TD de de Transfert de Chaleur avec solution PDF

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Ecole Polytechnique Privée d.'Agadir TD de Transferts de Chaleur avec solution Pr AHAROUNE Ahmed TD : Transferts de chaleur 1 TD : Transferts de chaleur Table des matières : Généralités .................................................................................................................

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Ecole Polytechnique Privée d.'Agadir

TD de Transferts de Chaleur avec solution Pr AHAROUNE Ahmed

TD : Transferts de chaleur

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TD : Transferts de chaleur

Table des matières : Généralités .................................................................................................................................................... 4 Conduction morte en régime permanent ....................................................................................................... 5 Ailettes ........................................................................................................................................................ 10 Conduction vive en régime permanent : ..................................................................................................... 11 Conduction morte en régime variable ......................................................................................................... 12 Conduction vive en régime variable : ......................................................................................................... 13 Conduction 2D par différences finies ......................................................................................................... 13 Rayonnement thermique ............................................................................................................................. 14 Solutions des exercices de généralités ........................................................................................................ 21 Solutions des exercices de Conduction morte en régime permanent .......................................................... 24 Solutions des exercices d’ailette ................................................................................................................. 32 Solutions des exercices de Conduction vive en régime permanent ............................................................ 33 Solutions des exercices du Milieu thermiquement mince........................................................................... 36 Solutions des exercices de Conduction vive en régime variable ................................................................ 37 Solutions des exercices de Conduction 2D par différences finies .............................................................. 37 Solutions des exercices de Rayonnement thermique .................................................................................. 38 Annexe 1 : Unités thermiques ..................................................................................................................... 48 Annexe 2 : Facteur de forme de conduction ............................................................................................... 49 Annexe 3 : Facteur de vue .......................................................................................................................... 50 Annexe 4 : Fraction d’énergie..................................................................................................................... 51

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TD : Transferts de chaleur

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TD : Transferts de chaleur

Généralités Exercice G-1 : 1°) Exprimer en Kelvin, degrés Fahrenheit et degrés Rankine (température absolue dans le système anglo-saxon) les températures de 0°C, 50°C, 100°C, -17.78°C, -273.15°C. 2°) Déterminer la température à laquelle le nombre qui l’exprime est le même en °C et °F. Même question en K et en °R. Exercice G-2 : On rencontre dans la littérature anglo-saxonne, la chaleur massique exprimée en Btu/lbF (Btu : British thermal unit, lbf : pound force). Calculer sa valeur dans le S.I. ainsi qu’en C.G.S. On donne l1b=453.5g, lBtu=l055 J. Exercice G-3 : En utilisant les facteurs de conversion entre W et Btu/h, m et ft, K et R, exprimer la constante de 2 Stefan-Boltzmann   567 .  108 W / m2 . K4 et le coefficient de h (W/m .°C) en unité anglosaxonne Btu / h. ft 2 . R4 . Exercice G-4 : En utilisant les facteurs de conversion entre °C et °F, le coefficient de conversion entre W et de Btu/h, m et ft, exprimer le coefficient de h (W/m2.°C) en unité anglo-saxonne (Btu/h.ft2.°F). Exercice G-5 : Une résistance électrique de forme cylindrique (D=0,4cm, L=1,5cm) sur un circuit imprimé dissipe une puissance de 0,6 W. En supposant que la chaleur est transférée de manière uniforme à travers toutes les surfaces. Déterminer : (a) la quantité de chaleur dissipée par cette résistance au cours d'une période de 24 heures, (b) le flux de chaleur, (c) la fraction de la chaleur dissipée par les surfaces du haut et du bas. Exercice G-6 : Un réservoir contient 3m3 d’eau chaude à Ti=80°C. Il est parfaitement calorifugé sauf sur une partie dont la surface est S=0.3m2. On constate qu’où bout de t=5 heures, la température de l’eau a baissé de 0.6°C quand la température ambiante est de 20°C. En supposant que la capacité calorifique du réservoir est de 103 kcal/°C. 1) Calculer: 1°/ la quantité de chaleur perdue en 5 heures, 2°/ le flux de chaleur à travers le couvercle, 3°/ la densité de flux thermique à travers le couvercle, 4°/ la résistance thermique du couvercle, 5°/ le coefficient global de transmission thermique. On donnera les résultats dans les systèmes M.K.H et S.I. 2) Que se passerait-il au bout de lj, 10j ? Exercice G-7 :

