Nombres Reels- univ Lille 1 PDF

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TD maths avec corrigé détaillé univ Lille 1...

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Nombres réels Manipulation de la borne sup dans R.

1 1.1

Calculs concrets de bornes supérieures ou inférieures

⊲ Exercice 1.1.

  1  ∗ ∈ N . Étudier l’existence de inf A, min A, sup A, max A et les calculer le cas n échéant.       1  (−1)n  ∗ ∗ 2. Calculer sup 1 −  n ∈ N n ∈ N . et inf −2 + 3 n  n 1. Soit A =



(−1)n +

⊲ Exercice 1.2. Les parties de R suivantes sont-elles majorées, minorées ? si oui, préciser lorsqu’elles existent leurs bornes supérieures, bornes inférieures, plus grand élément, plus petit élément...              1 1  1  (n, p) ∈ N∗ 2 1 p + 1  (n, p) ∈ N∗ 2 ∗ n ∗ n ∈ N , B = ( − 1) n ∈ N 1 − , C = − A= . , D = n  p>n n n  p n 6 p n

1.2

Calculs théoriques de bornes supérieures ou inférieures

⊲ Exercice 1.3. Soient (a, b) ∈ R2 tels que ∀ε ∈ R∗+ , a 6 b + ε.

1. Montrer que a 6 b. √ 2. Montrer que (∀ε ∈ R∗+ , a 6 b + ε) si et seulement si (∀ε ∈ R∗+ , a 6 b + 3ε sin( 2)). 3. Prouvez ou infirmez les affirmations suivantes : – ∀(a, b) ∈ R2 , ((   ∀ε ∈ R+ , a 6 b + ε) ⇒ a < b), – ∀(a, b) ∈ R2 , (∀ε ∈ R∗+ , a 6 b + ε) ⇒ a 6 b, – ∀(a, b) ∈ R2 , (∀ε ∈ R∗+ , a < b + ε) ⇒ a < b, – ∀(a, b) ∈ R2 , (∀ε ∈ R∗+ , a < b + ε) ⇒ a 6 b , – ∀(a, b) ∈ R2 , ((∀ε ∈ R+ , a < b + ε) ⇒ a 6 b), – ∀(a, b) ∈ R2 , ((∀ε ∈ R+ , a < b + ε) ⇒ a < b).

⊲ Exercice 1.4. Soient (A, B) ∈ P (R)2 telles que A 6= ∅, B 6= ∅ et A et B majorées. On pose A + B = {a + b ∈ R | a ∈ A , b ∈ B}.

1. Montrer que sup(A+B) = sup A+sup B. On pourra proposer deux preuves, l’une utilisant la caractérisation de la borne supérieure (avec des “ε”) et l’autre non.

2. En remplaçant l’hypothèse A et B majorées par A et B minorées, que devient le résultat de la question précédente ? ⊲ Exercice 1.5. Soit A une partie non vide et bornée de R. Montrer que sup{|x − y| | (x, y) ∈ A2 } = sup(A) − inf(A). Que dire de inf{|x − y| | (x, y) ∈ A2 } ? ⊲ Exercice 1.6. 1. Soient A et B deux parties non vides de R telles que pour tout (a, b) ∈ A × B, a 6 b. Comparer inf B et sup A après avoir justifié leur existence. 2. Soient A et B deux parties non vides de R telles que pour tout (a, b) ∈ A × B, a < b. Comparer inf B et sup A a près avoir justifié leur existence. On illustrera éventuellement le résultat par des exemples. 3. Soient A et B deux parties non vides de R telles que pour tout (a, b) ∈ A × B, il existe au moins une valeur ε ∈ R∗+ tel que a + ε > b. inf B et sup A existent-ils et s’ils existent, sont-ils comparables ? Existe-t-il beaucoup de couples de parties (A, B) ∈ P(R)2 satisfaisant cette propriété ? ⊲ Exercice 1.7. Soit (ai )16i6n ∈ Rn . Montrer que sup{ai | i = 1, . . . , n} = max{ai | i = 1, . . . , n} et 1

inf{ai | i = 1, . . . , n} = min{ai | i = 1, . . . , n}.

2

Nombres rationnels et irrationnels.

⊲ Exercice 2.1. 1. Soit p un nombre premier. Montrer que 1 que p n est un nombre irrationnel.

