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MAT 1400. Calcul 1.

(Notes de cours basées sur "Analyse: Concepts et Contextes. Vol. 2. Fonctions de plusieurs variables", par James Stewart, de boeck.) 1.1

Les suites

Exemple: supposons qu’on fait tomber un ballon et on s’intéresse à la distance traversée ai (i = 1, 2, 3, . . .) par ce ballon entre chaque rebond.

Définition 1 Une suite est une liste de nombres écrits dans un ordre bien défini: a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . où on appelle an le nième terme. ∞ Notation: La suite {a1 , a2 , a3 , . . .} peut être aussi notée {an } ou {an }n=1 .

Exemple 1 ∞ , an = n, {1, 2, 3, . . .}, (a) {n}n=1 ∞ , an = (−1)n , {−1, 1, −1, 1, −1, . . .}, (b) {(−1)n }n=1  n ∞ n n , an = n+1 (c) n+1 , { 12 , 23 , 34 , 54, . . . , n+1 , . . .} n=1

Exemple 2

Voici une suite qui n’est pas définie par une simple équation. Soit fn le nombre de paires de lapins au mois n. Les lapins prennent deux mois pour arriver à la maturité sexuelle et ensuite produisent deux petits lapins par mois. La suite de Fibonacci {fn }: f1 = 1,

f2 = 1,

fn = fn−1 + fn−2 ,

Les premiers quelques termes sont {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .} 1

n ≥ 3.

Représentation graphique de la suite (c) de l’exemple 1. Soit en marquant ses termes sur une droite réelle, soit en dessinant son graphique. On voit que an = n/(n + 1) s’approche de 1 lorsque n devient grand. En fait, 1−

1 n = , n+1 n+1

peut être rendu aussi petit que l’on veut en prenant n suffisamment grand et on écrit n = 1. n→∞ n + 1 lim

En général, lim an = L,

n→∞

signifie que la suite {an } tend vers L lorsque n tend vers infini. Définition 2 Une suite {an } admet une limite L si, pour tout ε > 0, il existe un nombre entier N tel que |an − L| < ε quand n > N . Cela s’écrit lim an = L

n→∞

ou an → L lorsque n → ∞. 2

Lorsque limn→∞ an existe, on dit que la suite converge ou est convergente. Si la suite ne converge pas on dit qu’elle diverge (ou est divergente). La figure ci-dessous donne une illustration de la Definition 2. Les points du graphique de {an } ne peuvent pas sortir du couloir étroit formé par les droites horizontales y = L + ε et y = L − ε lorsque n > N . Cette image doit être valable aussi petit que soit ε, et habituellement un ε plus petit requiert un N plus grand. La seule différence entre

limn→∞ an = L et limx→∞ f (x) = L pour une fonction f (x) est que n ne prend que des valeurs entières. Théorème 1 Si limx→∞ f (x) = L et si f (n) = an où n est un entier, alors limn→∞ an = L.

Démonstration Étant donné ε > 0 ∃N1 ∈ R tel que |f (x) − L| < ε, ∀x > N1 . Maintenant, choisissons N2 comme étant le plus petit entier plus grand que ou égal à N1 . Donc, |f (n) − L| < ε, ∀n > N2 . On note que limn→∞ an = ∞ veut dire que an diverge vers l’infini lorsque n tend vers l’infini. Exemple: voir (a) dans l’Exemple 1 ci-dessus.

Les lois des limites pour les suites convergentes Si {an } et {bn } sont des suites convergentes et si c est une constante, alors 3

• limn→∞(an ± bn ) = limn→∞ an ± limn→∞ bn , • limn→∞ can = c limn→∞ an , • limn→∞(an bn ) = limn→∞ an · limn→∞ bn , limn→∞ an an = si lim bn 6= 0, n→∞ limn→∞ bn bn

• lim

n→∞

• limn→∞ c = c. Théorème 2 (Le théorème du sandwich) Si an ≤ bn ≤ cn pour n ≥ n0 et si limn→∞ an = limn→∞ cn = L, alors limn→∞ bn = L. Démonstration Pour tout ε > 0 ∃N (ε) tel que |L − an | < ε et |L − cn | < ε ∀n > N . Soit N ′ = max(n0 , N ). Alors, L − ε < an ≤ bn ≤ cn < L + ε,

