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Personal Finance Formeln

Immobilien Renditen Rohertrag (RoE) = reine Mieteinnahmen (Kaltmiete) = Miete €/m² * Wohnfläche * 12 Monate (für den RoE für ein Jahr) Reinertrag (ReE) = Rohertrag – nicht umlegbare Bewirtschaftungskosten = RoE – NuB = reine Mieteinnahmen – (Verwaltungsgebühr (€/Monat) * 12 Monate für ein Jahr) – Mietausfallwagnis pro Jahr Investitionskosten = Kaufpreis (€/m² * Wohnfläche) + sämtliche Zusatzkosten die direkt beim Kauf anfallen (Sanierungskosten, Notar, Grunderwerbssteuer etc.)

=

(in % pro Jahr)

Statische Rendite II =

(in % pro Jahr)

Statische Rendite I

Immobilienbezogene Rendite im engeren Sinne: Beispiel: Kaufpreis

150.000 €

Investitionskosten

180.000 €

Reinertrag

9084 €/Jahr

Immobilienwertsteigerung

10% / Jahr (immer auf Kaufpreis bezogen!)

Laufzeit

Vermietung für 2 Jahre danach Verkauf der Immobilie

Zahlungsströme:

-180.000

9084

9084 + 181.500

Investitionskosten

Reinertrag

ReE + Verkaufspreis mit Wertsteigerung für 2 Jahre

in t=0

in t=1

in t=2

Die immobilienbezogene Rendite berechnet sich nun wie die interne Rendite, durch Abzinsen aller Zahlungsströme, gleich 0 setzen und Auflösen nach dem Abzinsungssatz r. AUCH EIN EFFEKTIVZINS LÄSST SICH GENAU NACH DIESEM SCHEMA BERECHNEN!

-180.000 +

+

=0

Zuerst mit (1 + r)² multiplizieren

-180.000 (1 + r)² + 9084 (1 + r) + 190.584 = 0

Dann mit Mitternachtsformel auflösen

(1 + r1,2) = (1 + r1) = 1,0545

(1 + r2) = -1,0040

r1 = 5,45%

r2 = -200,4%

Ergebnisse -1 und mal 100 für %-Zahlen

Die immobilienbezogene Rendite im engeren Sinne ist damit 5,45%.

Abschreibungen: Prozentsätze der Abschreibungen für Kaufpreis und für nachträgliche Herstellungskosten (z.B. Sanierungskosten) sind angegeben. Die Abschreibungen für die restlichen Investitionskosten (z.B. Notar, Grunderwerbssteuer) werden anteilig verteilt. Beispiel: Kaufpreis:

150.000 €

Sanierungskosten:

20.000 €

Notar + Grunderwerbssteuer:

5.000 €

Abschreibung auf Kaufpreis:

5%

Abschreibung auf nachträgliche Herstellungskosten:

10%

170.000 €

Die 5.000 € für Notar und Grunderwerbssteuer werden nun anteilsmäßig auf Kaufpreis und nachträgliche Herstellungskosten verteilt: 5.000 € *

= 4411,76 €

 zu Kaufpreisabschreibungen

5.000 € *

= 588,24 €

 zu Abschreibungen für nachträgliche Herstellungskosten

Gesamtabschreibungen:

5%(150.000 + 4411,76) + 10%(20.000 + 588,24) = 9779,41 €

Einkünfte des Investors

=

Reinertrag – Fremdkapitalzinsen – Gesamtabschreibungen

(Die Einkünfte können auch negativ sein, dann weniger zu versteuerndes Einkommen des Investors  siehe Steuerrückfluss)

Steuerrückfluss = nach Immobilieninvestition

Steuerschuld vor Immobilieninvestition – Steuerschuld

(Hat der Investor durch die Einkünfte aus der Immobilie mehr zu versteuerndes Einkommen so wird das Ergebnis negativ, und der Investor muss mehr Steuern bezahlen) Nettorückfluss

