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Prácticas de Juan Aguiar. Nota de prácticas 9....

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Péndulo Simple

Francisco Fernández León y Sergio Guerrero Porras.

En esta primera práctica el principal objetivo es el estudio de un péndulo simple y a partir de dicho estudio, calcular el valor de la aceleración de la gravedad. Para ello debemos realizar una serie de mediciones como la longitud del cable del péndulo, o el periodo del mismo, y mediante esta ecuación obtener el valor de la gravedad: 𝑇 = 2𝜋√

𝑙 𝑔

In this first practice the main objetive is the study of a simple pendulum by we can calculate the value of the gravity aceleration. For that we should make a list of meditions like the lenght of the rope’s pendulum or period and by the next ecuation get the gravity aceleration value.

Para la realización del experimento deberemos utilizar materiales como el propio péndulo, un cronómetro para el cálculo del periodo y una cinta métrica para medir las variaciones de longitud del cable que constituye el péndulo. Los errores instrumentales del cronómetro y de la cinta métrica son: * Cinta métrica -> 1 mm * Cronómetro -> 0.01 s Lo primero que hicimos fue tomar una medida inicial de la longitud del péndulo. Con esa longitud medimos el tiempo que tardaba el péndulo en completar 25 oscilaciones, con el objetivo de calcular posteriormente el periodo. Las medidas de tiempo se tomaron varias veces para obtener un resultado más exacto. El proceso se repitió cinco veces, modificando la longitud del cable. Tras esta toma de mediciones obtuvimos la siguiente tabla:

1

A continuación, pasamos a la definición de los errores:

*Error del tiempo medio (∆𝑡), se define como el error de la media de todos los tiempos medidos. Para obtener este dato se ha de comparar el error instrumental del cronómetro y el valor obtenido en la siguiente fórmula: ∆𝑥 = 𝑡√

𝑛

∑ 𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥)2 𝑛 (𝑛−1)

Donde t vale 1, 𝑥𝑖 son los valores medidos, y 𝑥 es el valor medio.

Tras comparar los dos valores deberemos elegir el mayor de ellos como el error absoluto del tiempo medio.

*Error de dispersión ( 𝜀𝐷 (%) ). Se define la dispersión como la diferencia entre los valores máximos y mínimos obtenidos. 𝐷 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

El error de dispersión se define como la dispersión entre el valor medio por cien. 𝜀𝐷 (%) =

100𝐷 𝑥

Mientras más pequeño sea este valor más fiable son los datos que vamos a obtener, ya que indica que estos valores están próximos entre si y por tanto no hay mucha dispersión entre ellos.

Ahora calculamos el período:

2

𝑡 𝑇=𝑛

Donde n es el número de oscilaciones (en nuestro caso 25) y t el tiempo medio. Una vez calculado el periodo es necesario calcular su error: ∆𝑇 = |

1 𝜕𝑇 | ∆𝑡 = ∆𝑡 𝜕𝑡 𝑛

También es conveniente calcular el periodo al cuadrado así como su error: 𝑇2 =

𝑡2 𝑛2

𝑦 = 𝑇2

2𝑦∆𝑇 2𝑇 2 ∆𝑇 ∆𝑦 |2|∆𝑇 = → ∆𝑦 = = = 2𝑇∆𝑇 𝑦 𝑇 𝑇 𝑇

Hemos calculado estos términos para realizar la gráfica 𝑇2 − 𝑙, de la cual podemos obtener a partir de su pendiente el valor de la gravedad. La gráfica la realizaremos con el programa SC Davis ya que nos proporciona directamente los valores característicos de la recta como son su pendiente o el término independiente, además el propio programa nos ofrece el valor de sus respectivos errores. También calcularemos el coeficiente de correlación, el cual mientras más cercano este a 1, la gráfica obtenida se asemejará a una línea recta y por tanto más fiable serán nuestros resultados.

