Electrostatique - TD avec corrigé électromagnétisme UNIV LILLE 1 PDF

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TD avec corrigé électromagnétisme UNIV LILLE 1...

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TD avec corrigé univ Lille 1 Électrostatique I54.

Un carré ABCD de coté a porte la densité linéaire de charge λ uniforme sur les deux cotés DA et AB. Déterminer le champ électrique à son sommet C.

II32. Soit une sphère de centre O et de rayon R, A et B deux points fixes de cette sphère diamétralement opposés et σ 0 une constante. Pour un point M de la sphère, on définit l’angle θ = (OA,OM ) compris entre 0 et π . La sphère porte la θ densité superficielle de charge σ(M ) = σ0 cos . Calculer le potentiel et le champ en B. 2

III. A86. Montrer que la loi exprimant le champ gravitationnel en fonction des masses est semblable à la loi exprimant le champ électrique en fonction des charges à condition de réaliser une substitution à préciser entre les constantes intervenant dans ces deux lois.

B52.

1) Un disque de rayon a porte une densité superficielle de charge σ uniforme. Calculer le champ électrique en un point de l’axe du disque d’où l’on voit le rayon du disque sous l’angle α . 2) Quel est le rayon d’un disque portant une densité superficielle de charge σ uniforme tel que le champ électrique sur son axe à la distance b ne diffère que de 1% du champ d’un plan infini ? 3) Un cône de révolution de demi angle au sommet α et de hauteur h contient une densité volumique de charge ρ . Quel champ électrique crée-t-il en son sommet ? On décomposera le cône en minces tranches. 4) Quel est la pesanteur créée en son sommet par un cône de révolution de demi angle au sommet α et de hauteur h contenant une densité volumique de masse µ ? 5) Soit M , R et µ la masse, le rayon et la masse volumique moyenne de la Terre. Calculer la différence relative

entre la pesanteur g 0 dans une plaine et celle g 1 à l’altitude h au dessus de cette plaine en fonction de h / R . 6) Soit un volcan en forme de cône de hauteur h, dont la base est au niveau de la plaine, dont la pente fait avec l’horizontale un angle β et qui est constitué de roches de masse volumique µ . Calculer la différence relative entre la pesanteur g 0 dans la plaine et la pesanteur g2 au sommet du volcan en fonction de h / R , β et µ / µ .

IV45.

1) Soit x,y,z les coordonnées cartésiennes d’un point, ρ une constante algébrique et a une constante positive. Une distribution de charge est répartie en volume avec une densité volumique nulle si |x| > a et égale à ρ si |x| < a. Démontrer par des arguments précis tout ce que la symétrie impose au champ électrique. 2) Calculer le champ électrique dans tout l’espace. On distinguera plusieurs cas. 3) Une galaxie peut être décrite comme une couche contenant une masse volumique µ uniforme entre deux plans parallèles distants de 2a. Déterminer le champ gravitationnel g dû à cette couche à l’intérieur et à l’extérieur. 4) Calculer la période du mouvement d’une étoile de masse m qui initialement serait immobile à une distance x0 < a du plan médian de la galaxie. 5) Calculer la période du mouvement d’une étoile de masse m qui initialement serait immobile à une distance x0  a du plan médian de la galaxie.

V33.

1 ∂f G ∂f G 1 ∂ f G ur + uθ + u . ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ϕ 1) Une sphère de centre O et de rayon R porte une densité superficielle de charge σ uniforme. Calculer le champ électrique et le potentiel dans tout l’espace. On note (r , θ , ϕ ) les coordonnées sphériques par rapport à Oz. 2) Une demi-sphère de centre O, de rayon R et d’axe Oz est délimitée par le plan (P) perpendiculaire à Oz et passant par O. Elle porte une densité superficielle de charge σ uniforme. Calculer le potentiel dans le plan (P). Pour cela, on accolera à la demi-sphère sa symétrique par rapport à (P). 3) Que peut-on en déduire sur les coordonnées sphériques par rapport à Oz du champ électrique en un point de (P) a) si r < R ? b) si r > R ? On donne en coordonnées sphériques ( r, θ , ϕ ) : grad f =

VI52. Modélisation d’un condensateur plan. 1) Le plan (infini) d’équation en coordonnées cartésiennes x = 0 porte une densité superficielle de charge σ uniforme. G G 1.a) Montrer qu’il crée un champ électrique de la forme E = E(x )ux . 1.b) Déterminer la fonction E (x ) .