=

Reinertrag – Fremdkapitalzinsen + Steuerrückfluss

Immobilienbezogene Rendite im weiteren Sinne: Bei der immobilienbezogenen Rendite im weiteren Sinne werden statt des Reinertrages die Nettorückflüsse herangezogen und statt der gesamten Investitionskosten wird nur das Eigenkapital des Investors (ohne fremde Kredite) als Anfangsauszahlung betrachtet. Zudem wird in der letzten Periode die Rückzahlung des Fremdkapitals (Kredit) berücksichtigt und abgezogen. Damit ergeben sich beispielhaft folgende Zahlungsströme bei 2 Jahren Laufzeit: -72.000

4405

Investitionskosten nur

Nettorückfluss

Eigenkapital in t=0

4405 + 181.500 – 108.000 Nettorückfluss + Verkaufspreis mit Wertsteigerung 2 Jahre – Kreditrückzahlung

in t=1

in t=2

Durch Abzinsen, gleich 0 setzen und Auflösen nach r erhalten wir wieder die immobilienbezogene Rendite:

-72.000 +

+

=0

-72.000 (1 + r)² + 4405 (1 + r) + 77.905 = 0

Zuerst mit (1 + r)² multiplizieren Dann mit Mitternachtsformel auflösen

(1 + r1,2) = (1 + r1) = 1,0712

(1 + r2) = -1,010

r1 = 7,12%

r2 = -201,0%

Ergebnisse -1 und mal 100 für %-Zahlen

Die immobilienbezogene Rendite im weiteren Sinne ist damit 7,12%.

Ermittlung des Verkehrswertes einer Immobilie: 1. Ertragswertverfahren: Als erstes wird wie gewohnt der Reinertrag berechnet.

z.B. ReE = 80.000 €

Nun wird der Reinertragsanteil der baulichen Anlage (ReRa) wie folgt berechnet: ReRa = Reinertrag – (Bodenwert * Liegenschaftszins) z.B. ReRa = 80.000 – (100.000 * 3%) = 77.000 € Schließlich kann der Ertragswert berechnet werden: Ertragswert = ReRa * (Renten-)Barwertfaktor + Bodenwert z.B. Ertragswert = 77.000 * 25,73 + 100.000 = 2.081.210 €

2. Sachwertverfahren: Als erstes werden die Gesamtherstellungskosten ermittelt. z.B. Gesamtherstellungskosten für ein bestimmtes Jahr = Herstellungskosten * Baupreisindex = 300.000 * 1,198 = 359.400 € Anschließend werden die Alterswertminderungen abgeschrieben und von den Gesamtherstellungskosten abgezogen. So erhält man den Restwert. z.B. 80 Jahre Gesamtnutzungsdauer und Gebäude wurde bereits 7 Jahre abgeschrieben: * 359.400 = 31.447 €  Restwert = 359.400 - 31.447 = 327.952,5 € Zuletzt erhält man den Sachwert der Immobilie durch Addition des Restwertes mit dem Bodenwert: z.B. Sachwert = Restwert + Bodenwert = 327.952,5 + 100.000 = 427.952,5 €

Bausparvertrag: Bausparsumme (in €) Mindestsparguthaben (in €) Regelsparbeitrag s (in %) Guthabenzins r (in %) Laufzeit T (in Jahren)

Regelsparbeitrag (in €) = Bausparsumme * Regelsparbeitrag s (in %) Sparguthaben (SG) =

* Regelsparbeitrag (in €)

Anteil des Sparguthabens am Mindestsparguthaben = Laufzeit T =

Aktien, Optionen, Portfolioabsicherung Bezugsrecht / Bezugsverhältnis von Aktien: Bezugsrecht = Recht eines Aktionärs, eine bestimmte Anzahl junger Aktien zu kaufen Bezugsverhältnis = Anzahl alter Aktien für den Erwerb einer jungen Aktie (z.B. 2:1  Altaktionär erhält für 2 alte Aktien eine junge Aktie) Berechnung des Bezugsverhältnisses (BV) =

Wert des Bezugsrechts (WB) =

Garantiefonds: -

Besteht aus einem Zerobond und einer Long Call-Option Kapitalerhaltung: Zerobond zahlt immer einen fixen Betrag aus (unabhängig vom Kurs)  Mindestportfoliorendite Garantiefond hat somit weniger Ertrag als der reine Kursgewinn durch den Call aber auch weniger Risiko!

