Pembahasan Soal OSK Matematika SMA (Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMA) Disusun oleh PDF

Preview

Summary

Pembahasan Soal OSK SMA 2017 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMA 2017 OSK Matematika SMA (Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMA) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 37 PEMBAHASAN SOAL om OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMA TINGKAT KABUPATEN 14 MARET 2017 .c By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) ad...

Description

Pembahasan Soal

OSK SMA 2017 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMA 2017

OSK Matematika SMA (Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMA)

Disusun oleh:

Pak Anang

Halaman 2 dari 37

om

PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMA TINGKAT KABUPATEN

t.c

14 MARET 2017

By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Diketahui

dan

adalah ….

jalur yang kita tempuh adalah mencari terlebih dahulu

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

Pembahasan: Perhatikan untuk mencari bentuk bentuk .

. Nilai dari

po

1.

Perhatikan karena

, sehingga

, maka

ht

tp ://

Padahal karena

, maka

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

, sehingga

Halaman 3 dari 37 Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita hanya diberikan sebagian informasi sebagai berikut: (a) setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan (b) Adi bukan juara pertama (c) Cokro kalah dari Budi Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah ….

t.c

om

2.

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

po

Pembahasan: Perhatikan informasi yang diberikan pada soal adalah sebagai berikut: (a) setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang belainan, artinya setiap posisi juara ditempati oleh satu orang saja. (b) Adi bukan juara pertama, artinya juara pertama tidak mungkin ditempati oleh Adi. Adi hanya bisa menempati posisi pada juara kedua, ketiga, atau keempat. (c) Cokro kalah dari Budi, artinya jika Cokro menjadi juara pertama, maka kemungkinan Budi adalah juara kedua, ketiga, atau keempat. Sedangkan jika Cokro juara kedua, maka kemungkinan Budi hanya menjadi juara ketiga atau keempat saja. Sedang jika Cokro juara ketiga, maka Budi pastilah menjadi juara keempat. Syarat ini tidak memungkinkan untuk Cokro menjadi juara keempat. Sehingga, dari informasi tersebut, kita misalkan posisi masing-masing juara sebagai berikut: 1. Posisi Adi. Kemungkinan posisi Adi adalah memilih satu tempat dari 3, sehingga . 2. Posisi Cokro dan Budi Kemungkinan posisi Cokro dan Budi adalah memilih dua tempat dari 3 tempat secara kombinasi, karena posisinya sudah pasti Cokro kalah dari Budi, sehingga . 3. Posisi Dion. Posisi Dion sudah tidak perlu ditentukan karena hanya tersisa satu tempat lagi, sehingga . Jadi, banyaknya cara menentukan susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah: Cara Alternatif: Manual dengan meletakkan masing-masing orang sesuai dengan informasi pada soal. Sehingga diperoleh 9 kemungkinan, yaitu: Juara 1 Cokro Cokro Dion Cokro Cokro Dion Cokro Cokro Dion

Juara 2 Adi Adi Adi Budi Dion Cokro Budi Dion Cokro

Juara 3 Budi Dion Cokro Adi Adi Adi Dion Budi Budi

Juara 4 Dion Budi Budi Dion Budi Budi Adi Adi Adi

ht

tp ://

No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 4 dari 37 Banyaknya bilangan asli Pembahasan: Perhatikan

yang memenuhi

, maksudnya

adalah faktor dari

adalah ….

dimana

adalah bilangan asli.

, diperoleh:

po

t.c

Pemfaktoran dari bentuk

untuk semua bilangan asli

om

3.

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

Mudah diperiksa bahwa bentuk memuat bentuk perkalian dari 3 bilangan asli berurutan, dimana 3 bilangan asli berurutan pasti habis dibagi 6. Sehingga , untuk semua bilangan asli pasti juga habis dibagi oleh 6. Namun, setelah diperiksa lebih lanjut, ternyata 7 juga menjadi faktor dari Misal Kedua nilai

, maka dan dan adalah juga kelipatan 7 karena

.

.

.

