Parte 4. Ecuaciones de Curvas en Forma Paramétrica PDF

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Parte 4. Ecuaciones de Curvas en Forma Paramétrica...

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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y C. C.

2º semestre 2015 Profesor: H. Carreño G Material docente: Calculo II

PARTE 4: Ecuaciones de Curvas en Forma Paramétrica: 1.0.

Ecuaciones de Curvas en Forma Paramétrica: Una curva plana se determina mediante un par de ecuaciones paramétricas de la forma:

x  f (t) ,

y  g (t) ,

t  I  [a, b ]

(1)

siendo f (t) y g (t ) funciones continuas en el intervalo I  [ a, b] . La variable t es un parámetro para la curva y su dominio I  [ a, b] es el intervalo del parámetro, entonces el conjunto de puntos de la forma

( x, y)  ( f ( t), g( t)) definido por estas ecuaciones es una curva C que llamamos curva paramétrica en el plano de coordenadas XY. Cuando damos ecuaciones paramétricas y un intervalo del parámetro para una curva en el plano, decimos que hemos parametrizado la curva. Las ecuaciones y el intervalo constituyen una parametrización de la curva. El parámetro t no necesariamente representa el tiempo y, de hecho, podríamos usar otra letra distinta de t para simbolizar el parámetro. Pero en numerosas aplicaciones de las curvas paramétricas, t denota al tiempo y, por consiguiente, podemos interpretar ( x, y)  ( f ( t), g( t)) como la posición de una partícula en el plano en el instante t . En general la curva con ecuaciones paramétricas x  f (t ) , ( f (a), g (a )) , y un punto terminal ( f (b), g (b)) . Ejemplo 1:

La figura siguiente es la representación gráfica de la curva paramétrica definida por:  x  4t  t 2   y  4 t 2 8 t

, donde

t  I  [ 0, 5]

Si t  0 entonces x  0 , e y  0 obteniendo el punto inicial (0, 0) . Si t  5 entonces x  5 , e y  60 obteniendo el punto final ( 5,60) . Ejemplo 2:

El gráfico siguiente es la representación de la curva paramétrica C que representa a una circunferencia con centro en el origen y que esta definida por las siguientes ecuaciones paramétricas trigonométricas:  x  cos t ,   y  sent

Recordemos que la ecuación de una circunferencia con centro en (0,0) y radio r  1 está dada por x 2  y 2  1 , que es verificada por x  cos t e y  sent

y  g (t ) ,

a  t  b tiene un punto inicial

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Depto. de Matemática

2.0.

Calculo de Integrales con curvas Paramétricas:

2.1.

Definición de curva suave o Lisa: Una curva plana C definida por las ecuaciones paramétricas x  f (t ) , y  g (t ) , con t  I  [a, b] se dice que es una curva suave o lisa en el intervalo [ a, b] , si f ' (t) y g ' (t) son funciones continuas en el intervalo [a, b] , y f ' (t) y g ' (t) no son cero simultáneamente en cada valor del intervalo abierto ]a, b[ . dx df  dt dt

Sí x  f (t) , entonces

dy dg  dt dt

y sí y  g(t) , se tiene que

. Por lo tanto:

dy dy  dt dx dx dt

(2)

De la ecuación anterior se puede apreciar que la curva tiene una tangente horizontal cuando

dy dt

(siempre que

dx  dt

0 ) y que posee una tangente vertical cuando

dx dt

 0 , (siempre que d 2y dx 2

información es útil para trazar las curvas paramétricas. También es útil conocer dy dx

encontrar reemplazando y con

dx

2

d y dx

Ejemplo 3.

