Posible Solucio¿n - PEC2 - PA - 2019 1 PDF

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M1.503 · Procesado Avanzado · PEC2 · 2019-20 · Estudis d’Informàtica Multimèdia i Telecomunicació

Procesado Avanzado Posible solución – PEC2 ! Descripción de la PEC 1) Un determinado proceso geológico 𝑥" sigue una función de autocorrelación 𝑟$$ (𝑘). Queremos estudiar la capacidad que tenemos de predecir las muestras futuras utilizando un filtro FIR a través del estudio del error 𝑒" ). Utilizamos el esquema de la figura 1. 𝑘𝜋 1 𝑟(𝑘) = 𝑟+ = 𝐸[𝑥" 𝑥".+ ] = 0.95|+| 73 + 𝑐𝑜𝑠 = ?@ 4 4

Figura 1 a) Representa la función de autocorrelación 𝑟+ para valores −100 ≤ 𝑘 ≤ 100. r (k) xx

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

k

b) Analiza la notación matricial presentada en la figura 1 que deberás mantener a lo largo del ejercicio y respeta la cursiva para escalares, la negrita minúscula para vectores y la negrita mayúscula para matrices. Utiliza el subíndice para indicar la dependencia secuencial. Encuentra la función de coste a partir de la función del error para cualquier valor de N i cualquier valor de k. Define los vectores y matrices que puedan aparecer. Sabemos que la función de coste toma la forma: 1

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𝐽(𝐰) = 𝐸[𝑒" E] = 𝐸[(𝑥" −)𝒘G 𝐱".+)(𝑥" −)𝒘G 𝐱".+)]

donde:

= 𝐸[𝑥" E ] − 2𝐸[𝑥" 𝐰 G 𝐱".+ ] + 𝐸[𝐰 G 𝐱".+ 𝐰 G 𝐱".+ ] = 𝐸[𝑥" E ] − 2𝐰 G 𝐸[𝑥" 𝐱".+ ] + 𝐰 G 𝐸[𝐱".+ 𝐱".+ G ]𝐰 = 𝑟J − 2𝐰 G 𝐫+ + 𝐰 G 𝐑𝐰 𝑟+ 𝐫+ = M . . . Q 𝑟+.NOP

𝑟J 𝐑 =M ⋮ 𝑟N.P

. . . 𝑟N.P ⋱ ⋮ Q ... 𝑟J

c) Proporciona para cualquier valor de k y de N la expresión del error mínimo.

Sabemos que los pesos 𝐰TUV que minimizan la función de coste 𝐽(𝐰))se calculan como: 𝐰TUV = 𝐑.P 𝐫+

Substituyendo en la función de coste es fácil obtener:

G 𝐫+ 𝑒WX")+ = 𝐽(𝐰)WX" = 𝐽Y𝐰TUVZ = 𝑟J − 𝐰TUV

Al cumplirse que (𝐑.P )G =𝐑.P ) por tanto:

donde:

G = 𝐫+ G 𝐑.P 𝐰TUV

𝑒WX")+ = 𝐽WX")+ = 𝑟J − 𝐫+ G 𝐑.P 𝐫+ 𝑟+ 𝐫+ = M . . . Q 𝑟+.NOP

𝑟J 𝐑 =M ⋮ 𝑟N.P

. . . 𝑟N.P ⋱ ⋮ Q ... 𝑟J

d) Proporciones los valores de la función de costes para el caso k=4, N=2 en función de los valores de w. Proporciona los valores con cuatro decimales. 𝐽 ( 𝐰) = 𝑟J − 2𝐰 G 𝐫+ + 𝐰 G 𝐑𝐰

