Plaski stan naprezenia i odksztalcenia wytrzymałość materiałów PDF

Preview

Summary

zadania do kolokwium z wytrzymałości materiałów politechnika wrocławska...

Description

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3.

1



3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora

= { x , y ,  xy }

(3.1)

Za dodatnie składowe uznajemy te, których zwroty są ze składowymi jak pokazano na rysunku:

y 

yx

 

x



y

xy



x

xy



yx



y

x Rys. 3.1. Znakowanie składowych naprężeń

Wartości składowych wektora naprężenia w stosunku do układu obróconego o kąt  zapisujemy:

 x ,= x cos 2  y sin 2  2  xy sin  cos  2

2

(3.2)

 y ,= x sin  y cos − 2  xy sin  cos 

(3.3)

 x ' y ' =− x − y sin  cos  xy cos2 −sin 2 

(3.4)

lub krócej w postaci macierzowej

 ' =T  

(3.5)

gdzie wektory  ' i  opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych obróconych i wyjściowych.

Macierz transformacji zapisujemy w postaci: J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

[

2

2

c s 2 T = s 2 c −sc sc

2 sc −2 sc 2 2 c −s

]

2

(3.6)

Wygodnie jest przedstawić te zależności wykorzystując wzory na kąty podwójne. Otrzymamy wówczas

 x ,=

 x  y  x − y  cos 2   xy sin  2  2 2

(3.7)

 y ,=

 x  y  x − y − cos 2 − xy sin  2  2 2

(3.8)

 x ' y ' =−

 x − y sin 2  xy cos 2  2

(3.9)

Muszą być oczywiście spełnione warunki, które nazywamy warunkami niezmienniczości lub krócej niezmiennikami, które zapiszemy następująco:

 x  y = x '  y ' =const.

(3.10)

 x  y −2xy= x '  y ' − x2 ' y ' =const.

(3.11)

Aby znaleźć kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne naprężenia główne należy obliczyć ekstremum równania (3.7) względem kąta  . Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera otrzymamy:

tg 2  gł =

  y  I , II = x ± 2

2  xy  x − y



(3.12)

2



 x − y 2xy 2

(3.13)

Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych obróconego o kąt / 4 w stosunku do układu osi głównych. Te wartości wynoszą:

 ' MAX =



2



 x  y 2xy 2

(3.14)

Jeśli będziemy mówić o stanie odkształcenia, będziemy posługiwać się wektorem opisującym składowe odniesione do układu (x0y) w postaci: J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3

= { x  y  xy }

(3.15)

Zależności geometryczne nazywane związkami Cauchy'ego przy użyciu opisu przemieszczeń u i v, odpowiednio w kierunkach osi x i y, wyrażone będą w postaci:

x=

∂u ∂x

y=

∂v ∂y

 xy =

∂u ∂v  ∂y ∂x

(3.16)

Związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami pokazano na rysunku poniżej:

v

∂u dy ∂y

∂v dy ∂y

∂u ∂y

dy

∂v ∂x

v

y,v

u dx

∂v dx ∂x ∂u u dx ∂x

x,u Rys. 3.2. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego

W zapisie macierzowym związki (3.16) można przedstawić następująco

=Lu

(3.17)

gdzie wektor u=[u , v ]T , natomiast macierz L jest operatorem różniczkowym, który dla problemu dwuwymiarowego przyjmuje postać:

[ ] ∂ ∂x

L=

0

∂ ∂y

0

∂ ∂y ∂ ∂x

(3.18)

W płaskim stanie naprężenia (płaszczyzna x0y) niektóre składowe tego stanu są równe zeru:

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

4

 z =0  xz =0

(3.19)

 yz =0 Co pociąga również za sobą fakt, że niektóre składowe odkształceń są równe zeru:

 xz =0  yz =0

(3.20)

a wartość  z ≠0 Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco

x=

1   − y  E x

(3.21)

1  y =   y − x  E  xy =

21 1  =  xy G xy E

  z =−   x  y  E

(3.22)

lub w postaci relacji odwrotnej

 x=  y=

 xy =

gdzie

=

E  x  y  1−2 E 1−2

(3.23)

  y x 

E E  xy  xy = 21 1−2

(3.24)

1 − 2

Powyższe zależności można zapisać macierzowo w postaci

=C  J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

(3.25)

AlmaMater

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

5

gdzie

C=

[

1 − 0 1 − 1 0 E 0 0 21

]

(3.26)

lub odwrotnie

= D 

(3.27)

gdzie

−1

D=C =

[ ]

1  0 E 1 0 2  1− 0 0 

(3.28)

W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru:

 z =0  xz =0  yz =0

(3.29)

 xz =0  yz =0 natomiast

 z ≠0

(3.30)

Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco

x=

1  − y − z  E x

(3.31)

1  y =   y − x − z  E  xy =

21  xy E

(3.32)

oraz

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

z=

1 − x − y  z  =0 E

6

(3.33)

skąd

 z =   y  x

(3.34)

Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (3.31) i (3.32) otrzymamy ostatecznie

x=

1 1− x − y ] E [

(3.35)

y=

1 [1− y − x ] E

(3.36)

21  xy E

(3.37)

 x=

E [1− x − y ] 11−2 

(3.38)

 y=

E [1− y −x ] 11−2 

(3.39)

E  21 xy

(3.40)

 xy = lub odwracając zależności:

 xy = W zapisie macierzowym zapiszemy:

C=

[

1− − 0 1 − 1− 0 E 0 0 2

]

(3.41)

oraz

E D=C −1= 11−2 

[

1− 

 1−

0

0

0 0 1−2  2

]

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

(3.42)

AlmaMater...