2) Le plan (P1) d’équation x = −e / 2 porte une densité superficielle de charge −σ uniforme et le plan (P2) d’équation x = e / 2 porte une densité superficielle de charge σ uniforme. 2.a) Déterminer le champ électrique créé par ces deux plans dans tout l’espace. 2.b) Calculer la différence de potentiel U = V (e / 2) − V (−e / 2) . 3) En réalité, (P1) et (P2) ne sont chargés que sur deux carrés en regard de coté a  e ; ces deux carrés portent les charges −Q et Q . Exprimer la capacité C = Q /U en fonction de ε0 , a et e . 4) Calculer la force exercée par (P1) sur (P2). 5) Primitivement, e = 0 , de sorte que les deux charges −Q et Q sont confondues. Un opérateur agit sur Q , de sorte qu’il obtient la situation de la question 2). Quel est son travail Wop ?

VII36. Champ d’un segment.

y y 1) Un segment élémentaire de longueur d A (figure de gauche) porte une densité B linéaire de charge λ . Exprimer la mesure dA sur l’axe allant de ce segment à M du champ électrique qu’il crée en M en A dθ fonction de λ , de OM = a et de l’angle β d θ sous lequel il est vu de M. x x α θ 2) Un segment AB (figure de droite) O O M M porte une densité linéaire de charge λ uniforme. 2.a) Exprimer les coordonnées Ex , Ey du champ électrique qu’il crée en M en fonction de a = OM et des angles α = ( MO, MA ) et β = ( MO, MB ) . Pour faire ce calcul, on ajoutera les contributions à Ex et E y des éléments d A

du segment AB . 2.b) Montrer que le champ électrique est dirigé selon la bissectrice de l’angle (MA,MB). On pourra comparer les champs créés par des éléments situés dans des angles symétriques par rapport à la bissectrice, ou bien utiliser les coordonnées du champ électrique et les formules : p +q p −q p +q p −q cos p − cos q = − 2 sin sin sin p − sin q = 2 cos sin 2 2 2 2 2.c) La bissectrice de l’angle que font les segments joignant un point d’une conique à ses foyers est la normale ou la tangente à cette conique. Quelles sont les lignes de champ et les équipotentielles d’un segment uniformément chargé ? Les dessiner. 3) Soit a , b , c et λ0 quatre constantes positives. Calculer au point M de coordonnées ( x = a , y = 0) le champ électrique créé par la droite Oy portant la densité linéaire de charge : λ 0a λ 0y b + cy a) λ = ; b) λ = ; c) λ = . 2 2 2 2 a 2 +y 2 a +y a +y

VIII26. Champ électrostatique créé par un cercle uniformément chargé. 1. Champ sur l'axe. Soit un cercle de rayon R , de centre O , d'axe Oz , portant une charge positive Q répartie uniformément avec une densité linéique de charge λ en C . m −1 . G 1-1) Montrer qu’en un point de son axe le champ électrostatique E est G G G porté par cet axe. On l’écrit E = Euz où uz est le vecteur unitaire de l'axe Oz . 1-2. Comparer E (− z ) et E ( z ) . 1-3. Calculer le champ électrostatique créé en un point M de l'axe tel que OM = z . On donnera le résultat en fonction de Q , la charge totale, du rayon R , de la permittivité du vide ε 0 et de la distance z .

1-4. Tracer le graphe de la fonction E ( z ) .

2. Champ au voisinage de l'axe. On s'intéresse maintenant au champ électrostatique au voisinage de l'axe. G G G Soit E r ( r, θ, z ) u r + E θ ( r, θ, z ) u θ + E z (r, θ, z )u z le champ électrique en un point M de coordonnées cylindriques (r, θ , z ) . 2-1. En précisant les symétries invoquées, déterminer tout ce que la symétrie nous apprend sur cette expression du champ électrique.

