Práctica 3: Circuito RLC Paralelo. Análisis de Fourier PDF

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PRÁCTICA 3. CIRCUITO RLC PARALELO. ANALISIS DE FOURIER 1. Introducción y objetivos El objetivo principal de la práctica es estudiar cómo se comportan los distintos tipos de señales cuando atraviesan un circuito RLC conectado en paralelo; para poder llevarlo a cabo se estudiarán los distintos armónicos mediante el desarrollo de la serie de Fourier. Mediante un generador de señales es posible inyectar en el circuito oscilaciones y así poder estudiar el fenómeno de resonancia. Al aumentar la frecuencia aumenta la reactancia inductiva y disminuye la reactancia capacitiva; entonces se llama frecuencia de resonancia ( ) a la frecuencia para la cual se igualan los valores absolutos de ambas reactancias, es decir: {

√

Cuando se está en la frecuencia de resonancia la corriente que pasa por el circuito es máxima. A parte de la frecuencia de resonancia, del circuito también se puede calcular: - Ancho de banda (B): es la longitud, medida en Hz, de la extensión de frecuencias en la que se concentra la mayor potencia de la señal

- Factor de calidad (Q): es un parámetro adimensional que mide la relación entre le energía reactiva que almacena y la energía que disipa durante un ciclo completo de la señal.

Se utilizarán las propiedades resonantes del circuito para filtrar un determinado armónico de una señal dada, realizando así un estudio de sus distintas componentes espectrales, mediante un análisis de la serie de Fourier. ()

∑(

( )

( ))

Los coeficientes de Fourier, señalados mediante las letras a y b, se determinan para una forma de onda dada mediante la resolución de las siguientes integrales:

1

∫ ()

∫ ()

( )

( )

siendo T el periodo fundamental Sabiendo el tipo de simetría de la onda, se pueden reducir los cálculos a la hora de determinar las series de Fourier; por ejemplo: -

-

Si la forma de onda es par, todos los términos de las series de Fourier son términos en coseno, de manera que no es necesario evaluar la integral para los coeficientes de b (ya que no hay términos de seno presentes). Si la forma de onda es impar, el caso es totalmente contrario, y los términos de la serie de Fourier son senos.

2. Procedimiento experimental Antes de explicar el procedimiento llevado a cabo es necesario mencionar cuales han sido los instrumentos y materiales empleados en el laboratorio, que han permitido la realización de dicha práctica. -Circuito RLC conectado en paralelo (como el de la figura anterior) -Generador de señales: proporciona una señal de corriente alterna con frecuencia y amplitud regulables, y con una forma triangular, senoidal o cuadrada (según se quiera). -Osciloscopio: se tendrá conectado de modo que se puede observar V1 y V2 en todo momento. Este permitirá estudiar el periodo de las ondas que entren, así como la relación entre las amplitudes de varias señales. Modus operandi: Lo primero a realizar en el laboratorio es anotar el valor de todos los elementos presentes en el circuito (inductancia y capacidad). Una vez montado el circuito, se hará pasar una señal por él, y con ayuda del osciloscopio se podrá ver tanto la señal de entrada como la de salida, para así poder realizar una comparación entre ambas señales. Esto permitirá calcular experimentalmente tanto la frecuencia de resonancia, así como el ancho de banda y el factor de calidad. Además se debe medir la relación entre V2 y V1 para una señal senoidal, y así conocer la atenuación del circuito (modificando la relación V2/V1 por medio de la resistencia variable, se ajusta la atenuación a la unidad). Seleccionando primero una señal cuadrada y después otra triangular, se estudiarán los distintos armónicos que conforman la descomposición de Fourier de la onda; es decir, se irá disminuyendo la frecuencia, partiendo de la frecuencia de resonancia, y se irán

2

anotando las frecuencias para las cuales se encuentre un máximo. De esta forma se podrán determinar los coeficientes de Fourier para cada una de las señales. Esto se volverá repetir para una señal modificada (mediante la ayuda de un rectificador). Finalmente, una vez calculados los coeficientes de las tres señales, se procederá a medir la amplitud de cada una de ellas, y así después realizar una comparación entre los valores teóricos y experimentales. 3. Tratamiento de Datos 3.1 Características de los elementos del circuito RLC. {

· Valores Teóricos ⁄

√

· Valores Experimentales Para encontrar el valor experimental de la frecuencia de resonancia hay que variar la frecuencia de entrada con una señal senoidal hasta encontrar el máximo de amplitud (se visualiza en la pantalla del osciloscopio).