Obtener la derivada

dy dx

0 ). Esta

. Esta se puede

d  dy    d  dy  d  dy  dt dt  dx         dx dx  dx  dt  dx  dx dt

3

Tercera Derivada:

0,

en la ecuación (2):

d2y

Segunda Derivada:

dy  dt

3

d  d y  d  d y  dt    dx  dx2  dt  dx 2  dx 2



2

(3)

d  d 2 y  dt  dx2 

(4)

dx dt

de la siguiente curva definida por sus ec. Paramétricas

 x  3t  t3 .   y  3t 2

Solución: Aquí sí

x  3t  t 3 , tenemos

entonces

dy  6t dt

, Por tanto

dx  3  3t 2 dt dy  dx

dy dt dx dt

Además, la derivada es nula si t0 punto ( 0, 0 ) , y la derivada no existe si corresponde a los puntos son ( 2, 3 ) presenta un lazo por tanto se corta a ( 0, 9 ) , y en dicho punto existen dos distintos valores del parámetro:

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

y  3t 2 ,

y sí 6t 2

3 3 t



2t . 1  t2

, que corresponde al t  1 , y t  1 , que y (2, 3 ) . La curva sí misma en el punto rectas tangentes, para

t  3 y

Curvas Paramétricas

t  3 .

Figura 3: ejemplo 3

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Ejemplo 4.

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dy dx

Obtener la derivada 2   x  2t  3t  2 3   y  t  2t

de la siguiente curva definida por sus ecuaciones paramétricas

t  1 . Indique la ecuación de la recta

, cual es el punto y valor de su pendiente si

recta tangente en dicho punto. Solución: La derivada es

dy dt dx dt

dy  dx

( t 2  2 t 3)'



(2 t  3t 2 )'



2t  6t 2 t·(2  6t )  t 2  6t 2  6t

t   13 . El punto

, siempre que

de tangencia se obtiene al evaluar la curva C para t  1 , de donde x  x(1)  2  3  1 , e

y  y(1)  1  2  1 , es decir el punto es

dy  t , al dx

(1, 1) . Además, como la derivada es

evaluarla en t  1 , se obtiene el valor de la pendiente m  1 . La ecuación de la recta recta tangente en dicho punto está dada por y  (1)  (1)  ( x  1) , de donde y  x . Ejemplo 5.

y

1 t

x

Dada la curva definida por sus ecuaciones paramétricas

2

,e

1 t 2

2t . 1  t2

La representación gráfica de la curva es una circunferencia de centro en el origen y radio r  1 . a.

Obtener la derivada

dy . dx

Desarrollo En este caso sí x  2  2t 2 dy  2 2 dt (1  t )

b.

2

4 t dx  dt (1  t 2 ) 2

, entonces

dy dt dx dt

dy  dx

. Por lo tanto se tiene que

2

1 t 2 Sí x  , entonces 1 t 2

 1 t 2 x   1 t 2 

    

2t , entonces 1  t2

 2t y2    1 t 2 

    

Por lo tanto



, y sí

y

2t 1 t

2

, entonces

2 2  2t 2 t 1 .  4t 2t

2

2

x y 

2

1  2t 2  t 4

1  t 

2 2



 1 t   1 t 

2 2



2 2

2

4t

 1 t 

2 2

2 2



1  t 

2 2

2

 1 t 

4t 2

2 4 1  2t  t

,

1  2t 2  t 4  4t 2

 1 t 

2 2



1  2t 2  t 4

1 t 

2 2

 1.

Para que valores del parámetro t la curva posee una tangente vertical y una tangente horizontal. Desarrollo: Como

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1t

Pruebe que ella representa a una circunferencia. Desarrollo:

Sí y 

c.

1 t2

2 dy t 1  dt 2t

, vemos que sí t  0 ,

Curvas Paramétricas

dy dx

no existe; y

dy 0 dx

si t  1 y t  1

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Ejemplo 6.

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Dada la curva definida por sus ecuaciones paramétricas x(t )  a.

3t 1 t

y (t ) 

e

2

3t 2 1 t 2

.

dy dx

Determine Solución:

3t

Si x (t ) 

1 t

2

3t 2 1 t 2

Sí y(t) 

, entonces

2 2 dx 3  3t 3·(1  t )  3t·2t   2 2 2 2 dt (1  t ) (1  t )

, entonces

dy 6t 6t ·(1 t 2 )  3t 2 ·2t .   2 2 dt (1 t 2 ) 2 (1  t )

Por lo tanto se tiene que

dy  dx

dy dt dx dt



6t 2 2 (1t ) 3 3 t 2 (1t2 )2



6t 3  3t 2



2t 1 t 2

b.

