Electrostatique - Cours de 1ere annee PDF

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Cours de 1ere annee...

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Phy sique

ELECTROM AGN ETI SM E D U V I DE COURS

CH .2 6 : ELECTROSTATI QUE Plan

( Cliquer sur le titr e pour accéder au par agr aphe)

********************** CH.26 : ELECTROSTATIQUE ............................................................................................................. 1 I. NOTION DE CHAMP ELECTROSTATIQUE ....................................................................................... 2

I.1. LOI DE COULOMB................................................................................................................ 2 I.2. CHAMP CREE PAR UNE CHARGE PONCTUELLE.......................................................... 2 I.3. CHAMP CREE PAR UNE DISTRIBUTION DE CHARGES ............................................... 3 I.3.1. Echelle d’observation mésoscopique................................................................................... 3 I.3.2. Distribution volumique de charges ...................................................................................... 3 I.3.3. Modèles surfacique et linéique ............................................................................................ 3 II.

INVARIANCES ET SYMETRIES ..................................................................................................... 4

II.1. II.2. II.3. II.4. II.4.1. II.4.2. III.

NOTION DE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE.............................................................................. 5

III.1. III.1.1. III.1.2. III.2. III.2.1. III.2.2. III.2.3. IV.

CIRCULATION DU CHAMP ELECTROSTATIQUE...................................................... 5 Définition ............................................................................................................................. 5 Propriétés ............................................................................................................................. 5 INTRODUCTION DU POTENTIEL .................................................................................. 5 Définition ............................................................................................................................. 5 Lien entre les surfaces équipotentielles et les lignes de champ ........................................... 6 Potentiel d’une distribution de charges................................................................................ 6

ENERGIE POTENTIELLE D’UNE CHARGE DANS UN CHAMP ........................................................... 7

IV.1. IV.2. IV.2.1. IV.2.2. V.

EXEMPLES D’INVARIANCES............................................................................................. 4 SYMETRIES ET ANTISYMETRIES..................................................................................... 4 SITUATIONS A FORTE SYMETRIE ................................................................................... 4 PRINCIPE DE CURIE ............................................................................................................ 4 Enoncé du Principe .............................................................................................................. 4 Application aux grandeurs vectorielles................................................................................ 4

CHARGE DANS UN CHAMP ELECTROSTATIQUE « EXTERIEUR » ....................... 7 SYSTEME DE CHARGES EN INTERACTION ............................................................... 7 Cas de 2 charges................................................................................................................... 7 Cas de n charges................................................................................................................... 7

THEOREME DE GAUSS ............................................................................................................... 7

V.1. ENONCE DU THEOREME.................................................................................................... 7 V.2. EXEMPLES D’APPLICATION DU THEOREME................................................................ 8 V.2.1. Sphère chargée uniformément en volume............................................................................ 8 V.2.2. Plan uniformément chargé en surface.................................................................................. 9 VI.

NOTION DE DIPOLE ELECTROSTATIQUE ................................................................................. 10

VI.1. VI.1.1. VI.1.2. VI.1.3. VI.1.4. VI.2. VI.3. VII.

FORMULATION LOCALE DE L’ELECTROSTATIQUE .................................................................... 12

VII.1. Page 1

CHAMP CREE PAR UN DIPOLE ELECTROSTATIQUE............................................. 10 Définition d’un dipôle électrostatique ............................................................................... 10 Expression du potentiel créé .............................................................................................. 10 Expression du champ créé ................................................................................................. 11 Equation des lignes de champ............................................................................................ 11 ACTION D’UN CHAMP ELECTROSTATIQUE UNIFORME SUR UN DIPOLE ....... 11 ENERGIE POTENTIELLE D’UN DIPOLE DANS UN CHAMP EXTERIEUR............ 12 EQUATIONS DE MAXWELL DE L’ELECTROSTATIQUE ........................................ 12 Chr ist ia n MAI RE

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Phy sique

ELECTROM AGN ETI SM E DU V I DE COURS VII.2. VII.3. VIII.