√

p est un nombre irrationnel. Soit n ∈ N tel que n > 2. Montrer

2. Le produit de deux nombres rationnels est-il rationnel, qu’en est-il de celui de deux irrationnels ? et de celui d’un irrationnel par un rationnel ? ⊲ Exercice 2.2. Soit x un nombre réel. Que pensez-vous des énoncés suivants ? • Si x7 et x12 sont rationnels, alors x est rationnel. • Si x9 et x12 sont rationnels, alors x est rationnel. ⊲ Exercice 2.3. Dans cet exercice, nous supposons les nombres rationnels systématiquement représentés par une fraction irréductible, c’est à dire que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. 1. Démontrer que, pour tout N ∈ N∗ , tout intervalle de R contenant au moins deux points contient une infinité de nombres rationnels dont le dénominateur est strictement supérieur à N . 2. Montrer que, pour tout x ∈ R, il existe εx > 0 tel que l’intervalle ]x − εx , x + εx [ ne contienne aucun nombre rationnel dont le dénominateur est inférieur à N à l’exception de x éventuellement. nn  o  ⊲ Exercice 2.4. Montrer que l’ensemble D2 des nombres dyadiques, défini par D2 = (n, p) ∈ Z × N   2p   n  est dense dans R. En est-il de même pour l’ensemble Dq des nombres q-adiques Dq = (n, p) ∈ Z × N , qp  q ∈ N \ {0, 1} ?

⊲ Exercice 2.5. Montrer que

√ √ √ √ √ √ 6 − 2 − 3 et 5 + 2 + 3 appartiennent à R \ Q.

⊲ Exercice 2.6. Difficile Des nombres sont écrits sur une feuille. On peut ajouter à cette liste toute moyenne arithmétique de nombres deux à deux distincts appartenant déjà à cette liste. Si la liste initiale est réduite à {0, 1}, montrer que 1 peut appartenir à la liste, 1. 5 2. tout rationnel de [0, 1] appartient à la liste.

3

Borne supérieure et fonctions réelles.

⊲ Exercice 3.1. Soit P l’ensemble des applications polynômiales, à coefficients complexes, de C dans C. Considérons l’application N : P → R définie pout tout P ∈ P par N (P ) = sup{|P (z )| | z ∈ U}. Montrer que 1. N est bien définie et à valeurs dans R+ ,

2. ∀λ ∈ C, N (λP ) = |λ|N (P ),

3. ∀P ∈ P, N (P ) = 0 ⇒ P = 0P ,

4. ∀(P, Q) ∈ P 2 , N (P + Q) 6 N (P ) + N (Q).

L’application N ainsi définie, qui possède les quatre propriétés ci-dessus, est une norme sur l’espace vectoriel P. ⊲ Exercice 3.2. Reprendre l’énoncé précédent pour démontrer que l’application N : R2 → R, (a, b) 7→ N (a, b) = max(|a|, |b|) est une norme sur l’espace vectoriel R2 . ⊲ Exercice 3.3. Soit f une application de [0, 1] dans [0, 1]. Un point fixe de f est une solution de l’équation f (x) − x = 0 d’inconnue x ∈ [0, 1]. 1. Montrer que si f est continue sur [0, 1], alors f admet un point fixe (Ce résultat est une conséquence immédiate du théorème des valeurs intermédiaires). Ce point fixe est-il unique ? 2. Montrer que si f est croissante alors elle possède un point fixe (on pourra introduire l’ensemble {u ∈ [0, 1]|∀x ∈ [0, u], f (u) > u} et considérer sa borne supérieure). Ce point fixe est-il unique ?

3. Ce résultat s’étend-il aux applications croissantes d’un intervalle [a, b] dans un intervalle [a, b] pour tout (a, b) ∈ R2 tel que a < b ? 4. Que dire si f est décroissante de [0, 1] dans [0, 1] ?