2-2. On se place au voisinage de l’axe. Alors r est un infiniment petit. Les composantes du champ électrique peuvent être développées en puissance successives de r selon un développement du type Ei (r , θ, z ) ≈ Ai (θ , z ) + rBi (θ ,z ) + ... où i ∈ {r, θ, z } . On arrête ce développement à l’ordre 1. Préciser quels termes de ces développements sont non nuls en tenant compte de la symétrie. G 2-3. Montrer qu'au voisinage de l'axe le flux du champ E est conservatif. 2-4. Soit une surface fermée formée par deux disques de rayon r infiniment petit, d’axe Oz et de cotes z et z + dz et par la portion de c ylindre d’axe Oz, de rayon r , comprise entre les cotes z et z + dz . G Exprimer le flux de E à travers cette surface en fonction des coordonnées du champ électrique, de r et de dz . En déduire que r dE z (z , 0) Er (z, r) ≈ − . 2 dz 2-5. Calculer l'expression approximative de E r ( z, r ) . 2-6. A l'aide d'un logiciel de simulation, on trace les lignes de champ et les équipotentielles. 2-6-1. Reproduire cette figure avec en pointillés les équipotentielles et en traits pleins les lignes de champ ; orienter ces dernières avec des flèches pour λ>0 . 2-6-2. Quelle est l’allure des lignes de champ à grande distance ? 2-6-3. Quelle est l’allure des équipotentielles à grande distance ? 2-6-4. Montrer que les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles. Que se passe-til au centre ? 2-6-5. Justifier le fait que les lignes de champ se rapprochent puis s'éloignent de l'axe. On pourra G utiliser l'expression de E précédente. Préciser l’étendue des régions concernées.

IX . Formule de Bouguer.

25 G 1) La loi reliant le champ gravitationnel g aux masses est formellement analogue à celle reliant le champ électrique 1 aux charges. Quelle substitution faut-il réaliser entre les constantes G et pour passer d’une loi à l’autre ? 4πε0 2) Soit R le rayon de la Terre, µm sa masse volumique moyenne, µ la masse volumique près de la surface. En appliquant le théorème de Gauss, montrer que la pesanteur à la profondeur x  R dans la Terre est ⎡ ⎛ 3 µ ⎟⎞ x ⎤ g ( x )  g ( 0 ) ⎢ 1 + ⎜⎜⎜ 2 − ⎟ ⎥. ⎝ µm ⎟⎠ R ⎦⎥ ⎣⎢ 3) µ / µ m = 0,5 ; R = 6400 km . Quelle est la variation relative de la période d’un pendule pesant si on s’enfonce dans la Terre de 3200 m ?

X79. Champ électrique d’une boule uniformément chargée. Une boule de centre O et de rayon a porte une charge Q positive uniformément répartie dans son volume. 1) Déterminer par un argument précis la direction du champ électrique. 2) Exprimer sa grandeur à la distance r de O en fonction de Q, r, a, ε0 . 3) Déterminer sa valeur maximale quand r varie.

XI38. Potentiel quadrupolaire. ε 3ε2 + + ... 2 8 Soit a et q deux constantes positives. Quatre charges ponctuelles égales à q sont situées aux sommets ABCD d’un carré. Leurs coordonnées cartésiennes sont ( a, a, 0 ) ,( −a, a, 0) ,( −a, −a , 0) ,( a,−a, 0 ) . On considère le potentiel V au point M de coordonnées cartésiennes ( x , y, z ) voisin de O. En développant ce potentiel en puissances croissantes de x , y, z et en négligeant les termes d’ordre supérieur à 2, ce développement est à priori de la forme : V = V0 (1 + bx + cy + dz + αx2 + βy2 + γz2 + uyz + vzx + wxy )

On donne que ( 1 + ε )− 1/2  1 −

où les V0 ,b,c, d , α, β, γ, u, v, w sont fonctions de a , q et ε0 . 1) Montrer par des arguments précis de symétrie qu’il est de la forme V = V0 ( 1 + α( x2 + y2 ) + γz2 ) . 2) Exprimer le potentiel sur l’axe Oz en fonction de q ,a , ε0 , z .