St = Kurs / Indexstand der Option zum Zeitpunkt t X = Strike / Partizipationsquote = Ab diesem Kurs führe ich meine Call-Option aus! Payoff der Call-Option bei Fälligkeit ist somit im schlimmsten Fall 0 (keine Verluste): Payoff = max (St – X; 0)

Absicherung eines Portfolios (OBPI): (Angaben in blau dienen der Beispielberechnung!) St: Kurs zum Zeitpunkt t (1500 €) X: Strike (1500 €) r f: Risikofreier Zins (Achtung meist kontinuierlich, nicht exponentiell!) (4%) V 0: Anfangsvermögen (200.000 €) T: Laufzeit in Jahren (3) σ: Volatilität (25%) und Mindestrendite in % muss angegeben sein (1%)

Schritt 1: Nominalwert des Zerobonds (Garantieniveau) berechnen:  Dieses Vermögen möchte ich nach der Laufzeit auf jeden Fall sicher haben

Anfangsvermögen über die Laufzeit mit Mindestrendite aufzinsen: V0 * (1 + Mindestrendite)T = 200.000 * 1,01³ = 206.060,20 €  Garantieniveau

Schritt 2: Verfügbares Geld für Zerobond und Kauf der Call-Optionen berechnen: Nominalwert des Zerobonds über die Laufzeit mit risikofreiem Zins abzinsen: Nominalwert Zerobond * e –rf * T = 206.060,20 * e –0,04 * 3 = 182.759,0026 €  Dieses Geld ist heute für den Zerobond nötig, um nach der Laufzeit das Garantieniveau zu erreichen Dann abgezinsten Zerobond vom Anfangsvermögen abziehen: V0 – abgezinster Zerobond = 200.000 – 182759,0026 = 17.240,9974 €  Dieses Geld steht zum Kauf der Call-Optionen zur Verfügung

Schritt 3: Preis für eine Call-Option berechnen:  Callpreis mit Black/Scholes Formel ermitteln d1 =

=

= 0,49

 In Normalverteilungstabelle nachsehen: N(d1) = N(0,49) = 0,6879

d2 = d1 – σ * = 0,49 – 0,25 * = 0,06  In Normalverteilungstabelle nachsehen: N(d2) = N(0,06) = 0,5239

Callpreis = St * N(d1) – X * e –rf * T * N(d2) = 1500 * 0,6879 – 1500 * e –0,04* 3 * 0,5239 = 334,8635748  Preis für eine Call-Option

Schritt 4: Kaufbare Anzahl an Call-Optionen (n) berechnen und Portfoliowert kontrollieren: Leistbare Anzahl an Call-Optionen (n) =

=

=

51,48663127 Stück

Wert des Portfolios überprüfen, es muss mit dem Anfangsvermögen V0 übereinstimmen: Wert des Zerobonds heute + n * Preis für eine Calloption = V0 182.759,0026 + 51,48663127 * 334,8635748 = 200.000 €

Schritt 5: Portfolioanteile berechnen: Zerobondanteil =

= 91,38 %

=

Callanteil =

= 8,62 %

=

 Nun sind alle nötigen Daten des Portfolios gesammelt und alle Werte für t = 0 mit Laufzeit T = 3 berechnet (Portfoliorendite ist in der Startperiode natürlich noch 0)  Als nächstes können die Portfolioanteile und die Portfoliorenditen für alle folgenden Perioden t = 1, 2 ,3 mit den Restlaufzeiten T = 2, 1, 0 berechnet werden

Portfolio in t = 1: -

Die (Rest-)Laufzeit T beträgt nun 2 Jahre Der Kurs der Option verändert sich nun, z.B. Anstieg um 5 % von S0 = 1500 auf S1 = 1575 Alle anderen Merkmale des Portfolios bleiben konstant, so dass alle Berechnungen analog zu t = 0 durchgeführt werden können