2

2

⊲ Exercice 3.4. Soient (f1 , f2 ) ∈ RR . On définit les fonctions sup(f2 , f2 ) et inf(f1 , f2 ) par   R  sup(f2 , f2 )  t

→

7→

R sup{f1 (t), f2 (t)} 2

  R  inf(f2 , f2 )  t

→ 7→

inf{f1 (tR), f2 (t)}

Démontrer que, dans RR , on dispose pour tout (f, g) ∈ RR , des égalités : inf(−f, −g) = − sup(f, g) ,

f + sup(0, g) = sup(f, f + g) et

sup(f, g) =

1 (f + g + |f − g|). 2

⊲ Exercice 3.5. Existence d’une constante de lispschitz optimale Soit X un intervalle réel et f ∈ F (X, R) une fonction lipschitzienne sur X c’est-à-dire ∃k ∈ R+ : ∀(x, y) ∈ X 2 , |f (x) − f (y )| 6 k |x − y | L’ensemble Kf des constantes de Lipschitz de la fonction f , est Kf = {k ∈ R+ | ∀(x, y) ∈ X 2 , |f (x) − f (y )| 6 k |x − y |} Montrer que Kf admet un plus petit élément que l’on note K f . L’existence de ce plus petit élément s’interprète comme l’existence d’une constante de Lipschitz optimale (c’està-dire minimale) que l’on peut appeler la constante de Lipschitz (sous-entendu optimale) de f .

4

Questions courtes.

⊲ Exercice 4.1. ∗ 1. Si, ∀ε ∈ R+ , a 6 b + 2ε, alors a < b.

∗ ∗ , ∀η ∈ R+ 2. Si, ∀ε ∈ R+ , a 6 b + ε + η, alors a 6 b. 3. Soit A ⊂ [0, 1] non vide. Alors inf(A) = sup([0, 1] \ A).

4. Soit A ⊂ [0, 1] non vide et a ∈ A. Alors inf(A) = sup([0, a] \ A). 5. Toute partie non vide de R+ est bornée.

6. Nier le fait qu’une partie A non vide de R est bornée. 7. La droite numérique achevée est un corps. 8. La droite numérique achevée est un anneau. 9. Toute partie non vide de la droite numérique achevée a un plus grand élément. 10. Toute partie de la droite numérique achevée est minorée. 11. La somme (le produit) de deux rationnels est un rationnel. 12. La somme (le produit) de deux irrationnels est un irrationnel. 13. Z  dans R.  est dense  n  3 14. (n, a, b) ∈ Z , 2a + 3b = 6 0 est dense dans R. 2a + 3b 

15. En disant qu’une partie A de Q est dense dans Q si pour tout (x, y) ∈ Q2 tels que x < y, il y a toujours un élément de A qui est dans ]x, y[, y-a-t-il des parties denses dans Q ? R \ Q est-il dense dans Q ? et Z ?

16. Une fonction f : X ⊂ R → R est minorée s’il existe m ∈ R− tel que ∀x ∈ X, f (x) > m.

17. Les applications constantes de X ⊂ R dans R sont croissantes, décroissantes, majorées et minorées. 18. Les applications croissantes et décroissantes de ∅ ( X ⊂ R dans R sont les applications constantes.

19. Les applications majorées et minorées de X ⊂ R dans R sont les applications constantes. 20. Il n’existe pas d’application croissante strictement décroissante.

21. Soit f une application de R dans R strictement croissante et g une application de R dans R croissante. Alors g ◦ f (resp f ◦ g) est strictement croissante.

22. Quelle est la négation de “f : X ⊂ R → R est bornée” ?

23. Quelle est la négation de “f : X ⊂ R → R est majorée” ?

24. Quelle est la négation de “f : X ⊂ R → R est égale à g : X ⊂ R → R” ?

25. Quelle est la négation de “pour toute f : X ⊂ R → R, il existe g : X ⊂ R → R telle que f et g coïncident sur Y ⊂ X” ? 26. Si une fonction f : X ⊂ R → R impaire est dérivable sur X, alors sa fonction dérivée est impaire. 3

27. Si une fonction f : X ⊂ R → R périodique est dérivable sur X, alors sa fonction dérivée est périodique. 28. Si une fonction f : R → R impaire est continue sur R, alors ses primitives sont des fonctions paires.

29. Si une fonction f : R → R paire est continue sur R, alors ses primitives sont des fonctions impaires.

30. Si une fonction f : R → R paire est continue sur R, alors elle possède une unique primitive impaire, c’est la primitive qui ... 31. Si une fonction f : R → R périodique est continue sur R, alors ses primitives sont des fonctions périodiques.