3) En déduire V 0 et γ . 4) Exprimer le potentiel sur l’axe Ox en fonction de q, a, ε0 , x . 5) En déduire que α = −γ / 2 . 6) On considère un champ électrique qui dérive du potentiel quadrupolaire V =

V0 2 (x +y 2 − 2z2 ) où V0 et d 2d 2

sont deux constantes positives. 6.a) Montrer que le champ électrique en un point d’un plan contenant Oz est toujours contenu dans ce plan. 6.b) Représenter l’allure des équipotentielles et des lignes de champ dans ce plan. 6.c) Trouver l’équation des lignes de champ. G XII27. Perturbation par une masse localisée. x v G Un mobile P de masse m est isolé ; il décrit donc une droite à vitesse v constante dans θ P un référentiel inertiel. On ajoute en O, à une distance h de cette droite, une masse M h r ponctuelle fixe. Pour calculer la petite déviation de P provoquée par l’attraction O gravitationnelle de cette masse, on utilise la méthode de calcul en perturbation qui suit. En y première approximation, on suppose la trajectoire et la vitesse de P inchangées. G G G 1) Calculer dans ces conditions l'expression i = ∫ Fdx , où F est la force

x

gravitationnelle exercée sur P par la masse ponctuelle située en O, dx est un élément de trajectoire et où l'intégrale porte sur la trajectoire rectiligne infinie. G G 2) En déduire la valeur de p = ∫ F dt intégrée sur la durée infinie de l'action de O sur P. G G 3) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, exprimer la variation ∆v que subit la vitesse v de P entre ses deux valeurs à l’infini. 4) En déduire l’angle de déviation ∆α de P. 5) On suppose que ce modèle est applicable à un satellite d'altitude h = 300 km au dessus de la Terre de rayon R = 6400 km et de masse MT = 6.10 24 kg pour calculer la déviation ∆α due à une hétérogénéité de masse M située à la surface de la Terre. Calculer la valeur de M / MT correspondant à un angle de déviation d’une seconde d’arc.

XIII33. 1) Un cylindre d’axe Oz, de rayon a et de longueur infinie contient une densité volumique de charge uniforme ρ et G G crée un champ électrique E1 . Déterminer en précisant la ou les symétries utilisées la direction de E 1 et la façon dont dépendent des coordonnées cylindriques r , θ, z du point considéré ses coordonnées. 2) Calculer sa grandeur sur la surface du cylindre. 3) Un demi cylindre, délimité par un cylindre de rayon a et de longueur infinie et par un plan ( Π ) qui passe par son G axe contient une densité volumique de charge uniforme ρ et crée un champ électrique E 2 en un point de l’intersection G de sa surface cylindrique et du plan (Π ). Que peut-on dire des trois coordonnées cylindriques de E2 ? On imaginera pour cela d’associer à ce demi cylindre son symétrique par rapport à ( Π ) . 4) Soit une plaine où s’élève une montagne en forme de demi cylindre d’axe horizontal situé dans le plan de la G plaine, de rayon a , de longueur grande par rapport à a et de masse volumique µ . Soit gA la pesanteur observée au G pied A de la montagne et g 0 la pesanteur qu’on y observerait en l’absence de montagne. On note RT le rayon de la G G Terre et µ sa masse volumique moyenne. Exprimer l’angle α entre gA et g 0 en fonction de a / RT et µ / µ .

XIV37. ddp d’une membrane. Soit x , y, z les coordonnées cartésiennes d’un point, ρ et ρ ′ deux constantes algébriques et a et b deux constantes positives. La densité volumique de charge est nulle si x < −a ou si x > b ; elle vaut ρ si −a < x < 0 et ρ ′ si 0 < x < b ; il n’y a pas d’autres formes de charge et la charge totale est nulle. 1) Quelle est la relation entre a, b, ρ et ρ ′ qui traduit cette nullité de la charge totale ? 2) Qu’est-ce que la symétrie impose au champ électrique ? Préciser les symétries considérées. 3) Montrer que le champ électrique est nul si x < −a ou si x > b et calculer le champ électrique dans la région chargée. On choisira librement les intermédiaires de raisonnement, qui seront notés même si le problème n’est pas globalement résolu. 4) Une membrane peut être représentée par le schéma précédent. Calculer la différence de potentiel U = V ( b ) − V ( −a ) entre ses deux faces en fonction de ρ ′ , a et b .