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TD : Transferts de chaleur On remplit en 5 minutes une baignoire de 500 litres avec de l’eau chaude prélevée dans un réservoir supposé à température constante de 50°C. La canalisation de diamètre extérieur de 16 mm et intérieur de 14 mm a une longueur de 10 m. 1) Si la chute de température entre le réservoir et le robinet est de 2°C. Calculer le flux de chaleur perdu par la canalisation pendant le remplissage de la baignoire ainsi que les densités de flux de chaleur correspondants aux surfaces intérieur et extérieur de la canalisation. A quel pourcentage de perte de chaleur cela correspond-il si on suppose que l’eau froide était à 15°C avant d’être chauffée dans le réservoir? 2) La température de l’eau dans la canalisation revient à la température de 20°C au bout de 30 minutes. Calculer le flux de chaleur perdu dans ces conditions. 3) Quelles quantités d’eau chaude faudrait-il prélever en une seule fois pour que les pertes en énergie entre le réservoir et le robinet ne représentent que 10%, 20%, 50%?

Conduction morte en régime permanent Exercice I-1 : Une paroi d'une surface de 5m2 a une température de 700 °C d'un côté et de 20 °C de l'autre. Calculer la conductivité et l'épaisseur du mur. Pour le choix d’un matériau qui garantisse une densité de flux de chaleur de 300 kW/m2. L'épaisseur max. possible est de 50 cm, K=f(T). Exercice I-2 : a) Calculer la densité du flux et les températures T1 et T2 d'un mur d’une épaisseur de 10 cm. b) On double l'épaisseur de ce mur : que deviennent les pertes (q) et les températures T1 et T2 ? T0 = 500°C; h0 = 20 W/m2K; T’0 = 20°C; h’0 = 5 W/m2K ; k = 1 W/m2K Exercice I-3 : a) Encore une fois un mur. Le mur est composé de: Briques réfractaires: e1 = 10 cm ; k1 = 1 W/m°C D’un isolant: e2 = 2 cm ; k2 = 0,1 W/m°C T1 = 1100 °C, T3 = 20 °C. Calculer q et T2. b) que l'isolant (e2) ne supporte pas 740 °C; on propose le garnissage suivant, de même épaisseur totale: Briques réfractaires: e1 = 7 cm, k1 = 1 W/m°C Isolant réfractaire : e2 = 3 cm; k2 = 0,5 W/m°C Isolant: e3 = 2 cm; k3 = 0, 1 W/m°C T1 = 1100 °C, T4 = 20 °C Calculer q, T2, T3 et faire une comparaison avec des résultats de a).

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TD : Transferts de chaleur

Exercice I-4 : La paroi d'un échangeur de chaleur est constituée d'une plaque de cuivre de 9,5 mm d'épaisseur. Les coefficients d'échange de chaleur sur les deux côtés de la plaque sont 2340 et 6100 kcal/hm 2°C correspondant respectivement aux températures 82 °C et 32 °C du fluide. En supposant que la conductivité thermique de la paroi est 344,5 kcal/hm°C, évaluer la densité du flux de chaleur et calculer la température des surfaces. Exercice I-5 : Un mur de béton de 15 cm d'épaisseur sépare une pièce à la température Ti = 20 °C de l'extérieur où la température est Te = 5 °C. On donne :

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hi = 9.1 W.m .K-1 -2

he = 16.7 W.m .K-1 -1

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 = 1,74 W.m .K . Calculer : -la résistance thermique totale - la densité de flux - les températures interne et externe du mur. Exercice I-6 : Le mur d'un local est constitué de trois matériaux différents :