∀n > N ′ ,

c.-à-d., |L − bn | < ε ∀n > N ′ . Puisque −|an | ≤ an ≤ |an |,

on a

Corollaire 1 Si limn→∞ |an | = 0, alors limn→∞ an = 0. Exemple 3 Déterminez lim

n→∞

n . n+1

Solution lim

n→∞

N.B.

n 1 = lim n + 1 n→∞ 1 +

1 n

=

limn→∞ 1 limn→∞ 1 + limn→∞

1 n

=

1 = 1. 1+0

    n  < ε ⇔ 1 < ε ⇔ n + 1 > 1 ⇔ n > 1 − 1, 1 −  n + 1 ε n+1 ε

et choisissons N = N (ε) = ⌈ ε1 − 1⌉ (la partie entière par excès de ε1 − 1) dans la Définition 2 de la convergence. Exemple 4 3n2 + 1 . n→∞ n 2 − 5n

Déterminez lim Solution

3n2 + 1 3 + 1/n2 = → 3, n2 − 5n 1 − 5/n 4

lorsque n → ∞. C.-à-d., pour tout ε > 0 ∃N tel que   2   3 − 3n + 1  < ε, ∀n > N.  2 n − 5n 

Exemple 5

Décidez si la suite an = (−1)n est convergente ou divergente. Solution On écrit les termes de la suite {−1, 1, −1, 1, −1, 1, . . .}. Les termes oscillent une infinité de fois entre −1 et 1 et la suite ne s’approche d’aucun nombre. Donc, limn→∞ (−1)n n’existe pas. Autrement dit, {(−1)n } est divergente. Exemple 6 fn+1 où {fn } est la suite de Fibonacci. Déterminez la limite de la suite fn {an } en supposant que cette suite est convergente. Soit an =

Solution 1 fn−1 fn+1 fn + fn−1 = 1+ = 1+ = . fn fn an−1 fn Si la limite est α, il faut que √ 1 1± 5 α = 1+ ⇒α= . α 2 an =

Puisque α doit être un nombre positif (parce que an > 0: démonstration?!) on choisit la √ 1+ 5 racine positive α = (le nombre d’or). 2 Exemple 7 La suite {r n } est convergente si −1 < r ≤ 1 et divergente pour toutes autres valeurs de r .  0 si −1 < r < 1, n lim r = n→∞ 1 si r = 1. Définition 3 Une suite {an } est dite croissante lorsque an ≤ an+1 ∀n ≥ 1, c.-à-d., a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . .. Elle est dite décroissante si an ≥ an+1 ∀n ≥ 1. Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. Exemples 8

5

• La suite



1

n

est (strictement) décroissante, puisque 1 1 , > n+1 n

• La suite



n n+1



∀n.

est (strictement) croissante, puisque

(Preuve 1): n 1 n+1 n2 + 2n + 1 − n2 − 2n > 0. − = = (n + 1)(n + 2) n+2 n+1 (n + 1)(n + 2) 1 x pour x > −1. Alors f ′ (x) = > 0. Puisque f est x+1 (x + 1)2 strictement croissante, an = f (n) l’est aussi.

(Preuve 2): Soit f (x) :=

Définition 4 Une suite {an } est bornée supérieurement (ou majorée) s’il existe M < ∞ tel que an ≤ M pour tout n ≥ 1. Elle est bornée inférieurement (ou minorée) s’il existe m tel que m ≤ an pour tout n ≥ 1. Si elle est bornée supérieurement et inférieurement, alors {an } est une suite bornée. Par exemple, la suite an = n est bornée inférieurement (an > 0) mais pas supérieurement. La suite an = n/(n + 1) est bornée, parce que 0 < an < 1 ∀n. Remarques (i) Une suite bornée n’est pas nécessairement convergente. Par exemple, an = (−1)n satisfait à −1 ≤ an ≤ 1 mais est divergente. (ii) Une suite monotone n’est pas nécessairement convergente. Par exemple, an = n → ∞ lorsque n → ∞. Mais, Théorème 3 (Théorème d’une suite monotone) Toute suite bornée et monotone est convergente. Démonstration Supposons que la suite {an } soit croissante et bornée supérieurement. Alors, l’ensemble A de tous les nombres an est borné supérieurement et donc possède une plus petite borne supérieure (le supremum) α (disons). Si ε > 0 il existe aN qui satisfait α − aN < ε (puisque α est la plus petite borne supérieure). Si n > N nous avons an ≥ aN ⇒ α − an ≤ α − aN < ε. C.-à.d., lim an = α. n→∞