Réponses λ 2 I. E = . 4πε 0a

σ σ0 R G ;E = 0 . 4 ε0 2 ε0 1 par −G . III. A remplacer 4πε 0 G σ ρh G ( 1 − cos α ) ux ; 2) a = 100b ; 3) E = (1 − cos α ) ; 4) g = 2πG µh ( 1 − cos α ) ; 5) B. 1) E = 2ε0 2ε 0 3µ ⎡ ⎤h g2 − g 0 g1 − g 0 2h (1 − sin β ) ⎥ ≈ ⎢ −2 + ≈− ; 6) g µ 2 ⎢ ⎥⎦ R . 0 ⎣ g R

II. V =

0

ρa ρx ; ; sinon, E = signe ( x ) ε0 ε0 π 8x 0 G G G G . ; 5) T = 3) si x ≤ a , g = − 4πG µxu x ; si x ≥ a , g = − signe ( x ) 4 πG µaux ; 4) T = Gµ πG µa G G G σR σR 2 R 2σ G ; 2) Si r ≤ R , V. 1) Si r < R , E = 0 , si r > R , E = 2 ur ; Si r ≤ R , V = ε , si r ≥ R , V = ε0 r ε 0r 0 G G IV. 1) E = E (x )u x ; E (x

)

est une fonction impaire de x ; 2) si x ≤ a , E =

σR 2 σ R2 σR , si r ≥ R , V = ; 3.a) E θ inconnu et E ϕ = 0 ; si r < R , E r = 0 , sinon, Er = . 2 ε0 2 ε0 r 2ε 0r 2 G G G G σ G σ e u , si x < 0 E = − VI. 1.b) si x > 0 E = E = 0 ; si ; 2.a) si x > 2ε 0 x 2ε 0 2 G G σ G σ2a 2e σe ε a2 σ2 a2 G e x < E = − ux ; 2.b) U = . ; 3) C = 0 ; 4) F1 →2 = − u x ; 5) Wop = 2ε0 2 2ε 0 e ε0 ε0 λ ( cos β − cosα ) λ ( sin β − sin α ) λ dθ ; 2. c) Les équipotentielles sont des ; Ey = VII. 1) dE = ; 2.a) Ex = 4 πε 0a 4πε0a 4πε 0a

V =

ellipsoïdes de révolution de foyers A et B ; les lignes de champ sont des hyperboles de foyers A et B ; voir tracé sur G G G λ G λ G b G c G corrigé ; 3) E = 0 ux ; 4) E = − 0 u y ; 5) E = u . ux − 8 ε0 a y 8 ε0a 8ε0 a 8ε0a 2 VIII. 1-1. Oz axe de révolution ; 1-2. E ( z ) impair ; 1-3. Qz Q V = ; 1-4. E ( z ) est ; E = 2 2 4πε 0(R 2 + z 2)3 / 2 4 πε0 R + z représenté ci-contre ; 2-1. E θ = 0 ; Er ( r, z ) est une fonction paire de z et impaire de r ; Ez ( r, z ) une fonction impaire de z et paire de r ; 2-2. Er ( z, r )  rf ( z ) ; Ez (z, r )  Ez ( z, 0) ; 2-3. pas de charge au voisinage de l’axe ; 2-4. G Qr(2z 2 − R2 ) E ⋅ dS = π r 2 [ E z ( z + dz,0) − E z ( z,0 )] + 2π rdzE r ( z , r ) ; 2-5. E r(z, r) = ; 2-6-2. lignes de champ 8 πε0(R 2 + z 2) 5/ 2 voisines des droites passant par O ; 2-6-3. équipotentielles voisines de sphères centrées sur O. T ( x) 1 = 1 − 1,25.10− 4 . correspond à −G ; 3) IX. 1) T ( 0) 4πε0 Q Qr Q X. 2) si r > a , E = ; 3) r = a : E max = ; sir < a , E = . 4πε 0r 2 4πε 0a 3 4 πε0 a2 q q 1 XI. 2) V = ; 3) V0 = ; γ = − 2 ; 4) 2 2 πε0 2a 4a πε0 2a + z