Misal adalah kelipatan 7, maka akan dibuktikan adalah juga kelipatan 7. Perhatikan,

tp ://

Jadi jelas bahwa 7 adalah salah satu faktor dari

.

Jadi, karena faktor adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, dan 42, maka terdapat 8 buah bilangan asli yang merupakan faktor dari .

ht

Atau menggunakan rumus banyak faktor bulat positif, maka karena banyak faktor bulat positif dari 42 adalah buah.

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

, sehingga

Halaman 5 dari 37 Pada sebuah lingkaran dengan pusat , talibusur berjarak 5 dari titik dan talibusur berjarak dari titik . Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka adalah ….

om

4.

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

po

t.c

Pembahasan: Ilustrasi soal terlihat pada gambar berikut:

(i)

(ii)

Ternyata tali busur AC ada dua buah yang sesuai kriteria pada soal, yaitu berjarak dari titik . Sehingga, titik kita beri indeks masing-masing untuk membedakannya, yaitu dan . Kasus 1. Pada gambar (i), titik Perhatikan sin

, misal

kita pilih berada “di atas” B. , maka:

sin sin

Perhatikan sin

, misal

, maka:

sin

tp ://

sin

Padahal, sudut keliling Sehingga sudut pusat

.

.

ht

Jadi, dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh: s

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 6 dari 37

Perhatikan sin

, misal

kita pilih berada “di bawah” B.

om

Kasus 2. Pada gambar (ii), titik

, maka:

sin

sin

, misal

, maka:

po

Perhatikan

t.c

sin

sin

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

sin

Padahal, sudut keliling Sehingga sudut pusat

. .

Jadi, dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh: s

Komentar terhadap soal: Menurut pandangan saya, soal ini multitafsir dan cenderung ambigu, karena memiliki dua penyelesaian….. Menurut kabar yang beredar kun inya adalah , yang artinya jawabannya tunggal. Padahal, dari hasil pengamatan pada soal dan ilustrasi soal pada gambar, dapat ditemukan dua nilai panjang yang dimaksud pada s al….

ht

tp ://

Jadi sebaiknya soal perlu diberi keterangan lebih lanjut agar jawaban benar tunggal dan tidak bias atau ambigu…..

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 7 dari 37 Jika

, maka nilai dari

adalah ….

om

5.

t.c

Pembahasan: Misal,

Maka,

dan,

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

Apabila kedua persamaan dikuadratkan, maka

po

Sehingga diperoleh,

Jadi, diperoleh,

tambah kedua ruas dengan

ht

tp ://

Cara Alternatif: Perhatikan,

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 8 dari 37 Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah dengan . Selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya b la merah dan hitam adalah ….

om

6.

t.c

Pembahasan: Misal, banyaknya bola merah banyaknya bola hitam

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

Peluang terambil dua bola merah dan dua bola hitam adalah

Perhatikan, pada soal diketahui

Jadi, nilai terbesar adalah Sedangkan karena

ht

, sehingga:

, sehingga:

tp ://

Padahal,

dan banyak

po

Sehingga, apabila banyak bola merah dan bola hitam secara keseluruhan dimisalkan keseluruhan kurang dari 1000, maka

, , jadi jumlah terbesar

, maka diperoleh

Sehingga selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

.

Halaman 9 dari 37

om

Cara Alternatif: Misal, banyaknya bola merah banyaknya bola hitam

, sehingga:

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

po

Perhatikan, pada soal diketahui

t.c

Peluang terambil dua bola merah dan dua bola hitam adalah

Padahal, banyak keseluruhan bola adalah kurang dari 1000, maka

Sehingga, dengan sedikit manipulasi dari

sedangkan selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya .

ht

tp ://

Jadi, diperoleh bola merah dan hitam adalah

dapat diperoleh,

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 10 dari 37 Misalkan menyatakan faktor prima terbesar dari dan terkecil dari . Banyaknya bilangan asli … sehingga

, maka dua bilangan prima yang selisihnya 1 adalah dan

t.c

Pembahasan: Karena bilangan 2 dan 3. Jadi jelas bahwa

menyatakan faktor prima adalah ….

om

7.