Para que valores del parámetro t la curva posee una tangente horizontal. Solución. La curva posee una tangente horizontal cuando la derivada es nula, es decir cuando el numerador es igual a 0 , y ello es posible si t  0 .

c.

Para que valores del parámetro t la curva posee una tangente vertical. Solución. La curva posee una tangente vertical cuando la derivada se indetermina, o sea, cuando el dy dx

denominador de

es nulo, es decir si t  1 y t  1 .

La representación grafica de la curva paramétrica corresponde a una circunferencia, vemos que si t  0 se tiene el punto ( 0, 0 ) ; si t  1 , el punto es

( 32 , (

3 2

)

3, 3) 2 2

t  1 , el punto es

y si

, que corresponde a los puntos en

donde las tangentes son verticales.

Ejercicio 1.

Obtener

dy dx

y

2

d y 2

dx

, e indicar en donde la derivada es nula y en donde no existe:

a.

 x  2t  2t 2   y  2t (1  t)

b.

 x  2t  3t 2   y  t 2  2t 3

c.

 x  ln( t 2  1 )  2  y  2· t 1

d.

  

e.

 x  2t    sen t   y  2    cos t

f.

 x  cos t  t  sen t   y  sent  t  cos t

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x  ln(t  1) 1 y  (t  1)

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Algunas veces la integral definida involucra dos variables tales como x e y en el integrando y la diferencial, y la variable dependiente y puede ser definida como una función de la variable independiente x mediante ecuaciones que den a x e y en términos de un parámetro, como por ejemplo t. En tales casos, a menudo resulta conveniente evaluar la integral definida expresando el integrando y la diferencial respectiva en términos de la variable t y su diferencial dt, y ajustar los límites de integración antes de integrar con respecto a la nueva variable t. De esta forma podemos aplicar el cálculo de áreas, volúmenes, longitudes de arco y áreas de superficies de revolución a este tipo de curvas paramétricas. 2.2.

Áreas:

AR 

El área bajo una curva y  F (x) sobre el intervalo I  [a, b] es

b

 F (x)dx

en dónde F ( x)  0

a

x [a, b] . Si la curva está dada por las ecuaciones paramétricas x  f (t) , y  g(t ) y se recorre una vez cuando t crece desde  hasta  , es decir t  [ ,  ] , y además dx  f ' (t )dt , entonces podemos adaptar la fórmula anterior usando la regla de la sustitución para las integrales definidas, como sigue 

b

b

AR   F( x)dx   y·dx   g (t )· f ' (t )dt , por lo tanto: a



a

AR 

Ejemplo 7.



 g (t )· f ' (t )dt

(4)

Obtenga el área encerrada por el astroide (figura 6) dada por las ecuaciones paramétricas:

 x  cos 3 t   y  sen 3 t

t  I  [ 0, 2 ]

donde

Solución: Por simetría, el área interior es 4 veces al área bajo la curva en el primer cuadrante, donde 0  t  2 . Usando la fórmula 1, con x  f (t) , y  g (t) y el diferencial dx  f ' (t )dt , todo queda expresado en términos del parámetro t. La dirección anti horario sobre este primer cuadrante es de t 

AR  4







Figura 6: Astroide

a t  0 , por lo que el área será:

2

g (t )· f ' (t )dt  4





0

(sen 3t )(3 cos2 t  sent )dt  12  

2



 12 

 2

0

 32 







3 2



(1  cos 2t)

2

4

2

t ) dt

0

2  21 (1  cos 2 t) dt

 2

(1  2 cos 2t  cos 2 2t )  (1  cos 2t ) dt

0  2

(1  cos 2t  cos 2 2t  cos 3 2t) dt

0

 32 







3 2

1 2

 (sen t )(cos



0

2

(1  cos 2t ) dt  32 

 t  12 sen 2t





0

2

(cos 2 2t ) dt  32 



 2

(cos 3 2t) dt

0

 0  34  t  14 sen 2t 0  34  sen 2t  13 sen 32t0 

2





2

2

 32  (2  0  0  0)  34  (2  0  0  0)  34  (0  0  0  0) 

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3 8

u 2 de área.

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2.3.

