Permutaciones 1.1 - Nota: 5 PDF

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Explicación, ejemplos y solución de ejercicios de los temas vistos en el documento....

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PERMUTACIONES

Introducción En el siguiente documento llevaremos a cabo una sencilla pero sustanciosa vista a las permutaciones matemáticas, una forma de conteo con la cual podemos conocer de cuántas formas se puede realizar un suceso bajo ciertas condiciones.

¿Qué es una permutación? En el lenguaje diario y el lenguaje matemático permutar, significa cambiar el orden. Se llama permutación de un cierto número de objetos a cada disposición u ordenación diferente entre ellos, Ejemplo. Si analizamos las letras de cosa y saco observamos que constan de las mismas letras, sin embargo, son vocablos diferentes porque son ordenaciones diferentes de las letras a, s, c y o.

Características La principal característica de las permutaciones es que el orden en que son tomados los elementos es importante. lo cual la diferencia de las combinaciones en las que el orden no es importante, por ejemplo. Si estoy contando todas las combinaciones posibles entre un conjunto de tres elementos como {a, b, c}, la permutación daría como resultado seis combinaciones posibles {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a},

{c, a, b} y {c, b, a}, en cambio la combinatoria al no distinguir el orden, las considera a todas iguales por lo tanto solo da una combinación.

La fórmula de las permutaciones es: n Pr=

n! ( n− r ) !

¿Para qué sirven? Haciendo uso de la permutación podemos conocer la cantidad de arreglos que se pueden hacer en un conjunto de N objetos tomando de a R objetos por vez.

A la hora de permutar se pueden presentar distintos casos: Caso 1.- No podemos repetir (permutación simple u ordinaria) Se llama permutación simple de n elementos tomados de r en r (r < n) a los distintos grupos formados por r elementos de forma que: • Los r elementos que forman el grupo son distintos (no se repiten) • Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados (influye el orden). • No se utilizan todos los elementos. Al elegir un primer elemento, lo podemos hacer de n formas. Quitamos el

elemento elegido y elegimos otro de entre los n-1 que quedan. Esto podrá hacerse de n-1 formas. Quitamos también este elemento y nos quedamos con n-2, de entre los que elegimos el tercero. Esto lo podremos hacer de n-2 formas... Según la regla del producto, las maneras de escoger k elementos de entre un total de n según un determinado orden, será igual al producto de: n ⋅(n-1). (n-2)⋅...⋅(n − r +1) Notación. Pn,r , nPr y P(n,r) denota el número de permutaciones de n elementos distintos tomados de r en r. Para llegar a una versión simplificada se opera así: P(n , k )=

n! ( n− k ) !

Ejemplo: -P(10,4) son las permutaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos: P ( 10,4 )=

10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1! 10 ! =5,040 = 6 5 4 3 2 1! ( 10− 4 ) !

En el caso especial en que n = k, se llama permutaciones de n.

Caso 2.- Podemos repetir Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son: n × n ×... (r veces) = n^r

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Ejemplo: -¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 1 y 2? Solución:

2

3

=8

Caso 3.- Podemos repetir y existen elementos repetidos Son permutaciones con repetición de n elementos, no todos distintos. Todas las agrupaciones de n elementos, formadas por aquellos, están dispuestos linealmente y sin que ninguno haga falta. El número de permutaciones con repetición que pueden realizarse con n elementos, donde existen α1, α2, α3,... αm elementos iguales entre sí (de una misma clase) y el resto distintos entre sí y distintos también a los anteriores es:

Paam1,a2,a3, ..., n

=

n! a1!xa 2!.xa m!

Ejemplo: 1. Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones:

Es decir, se tienen 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.

Ejercicios resueltos: Caso 1: Ej 1: De un grupo de 6 estudiantes quiere elegirse una comisión de 3 para que cada uno visite un parque distinto ¿Cuántos grupos se pueden formar? P6,3 = grupos Ej 2: ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 5 niños en una silla? P6 = 5! = 120 formas Caso 2: Ej 1: En una cerradura hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos: 10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones Caso 3: Ej 1: Un dado es tirado 7 veces, y el orden de los tiros es considerado. ¿De cuántas maneras pueden ocurrir 2 números 2, 3 números 3, 1 número 4 y un número 5?

Ej 2: Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4;

¿Cuántos números de nueve cifras se pueden formar? m= 9 a= 3 b= 4 c= 2 a+b+c = 9 sí entran todos los elementos si importa el orden si se repiten los elementos

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS.

(4 de febrero de 2004). “Permutaciones”. [Libro electrónico]. recuperado de COMBINATORIA Y PROBABILIDAD. (6 de septiembre de 2007). “Orden del Universo”. [Artículo]. recuperado de LA MAGIA DE LAS PERMUTACIONES. (23 de octubre de 2004). “Combinaciones y Permutaciones”. [Libro electrónico]. recuperado de ESTADÍSTICA APLICADA....