Garantieniveau des Zerobonds ist weiterhin 206.060,20 € Wert des Zerobonds in t = 1: (mit bestehendem rf = 4 % und neuer Restlaufzeit T = 2 abgezinst) 206.060,20 * e –0,04 * 2 = 190.217,539 € Anschließend mit der neuen Restlaufzeit T = 2 und dem neuen Kurs der Option S1 = 1575 wieder den Preis der Call-Option mit Black/Scholes Formel berechnen: Callpreis = 314,40 € Die Anzahl n der Optionen im Portfolio bleibt ebenfalls weiterhin bei 51,48663127 Stück Der Wert des Portfolios in t = 1 ist damit wieder: Wert des Zerobonds + n * Preis für eine Call-Option = 190.217,539 € + 51,48663127 * 314,40 = 206.404,9359 €

Nun lassen sich wieder die Portfolioanteile berechnen: Zerobondanteil =

=

Callanteil =

=

= 92,16 % = 7,84 %

Die Portfoliorendite lässt sich nun über die einfache Formel für Änderungsraten berechnen: =

= 3,20 %

Portfolio in t = 2: -

Selbes Verfahren wie in t = 1 nur mit neuer Restlaufzeit T = 1 und neuem Kurs z.B. S2 = 1811,25 (Steigerung gegenüber S1 um 15 %) Alle anderen Merkmale des Portfolios bleiben wieder konstant und alle Berechnungen können analog ausgeführt werden

Garantieniveau des Zerobonds ist weiterhin 206.060,20 € Wert des Zerobonds in t = 2: (mit bestehendem rf = 4 % und neuer Restlaufzeit T = 1 abgezinst) 206.060,20 * e –0,04 * 1 = 197.980,46 € Anschließend mit der neuen Restlaufzeit T = 1 und dem neuen Kurs der Option S2 = 1811,25 wieder den Preis der Call-Option mit Black/Scholes Formel berechnen: Callpreis = 409,39 € Die Anzahl n der Optionen im Portfolio bleibt ebenfalls weiterhin bei 51,48663127 Stück Der Wert des Portfolios in t = 2 ist damit wieder: Wert des Zerobonds + n * Preis für eine Call-Option = 197.980,46 € + 51,48663127 * 409,39 = 219.058,572 €

Nun lassen sich wieder die Portfolioanteile berechnen: Zerobondanteil =

=

Callanteil =

=

= 90,38 % = 9,62 %

Die Portfoliorendite ist somit: =

= 6,13 %

Portfolio in t = 3: -

In der letzten Periode (hier t = 3) gibt es aufgrund der endenden Laufzeit T = 0 einige Vereinfachungen bei den Berechnungen Nehmen wir an der Kurs der Option sei gegenüber S2 um 10 % gestiegen, also S3 = 1992,38

Der Wert des Zerobonds ist in der letzten Periode nun genau das Garantieniveau! (206.060,20) Der Preis der Call-Option kann wegen T = 0 nun nicht mehr mit Black/Scholes berechnet werden. Abhilfe schafft hier die Berechnung des Callpreises mit der Payoff-Formel: Callpreis = Payoff = max (St – X; 0) = max (1992,38 – 1500; 0) = 492,38 € Die Anzahl n der Optionen im Portfolio bleibt ebenfalls weiterhin bei 51,48663127 Stück Der Wert des Portfolios in t = 3 ist damit wieder: Wert des Zerobonds + n * Preis für eine Call-Option = 206.060,20 € + 51,48663127 * 492,38 = 231.411,1875 €

Nun lassen sich wieder die Portfolioanteile berechnen: Zerobondanteil =

=

Callanteil =

=

= 89,05 % = 10,95 %

Die Portfoliorendite ist somit: =

= 5,64 %

Bewertung einer Performance Fee mit OPT: (Blaue Zahlen dienen der Beispielrechnung) Gegeben: Anteilswert eines Fonds (50 €) Performance Fee (20 %) Hurdle-Rate (8 %) Laufzeit T (1 Jahr) Achtung: Genau auf die Angabe achten! 0,5 oder 0,75 etc. möglich! Volatilität (30 %) risikofreier Zinssatz rf (2 %) meist kontinuierlich!