32. Une fonction 1-périodique de Z dans R est une application constante.

4

Correction des exercices ⊲ Corrigé de l’exercice 1.1 ⊲ Corrigé de l’exercice 1.2    1  n ∈ N∗ . 1. A = n     1  ∗ 2. B = (−1)n 1 − n ∈ N . n     1 1  −  (n, p) ∈ N∗ 2 , n 6 p . 3. C = n p ⋆ Montrons que C est bornée. Soient (n, p) ∈ N∗2 fixés quelconques tels que n 6 p. 1 1 1 1 1 0 < 6 6 1 donc 0 6 − 6 1 − < 1. n p n p p Par conséquent, 0 minore C et 1 majore C . ⋆ Montrons que C admet une borne inférieure et une borne supérieure. C est ⋆⋆ une partie de R, 1 1 − ∈ C, ⋆⋆ non vide car 1914 1918 ⋆⋆ minorée par −1, majorée par 1 donc C admet une borne inférieure et une borne supérieure. ⋆ Montrons que sup C = 1. ⋆⋆ Méthode utilisant la caractérisation de la borne supérieure avec des ε. (i) 1 majore C . ∗ (ii) Soit ε ∈ R+  fixé  quelconque. 1 1 1 Posons p0 = < ε. + 1 ∈ N∗ et n0 = 1 ∈ N∗ de sorte que p0 > donc p ε ε 0 1 1 1 > 1. La condition p0 > n0 est satisfaite donc c 0 = ∈ C et c 0 + ε = 1 + ε − − p0 p0 n0 | {z } >0 ⋆⋆ Méthode utilisant la caractérisation séquentielle de la borne supérieure. (i) 1 majore C .   1 1 . − (ii) Posons (c k )k∈N = k + 1 k∈N 1 Il est immédiat de voir que (c k )k∈N est une suite d’éléments de C (c k est obtenu en effectuant n ← 1 ∈ N∗ , p ← k + 1 ∈ N∗ et pour ces valeurs la condition n 6 p est satisfaite) qui converge vers 1. ⋆ Montrons que C n’admet pas de plus grand élément. Par l’absurde, supposons que C admet un plus grand élément. Alors (cf théorème du cours) C admet une borne supérieure (ce que l’on sait déjà !) et sup C = max C . Or sup C = 1 donc max C = 1. Par conséquent, puisque le plus grand élément d’un ensemble appartient à l’ensemble, 1 ∈ C. Or (voir la preuve de C est borné) nous avons montré que ∀c ∈ C , c < 1 donc 1 ∈ / C, d’où une contradiction. ⋆ Montrons que C admet un plus petit élément qui est 0. (i) 0 minore C . (ii) pour n0 ← 1 ∈ N∗ et p ← 1 ∈ N∗ , la condition n0 6 p0 est satisfaite donc c 0 =

1 1 = 1−1 = 0 − n 0 p0

appartient à C donc 0 ∈ C . Par conséquent C admet un plus petit élément et min C = 0. ⋆ Montrons que inf C = 0. Par théorème du cours, lorsqu’un ensemble C admet un plus petit élément, il admet une borne inférieure et inf C = min C . Ici, C admet un plus petit élément et min C = 0 donc C admet une borne inférieure et inf C = 0. Remarque : on peut aussi calculer directement la valeur de la borne inférieure même si c’est maladroit puisque C admet un plus petit élément. Donnons le détail technique, à titre d’exemple. ⋆⋆ Méthode utilisant la caractérisation de la borne inférieure avec des ε. 1

(i) 0 minore C . ∗ fixé quelconque. (ii) Soit ε ∈ R+ Posons p0 = n0 = 1 ∈ N∗ . La condition p0 > n0 est satisfaite. 1 1 = 0 ∈ C et c − ε = −ε < 0. c0 = 0 − |{z} n 0 p0 n ⋆ Montrons que D n’est pas majorée. Soit A ∈ R fixé quelconque. Posons p0 = ⌊|A|⌋ + 1 ∈ N∗ et n0 = 1 ∈ N∗ . On a donc p0 > n0 . p0 + 1 L’élément d0 = appartient à D et n0 d0 = ⌊|A|⌋ + 2 > |A| − 1 + 2 > |A| > A Ainsi, D n’est pas majorée donc elle n’admet pas de borne supérieure (sinon elle constituerait un majorant !) ni de plus grand élément (sinon il constituerait un majorant !). ⋆ Montrons que D est pas minorée par 1. 2 Soient (n, p) ∈ N∗ fixés quelconques tels que p > n. 1 n+1 p+1 > 1+ > >1 n n n |{z} >0