∫∫

⎞⎟ q ⎛⎜ 1 1 + ⎟ ; 6.c) z = k / r2 . 2πε 0 ⎜⎜⎝ 2a2 − 2ax + x 2 2a2 + 2ax + x 2 ⎟⎠ G G ∆α 2GM 2GMm G G G 2GM G M XII. 1) i = u y ; 4) ∆α = u y ; 2) p = i / v ; 3) ∆v = = = 10−7 . ; 5) 2 M hv h 2 (1 + R / h ) hv T G 3a µ ρa ρa G . ; 3) E 2r = ; E 2z = 0 ; 4) α = XIII. 1) E1 = E1 ( r ) ur ; 2) E1 = 2ε0 4 ε0 4RT µ G ρ ( a + x) ρ ′( x − b ) G ; XIV. 1) ρa + ρ ′b = 0 ; 2) E = E ( x ) ux ; 3) si −a ≤ x ≤ 0 , E = ; si 0 < x < b , E = ε0 ε0 ρ ′b (a + b ) . 4) V ( b ) − V (−a ) = 2ε0 V (M ) =

Corrigé I.

G AC est axe de symétrie de la distribution de charge, donc E (C ) est parallèle à AC et est le double de la projection sur AC du champ créé par AD. JJG π λ dA π E = 2∫ dE cos − θ = 2∫ cos − θ 2 DA 4 4 4πε 0 r

(

)

(

)

1 cos 2 θ ad θ a = θ = cos r2 a2 cos 2 θ r 2 π/ 4 λ ad θ cos θ π λ π E = 2∫ cos − θ = cos − θ dθ 4πε0 cos 2 θ a 2 4 2πε0 a ∫ 0 4 0 λ λ [ sin u ]0 =− cos udu = − π/4 2πε0 a ∫π / 4 2πε0 a

A = a tan θ

dA=

(

E =

)

(

)

λ 2 . 4 πε0a

M

II. Soit dS la portion de sphère de coordonnée sphérique est comprise entre θ et θ + d θ : dS = R 2d Ω = 2πR 2 sin θd θ . σdS σ cos( θ / 2) 2π R2 sin θ dθ σR π V = ∫∫ = ∫ 0 = 0 ∫ sin θ dθ 4 πε0 r 4 πε0 2R cos ( θ/ 2 ) 4 ε0 0 V=

r θ

θ/2

A

B x

O

σ 0R 2ε0

G E est porté par l’axe Ox de révolution de la distribution de charge. G π σ0 cos ( θ / 2) 2 πR 2 sin θd θ G σdS θ θ σ E = Eux E = ∫∫ = cos cos = 0 ∫ sin θ d θ ∫ 2 2 2 ε 2 2 8 0 r R 4πε0 4πε0 4 cos ( θ / 2) 0

E =

σ0 4ε 0

III. A. Il faut remplacer

1 par −G où G = 6, 67.10− 11 SI est la constante de la gravitation. 4πε0

B.

dS

1) L’axe Ox du disque est un axe de révolution de la distribution de charge, donc le champ électrique en un point de cet axe lui est parallèle. σdS σ dS cos θ E = ∫∫ . L’intégrale est celle cosθ = ∫∫ 2 4πε 0 r2 4πε0 r

G E

θ

O

x

JJG dE

∫∫ dΩ = 2π (1 − cos α ) donnant l’angle solide sous lequel on voit le disque :

G σ G ( 1 − cos α ) ux . E = 2ε0 π σ 2) Si α → , E → champ d’un plan infini uniformément chargé. 2 2 ε0 π π 1 b = cos α = sin − α  tan − α = ⇒ a = 100b a 100 2 2 3) Une tranche d’épaisseur dx équivaut à un disque de densité superficielle de dq ρdx (1 − cos α ). D’où charge = ρ dx qui crée le champ...