( ) √(

{ ( ) √(

( )) (

( ))

⁄

()

( )) √

⁄

()

3

· Comparación (

( ) )

Valor Teórico 5.70 35805.74

Valor Experimental 5.68 35688.49

3.2 Señal Cuadrada

· Desarrollo en serie de Fourier En el caso de la señal cuadrada la función es impar, en donde la T hace referencia al periodo y la V a la amplitud; de esta manera la función es: ⁄

() {

⁄

Como se trata de una función impar, todos los términos de la serie de Fourier se anulan, de manera que los únicos términos que se tienen que calcular son los (∫

Sabiendo que

⁄

( )

( )

(

∫

(

⁄

))

)

( )

, la expresión de los términos de queda de la siguiente forma: ( ( ))

( ))

(

Debido al término ( ) , para los casos en que n sea un numero par, el termino se anula; por lo que en este caso los únicos términos a calcular son aquellos en los que n es un número impar, es decir, () ∑

(

)

((

)

)

4

· Análisis de los armónicos En este apartado se estudiarán las relaciones que existen entre las frecuencias y las amplitudes para distintos armónicos (hasta llegar al quinto). El número de armónico se , donde es la frecuencia de resonancia (5.68 Hz), y es la

podrá calcular mediante

frecuencia a la que se encontró cada máximo. De esta forma se tomarán pares de medidas de frecuencia y amplitud para cada uno de los armónicos, así: Armónico Experimental 0.9982 2.989 4.982

Frecuencia (KHz) 5.69 1.90 1.14

s(n) 0,0050 0,033 0,089

Aprox. Armónico 1 3 5

(V) 8.96 3.44 2.32

Para el cálculo de la incertidumbre de los armónicos se aplica propagación de incertidumbres: ( ) √(

siendo ( )

( )) √(

( )) (

()

( )) (

( ))

Como se puede observar en la tabla los armónicos encontrados son aquellos para los que n es un número impar, tal y como se había deducido en el desarrollo teórico de la serie de Fourier para dicha señal. · Coeficientes de Fourier Una vez que se tiene la relación entre las amplitudes y los armónicos, ya se pueden calcular los distintos coeficientes de Fourier (solo para n impares). (

-Siendo

(

)

- Siendo

(

)

( ))

( ( ))

5

(

- Siendo

)

Como se puede ver, todos los coeficientes dependen únicamente de la amplitud, y nunca de la frecuencia. 3.3 Señal Triangular

· Desarrollo en serie de Fourier Al igual que para el caso de la señal cuadrada, el periodo se denotará con T y la amplitud con V, siendo la función en este caso de la siguiente manera: ⁄

() { donde

⁄

es la pendiente de la recta (que en unos casos es positiva y en otros en

negativa). A diferencia del caso anterior, aquí la función es par por lo que los términos que se anulan son los de , siendo entonces los términos los que hay que calcular

(∫

⁄

(

Usando de nuevo que

(∫

⁄

)

(

( )

∫

)

(

(

∫

⁄

⁄

(

(

))

)

)

)

( )

)

, la expresión queda así: (

( ))

( ( ))

De la misma manera que ocurría para el caso de la señal cuadrada, los únicos términos calcular son aquellos en los cuales n es un número impar (debido al termino del coseno, los valores con n par se anulan), es decir,

6

()

· Análisis de los armónicos

∑

(

)

((

)

)

Al igual que se hizo para el caso de la señal cuadrada, se estudiarán las relaciones entre amplitud y frecuencia para los distintos armónicos; y para ello se tomarán de nuevo pares de medidas de amplitud y frecuencia. El número de armónico se podrá calcular mediante

, donde es la frecuencia de

resonancia (5.68 Hz), y es la frecuencia a la que se encontró cada máximo. Armónico Experimental 0.9982 2.989 4.982

Frecuencia (KHz) 5.69 1.90 1.14

s(n) 0,0050 0,033 0,089

Aprox. Armónico 1 3 5

(V) 6.00 0.80 0.48

Para el cálculo de la incertidumbre de los armónicos se aplica propagación de incertidumbres: ( ) √(

siendo ( )

( )) √(

( )) (

()

( )) (

( ))

Como se puede observar en la tabla los armónicos encontrados son aquellos para los que n es un número impar, tal y como se había deducido en el desarrollo teórico de la serie de Fourier para dicha señal. · Coeficientes de Fourier Como ya se saben las relaciones entre amplitud y armónicos, se pueden calcular los coeficientes de Fourier para esta señal.

