2 2 + 𝑦2 2 ) + 𝑥2 𝐴 + 𝑦2 𝐵 + 𝐶 = 0 𝑅(𝑥3 , 𝑦3 ) → (𝑥3 2 + 𝑦3 2 ) + 𝑥3 𝐴 + 𝑦3 𝐵 + 𝐶 = 0 Sehingga memperoleh persamaan sistem persamaan linier yang terdiri atas 3 persamaan dengan variable 𝐴, 𝐵, dan 𝐶. Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut dengan cara eliminasi dan substitusi maka akan didapat nilai 𝐴, 𝐵, dan 𝐶. Selanjutnya subtitusi nilai 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 yang didapat ke persamaan (𝑖) sehingga diperoleh persamaan lingkaran yang dicari. Cara Lain (Menggunakan Determinan): Misalkan akan ditentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik yaitu 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ), dan 𝑅(𝑥3 , 𝑦3 ). Andaikan persamaan lingkaran yang dicari adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Ambil sembarang titik 𝑇(𝑥, 𝑦) pada lingkaran. Jadi titik 𝑇, 𝑃, 𝑄, dan 𝑅 tersebut pada lingkaran, maka koordinat-koordinatnya memenuhi persamaan lingkaran yang dicari. Sehingga di dapat 𝑇(𝑥, 𝑦) → (𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝑥𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝐶 = 0 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) → (𝑥1 2 + 𝑦1 2 ) + 𝑥1 𝐴 + 𝑦1 𝐵 + 𝐶 = 0 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ) → (𝑥2 2 + 𝑦2 2 ) + 𝑥2 𝐴 + 𝑦2 𝐵 + 𝐶 = 0 𝑅(𝑥3 , 𝑦3 ) → (𝑥3 2 + 𝑦3 2 ) + 𝑥3 𝐴 + 𝑦3 𝐵 + 𝐶 = 0 sehingga memperoleh sistem persamaan linier dalam 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 (3 variabel) dengan 4 persamaan. Sistem persamaan ini akan mempunyai penyelesaian untuk variabel 𝐴, 𝐵, dan 𝐶. Apabila determinan dari koefisien-koefisien dari 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 dan konstantanya sama dengan nol, yaitu: 𝑥2 + 𝑦2 2 2 || 𝑥1 + 𝑦1 𝑥2 2 + 𝑦2 2 𝑥3 2 + 𝑦3 2

𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3

𝑦 𝑦1 𝑦2 𝑦3

1 1| |=0 1 1

karena 𝑇(𝑥, 𝑦) adalah titik sembarang pada lingkaran, maka setiap titik pada lingkaran akan memenuhi hubungan/persamaan determinan itu. Jadi persamaan determinan itu merupakan persamaan lingkaran yang dicari.

6

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0), Q(0,1), dan R(2,2) Penyelesaian: Cara 1 Misalkan persamaan lingkaran yang di cari adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Karena titik-titik 𝑃, 𝑄, dan 𝑅 pada lingkaran ini, maka koordinat-koordinatnya masingmasing memenuhi persamaan tersebut. Sehingga dengan substitusi koordinat-koordinat dari titik tersebut diperoleh ⇒ 𝑃(1,0) → 1 + 0 + 𝐴 + 0𝐵 + 𝐶 = 0 atau 𝐴 + 𝐶 = −1 … (1) ⇒ 𝑄(0,1) → 0 + 1 + 0𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0 atau 𝐵 + 𝐶 = −1 ⇒ 𝑅(2,2) → 4 + 4 + 2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = 0 atau 2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = −8 sehingga memperoleh sistem persamaan linier yang terdiri atas 3 persamaan dengan 3 variabel 𝐴, 𝐵, dan 𝐶. eliminasi C dari persamaan (1) dan (2) 𝐴 + 𝐶 = −1 𝐵 + 𝐶 = −1 𝐴−𝐵 =0 𝐴=𝐵 eliminasi C dari persamaan (3) dan (2) 2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = −8 𝐵 + 𝐶 = −1 2𝐴 + 𝐵 = −7 susbtitusi 𝐴 = 𝐵 ke persamaan (4) sehingga diperoleh ⇒ 2𝐴 + 𝐴 = −7 ⇒ 3𝐴 = −7 7

⇒ 𝐴 = −3 = 𝐵 7

substitusi 𝐴 = − 3 kepersamaan (1) sehingga diperoleh 7

⇒ − 3 + 𝐶 = −1 4

⇒𝐶=3 7

7

4

Substitusi 𝐴 = − 3 , 𝐵 = − 3, dan 𝐶 = 3 ke persamaan awal sehingga didapat persamaan lingkaran yang dicari adalah

