MODUL mATEMATIKA PDF

Preview

Summary

Konsep yang di pakai : 1. Kesamaan Matriks : 6. Perkalian Matirks ( dot product ) : Misalkan A dan B dua buah matriks yang berordo sama , Misalkan A dan B dua buah matriks  a b  dan  p q a a12  b b b  A    B    A   11  dan B   11 12 13  c d   r s  a 21 a 22   b21 b...

Description

Konsep yang di pakai : 1. Kesamaan Matriks :

6. Perkalian Matirks ( dot product ) :

Misalkan A dan B dua buah matriks yang berordo sama ,

Misalkan A dan B dua buah matriks

 a b  dan  p q  A    B   c d   r s

a A   11  a 21

A = B, jika dan hanya jika a=p, b=q, c=r, dan d=s

Perkalian matriks A dan B dirumuskan dengan :

2. Transpose Matriks :

 a b  maka transpose matriks A adalah : Jika A =   c d    T

t

1

a12  b b  b  dan B   11 12 13  a 22   b21 b22 b23 

 a11 A  B =   a 21

a12   b11 b12 b13    a 22   b21 b22 b23 

=  a11.b11  a12 .b21 a11.b12  a12 .b22  a .b  a .b a 21.b12  a 22 .b22 22 21  21 11

 a c  ( elemen baris jadi elemen kolom dan  b d 

A =A =A =  

a11.b13  a12 .b23   a 21.b13  a 22 .b23 

Apabila matriks A berordo m x n dan matriks B berordo n

sebaliknya )

x p, maka hasil perkalian matriks A.B berordo m x p

3. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Am x n . Bn x p = Cm x p

Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan jika :  Ordo matirks – matriksnya sama  Cara menjumlah atau mengurangkan adalah “ dengan

7. Persamaan Matriks : -1

( i ). AX = B, maka X = A . B ( jika A di kirinya X, maka

menjumlah atau mengurangkan elemen-elemen yang

-1

munculnya A dikirinya B )

seletak “

-1

( ii ). XA = B, maka X = B. A ( jika A dikananya X, maka

4. Determinan Matriks ordo 2 x 2 :

-1

Misalkan diketahui matriks A   a  c

munculnya A dikanannya B

b  , determinan  d 

)

matrik A ditulis dengan :

Contoh Soal :

a b  a.d  b.c det ( A ) = A  c d

1. Diketahui



8  6

Apabila sebuah matriks nilai determinannya = 0, maka disebut matriks singular dan akibatnya matriks

Dan jika determinanya ≠ 0, maka disebut matriks

http://matematrick.blogspot.com

nonsingular, dan matirks tersebut memiliki invers

Jika C = A . B, maka det ( C ) = det ( A ) . det ( B )



Jika C = kA, maka det ( C ) = k . det ( A ), dg k

2

c 

b  , dan det (A) ≠ 0, invers  d 

matriks A dirumuskan dengan :

 d  b 1  d  b 1     = A 1  a.d  b.c   c a  det( A)   c a  Elemen a dan d di tukar, elemen b dan c berubah tanda

x  y  2   2

x . 2 

a. -4

d. 6

b. 0

e. 8

Penyelesaian : 2   1 

konstanta 5. Misalkan matriks A =  a

2   1

c. 4

matriks. 

matriks

Nilai x – y = ....

tersebut tidak memiliki invers matriks. 

perkaliann



x  2 

y  2

0 = 8   1   6

 2 y  2x 0  x    =  y  4 0  2  

berarti : -y +4 = 6

 -y = 6 – 4  -y = 2 

8  6

x  2  x  2  dan 2y + 2x = 8  y+x =4  -2 + x = 4  x=6

y = -2

Maka nilai x – y = 6 – (-2) = 8 ( jawaban E )

0  1 

=

2. Diketahui matriks A =

2  0

1  dan B = 3 

 1  2   . Jika  1 0 

a.

12

a  b   3

b.