- Siendo

(

- Siendo

(

(

)

( ))

( ( ))

)

7

- Siendo

(

)

Como se puede ver, todos los coeficientes dependen únicamente de la amplitud, y nunca de la frecuencia. 3.4 Señal Modificada

· Desarrollo en serie de Fourier Modificando una señal triangular con una señal cuadrada se obtiene una nueva función semejante a la de la figura anterior, donde de nuevo T hace referencia al periodo y V a la amplitud; de este modo la función presenta la siguiente forma:

()

⁄

⁄

{

En este caso la función es par, por lo que al igual que ocurría en la señal triangular, los coeficientes de Fourier solo tendrán términos en

(∫

(∫ (

Usando otra vez que

(

)

( )

, y que (

∫ (

)

(

( ))

∫ (

)

( )) (

(

)

)

)

( )

)

⁄ ) se tiene:

En este caso, a diferencia de los casos anteriores, los términos aparte de depender del periodo (T), también dependen del ancho del pulso (a); de esta forma la serie de Fourier para esta señal es: 8

()

)

(

∑

(

)

Como se puede observar, aquí existen todos los armónicos, tanto los pares como los impares; es decir, la serie de Fourier no se anula para ningún armónico. En el caso de que

⁄ estamos en el caso de una señal triangular.

· Análisis de los armónicos

Como se hizo en los dos anteriores casos, se estudiaran las relaciones de amplitud y frecuencia para cada uno de los armónicos tomando pares de medidas de amplitud y frecuencia. El número de armónico se podrá calcular mediante

, donde es la frecuencia de

resonancia (5.68 Hz), y es la frecuencia a la que se encontró cada máximo. Frecuencia (KHz) 5.77 2.89 1.92 1.44 1.15

Armónico Experimental 0.9844 1.965 2.958 3.944 4.939

Aprox. Armónico 1 2 3 4 5

s(n) 0,0049 0,015 0,033 0,057 0,088

(V) 0.91 0.90 0.88 0.84 0.80

Para el cálculo de la incertidumbre de los armónicos se aplica propagación de incertidumbres: () ( ) √(

( )) (

() ( )) √(

√

( )) (

( ))

Como se había deducido mediante el desarrollo de la serie de Taylor de la señal modificada, en este caso no hay ningún armónico que se anule · Coeficientes de Fourier Como ya se saben las relaciones entre amplitud y armónicos, se pueden calcular los coeficientes de Fourier para esta señal. (

donde el periodo viene dado por

)

⁄ y “a” es el ancho del pulso. 9

- Siendo

- Siendo

- Siendo

- Siendo

- Siendo

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

) )

(

)

(

)

(

)

A diferencia de la señal cuadrada y triangular, en este caso los coeficientes no dependen únicamente de la amplitud, sino que también de la frecuencia (f) y el ancho de pulso (a). 3.5. Relación de amplitudes teórica y experimental En esta parte de la práctica se realizará una comparación entre las amplitudes de la señal de salida, tanto experimentalmente como teóricamente · Señal Cuadrada

()

8.96 3.44 2.32

()

7.28 7.28 7.28

La amplitud teórica de cada armónico para la señal cuadrada viene dada por la siguiente expresión:

siendo la amplitud teórica en cada armónico, y V la amplitud medida en la señal de entrada. En este caso el valor de será igual que la amplitud pico a pico que se midió en el laboratorio, ya que:

10

De esta forma se pueden comparar los valores teóricos y experimentales. ()

()

8.96 3.44 2.32

9.27 3.09 1.85

s( )

1.27 0.63 0.42

Para calcular la incertidumbre de se aplica propagación de incertidumbres

( ) √(

()

( ))

()

Como se puede observar los resultados obtenidos no son todo lo bueno que se esperaba, pero aun así son unos datos aceptables ya lo valores se intersecan dentro del intervalo de la incertidumbre. · Señal Triangular

()

6.00 0.80 0.48

()

7.36 7.28 7.28

La amplitud teórica de cada armónico para la señal triangular viene dada por la siguiente expresión:

11

Siendo la amplitud teórica en cada armónico, y V la amplitud medida en la señal de entrada. En este caso el valor de , será la mitad de la amplitud pico a pico que se midió en laboratorio, ya que:

De esta forma se pueden comparar los valores teóricos y experimentales. ()

()

3.00 0.40 0.24

2.98 0.33 0.12

s( )

0.41 0.10 0.045

Para calcular la incertidumbre de se aplica propagación de incertidumbres

( ) √(

()

( ))

()

Como se puede observar los resultados obtenidos no son todo lo bueno que se esperaba, pero aun así son unos datos aceptables ya lo valores se intersecan dentro del intervalo de la incertidumbre; excepto en el caso del armónico cinco, donde se tiene un resultado todavía peor (posiblemente se deba a un fallo cometido en el laboratorio). · Señal Modificada

()

0.91 0.90 0.88 0.84 0.80

()

2.40 2.40 2.40 2.40 2.40

La amplitud teórica de cada armónico para la señal modificada viene dada por la siguiente expresión: 12

) ( Siendo la amplitud de salida para cada uno de los armónicos, “a” el ancho del pulso, T el periodo y V la amplitud medida en la señal de entrada, que al igual que en el caso de la señal triangular, será la mitad de la amplitud pico a pico que se midió en el laboratorio.

⁄

{

{

De esta forma se pueden comparar los valores teóricos y experimentales. ()

()

0.46 0.45 0.44 0.42 0.40

0.34 0.33 0.30 0.26 0.22

s( )

0.14 0.14 0.12 0.11 0.10

Para calcular la incertidumbre de se aplica propagación de incertidumbres

( ) √(

()

(

()

( )) (

)

()

(

(

( )) (

)

)

( (

( ))

))

13

)

(

(

)

( (

))

Como se puede observar los resultados obtenidos no son muy buenos, sobre todo los armónicos a partir del 3, ya que el valor no entra dentro del intervalo de la incertidumbre. 4. Preguntas a responder · Considérese una señal periódica cualquiera y su desarrollo de Fourier. Si la frecuencia de la señal es , ¿Cuál es la frecuencia del primer armónico? ¿Y la del segundo armónico? Frecuencia de la señal Entonces, la serie de Fourier para una onda cualquiera es: ()

∑[

( )

( )]

Por tanto, la frecuencia para cada armónico es - Para n=1

La frecuencia en el primer armónico será igual que la frecuencia inicial de la señal. - Para n=2

La frecuencia en el segundo armónico será igual que el doble de la frecuencia inicial de la señal. · Si la frecuencia de la señal es , ¿Cuál es la del segundo armónico? Frecuencia de la señal Al igual que en el caso anterior la frecuencia para cada armónico es Para n=2

La frecuencia en el segundo armónico será igual que la frecuencia inicial de la señal.

14

· ¿Cuál debe de ser la frecuencia fundamental si queremos que la del armónico n-ésimo sea ? Frecuencia n-ésimo armónico ∑[

()

y la serie de Fourier será: (

)

(

)]

La frecuencia de un determinado armónico, será n veces la frecuencia inicial. · ¿Hasta qué armónico se puede medir de forma que no haya más de dos armónicos dentro de la banda de paso? Mientras se cumpla que la banda de paso. Una vez que

se puede asegurar que no habrá más de dos armónicos en habrá más de dos armónicos dentro del ancho de

banda. { Por tanto, cuando se tenga un armónico superior a 56.8 se podrán medir más de dos armónicos dentro del ancho de banda. · En caso de que haya dos armónicos, ¿Qué tipo de señal aparecería en el osciloscopio? En caso de que hubiera dos armónicos dentro de la campana, la señal que aparecería en el osciloscopio sería una combinación de ondas sinusoidales. 5. Conclusión En el caso de los coeficientes de la serie de Fourier se ha comprobado que tanto experimentalmente (con medidas realizadas en el laboratorio) como teóricamente (mediante el desarrollo de la serie de Fourier) las deducciones obtenidas eran iguales, es decir, dependiendo de qué tipo de señal se estuviera a tratar había coeficientes nulos. Para el caso de la comparación de las amplitudes de la señal de salida, los resultados obtenidos han sido peores, ya que hay una mayor diferencia entre los valores teóricos y experimentales. Aun así, prácticamente todos los valores entran dentro del intervalo de la incertidumbre. En líneas generales, y a pesar de los posibles erro...