7

7

7

4

⇒ 𝑥2 + 𝑦2 − 3 𝑥 − 3 𝑦 + 3 = 0 ⇒ 3𝑥 2 + 3𝑦 2 − 𝟕𝑥 − 𝟕𝑦 + 4 = 0 Cara 2 (menggunakan determinan) Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0. Ambil sembarang titik 𝐾(𝑥, 𝑦) pada lingkaran ini. Sehingga lingkaran yang dicari melalui titik-titik 𝐾, 𝑃, 𝑄, dan 𝑅. dengan subtitusi koordinat-koordinat titik-titik pada 𝑥 dan 𝑦 dari persamaan tersebut diperoleh 𝐾(𝑥, 𝑦) → (𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑃(1,0) → 1 + 1𝐴 + 0𝐵 + 𝐶 = 0 𝑄(0,1) → 1 + 0𝐴 + 1𝐵 + 𝐶 = 0 𝑅(2,2) → 8 + 2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = 0 sehingga memperoleh sistem persamaan linier yang terdiri atas 4 persamaan dengan 3 variabel 𝐴, 𝐵, dan 𝐶. sistem persamaan ini akan mempunyai penyelesaian untuk 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 apabila determinan koefisien-koefisien dari 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 dan konstantanya sama dengan nol, yaitu 𝑥2 + 𝑦2 | 1 1 8

𝑥 1 0 2

𝑦 0 1 2

1 1| = 0 1 1

dengan mengekspansikan determinan ini menurut kofaktor-kofaktor pada baris pertama, maka diperoleh persamaan lingkaran yang di cari adalah 1 0 1 1 0 2 2 |0 1 1| (𝑥 + 𝑦 ) − |1 1 2 2 1 8 2

1 1 1| (𝑥) + |1 1 8

1 1 1 0 1| (𝑦) − |1 2 1 8

1 0 0 1| = 0 2 2

−3(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 7𝑥 + 7𝑦 = 4 = 0 3𝑥 2 + 3𝑦 2 − 7𝑥 − 7𝑦 + 4 = 0

C. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran Pada gambar 3. 6 terdapat tiga kemungkinan kedudukan

𝐿

titik terhadap lingkaran yaitu: a. Titik terletak di dalam lingkaran jika jarak titik tersebut dari pusat lingkaran lebih kecil daripada jari-jari lingkaran seperti titik 𝐾 (gambar 3. 6)

𝑟 𝐾 𝑀

b. Titik terletak di luar lingkaran jika jarak titik tersebut dari pusat lingkaran lebih besar daripada jari-jari lingkaran

Gambar 3. 6. Kedudukan titik terhadap lingkaran

seperti titik 𝐿 (gambar 3. 6)

8

c. Titik terletak pada lingkaran jika jarak titik tersebut dari pusat lingkaran lebih kecil daripada jari-jari lingkaran seperti titik 𝑀 (gambar 3. 6) 1. Kedudukan titik terhadap lingkaran pusat 𝑂(0,0) Misalkan terdapat titik 𝑇(𝑥1 , 𝑦1 ). Cara untuk mengetahui kedudukan titik tersebut terhadap lingkaran dengan pusat 𝑂(0,0) adalah dengan substitusikan titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 dengan ketentuan: (i) Titik 𝑇(𝑥1 , 𝑦1 ) terletak di dalam lingkaran jika 𝑥 2 + 𝑦 2 < 𝑟 2 (ii) Titik 𝑇(𝑥1 , 𝑦1 ) terletak di luar lingkaran jika 𝑥 2 + 𝑦 2 > 𝑟 2 (iii)Titik 𝑇(𝑥1 , 𝑦1 ) terletak pada lingkaran jika 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 2. Kedudukan titik terhadap lingkaran pusat (𝑎, 𝑏) Seperti halnya dengan mencari kedudukan titik terhadap lingkaran dengan pusat 𝑂(0,0), untuk mengetahui suatu titik 𝑇(𝑥1 , 𝑦1 ) terhadap lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) adalah dengan substitusikan titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 dengan ketentuan: (i) Titik 𝑇(𝑥1 , 𝑦1 ) terletak di dalam lingkaran jika (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < 𝑟 2 (ii) Titik 𝑇(𝑥1 , 𝑦1 ) ...