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Volumen: El volumen de revolución alrededor del eje OX para una curva y  F (x) de a a b , donde F ( x)  0

x [a, b]

b

  ·( y)

está dado por Vx 

2

dx . Si la curva está dada por las ecuaciones paramétricas

a

x  f (t) , y  g (t) y se recorre una vez cuando t crece desde  hasta  , es decir t  [ ,  ], y además dx  f ' (t )dt , entonces podemos adaptar la fórmula del volumen anterior usando la regla de la sustitución para las integrales definidas, como sigue

Vx  Ejemplo 8.



b



a



2 Vx    ·( y) 2 dx    · g( t)  · f ' (t) dt

  · g (t )

2

, por lo tanto: (5)

· f ' (t )dt

La parametrización la una circunferencia con centro en el origen y radio a es:  x  a  cos( t) , donde t [ 0, 2 ] .  y  a  sen (t) Calcule su volumen que se obtiene al girar en torno del eje horizontal: Solución: La mitad de la esfera se obtiene por rotación del primer cuarto de circunferencia. La dirección anti horario sobre este cuarto de 

circunferencia es de t 

a t  0 , por lo que el volumen

2

será:

Vx 

b

 2  ·( y) dx 2

a

0

 2 

 (a  sen t )

2

 ( a  sen t ) dt



2

0



  2  a3  (1  cos2 t )  ( sen t) dt 

2

 2



 2  a  (sen t  cos 2 t  sen t ) dt 3



0





 2  a  cos t  13 cos 3 t 2 3



4 3

0

  a3

3

u de volumen

a  4 , para

La figura adjunta considera el caso en que efectos de la representación.

Ejercicio 2.

Use la parametrización

Figura 8: Esfera

 x  a  cos(t )  y b sen (t ) x2 a2



y2

1

para encontrar:

a.

El área de la elipse

b.

El volumen del elipsoide generado por la revolución de la elipse alrededor del eje X.

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b

2

.

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2.4.

Depto. de Matemática

La longitud de un Arco: Sea C una curva plana cuyas ecuaciones paramétricas son x  f (t ) , y  g (t ) , t  I  [a, b] y suponga que f ' (t ) y g ' (t ) funciones continuas en el intervalo I  [a, b] . Si L unidades es la longitud de arco de la curva C desde el punto ( f (a), g (a)) hasta el punto ( f (b), g (b)) , entonces: b

L=

 f ' (t)2  g ' (t)2



(6)

dt ,

a

En la aplicación de la fórmula anterior se debe de considerar que C es una curva suave y que es recorrida exactamente una vez conforme en parámetro t crece en el intervalo [a, b] . También dicha longitud se puede expresar como: b

L=

 a

Ejemplo 9.

2

(7)

2

 dx  dy       dt   dt 

dt ,

Hallando la longitud de arco de la epicicloide. Una circunferencia de radio 1 rueda sobre una circunferencia de radio 4, como muestra la figura. La epicicloide se obtiene por un punto de la circunferencia menor que rueda sobre la circunferencia mayor, y sus ecuaciones son:

x  5cos(t )  cos(5t );

y  5sen(t )  sen(5 t)

Hallar la distancia recorrida por el punto en una vuelta completa alrededor de la circunferencia de radio mayor. Desarrollo: La curva presenta puntos angulosos en t  0 y

t

 2

. Entre estos dos puntos

dy dt

y

dx dt

no son

nulas simultáneamente. Por tanto, la parte de la curva generada de t  0 a t 



es una curva suave.

Figura 9: Epicicloide Para hallar la distancia total recorrida por el punto, hallamos la longitud de arco de la parte situada en el primer cuadrante, es decir de t  0 a t  2 , y multiplicamos por 4. b

L =4

 a

2



2

 dx    dy       dt   dt 

2

2

dt = 4



(5sen t  5sen 5t )2  (5 cos t  5 cos 5t )2 dt

0  2

= 20



2  2 sen t  sen 5 t  2 cos t cos 5 t

dt

0 

 2

= 20 



2

2  2  cos 4t

0

dt = 20 



4  sen 2 2t

dt

0

 2



= 40 sen (2t ) dt  20  cos( 2t )02  40



u. de longitud

0

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