LIEN AVEC LA FORMULATION INTEGREE.............................................................. 13 RELATIONS DE PASSAGE POUR LE CHAMP ET LE POTENTIEL ......................... 13

CONDUCTEURS EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE.................................................................. 13

VIII.1. PROPRIETES D’UN CONDUCTEUR A L’EQUILIBRE............................................... 13 VIII.1.1. Définitions...................................................................................................................... 13 VIII.1.2. Propriétés ....................................................................................................................... 14 VIII.1.3. Théorème de Coulomb................................................................................................... 14 VIII.2. PRESSION ELECTROSTATIQUE .................................................................................. 14 VIII.3. CONDENSATEURS ......................................................................................................... 15 VIII.3.1. Définition ....................................................................................................................... 15 VIII.3.2. Calculs de capacité......................................................................................................... 15 VIII.3.3. Energie électrostatique d’un condensateur plan ............................................................ 17 **********************

REM ARQUE PRELI M I N AI RE : Le cadre de l’é le ct r ost a t ique est tel que les sour ce s du champ électrique sont des ch a r g es I MM OBI LES dans le référentiel d’étude. Le chapitre suivant sera consacré à la m a g n é t ost a t iqu e, où les sources du champ magnétique seront des co ur a n t s (charges en mouvement) PERM AN EN T S (indépendants du temps). Cependant, le caractère RELAT I F à un référentiel des notions « d’immobilité » et de « permanence » est évident : le chapitre 28 concernant l’in duct ion (régimes variables) montrera le lien profond entre champ électrique et champ magnétique, et introduira la notion de « ch a m p élect r om a g n é t ique », entité qui sera, quant à elle, in v ar ia n t e par changement de référentiel.

I.

NOTI ON DE CH AM P ELECTROSTATI QUE I.1.

LOI DE COULOMB

(q2 ) r

(q1) M1

On s'intéresse aux forces électrostatiques apparaîssant entre 2 charges électriques pon ct u e lle s; la loi de Coulomb s'écrit:

M2

! u12 ! F1/ 2

! F2/1

q1q 2 ! u 4 0 r 2 12

"""""""! q1q 2 M 1M 2 4 0 M 1 M 23

Rq : des charges de même signe se repoussent, contrairement à des charges de signe opposé qui s’attirent.

I.2.

CHAMP CREE PAR UNE CHARGE PONCTUELLE

Dans la situation précédente, nous allons considérer, dans un premier temps, que la charge subit « l’influence » de la charge

q2

q1 , qu’elle « teste » une grandeur dont q1 est la source ; cette

grandeur, définie en tout point de l’espace, sera appelée « ch am p é le ct r ost at ique » créé par la charge ponctuelle q1 et s’écrira :

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ELECTROM AGN ETI SM E DU V I DE COURS ! F1/ 2 q2

! E1 (M 2 )

q1 4

0

r2

! u12

q1 4

0

"""""""! M1 M 2 M 1 M 23

Rq : réciproquement, on pourra considérer que la charge ponctuelle

! électrostatique : E2 ( M 1 ) I.3.

q2 4

0

r

2

q2 est la source d’un champ

! u21 .

CHAMP CREE PAR UNE DISTRIBUTION DE CHARGES

I .3 .1 .

Ech e lle d’ob se r va t ion m é soscop ique

Il est clair qu’à l’échelle m icr oscopique, les charges sont discontinues et que les grandeurs telles que la densité volumique de charge subissent de fortes variations spatiales. Entre cette échelle et l’échelle m a cr oscopique (la nôtre…), il existe une échelle intermédiaire 3 appelée « échelle m é soscopique », où les volumes typiques sont de 1 m . En pratique, nous nous intéresserons à des grandeurs moyennées sur ces volumes : ces grandeurs seront « lissées » ou « nivelées », et leurs variations moins brutales. A notre échelle, si nous sommes capables de donner la valeur des champs points distants de champs étudiés. I .3 .2 .