- du béton d'épaisseur e1 = 15 cm à l'extérieur (conductivité thermique 1 = 0,23 Wm-1K-1), - un espace e2 = 5cm entre les deux cloisons rempli de polystyrène expansé (conductivité thermique 2 = 0,035 W.m-1.K-1), - des briques d'épaisseur e3 =5cm à l'intérieur (conductivité thermique 3 = 0,47 Wm-1K-1). 1) On a mesuré en hiver, les températures des parois intérieures i et extérieure e qui étaient i = 25 °C et e = - 8 °C. 1.1) Donner la relation littérale, puis calculer la résistance thermique du mur pour un mètre carré. 1.2) Donner la relation littérale, puis calculer le flux thermique dans le mur pour un mètre carré. 1.3) Calculer la quantité de chaleur transmise par jour à travers un mètre carré de mur, pour ces températures. En déduire la quantité de chaleur transmise, par jour, à travers 10m2 de mur.

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TD : Transferts de chaleur 1.4) Tracer la courbe de variation de température  = f(e) à travers le mur, de paroi intérieure à paroi extérieure. 2) Les résistances thermiques superficielles interne et externe du mur ont respectivement pour valeur : 1/hi = 0,11 m2.K.W-1 et 1/he = 0,06 m2.K.W-1 2.1) A quels types de transfert thermique ces données se rapportent-elles ? 2.2) Calculer les températures ambiantes extérieure ae et intérieure ai. Exercice I-7 : La paroi d’un four électrique industriel est constituée de plusieurs matériaux comme l’indique le schéma ci-dessous.

Données numériques. Température ambiante intérieure : i = 1092 °C. Température ambiante extérieure : e = 32 °C. Surface intérieure du four : S = 8,00 m2. Résistance superficielle interne pour un mètre carré de paroi : 1/hi = ri = 0,036 m2.K.W-1 Résistance superficielle externe pour un mètre carré de paroi : 1/he = re = 0,175 m2.K.W-1 Caractéristiques des divers matériaux : Matériau Brique à feu Brique réfractaire Laine de verre Acier

Épaisseur e1 = 230 mm e2 = 150 mm e3 = 50 mm e4 = 3 mm

Conductivité thermique 1 = 1,04 W.m-1.K-1 2 = 0,70 W.m-1.K-1 3 = 0,07 W.m-1.K-1 4 = 45 W.m-1.K-1

1 . Exprimer littéralement puis calculer la résistance thermique globale R de un mètre carré de paroi. 2 . Exprimer littéralement puis calculer la densité de flux thermique  (puissance thermique par unité de surface) traversant la paroi. 3 . Déterminer 1es températures au niveau des diverses interfaces de 1'intérieur vers l'extérieur si, 1, 2, 3, se. 4 . En admettant que la transmission de la chaleur est uniforme sur l'ensemble des parois du four, calculer la puissance électrique p nécessaire à son fonctionnement à vide. 5 . Calculer le coût de fonctionnement journalier du four sachant que le prix du kW.h est 1,50 Dh. Exercice I-8 : Soit la section droite d’une résistance électrique constituée d’un cœur en graphite, entouré d’une enveloppe de verre, elle-même enrobée de micanite (mélange de mica et de résine phénolique agissant comme isolant électrique et thermique). On demande de déterminer l’épaisseur optimum de micanite en vue d’assurer le refroidissement maximum de l’enveloppe de verre sachant que 40% de l’énergie électrique dissipée dans la résistance est perdue par convection - rayonnement avec l’ambiance à 20°c avec un coefficient d’échange h=17W/m²K. La conductibilité thermique de la micanite est =0,1W/mK. Les caractéristiques électriques de la résistance sont : Pe=1W, Re=106. Sa longueur est de 30mm et son diamètre est de 1mm. 7

TD : Transferts de chaleur 1 . Quelle est la température à l’interface graphite - verre? 2 . Comparer les résultats avec et sans isolant. Exercice I-9 : murs composés. Un mur de 4 m de haut et 6 m de long est composé de deux plaques d'acier (a= 15 W / m.° C) de 2 cm d'épaisseur chacune, séparés par 1 cm d'épaisseur et 20 cm de largeur des barres d'acier espacé de 99 cm. L'espace entre les plaques d'acier est rempli d’isolant de fibre de verre (i= 0,035 W/m°C). Si la différence de température entre la surface intérieure et celle de l’extérieure du mur est 22°C : 1) déterminer le flux de chaleur échangé à travers le mur, 2) déterminer le flux de chaleur échangé a travers le mur si on ignore les barres d'acier entre les plaques, car ils n'occupent que 1 pour cent de surface d’échange. 2 cm