𝐽 (𝐰 ) = 𝑟J − 2[𝑤J

𝑟 𝑤P] \ ] _ + [ 𝑤J 𝑟^

𝑤P] \

𝑟J 𝑟P

𝑟P 𝑤J 𝑟J _ \𝑤P _

𝑟J = 1 , 𝑟P = 0.8804, 𝑟] = 0.4073, 𝑟^ = 0.4435

𝐽( 𝐰) = 1 − 2 [𝑤J

𝑤P] \0.4073 _ + [𝑤J 0.4435

0.8804 𝑤J 𝑤P ] \ 1 _ \𝑤 _ P 0.8804 1

𝐽( 𝐰) = 1 − 0.8145𝑤J − 0.8871𝑤P + 1.7608𝑤J 𝑤P + 𝑤J E + 𝑤P E

2

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e) Escribe una función en Matlab R_mat(N) que retorne una matriz de autocorrelación de dimensiones NxN y una función r_vec(N,k) que devuelva un vector Nx1 con los valores de autocorrelación correspondientes al retardo k. function R=R_mat(N) vec=zeros(1,N); for k=0:N-1 vec(k+1)=rr(k); end R=toeplitz(vec); end function r=r_vec(N,kk) r=zeros(N,1); for k=kk:kk+N-1 r(k+1-kk)=rr(k); end end function r=rr(k) r=(0.95.^abs(k)).*(0.75+0.25*cos(k*pi/4)); end

f)

Construye una gráfica que analice el error que se genera en función de 1 ≤ 𝑘 ≤ 30 para filtros de dimensiones N=2, 3, 4, 6 y 8. Incluye una leyenda que indique qué es cada gráfica. 𝑒WX")+ = 𝐽WX" (𝑘) = 1 − 𝐫+ G 𝐑.P 𝐫+ K=30; x2=emin(2,K); x3=emin(3,K); x4=emin(4,K); x6=emin(6,K); x8=emin(8,K);

plot(x2,'s--'); hold on plot(x3,'o--'); plot(x4,'^--'); plot(x6,'d--'); plot(x8,'v--'); hold off legend('N=2','N=3','N=4','N=6','N=8','FontSize',14) ylabel('J(k)_{min}','FontSize',14); xlabel('Time stemps','FontSize',14); function J=emin(N,K) J=zeros(1,K); for k=1:K r=r_vec(N,k); R=R_mat(N); J(k)=1-r'*inv(R)*r end end

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1

0.9

0.8

J(k)

min

0.7

0.6

0.5

0.4

N=2 N=3 N=4 N=6 N=8

0.3

0.2

0.1 0

5

10

15

20

25

30

Time stemps

4

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2) El esquema del la Figura 2 se utiliza para medir la señal del corazón de un feto. El objetivo es limpiar, mediante filtrado adaptativo, la señal interferente x(n), del corazón de la madre, que aparece como interferencia sobre la señal de interés, a(n) y que deseamos estimar. Utilizaremos el algoritmo LMS.

Figura 2 Se pide: a. Da la solución iterativa de los pesos wn+1, correspondientes a la iteración n+1, en función de wn, los pesos en la iteración n. Deja el resultado en función de x's e y's. Indica que es cada vector. ¿Puede tomar cualquier valor la constante 𝜇? Razona la respuesta. 𝛻𝒘Y𝐽(𝐰)Z = −2 Y𝒓f𝒙 − 𝐑𝒙 𝐰 Z) ≈ −2𝐱" 𝑒(𝑛)

𝐰"OP = 𝐰" + 𝜇𝐱" 𝑒(𝑛) 𝑤J ( 𝑛 + 1 ) 𝑤J(𝑛 ) 𝑥 (𝑛 ) . . . Q = M . . .Q + 𝜇 M . . . Q 𝑒(𝑛) M 𝑤N.P (𝑛 + 1 ) 𝑤N.P(𝑛) 𝑥 (𝑛 − 𝑁 + 1 )

La constante está limitada a 2 veces el inverso del autovalor máximo de la matriz de autocorrelación Rx. b. A través de las ecuaciones necesarias enumera los pasos que se requieren para programar el algoritmo LMS. Recuerda establecer las condiciones iniciales. Inicialización de parámetros: y condiciones iniciales, etc...) N: longitud del filtro N

𝜇: paso de actualización

𝐰J = 𝟎: Valor de los pesos al inicial el algoritmo

𝐱J )/)𝑥(𝑛 ) = 0)), ∀)𝑛 < 0: valores de x(n) en el inicio del algoritmo n=0: valor inicial de n

Nmax: Definir criterio de parada 5

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algoritmo: mientras n...