⋆ Montrons que D admet une borne inférieure. D est ⋆⋆ une partie de R, 1+1 ∈ D (pour n ← 1 ∈ N∗ et p ← 1 ∈ N∗ et la condition p > n est satisfaite), ⋆⋆ non vide car 2 = 1 ⋆⋆ minorée par 1, donc D admet une borne inférieure. ⋆ Montrons que inf D = 1. ⋆⋆ Méthode utilisant la caractérisation de la borne inférieure avec des ε. (i) 1 minore D. ∗ (ii) Soit ε ∈ R+  fixé  quelconque. 1 1 1 Posons n0 = < ε. + 1 et p0 = n0 de sorte que n0 > donc ε n0 ε p0 + 1 On a (n0 , p0 ) ∈ N∗2 et p0 > n0 donc d0 = ∈ D et n0 n0 + 1 1 d0 − ε = −ε sup A − inf A. • Méthode 1, sans “ε”. Soient x ∈ A fixé quelconque. Alors ∀y ∈ A, x − y 6 |x − y| 6 sup B si bien que

∀y ∈ A , x − sup B 6 y donc x − sup B minore A si bien que

x − sup B 6 inf A

Relachons le caractère fixé de x pour obtenir

∀x ∈ A , x − sup B 6 inf A soit ∀x ∈ A , x 6 sup B + inf A

si bien que sup B + sup A majore A donc

sup A 6 sup B + inf A soit sup A − inf A 6 sup B • Méthode 2, avec des “ε”. **** dessin **** Puisque A 6= ∅, inf A 6 sup A. – Cas sup A − inf A = 0. Supposons que A admet au moins deux éléments a1 < a2 , alors inf A 6 a1 < a2 6 sup A donc sup A − inf A > 0 ce qui est une contradiction. Sachant que A 6= ∅, on peut donc affirmer que A est un singleton : A = {a} si bien que B = {0} donc sup B = 0 = sup A − inf A. – Cas sup A − inf A > 0. Soit ε ∈ R∗+ fixé quelconque. – Supposons que ε < sup A − inf A. sup A − inf A − ε >0: Appliquons la caractérisation de la borne supérieure pour ε0 = 2 ∃a+ ∈ A : a+ > sup A − ε0 Appliquons la caractérisation de la borne inférieure pour ε0 =

sup A − inf A − ε >0: 2

∃a− ∈ A : a− < inf A + ε0 4

Alors a+ − a− > sup inf A − ε} donc |a+ − a− | > sup A − inf A − ε si bien que | A −{z >0 ∃b = |a+ − a− | ∈ B : b > sup A − inf A − ε

– Supposons que ε > sup A − inf A. Fixons b ∈ B quelconque. Alors b > 0 et sup A − inf A − ε 6 0 donc b > sup A − inf A − ε Ainsi, nous venons de prouver que ∗ , ∃b ∈ B : b > sup A − inf A − ε ∀ε ∈ R+

or sup A − inf A majore B si bien que la caractérisation de la borne supérieure permet de conclure que sup B = sup A − inf A B = {|x − y| | (x, y) ∈ A2 } est une partie de R non vide et minorée par 0 donc elle admet une borne inférieure. De plus, ∃a ∈ A tel que 0 = |a − a| donc 0 ∈ B si bien que B admet un plus petit élément qui vaut 0 : inf B = min B = 0 ⊲ Corrigé de l’exercice 1.6 ⊲ Corrigé de l’exercice 1.7 Posons A = {ai | i = 1, . . . , n}. A est une partie • non vide, • finie, • d’un ensemble totalement ordonné qui est (R, 6) donc A admet un plus petit élément et un plus grand élément. De plus, nous savons que dans tout ensemble ordonné (E, 4), si une partie A a un plus grand élément (resp. plus petit élément), alors d’une part elle admet une borne supérieure (resp. inférieure) et d’autre part sup A = max A E

(resp. inf A = min A). Ceci permet de conclure. E

⊲ Corrigé de l’exercice 2.1 1. Soit p un nombre√premier. • Montrons que p est un nombre irrationnel. √ Par l’absurde, supposons(que p ∈ R \ Q. √ a p= Alors ∃(a, b) ∈ Z × N∗ : b a∧b=1 1 • Montrons plus généralement que p n est un nombre irrationnel pour tout n > 2. 1 Par l’absurde, supposons(que p n ∈ Q. √ a n p= Alors ∃(a, b) ∈ Z × N∗ : b a∧b=1

2. • Le produit de deux nombres rationnels est (toujours) rationnel. √ √ √ √ √ • On ne peut rien dire du produit de deux irrationnels : 2 × 2 = 2 ∈ Q et 2 × 3 = 6 ∈ R \ Q. • Le produit d’un rationnel et d’un irrationnel est (toujours) un irrationnel.