20 cm

2 cm

99 cm

1 cm

Le mur est construit de deux grandes plaques d’aciers séparés par 1 cm d'épaisseur des barres d'acier espacé de 99 cm. L'espace restant entre les plaques d'acier est rempli d'isolant en fibre de verre. Le flux de chaleur à travers la paroi du mur est à déterminer, et il est à évaluer si les barres d'acier entre les plaques peuvent être ignorées dans l'analyse, car ils n'occupent que 1 pour cent de la surface d’échange de chaleur. Exercice I-10 : Soit une paroi composée d’une plaque de cuivre de conductibilité c=372 W/mK et d’épaisseur ec=3mm placé entre deux plaques identiques en inox, de conductibilité I=17 W/mK et d’épaisseur eI=2mm. Les contacts entre ces différentes plaques sont parfaits. La température de la face gauche de cette paroi est Tg=400°c, tandis que celle de droite vaut Td=100°c. On demande de déterminer les températures des deux faces de la plaque de cuivre.

Exercice I-11 :

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TD : Transferts de chaleur Une paroi composée de deux milieux homogènes de conductibilité  et  , et d’épaisseur L et L 1

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respectivement. Les conditions aux limites sont les suivantes: • CL1 : à gauche: T  T0 dT • CL2 : à droite :    hT  T f  (flux de conduction sortant du dx domaine 2 est égale au flux de convection dans le fluide) • CL3 : contact parfait entre les deux milieux. On demande la distribution de T dans chacun des milieux et le flux thermique, ainsi que le contrôle par analogie électrique. 1  0,8 W / cm c 2  0,2 W / cm c h  0,5 W / cm 2 c T0  600 c T f  200 c L1  4 cm L2  3 cm S  1 cm 2 (aire transversale )

Exercice I-12 : Un tube à vapeur de longueur L=15 ft (pied), de rayon intérieur r1=2 in (pouces), de rayon extérieur r2=2.4in (pouces) et de conductivité thermique =7,2 Btu/h.ft.°F. Le fluide dans le tuyau est à une température moyenne de 250°F, et la moyenne du coefficient de convection de chaleur sur la surface intérieure est h=1.25 Btu/h.ft2.°F. Si la température moyenne à surface extérieur est T2=160°F, (a) exprimer l'équation de la chaleur et les conditions aux limites dans le cas d’un régime stationnaire et pour une conduction unidimensionnelle, (b) déduire la variation de la température dans la conduite par la résolution de l’équation différentielle. Exercice I-13 SS : cylindre avec isolation : Soit un conducteur en acier de 7/10, 10m de longueur, de conductivité =46.5 Wm-1K-1 dans laquelle circule de l'eau à 60°C. On suppose que les coefficients d'échange hi=340 Wm-2K-1; he=11 Wm-2K-1 sont constants et que l'air ambiant est à 20°C. 1°) Calculer le diamètre extérieur du calorifugeage en laine de verre qu'il convient de placer autour de conduite pour réduire le flux perdu de moitié (c=0.04 Wm-1K-1). 2°) Même question avec un isolant de c=0.16 Wm-1K-1 . 3°) Comparer les températures de paroi extérieure des deux calorifugeages et donner la différence de température de l'eau entre l'entrée et la sortie des tubes avant et après l'isolation si l'eau circule à 0.5 ms-1. Exercice I-14 : Étudiant un tuyau cylindre de rayon interne r1 et externe r2 dont la conductivité thermique varie linéairement dans une plage de température comme : (T)= 0(1 +.T) où 0 et  sont deux constantes définis. La surface intérieure du tuyau est maintenue à une température constante T1 tandis que la 9