6

Un exemple d’une suite monotone et bornée (et donc convergente) est que   n limn→∞ 1 1 lim = = = 1. 1 n→∞ n + 1 1+0 limn→∞ 1 + limn→∞ n



n n+1



. On note

Exemple 9 Démontrez que la suite a1 = 2,

an+1 = 3 −

1 , an

est (strictement) croissante et que an < 3 ∀n. Déduisez-en que {an } est convergente et déterminez sa limite. Solution (Démonstration par induction, principe de récurrence.) Pour commencer on constate que a2 = 3 − 1/2 = 5/2 > 2 = a1 . Maintenant, supposons (hypothèse inductive) que ak+1 > ak pour un certain k. Alors, 1 ak+1

<

1 1 1 >3− , ⇒ 3− ak ak+1 ak

c.-à-d., ak+2 > ak+1. Donc, la suite est strictement croissante. La suite est aussi bornée supérieurement: 1 < 3, an+1 = 3 − an puisque an > 0 (∵ a1 = 2 et ak+1 > ak ) Nous déduisons du théorème 3 que la suite est convergente. La limite α (disons) satisfait √ 1 3± 5 2 α = 3 − ⇒ α − 3α + 1 = 0 ⇒ α = , α 2 √ et on choisit la plus grande racine. (La racine (3 − 5)/2 ne peut pas être la limite puisqu’elle est inférieure à 2 (= a1 )). 7

1.2

Les séries

Supposons maintenant qu’on s’intéresse à la distance totale traversée par le ballon rebondissant. ∞ on obtient une série infinie Si l’on additionne les termes {an }n=1

a1 + a2 + a3 + . . . P P P P∞ an (ou ∞ an (ou ai ). Notation: n=1 i=1 ai ) ou

Exemple 1

  n(n + 1) ai = ai = 1+2+3+4+. . . +n+ . . . et ai = i ⇒ → ∞ lorsque n → ∞. 2 i=1 i=1 n X

∞ X

Exemple 2 ∞

ai =

X 1 1 1 1 1 1 + ... + n + ... ai = + + + ⇒ 2 4 8 16 2i 2 i=1

La somme de cette série infinie vaut 1 puisque sn :=

n X i=1

et

ai = 1 −

1 , 2n

  1 lim sn = lim 1 − n = 1. n→∞ n→∞ 2

En général, on considère les sommes partielles s1 = a1 , s2 = a1 + a2 ,

(ordre 1), (ordre 2),

s3 = a1 + a2 + a3 , s4 = a1 + a2 + a3 + a4 , .. .

(ordre 3), (ordre 4),

et sn = a1 + a2 + a3 + a4 + . . . + an =

n X

ai .

(ordre n).

i=1

Définition 5 Si la suite {sn } est convergente et si limn→∞ sn = s, alors la série dite convergente et on écrit a1 + a2 + a3 + . . . + ai + . . . = s, ou

∞ X i=1

Sinon, la série est dite divergente. 8

ai = s (la somme de la série).

P

ai est

Exemple 3 La série géométrique a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + arn−1 + . . . =

∞ X

ar n−1 ,

n=1

a 6= 0.

Si r = 1 ou |r| > 1 alors |sn | → +∞ et la série géométrique diverge. La série diverge aussi si r = −1. Au cas où |r| < 1, considérer sn = a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + arn−1 , et rsn = ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + . . . + arn . La soustraction de ces équations nous donne sn − rsn = a − ar n ⇒ sn =

a(1 − r n ) a ⇒ lim sn = lorsque |r| < 1. n→∞ 1−r 1−r

La série géométrique est donc convergente lorsque |r| < 1 et dans ce cas-ci, sa somme vaut a/(1 − r). Au cas où r ≤ −1 ou r ≥ 1, la suite {sn } est divergente. Exemple 4 La série

∞ X (−3)n−1 n=1

4n

, est-elle convergente ou divergente?