⊲ Corrigé de l’exercice 2.2 • “Si x7 et x12 sont rationnels, alors x est rationnel”. Cette assertion est vraie, en effet puisque 7 et 12 sont premiers entre eux, d’après la relation de Bézout, il existe (p, q) ∈ Z2 tels que 7p + 12q = 1 donc x = x1 = (x7 )p (x1 2)q ∈ Q car (x7 )p ∈ Q et (x1 2)q ∈ Q. √ 3 2 est un • “Si x9 et x12 sont rationnels, alors x est rationnel” cette assertion est fausse, par exemple x = √ √ √ 9 12 3 3 3 4 nombre irrationnel (généraliser l’irrationnalité de 2), 2 = 2 ∈ Q et 2 = 2 ∈ Q. ⊲ Corrigé de l’exercice 2.3 1. Soit N ∈ N∗ fixé quelconque.

5

• Montrons que tout intervalle de la forme ]u, v[ avec (u, v) ∈ R2 tels que u < v contient une infinité de nombre rationnels dont le dénominateur est strictement supérieur à N . Raisonnons par l’absurde en supposant que ]u, v[ contient un nombre fini de nombre rationnels dont le dénominateur est strictement supérieur à N . En posant  

∗    (p, q) ∈ Z × N  p  p ∧ q = 1 E =  ∈ Q  q

q >N +1 cela revient àsupposer que E∩]u, v[ est  un ensemble fini. ∗  p  (p, q) ∈ Z × N   . ∈ Q p ∧ q = 1 Posons F =  q q6N Montrons que F ∩]u, v[ est un ensemble fini. ( p ∧ q = 1q 6 N ∗ p . Soient (p, q) ∈ Z × N fixés quelconques tels que ∈]u, v[ q On a donc p −N |u| 6 −q|u| 6 qu < p < qv 6 q|v| 6 N |v| ⇒ qu < p < qv u < < v |{z} ⇒ |{z} q q>0 16q6N

donc, p ∈ Z∩] − N |u|, N |v|[ et q ∈ [[1, N]] donc il n’existe qu’un nombre fini de valeurs possible pour p et q, ce qui prouve que F est fini. Or Q = E ∪ F donc Q∩]u, v[= (E∩]u, v[) ∪ (F ∩]u, v[) si bien que Q∩]u, v[ est un ensemble fini. Or la densité de Q dans R impose que Q∩]u, v[ ne peut pas être fini. En effet, la densité de Q dans R impose que Q∩]u, v[ n’est pas vide donc Q∩]u, v[ est une partie finie non vide de (R, 6) ensemble totalement ordonné donc elle admet un plus petit élément r = min Q∩]u, v[. Par définition d’un plus petit élément, r ∈ Q∩]u, v[ donc u < r. Par conséquent ]u, r[6= ∅ donc par densité de Q dans R, ∃r′ ∈ Q : r′ ∈ Q∩]u, r[. Mais alors r′ ∈ Q∩]u, v[ et r′ < r ce qui contredit la définition de r, le plus petit élément de Q∩]u, v[. Ainsi l’hypothèse de finitude de E∩]u, v[ est fausse. • Soit I un intervalle de R contenant au moins deux points fixé quelconque. Alors ∃(u, v) ∈ I 2 fixés quelconques tels que u < v . Puisque I est un intervalle, ]u, v[⊂ I . D’après le premier point ci-dessus, ]u, v[ contient une infinité de nombre rationnels dont le dénominateur est strictement supérieur à N donc I contient une infinité de nombre rationnels dont le dénominateur est strictement supérieur à N . 2. Soit x ∈ R et N ∈ N∗ fixés quelconques. Reprenons les notations de la question précédente :   ∗  p  (p, q) ∈ Z × N  et ∈ Q p ∧ q = 1 E=  q q >N +1

 p

 ∗   (p, q) ∈ Z × N  F = ∈ Q p ∧ q = 1 q  q6N

de sorte que Q = E ∪ F avec de plus E ∩ F = ∅. En reprenant le raisonnement du point précédent appliqué pour u ← x − 1 et v ← x + 1, on obtient que F ∩]x − 1, x + 1[ est fini. Posons F− = F ∩]x − 1, ...