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

po

Sehingga, bilangan yang dimaksud adalah , dengan dan adalah bilangan asli. Padahal bilangan … , maka - untuk , diperoleh tiga buah nilai yang mungkin adalah - untuk , diperoleh dua buah nilai yang mungkin adalah - untuk , diperoleh dua nilai yang mungkin adalah - untuk , diperoleh satu nilai yang mungkin adalah - untuk , diperoleh satu nilai yang mungkin adalah Jadi, ada buah bilangan asli

yang memenuhi.

Cara Alternatif: Dicoba dengan cara manual, karena yang selisihnya 1 adalah bilangan 2 dan 3. Jadi jelas bahwa dan Sehingga, bilangan yang dimaksud adalah

, maka dua bilangan prima

, dengan

dan adalah bilangan asli.

Jadi, bilangan tersebut adalah: Jadi, ada buah bilangan asli

yang memenuhi.

tp ://

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan jelas bahwa , dengan bilangan asli. Maka adalah bilangan kelipatan 2 dan 3 yang tidak habis dibagi bilangan prima , dimana , jadi . Sehingga misal banyaknya adalah dapat dirumuskan sebagai:

yang memenuhi.

ht

Jadi, ada buah bilangan asli

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 11 dari 37 Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi terletak pada batas dari juring lingkaran berjari-jari yang sudut pusatnya . Jika persegi diletakkan secara simetris dalam juring, maka adalah ….

po

t.c

nilai

om

8.

Pembahasan: Perhatikan gambar disamping,

Perhatikan tan

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

Misal, jari-jari lingkaran sisi persegi ,

tan

Sehingga diperoleh koordinat Dan karena

.

, maka koordinat

Pandang persamaan lingkaran dengan pusat

.

yang melalui

ht

tp ://

, maka

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

adalah

Halaman 12 dari 37

Jika persegi berada di dalam juring dengan sudut pusat maka adalah segitiga sama sisi. Sehingga, . , berlaku aturan kosinus sebagai berikut: s

ht

tp ://

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

po

Pada

,

t.c

Perhatikan,

om

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan gambar disamping,

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 13 dari 37 Misalkan ….

bilangan real positif yang memenuhi

. Nilai minimum dari

Pembahasan: Misal,

Tanda kesamaan terjadi saat

Tanda kesamaan terjadi saat

Sehingga, nilai minimum dari

t.c dan

diperoleh:

, sehingga

dan

adalah

ht

tp ://

min

, sehingga

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

Padahal , sehingga Berdasarkan ketaksamaan

diperoleh:

po

Berdasarkan ketaksamaan

adalah

om

9.

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 14 dari 37

om

10. Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999. Hotel tersebut menerapkan aturan aneh sebagai berikut: jika suatu kamar berisi tamu, dan sembarang dua digit nomor kamar tersebut dipertukarkan tempatnya, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar yang tidak berisi tamu. Maksimal banyak kamar yang berisi tamu adalah ….

po

t.c

Pembahasan: Perhatikan aturan aneh pada hotel tersebut: “Jika suatu kamar berisi tamu, dan sembarang dua digit nomor kamar tersebut dipertukarkan tempatnya”, maka diperoleh:  nomor kamar yang sama. Jika nomor kamarnya sama, maka sudah pasti nomor kamar tersebut berisi tamu.  nomor kamar yang tidak berisi tamu. Artinya, permutasi dari digit kamar menghasilkan nomor kamar yang tidak berisi tamu.



pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

Padahal, kamar hotel bernomor 000 sampai dengan 999. Artinya ada 1000 buah kamar hotel. Kamar hotel tersebut dapat diklasifikasikan berdasarkan jenis digitnya, yaitu:  Nomor kamar yang ketiga digitnya sama. Maka nomor kamar tersebut adalah . Karena … , maka ada sebanyak 10 buah kamar yang tiga digitnya sama. Karena apabila dipertukarkan dua digitnya mendapat nomor kamar yang sama, maka ada 10 buah kamar yang berisi tamu. Nomor kamar dengan dua digit yang sama. Maka nomor kamar tersebut adalah Karena … dan misal dipilih sebanyak buah kamar.