11

adalah ....

c.

2

a. 1

d. 4

d.

2

b. 2

e. 5

e.

12

c. 3

matriks C = AB, maka determinan C = ....

 a  2b    1        3b    6 

2 0

Jelas C = A. B =  

1  1  3    1

 2 = 0 

 2 1  4  1  4   =    3 0    3 0 

adalah …. a.

5

Maka det (C) = 1.0 – (-4).(-3) = 0 – 12 = -12 ( jawaban A )

b.

3

Cara lain : C = A.B, maka det(C )= det(A ).det(B )

c.

-2

 det ( C )

= ( 2.3 – 1.0) . ( 0 - (-2).(-1) )

d.

-3

 det ( C )

= 6 . ( -2 )

e.

-5

 det ( C )

= -12

3. Invers matriks A =

a.

  2   1

3  2 1

b.

  2   1

3   2 1 

c.

 2  1

3  2  1

d.

 2  1

3   2 1 

e.

3  1   2  2  1

 2   2

3  adalah A–1 = .... 4

maka nilai p + q = …. a. -3

d. 2

b. -1

e. 3

Nilai a dan b berturut – turut adalah …. a.

3 dan 17 1 2 2

b. -

3 dan 17 1 2 2

c.

1  4  3    2 32   jadi jawabannya A.  =   2  2  2    1 1 

Paket Soal 15 : Kelompok Kesamaan Matriks : 1 - 9 2. Untuk persamaan

 x 3 y   3 x  6  11 10       , harga x + y 2 x   7 8   3 y  1 adalah …. a. -2

d. 6

b. 2

e. 7

c. 4

1    1 4   4  5  1  2   2 p            ,   2 3    3 2    4 3    1 q  1

5a  b  =  7 10  . 6. Diketahui kesamaan matriks  7     2a  1 14    4 14  

Jelas det A = -8 – ( -6 ) = -8 + 6 = -2 -1

5. Diketahui

c. 1

Penyelesaian :

Maka A =

 4   2b 2 5  a  6      b    13 3a   4  4 

4. Nilai a yang memenuhi persamaan  

Penyelesaian :

http://matematrick.blogspot.com

3. Nilai 2a – b dari persamaan matriks

3 dan - 17 1 2 2

d. -

3 dan -17 1 2 2

e. - 17 1 dan - 3 2 2

4

7. Diketahui   8

 6  a  b  2   a  1

Nilai a+b+c = .... a. 11

d. 14

b. 12

e. 16

c. 13

6  16 0   . c  10 1 

4   3  2x  1   2 x  y    2  9

8. Diketahui 

1 x

 1 2     .  5 3

a. 48

d. - 34

b. 24

e. - 52

c. -8

Nilai y – x = …. ( UN 2010 ) a. -5

14. Determinan

5x 2x

b. -1

x

c. 7

adalah ….

d. 9

a.

-2 dan 3

e. 11

b.

-2 dan -3

c.

2 dan 3

d.

-1 dan 6

e.

1 dan 6

 4 2 , B =   x 1

9. Diketahui matriks A =  

  x  1 , dan   y   3

C=  10 7  . Jika 3A – B = C, maka nilai x + y = ….   9 2  

2

= 12. Nilai

x yang memenuhi

15. Diketahui matriks P =  2 0  dan Q =  1 1  

( UN 2011 )

 3  2 .   1 4   

a. – 3

d. 1

Jika R = 3P – 2Q, maka determinan R = …. ( UN 2010 )

b. – 2

e. 3

a. – 4

d. 7

b. 1

e. 14

c. – 1

c. 4 Kelompok Determinan : 10 - 16 10. Diketahui A =

 2 5   dan B =  1 3

5 4   Nilai determinan 1 1

dari( AB) adalah …. a. 5

16. Diketahui matriks A =

 3  2   , B =  4 1

3  4   , dan   2  1

 4 10   . Nilai determinan dari matriks (AB – C)  9 12 

C= 

adalah …. ( UN 2011 )

b. 4 c. 3 d. 2

a. – 7

d. 3

b. – 5

e. 12

c. 2

e. 1 11. Jika A =

 2 3   maka determinan dari AT adalah ....  4 5

Kelompok Invers Matriks dan Bentuk AX = B, XA = B : ( 17 – 27 )

a. -22

http://matematrick.blogspot.com

b. -7

17. Diketahui empat matriks :

c. -2 (i)

d. 2

6 3    ( ii )  4  2

e. 12 T

( iv )

