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

Universi Universidad dad Nacional de Ingenierí Ingenieríaa Facultad de Ingeniería Mecánica Dpto de Ciencias Básicas y Human Humanidades idades

P.A 200 03/06/20 MB148



EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO VECTORIAL Nombre:__________________________Código:________ Nombre:__________________________Código:________ Secc: *************************** ***************************************** ********************************** ****************************** ********** 2 2  2 x PREGUNTA 1Dada la siguiente función f (x ,y ) =  4 y 4 ; x + y  0 ; 

(x,y) ≠ (0,0)  (x,y ) = (0,0)

a) Calcule las funcionesD funcionesD1f (x, x,y y)) y D2ff (x, x,y y)) si es que existen. b) ¿La funciónf funciónfes es diferenciable en (0, 0)? SOLUCION a)  4xy 6 − 4x 5y 2 ;  4 4 2 D1 f(x ,y) =   x 0+ y ; 

(

)

 4x 6 y − 4x 2 y 5 ;  4 4 2 D 2 f(x ,y ) =  x + y   0 ;

(

)

(x,y ) ≠ (0, 0)



(x,y ) = (0, 0)

(x ,y ) ≠ (0, 0)



(x ,y ) = (0, 0)

b)Primero veremos que pasa con la continuidad continuidad en (0, 0) Consideremos el conjunto S: y = m x, R li lim m

(x ,y )→ (0,0)

li lim m

(x ,y ) → (0,0)

f(x, y) =

f(x, y) =

li lim m

(x ,y )→ (0,0) (x,y) ∈S

f(x, y) = lim lim f(x, mx) = li lim m x → 0

2m 2 x 4

(

x → 0 x 4 1 + m

2 m2

(1 + m 4 )

el Limite no es único (depende del valor de m) por tanto no existe

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P.A 200 03/06/20 MB148

 PREGUNTA 2:Calcule la razón de cambio de f( (x, x,y, y,z) =y =y2+ +x x zen en el punto (2 2

3

siguiendo la dirección de la curva C:x C:x= = t, y y= = t ,z = t .

SOLUCION Calculamos el gradiente def def en el punto (2, 4, 8)

∇ = f(x ,y ,z) (z, 2 y, x)  ∇ f( 2 , 4 , 8) = 2 ( 4, 4 , 1) x= 2, y = 4, z = 2 se tiene t= = Considerando la curva C : r( t) = t, t2 , t3 , para x=

(

)

r′( t)

= 1, 2 t, 3 t2

r ′(2)

= ( 1, 4, 12 ) ;

U

=

r′( 2)

=

1

r ′(2 )

=



( 1, 4, 12 )

El vector unitario Ufija fija la dirección de la curva C

 ( 2, 4 , 8) ⋅ U = DU f( 2 , 4 , 8) = ∇ f

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...