Gesucht: Performance Fee heute

Berechnung: Die Performance Fee ist 20 %, somit suchen wir 0,2 * den Callpreis! Der Callpreis berechnet sich nun wieder über Black/Scholes. Der aktuelle Kurs St entspricht dabei dem Anteilswert des Fonds, hier also 50 €. Der Strike X entspricht dem Anteilswert des Fonds * (1 + Hurdle-Rate)T, also 50 * 1,081 = 54 € d1 =

=

= - 0,4

 In Normalverteilungstabelle nachsehen: N(d1) = N(- 0,4) = 1 – N(0,4) = 0,4840

d2 = d1 – σ * = - 0,4 – 0,3 * = - 0,34  In Normalverteilungstabelle nachsehen: N(d2) = N(-0,34) = 1– N(0,34) = 0,3669

Callpreis = St * N(d1) – X * e –rf * T * N(d2) = 50 * 0,4840 – 54 * e –0,02 * 1 * 0,3669 = 4,7795 Performance Fee heute = 0,2 * Callpreis = 0,2 * 4,7795 = 0,9559 €  Bezogen auf den Anteilswert =

= 1,91 %

Inflationsanleihen Kapitalindexierte Inflationsanleihen: -

Laufende Anpassung des Nennwerts der Anleihe an die Inflationsentwicklung  Dadurch steigender Nominaler Kupon (Kuponzahlung) Erhöhter Rückzahlungsbetrag (i.d.R. >= 100%)

Beispiel:

Realkupon und Inflationsrate sind gegeben. Indexierter Nominalwert beginnt immer mit 100% und erhöht sich von Periode zu Periode immer um die Inflationsrate. (z.B. in t = 3: 105,06 * 1,025 = 107,69) Nominaler Kupon (Kuponzahlung): in allen folgenden Perioden: Realkupon * Indexierter Nominalwert z.B. in t = 2: Kuponzahlung = 0,02 * 105,06 = 2,10 % Rückzahlung in letzter Periode = Indexierter Nominalwert der letzten Periode

Kuponindexierte Inflationsanleihen: -

Keine laufende Anpassung des Nennwerts der Anleihe an die Inflationsentwicklung Kompensation nur über den nominalen Kupon Rückzahlungsbetrag immer 100%

Beispiel:

Realkupon und Inflationsrate sind gegeben. Indexierter Nominalwert beginnt immer mit 100% und erhöht sich von Periode zu Periode immer um die Inflationsrate. (z.B. in t = 4: 107,69 * 1,015 = 109,30) Nominaler Kupon (Kuponzahlung): Realkupon + Inflationsrate in allen Perioden: z.B. in t = 2: Kuponzahlung = 2,00 % + 2,50 % = 4,50 % Rückzahlung in letzter Periode = immer 100%

Tracking Error, Sharpe Ratio & Jensen Alpha Tracking Error zur Beurteilung der Manageraktivität: Gegeben sind zwei Fonds X und Y mit ihren Monatsrenditen RXt und RYt Zudem ist eine Indexrendite über alle Monate RMt gegeben. Beispiel (vereinfacht für nur 3 Monate): t

1

2

3

RMt

2,71

-6,58 15,80

RXt

2,83

-7,02 16,03

RYt

1,19

-6,76 14,31

Als erstes werden die Abweichungen der Fondsrenditen von den Indexrenditen ΔX und ΔY berechnet. Dabei gilt: ΔX = RXt - RMt und ΔY = RYt - RMt Dabei ergeben sich folgende Abweichungen: t