( petunjuk : pakai saja konsep det A = det A ) 12. Diketahui matriks A =  2

 1 

3  dan matriks B =  4 

 1   2

4 .  5 

Matriks yang tidak memiliki invers adalah …. a.

( i ) dan ( iv )

adalah ....

b.

( ii ) dan ( iv )

a. –57

d. 48

c.

( ii ) dan ( iii )

b. –38

e. 57

d.

( iii )

e.

( iv )

c. 38

 3  2  dan B=  1 2 

13. Diketahui A=   adalah ….

 1 4  . Determinan ABt    3 1

6  3    4  2

 6  3   4 2  

Jika matriks C = 2A – B maka determinan dari matriks C

t

 3 6   ( iii )  4 2 

18. Diketahui empat matriks :

(i)

6 3   ( ii )  4 2

iv )

 6  3   4 2 

 3 6    4 2 

( iii )

6  3    4  2

(

Matriks yang memiliki invers adalah …. a.

( i ) dan ( iv )

b.

( ii ) dan ( iv )

c.

( ii ) dan ( iii )

d.

( iii )

e.

( iv )

22. Jika A =

5 4   , maka ( AB )-1 adalah .... 1 1 

 13  a.  7   8 15   

d.  7  13   8 15   

 13  b.  7   8  15   

e.  

  7 13   15  8

c.   7  13    8 15   

3 4  dan B = 1 2

19. Diberikan matriks A =  

15 22  . Matriks X    7 10 

  3 2    2  1  =   , maka matriks X = ....  0 1  0 1 

23. Jika X 

3 1  a.   0  2  

2 d.  3 0 

 13    1 

a.

1 2   3 4

 2 1  b.   0  3  

2 e.  3 0 

  1

b.

1 2    4 3

c.  

c.

3 4   1 2

berordo 2 x 2 yang memenuhi persamaan AX = B adalah ….

 2 3  dan B =   2  1

24. Diketahui matriks A =  

(UN 2010)

4 3 20. Diberikan matriks A =  dan B =  1 2   

 6 7  . Matriks X   19 18 

a.

 3  9    6 6 

d.  5 6   4 5  

b.

3 9     6  6

e.   5

c.

 5  6    4 5 

berordo 2 x 2 yang memenuhi persamaan XA = B adalah ….

1 2  a.  3 4

 4 3  d.   2 1

1 2  b.   4 3

1 3  e.   2 4

3 4  1 2

c. 

21. Jika A =

  1 3  . Jika    2  2

matriks C = A – 3B, maka invers matriks C adalah ….

1 3    2 4

e.

1 3

  2  2   3  0

 4 3    2 1

d.

http://matematrick.blogspot.com

 2 5   dan B = 1 3 

5 4  2 5   dan B =   , maka ( BA )-1 adalah .... 1 1 1 3    

a.

 7  13      8 15 

d.

 7  13      8 15 

b.

 7  13      8  15 

e.

  7 13     8 15 

c.

  7  13      8 15 

 4 

25. Diketahui matriks A =  1 2  , dan B = 3 4  

6    5 

 4 3  . Matriks X    2 1

yang memenuhi AX = B adalah …. ( UN 2010/ 2011 ) a.

 12 10      10  8 

d.  5  6  4 5   

b.

 4  2   3 1 

e.   6  5   5 4  

c.

  6  5   5   4...