Solution ∞ X (−3)n−1 n=1

4n

 ∞  1 X −3 n−1 , = 4 n=1 4

c.-à-d., une série géométrique avec a = 1/4 et r = −3/4. La série converge et la somme vaut 1 4 1 1 1 = · = . 7 4 (1 + 3/4) 4 7 Exemple 5 Écrivez le nombre 4.1570 sous la forme du quotient de deux entiers. Solution 1570 1570 1570 + + 12 + . . . 10 104 108 1570 −4 = 4+ ( 1 + 10 +{z10−8 + . . }. ) 104 |

4.157015701570 . . . = 4 +

série géométrique avec

1570 ∴ 4.1570 = 4 + 104



a = 1 et r = 10−4

1 1 − 10−4 9



= 4+

41566 1570 = . 4 10 − 1 9999

Exemple 6 Démontrez que la série

∞ X n=1

Solution

1 est convergente et calculez sa somme. −1

4n2

  1 1 1 1 1 , − = = 4n2 − 1 (2n − 1)(2n + 1) 2 2n − 1 2n + 1   N X 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ sN = = − 1− + − + − ... + 4n2 − 1 3 3 5 5 2N − 1 2N + 1 2 n=1   1 1 = 1− , 2 2N + 1 et donc lim sN =

N →∞

1 . 2

Exemple 7 Montrez que la série harmonique ∞ X 1 1 1 1 = 1+ + + + ... n 2 3 4 n=1

est divergente. Solution (Oresme, 14e siècle) Soit sN :=

N X 1 i=1

i

. Alors,

s1 = 1, 1 s2 = 1 + , 2     1 1 1 1 1 1 2 s4 = 1 + + + + >1+ + = 1+ , 2 3 4 4 4 2 2     1 1 1 1 1 1 1 + + + + s8 = 1 + + + 3 4 5 6 7 8 2     1 1 1 1 1 1 1 + + + + + > 1+ + 4 8 8 8 8 2 4 1 3 1 1 = 1+ + + = 1+ , 2  2 2  2    1 1 1 1 1 1 1 s16 = 1 + + + ... + + ... + + 3 4 5 9 2 8 16       1 1 1 1 1 1 1 + ... + + + ... + > 1+ + + + 4 8 16 2 4 8 16 1 1 1 1 4 = 1+ + + + = 1+ . 2 2 2 2 2 10

5 et s64 > 1 + 2 n s2n > 1 + . 2

On pourrait aussi montrer que s32 > 1 +

6 2

et, de façon générale,

Donc, s2n → ∞ quand n → ∞, ce qui veut dire que {sN } est divergente. Il s’ensuit que la série harmonique diverge. P Théorème 4 Si la série ∞ n=1 an converge, alors limn→∞ an = 0. Démonstration

Soit sn = a1 + a2 + . . . + an . Alors, an = sn − sn−1 . Soit limn→∞ sn = s. Alors, lim an = lim (sn − sn−1 ) = lim sn − lim sn−1 = s − s = 0.

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

MAIS, le résultat réciproque n’est en général pas vrai! Par exemple, an = n → ∞ mais la série harmonique (voir l’exemple 7) est divergente.

1 → 0 lorsque n

Test P 1 (Test de la divergence) Si limn→∞ an n’existe pas ou si limn→∞ an 6= 0, alors la série ∞ n=1 an est divergente. Exemple 8

Examinez si la série

∞ X n=1

√

n 1 + n2

est convergente ou divergente.

Solution n . Alors limn→∞ an = 1 et donc la série diverge. 1 + n2 P P Théorème 5 Soit an et bn deux séries convergentes. Alors, P P • can = c an , Soit an = √

•

P P P (an ± bn ) = a n ± bn .

Ces propriétés découlent des lois des limites pour les suites convergentes dans la Section 1.1. Exemple 9 P∞Si la nième somme partielle d’une série n=1 an .

P∞

Solution

11

n=1

an est sn = 3 − n2−n déterminez an et

a1 = s1 = 3 −

1

5 = 2 et, pour n ≥ 2, 2

an = sn − sn−1 = 3 − n2−n − (3 − (n − 1)2−(n−1)) = 2−n (−n + (n − 1)2) = 2−n (n − 2) . limn→∞ sn = limn→∞ 3 − n2−n = 3 parce que lim n2−n = lim

n→∞

x→∞

x 1 = lim x = 0. (règle de l’Hôpital) x x→∞ 2 2 log 2

(N.B. y = 2x ⇒ log y = x log 2, dx dy 1 ∴ ⇒ = log 2 = y log 2 = 2x log 2). y dy dx

12...