Mu Loe Tut 08 - 123 PDF

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123...

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L¨osungsvorschlag zum 8. Tutorium TM2 im SoSe 2020 L¨osung zu Aufgabe 4.30

EF ab L

a) EI · w I V (x) = q(x) = q0 · cos

π x

2l π x 2l EI · w (x) = −Q = q0 · sin +C1 π 2l πx ′′ 4l 2 EI · w (x) = −M = − 2 q0 · cos +C1 x +C2 2l π πx 1 ′ 8l 3 EI · w (x) = − 3 q0 · sin + C1 x2 +C2 x +C3 2 2l π  π x 1 16l 4 1 EI · w(x) = 4 q0 · cos + C1 x3 + C2 x2 +C3 x +C4 2 π 6 2l ′′′

Bestimmung der Integrationskonstanten aus Randbedingungen: w(x = 0) = 0 :

⇒ C4 = − ′′

M(x = 0) = 0 :

EI · w (x = 0) = 0

M(x = l) = 0 :

EI · w (x = l) = 0

w(x = l) = 0 :

1 1 lC3 = −C4 − C2 l 2 − C1 l 3 2 6

′′

16l 4 q0 π4

4l 2 q0 π2 C2 4l ⇒ C1 = − = − 2 q0 π l   16 4 l3 ⇒ C3 = 2 q0 − π π2 3

⇒ C2 =

Biegelinie:

  x 2  16 4  x  16   π x  2  x 3 16 l4 EI · w(x) = 2 q0 2 · cos + · − − − 2 +2 π l π 2l π2 3 l π 3 l

b) Neigung an den Lagern:   x   16 4   x2 πx  l3 8 EI · w (x) = 2 q0 − · sin +4 −2 + 2− l 2l π 3 l π π   16 4 ′ l3 w (0) = q0 − 2 EIπ π2 3   ′ l3 8 2 16 w (l) = q0 − + + 2 EIπ2 π 3 π ′

c) Lagerreaktionen: allgemein gilt: ′′′

Q(x) = −EIw (x) = −

 πx 4l 2l + 2 q0 q0 · sin 2l π π rechtes Lager

linkes Lager

Q(x = 0)

Q(x = l) BV

AV

AV = Q(x = 0) AV =

4l q0 π2

BV = −Q(x = l)   2l 2 BV = q0 · 1 − π π

L¨osung zu Aufgabe 4.41

EF am L

F¨ur den skizzierten Tra¨ ger bestimme man die Biegelinie w(x) und die Lagerreaktionen. II EIwII = q(x) = q· < x − 2a >0 −q· < x − 3a >0  I EIwII = − Q(x) = q· < x − 2a >1 −q· < x − 3a >1 +F· < x − a >0 +C1 q q EIwII = − M(x) = · < x − 2a >2 − · < x − 3a >2 +F· < x − a >1 +C1 · x +C2 2 2 q F q 3 I EIw = EI ψ(x) = · < x − 2a > − · < x − 3a >3 + · < x − a >2 −EIϕ· < x − 2a >0 6 6 2 C1 2 + · x +C2 · x +C3 2 q q F EIw = · < x − 2a >4 − · < x − 3a >4 + · < x − a >3 −EIϕ· < x − 2a >1 24 24 6 C1 3 C2 2 + ·x + · x +C3 · x +C4 2 6



(1) (2) (3)

(4)

(5)

Randbedingungen: 0 = EIw(0) = C4

(6)

0 = EIwI (0) = C3 (7) q F C1 C2 q · (2a)4 − · a4 + · (3a)3 − EIϕ · (2a)1 + · (4a)3 + · (4a)2 +C3 · (4a) +C4 0 = EIw(4a) = 24 24 6 6 2 (8) q q 0 = EIwII (4a) = · (2a)2 − · a2 + F · (3a)1 +C1 · (4a) +C2 (9) 2 2 ¨ Ubergangsbedingung (Moment am Gelenk muss 0 sein): 0 = EIwII (2a) = F · a +C1 · (2a) +C2

(10)

Aus (9) und (10) folgt: 3 2 qa + 3Fa + 4a ·C1 +C2 2 0 = F · a + 2a ·C1 +C2

0=

(11) =⇒

C2 = −2a ·C1 − Fa

(12)

(12) einsetzen in (11):

=⇒ =⇒

3 0 = qa2 + 3Fa + 4a ·C1 − 2a ·C1 − Fa 2 3 2 −2a ·C1 = qa + 2Fa 2 3 C1 = − qa − F 4

(13) (14) (15)

In (12): 3 C2 = −2a ·C1 = qa2 + Fa 2

(16)

Einsetzen in (8): 15

F C2 C1 3 (17) · (4a)3 + · (4a)2 +C3 · (4a) +C4 + 6 (3a) 2 6 24 F Fa 3 3 27 15 qa · (4a)3 − · (4a)3 + qa2 · (4a)2 + · (4a)2 + Fa3 + 0 + 0 0 = qa4 − EIϕ · (2a)1 − 6·4 2·2 6 24 6 2 (18)     5 32 9 0= − 8 + 12 · qa4 − EIϕ · (2a)1 + − + 8 + Fa3 (19) 8 2 3 5 − 8 + 12 qa3 − 32 + 16 Fa2 37 11 EIϕ = 8 + 3 · · = · qa3 + · Fa2 (20) EI EI 16 2 2 12 0=

qa4 − EIϕ · (2a)1 +

Biegelinie w(x):   q F q 37 11 4 4 2 3 3 EIw = · < x − 2a > − · < x − 3a > + · < x − a > − · qa + · Fa · < x − 2a >1 24 24 12 6 16 3 2 − qa − Fa 3 qa + F 2 ·x (21) + 4 ·x + 2 6 Lagerreaktionen: 3 Ay = Q(0) = −C1 = qa + F 4 3 2 MA = M(0) = C2 = qa + F 2 1 By = − Q(4a) = q · (2a)1 − q · a1 + F +C1 = qa 4

(22) (23) (24)...