! E,

… en tous les

1 m les uns des autres, nous aurons une description qu a si- con t in u e des

D ist r ib u t ion volum iqu e de ch a r ge s M P

d

! E( M )

! u

V

(P ) ! ud 4 0r 2

(V) I .3 .3 .

M odè le s sur facique e t liné ique

m odèle sur f acique : si l’une des dimensions de la distribution est très inférieure aux autres, on l’assimilera à une su r f a ce ch a r g é e , avec la notion de « densité surfacique de charge » : M P

! E (M )

! u dS

S

(P ) ! udS 4 0r 2

avec:

(P )

dq , en C .m dS

2

(S)

m odèle lin é ique : pour une distribution filiforme, et avec des notations identiques, il vient, en introduisant = « densité linéique de charge » :

! E (M ) C

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( P) ! udl 4 0r 2

avec :

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(P )

dq , en C.m dl

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II.

I NV ARI ANCES ET SYM ETRI ES

II.1. EXEMPLES D’INVARIANCES invariance d’une distribution par r ot a t ion autour d’un axe : en coordonnées cylindriques ou sphériques, le champ créé ne dépendra pas de l’angle servant à mesurer cette rotation ( ou ). invariance d’une distribution par tr a n slat ion le long d’un axe : le champ créé ne dépendra pas de la variable associée à cet axe.

II.2. SYMETRIES ET ANTISYMETRIES plan de sym é t r ie : ( ) est un plan de symétrie d’une distribution si, pour tout point P de cette distribution, son symétrique P’ porte la m êm e ch a r g e que P (et appartient à la distribution). plan d’a n t isym é t r ie : ( ) est un plan d’antisymétrie d’une distribution si, pour tout point P de cette distribution, son symétrique P’ porte une ch a r g e opposée à celle de P.

II.3. SITUATIONS A FORTE SYMETRIE sym ét r ie cylin dr ique : si l’on a invariance par rotation et translation (autour et le long d’un axe), alors les grandeurs telles que le champ électrique ou la densité volumique de charge ne dépendront que de la variable r = distance par rapport à l’axe. sym ét r ie sph é r iqu e : si l’on a invariance par rotation selon et (en coordonnées sphériques), les mêmes grandeurs ne dépendront que de r = distance par rapport à l’origine. dist r ibu t ion u n idim en sion n elle : en coordonnées cartésiennes, s’il y a invariance par translation selon 2 axes, les grandeurs rencontrées ne dépendront que de la variable associée au troisième axe.

II.4. PRINCIPE DE CURIE I I .4 .1 .

Enoncé du Pr in cip e

« La symétrie des effets est au moins égale à celle des causes » Rq : les effets peuvent être plus « symétriques » que les causes… I I .4 . 2 . Ap p licat ion a ux gr a nde ur s v e ct or ie lle s Des grandeurs vectorielles, dont le sens ne dépend pas d’une convention d’orientation des rotations dans l’espace, obéissent au principe de Curie ; ceci aura plusieurs conséquences que nous exposerons en prenant le champ électrostatique pour exemple :

( ) = plan de sy m é t r ie d’une distribution ; si P ' sym{P}/( ) , alors : ! ! E ( P ') sym{E ( P )}/( )

Soit

( ) = plan d’a n t isym é t r ie d’une distribution ; si P ' sym{P}/( ) , alors : ! ! E ( P ') sym{E ( P )}/( )

Soit

( ) un plan de sy m é t r ie de la distribution passant par le point M où l’on veut ! déterminer le champ électrostatique, alors : E ( M ) ( ) Soit

( ) un plan d’an t isym ét r ie de la distribution passant par le point M où l’on désire ! calculer le champ, alors : E ( M ) ( ) Soit

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Rq1 : v

!

(= vecteur vitesse), a (= vecteur accélération),

! F

! ! ma , E

! F / q obéissent au

principe de Curie : on dit qu’ils ont un caractère « polair e » (dans le « jargon » des physiciens, on parle de « vrais vecteurs »). Rq2 : y aurait-il donc de « faux » vecteurs ? Si l’on considère le moment cinétique d’un point matériel de masse m par rapport à un point O, on a :

!

o

""""! ! OM mv ; le résultat de ce produit

vectoriel dépend d’une con ve n t ion . Ainsi, le sens de rotation a une signification « physique », ! mais le sens de o n’en a pas. Des vecteurs liés à un e con ve n t ion d’or ie n t a t ion de s r ot at ion s dan s l’ espa ce (comme

!