1

2

3

ΔX

0,12

-0,44 0,23

ΔY

-1,52 -0,18 -1,49

Nun wird der Mittelwert beider Abweichungen berechnet: Mittelwert ΔX = 1/3 * (0,12 + -0,44 + 0,23) = -0,03 Mittelwert ΔY = 1/3 * (-1,52 + -0,18 + -1,49) = -1,06

Der Tracking Error TrE berechnet sich nun nach der Formel für die Standardabweichung: TrEX =

–

=

–

=

= 0,2934

TrEY = = 0,6247

 Fond Y zeigt eine höhere Aktivität  Fond X ist damit zu teuer

Ähnlich funktioniert das Verfahren für die Bestimmung des Tracking Errors der Regression TrE R: Die monatlichen Residuen der beiden Fonds εXt und εYt sind gegeben. Die Tracking Errors der Regression werden nun nach folgenden Formeln berechnet: TrERX = TrERY =  Auch hier gilt: Der Fond mit dem höheren TrER zeigt die höhere Aktivität, der andere Fond ist zu teuer, wenn er deutlich niedrigere Aktivität zeigt.  Wichtig: TrE TrER

Sharpe Ratio: Gegeben sind die Erwartungswerte µ, die Volatilitäten σ und die β-Werte verschiedener Fonds und des Marktes, sowie ein risikofreier Zinssatz rf. β = Wie stark reagiert die Rendite einer Anlage auf Schwankungen der Rendite des Marktes. βMarkt ist daher immer 1 ! Die Sharpe Ratio eines Fonds X lässt sich über folgende Formel berechnen: SRX =  Für alle anderen Fonds und den Markt erfolgt die Berechnung analog  Die Sharpe Ratio ist risikonormiert  Ein Vergleich zwischen den Anlagen IST möglich

Jensen Alpha: Jens Olaf Alpha (genannt Jensen Alpha, * um 970 in Island; † um 1020) war ein Wikingerhäuptling vom Stamm der Wilkensier. Jensen Alpha wurde vermutlich um 970 als Sohn Eriks des Roten und seiner Frau Thjodhild (womöglich vor der Taufe Thorhild) geboren. Neben seinen blutigen Raubund Plünderzügen war er vor allem für sein mathematisches und wirtschaftliches Genie bekannt. Um den Wert der Überrendite seiner geplünderten Schätze zu messen, stellte er eines Abends in seiner Hütte bei einem Horn Met und einer Pfeife Auenlandkraut folgende Überlegungen an: Das Jensen Alpha gibt die Überrendite über einer adäquaten Benchmark (z.B. dem Markt) an. Gegeben sind die Erwartungswerte µ, die Volatilitäten σ und die β-Werte verschiedener Fonds und des Marktes, sowie ein risikofreier Zinssatz rf. Das Jensen Alpha eines Fonds X lässt sich über folgende Formel berechnen: JAX = (µ X – rf) – βX * (µ Markt – rf)     

Für alle anderen Fonds erfolgt die Berechnung analog Das JA des Marktes = 0, da es die Überrendite des Marktes über sich selbst angibt Das Jensen Alpha ist risikoadjustiert Ein direkter Vergleich zwischen den Anlagen ist NICHT zulässig Hinga dinga durgan!

Wahrscheinlichkeiten zur Lebenserwartung / Lebensversicherungen qX = Sterbewahrscheinlichkeit im Alter X pX = Wahrscheinlichkeit im Alter X noch zu leben lX = Anzahl der Lebenden im Alter X h = Höchstmögliches Alter, kein Mensch wird älter als h  Sterbetafeln für Männer und Frauen werden für Berechnungen benötigt (siehe Anhang)

Wahrscheinlichkeit, dass eine 53 jährige Frau im Alter von 54 stirbt: p53 * q54 = 0,99699346 * 0,00319122 = 0,00318163 Wahrscheinlichkeit, dass eine 53 jährige Frau im Alter von 60 stirbt: = 0,00524735 q60 * = 0,00538935 * Wahrscheinlichkeit, dass eine 53 jährige Frau das Alter von 60 erreicht: = 0,97365187 = Wahrscheinlichkeit, dass eine 5...