TD : Transferts de chaleur surface extérieure est maintenue à T2. En supposant que le transfert de chaleur est unidimensionnel, déterminer : une relation a- la relation du flux de chaleur évacué via le tuyau cylindre, b- la distribution de température T(r) dans le tuyau cylindre. Exercice I-15 : Facteur de forme Deux tuyaux parallèles, de 5m de long, dans une épaisse couche de béton, circule dans l’un de l'eau chaude et dans l’autre de l’eau froide comme le montre la Figure. Les diamètres des tuyaux sont 5 cm et la distance entre leurs axes est de 30 cm. Les températures des surfaces chaude et froide des tuyaux sont 70°C et 15°C respectivement. La conductivité thermique du béton est =0,75 W/m.°C. Déterminer le flux de chaleur échangé entre les tuyaux. Exercice I-16 : Facteur de forme Un réservoir sphérique en acier de diamètre D=1,4 m rempli avec l'eau glacé à 0 ° C est enterré sous terre à un endroit où la conductivité thermique du sol est = 0,55 W/m · ° C. La distance entre le centre du réservoir et la surface du sol est 2,4 m. Pour la surface du sol à une température T=18 ° C, déterminer le flux de chaleur cédé à l'eau glacé dans le réservoir. Que serait votre réponse si la surface du sol été isolée ?

Ailettes Exercice I-20 : Une ailette de largeur l, d'épaisseur e et de longueur L est fixée entre deux pièces métalliques dont les températures sont identiques et égales à TP. Les deux faces de l'ailette ne sont pas soumises aux mêmes conditions. La face supérieure de l'ailette est soumise à un courant d'air à une température T A et le coefficient d'échange vaut hA. La face inférieure quant à elle, est soumise à un autre courant d'air à la température TB et le coefficient d'échange vaut hB. Afin de déterminer le profil axial de température, 1) Faites un bilan de chaleur sur un volume approprié. Posez clairement vos hypothèses et obtenez l'équation différentielle que doit vérifier la température. 2) Posez les conditions frontières.

Exercice I-21 : Prenons une cuillère en acier inoxydable (= 15 W/m.°C), partiellement immergé dans l'eau bouillante à 93°C dans une cuisine à 24°C. Le manche de la cuillère est une section de 0,2cm*1,3cm, et s'étend dans l'air de 18cm de la surface libre de l'eau. Si le coefficient de transfert de chaleur à la surface de la

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TD : Transferts de chaleur cuillère exposée à l’air est h=17 W/m2.°C, déterminer la différence de température à la surface du manche de la cuillère. Indiquez vos hypothèses.

Conduction vive en régime permanent : Exercice II-1 : Supposons qu'il y ait production de chaleur en son milieu. La température est imposée sur une face et .

qp  2T le flux sur l'autre. , T = T0 si x = 0, q = q1 si x = e   k x 2 Quelle est la température de la face arrière ? (Pas de valeur numérique, uniquement l’expression littérale)

Exercice II-2 : Etudiant une sphère homogène de matières radioactives de rayon r0=0,04m qui génère de la chaleur à un cadence constant q=4.107W/m3. La chaleur générée est évacuée constamment à l'environnement. La surface extérieure de la sphère est maintenue à une température uniforme de 80°C et la conductivité thermique de la sphère est =15 W/m.°C. On restant dans l’hypothèse des murs le problème est celui de transfert unidimensionnel. a- Exprimer l'équation différentielle et les conditions aux limites ; b- Exprimer la variation de température dans la sphère en résolvant l'équation différentielle ; c- Déterminer la température au Centre de la sphère. Exercice II-3 : Une paroi composée de 2 milieux homogènes de conductibilité  1 et  2, et d’épaisseur L1 et L2 respectivement. La première paroi est le siège d’une distribution de sources volumiques Qv = 50 W/cm³. Les conditions aux limites sont: - Condition de Dirichlet à gauche T=T0 dT  hT  T f  - Condition de Newton (convection) à droite   dx

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TD : Transferts de chaleur

Le contact est parfait entre les deux milieux. On demande les distributions de T et de flux thermique dans chacun des milieux, et le contrôle par analogie électrique. On do...