.

, maka

…

, maka ada

Perhatikan tabel berikut: Jenis nomor kamar

Tamu

Ditukar 2 digitnya

Ada Tidak

⧎

Sehingga ada 

kamar yang berisi tamu.

Nomor kamar yang ketiga digitnya berbeda. Maka nomor kamar tersebut adalah . Karena … dan misal dipilih , maka , maka … , maka ada sebanyak

… dan misal dipilih buah kamar

Perhatikan tabel berikut:

tp ://

Jenis nomor kamar

Tamu

Ditukar 2 digitnya

Ada Tidak

Tamu

Ditukar 2 digitnya

Ada Tidak

Tamu

Ditukar 2 digitnya

Ada Tidak

⧎

⧎

ht

Berarti, ada tiga kamar yang terisi tamu, yaitu Sehingga ada kamar yang berisi tamu.

Jadi, maksimal banyak kamar yang berisi tamu adalah

⧎ .

buah kamar.

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 15 dari 37

dengan

, maka diperoleh , dimana:

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

…

…

, maka berlaku

po

Perhatikan, pandang bentuk . Jika untuk setiap bilangan asli berbeda … …

dengan

t.c

Pembahasan: Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli berbeda .

om

11. Fungsi memetakan himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi dan untuk setiap bilangan asli berbeda dengan , berlaku . Jika diketahui , maka nilai dari adalah ….

Sehingga apabila

diurutkan dari kecil ke besar diperoleh

Dan apabila bilangan asli dimana Jadi, akan berlaku

, maka

.

Nah, sekarang perhatikan bentuk faktorisasi prima dari 2016 adalah Serta pandang bentuk faktorisasi prima dari adalah Juga pada soal diketahui dan

tp ://

Untuk

ht

Dan karena Perhatikan juga karena Dari alternatif susunan

, maka diperoleh salah satu alternatif susunan

maka berlaku dan

, yaitu:

. , artinya

di atas maka dengan mudah dapat dilihat

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

. .

Halaman 16 dari 37

om

12. Diberikan segitiga dengan . Misalkan dan berturut-turut titik tengah dan . Titik terletak pada sisi sehingga adalah garis bagi sudut . Jika , maka besarnya sudut sama dengan …. Pembahasan: Perhatikan ilustrasi segitiga pada gambar di samping!

membagi sudut

sama besar, sehingga

po

Karena garis

t.c

Misal,

Sehingga,

Padalah

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

Padahal

dan

merupakan titik tengah berturut-turut sisi

Sehingga, karena Misal Diperoleh

, maka

Begitu pula karena Misal Diperoleh

adalah segitiga sama kaki.

adalah segitiga sama kaki.

dapat ditemukan dengan memandang bahwa

adalah suatu garis lurus.

ht

Jadi,

, sehingga

, berlaku

tp ://

Perhatikan

, maka

dan

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 17 dari 37 Komentar terhadap soal: Perhatikan, aturan kosinus pada

:

om

s s

t.c

s s

s diperoleh

, maka

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

Mengingat, dari

po

s

s

s

s s

Sehingga, s

Padahal Sehingga, untuk

.

.

Faktanya, pada soal

soal di atas akan menjadi benar dan nyata apabila memenuhi

, yaitu

.

ht

tp ://

Kesimpulannya soal tersebut memang dapat dikerjakan secara benar dengan konsep dan mendapatkan hasil yang seolah-olah benar. Namun, apabila dicermati lebih lanjut maka bentuk segitiganya tidak dapat digambarkan….

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 18 dari 37 suatu polinom berderajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di , maka nilai adalah ….

dan

om

13. Misalkan . Jika

, sehingga

Padahal

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

po

dapat ditentukan dengan menggunakan anti-turunan dari

t.c

Pembahasan: Perhatikan, nilai maksimum di dan , artinya dan . Karena suatu polinom berderajat 4, maka adalah suatu polinom berderajat 3 yang memuat faktor dan , serta satu faktor yang lain, misal . Jadi,

memiliki nilai maksimum 2018 di

Sehingga, karena

, arti...