= ! vecteur rotation instantanée, ou le champ magnétique B défini par un pr oduit vect or iel à ! ! ! partir d’un « vrai » vecteur selon : FB qv B ) sont de type « a x ia l » : on parle également de

« pse u do- ve ct e u r ». Nous verrons plus loin (chapitre 27) qu’ils suivent d’autres règles de symétrie.

I I I . N OTI ON DE POTEN TI EL ELECTROSTATI QUE III.1. CIRCULATION DU CHAMP ELECTROSTATIQUE I I I .1 .1 .

D é finition

! E sur une courbe (K) est définie par : M2 ! C( K) (M 1 M 2 ) dl

La circulation du champ

! E

M1

M ( K)

! ! E (M ) dl

(K)

Rq : la circulation d’une for ce représente son t r av ail. I I I .1 .2 .

P r op r ié t é s

!

On peut montrer, à partir de constatations expérimentales, que la circulation du champ E entre les points M1 et M 2 ne dé pen d pa s du ch em in su ivi (c’est-à-dire de la courbe (K)) : on

!

dit que E est à « cir cu la t ion con se r va t ive ». Cette circulation ne dépendant que des points de départ et d’arrivée, elle sera n ulle sur une courbe fermée, appelée « con t ou r » ; d’où, pour un contour noté (C), la relation :

#

M

! ! ( M ) dl E (C )

0

III.2. INTRODUCTION DU POTENTIEL I I I .2 .1 .

D é finition

Par définition, nous poserons :

C( M 1

M 2) V ( M 1) V ( M 2 )

où V sera le pot en t iel électrostatique dont « dérive » le champ

M2 M1

! ! E dl

(1)

! E.

! ! E dl M1 et M2 voisins, on a : dV ! Pour relier E à V de manière in t r in sè que et loca le , nous allons définir un nouvel opérateur """""! appelé « GRAD I EN T » (noté grad ) tel que : Ainsi, pour

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dV

"""""! ! gradV dl

par identification, il vient :

E

!

"""""! gradV

(2)

Rq : la relation (2) est vraie en tout point de l’espace, c’est en ce sens qu’elle est « locale » (son caractère « intrinsèque » vient du fait qu’elle est écrite sans référence aucune à un système de coordonnées particulier) ; la relation (1) en est la forme « intégrée » : dans la suite du cours de physique, nous retrouverons souvent cette dualité entre forme locale et forme intégrée d’un même théorème.

! ! ! ! dl dxe x dye y dze z

Coor don n é e s car t é sien n e s :

Coor don n é e s cy lin dr iqu es :

I I I .2 .2 .

V dx x

dV

! ! dl drer

V dy y

! rd e

"""""! gradV

V dz z

"""""! gradV

! dzez

V ! xe x

V ! ye y

V ! ze z

V! 1 V! e e r r r

V ! e z z

Lie n e nt r e le s sur fa ce s é quipot e nt ie lle s e t le s ligne s de cha m p

Considérons deux points M et M ' voisins et appartenant à une même surface équipotentielle ;

! ! ! ! ! """""! E dl V ( M ') V ( M ) dV E dl 0 (où dl MM ') En tout point M , la ligne de champ qui passe par M est donc pe r pen diculair e à

on a alors :

l’équipotentielle passant par ce point. I I I .2 .3 .

P ot e nt ie l d’u ne dist r ib ut ion de cha r ge s

ch a r g e pon ct u elle : en coordonnées sphériques, nous pouvons écrire : q

r

! E (M )

M

! er

(le champ étant porté par

q 4

0

r

V

! er , les dérivées partielles

avec les invariances par rotation en Après intégration et en prenant V (

2

"""""! gradV

! er