𝑦 = 4.0355 𝑥 − 0.0088 𝑅 2 = 0.9998

𝑚 = 4.0355 ± 0.0315 (𝑠2 /𝑚) 𝑎 = −0.0088 ± 0.0341 (𝑠2 )

3

4𝜋 2 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 → 𝑦 = 𝑇 2 ; 𝑚 = 𝑔 ; 𝑥 = 𝑙; 𝑔=

4𝜋 2 = 9.78 𝑚/𝑠 2 𝑚

El término independiente deberá ser cero o un número extremadamente pequeño tal que se pueda considerar cero. De esta forma ya tenemos un valor para la aceleración de la gravedad, pero será necesario obtener el error de la misma: 𝑔∆𝑚 4𝜋 2 ∆𝑔 ∆𝑚 = → ∆𝑔 = = 2 ∆𝑚 = 0.076 𝑚/𝑠 2 𝑔 𝑚 𝑚 𝑚 𝑔 = 9.78 ± 0.076 (𝑚 /𝑠2 )

Por otro lado, y haciendo referencia a la siguiente fórmula: 𝑇 = 2𝜋√

𝑙 𝑔

Si despejamos la gravedad nos queda la siguiente expresión: 𝑔=

4𝜋 2 𝑙 𝑇2

Con esta igualdad obtendremos tanto valores de la gravedad como medidas de longitud (𝑙) y periodo al cuadrado (𝑇 2 ) tengamos, en nuestro caso estos valores serán cinco. Para calcular el valor de la gravedad haremos la media aritmética de estos valores:

𝑔=

∑5𝑖=1 𝑔𝑖 5

=

9.80 + 9.81 + 9.80 + 9.77 + 9.84 = 9.80 𝑚/𝑠 2 5

Además, será necesario calcular el error de dicho valor de gravedad. Como a partir de cada pareja (periodo al cuadrado - longitud del cable) hemos obtenido un valor determinado de gravedad, tendremos que calcular el error particular cometido en cada operación. Es por ello por lo que tendremos que calcular cinco errores. Estos 5 errores nos servirán para saber el error que hemos cometido al hacer la media. De esta forma, queda que el error de la gravedad es:

4

∆𝑔 𝑔

=

5

∆𝑙 2∆𝑇 2∆𝑇𝑖 ) ∆𝑙𝑖 1 = 0.017 𝑚/𝑠 2 + + 𝑇𝑖 → ∆𝑔 = ∗ ∑ 𝑔𝑖 ( 𝑙𝑖 𝑙 𝑇 5 𝑖=1 𝑔 = 9.8 ± 0.017 (𝑚 /𝑠 2 )

Una vez que calculamos por distintos métodos la gravedad y su error, compararemos ambos valores entre sí, al igual que lo haremos con el valor conocido (𝑔 = 9.8𝑚/𝑠2 ). Mientras más parecidos sean los valores de gravedad calculados a su valor real, y más pequeño sean sus errores, mejor se habrá realizado el experimento. La gravedad calculada a partir de la fórmula es: 𝑔 = 9.8 ± 0.017 (𝑚 /𝑠 2 )

Mientras que la calculada a partir de la gráfica es: 𝑔 = 9.78 ± 0.076 (𝑚 /𝑠2 )

Observamos que la gravedad calculada a partir de la fórmula se ajusta más al valor real de la gravedad y presenta un error menor que la gravedad calculada a partir de la gráfica. Además, podemos ver que cuanto más se aleja el valor calculado de gravedad del valor real, el error es mayor, y por tanto, la medida será menos precisa.

Cuestiones: 1.- ¿Por qué las oscilaciones del péndulo han de ser de pequeña amplitud? Para que el movimiento se comportara como el de un armónico simple teníamos que suponer que 𝑠𝑒𝑛(𝑎) ≈ 𝑎 y esto solo ocurre cuando las oscilaciones tienen una pequeña amplitud. 2.- ¿Por qué se recomienda que la longitud del hilo no sea demasiado pequeña? Porque para un mismo ángulo, si aumentamos la longitud de la cuerda, el recorrido del péndulo será mayor y por tanto el error cometido al medir el tiempo que tarda el péndulo en completar un conjunto de oscilaciones será menor. Por ejemplo, imaginemos que la longitud de la cuerda fuese muy corta. En ese caso, el tiempo que tarda en dar un conjunto de oscilaciones es menor y por tanto, al iniciar y al parar el cronómetro, el error que cometeríamos sería mayor. Por eso decimos, que cuanto más larga sea la cuerda, el error cometido al iniciar y al parar el cronómetro será menor.

5

3.- Si en esta práctica comparamos los péndulos de longitud grande con los de longitud pequeña, ¿cuáles serían más fiables en la determinación de g? Como mencionamos en el apartado anterior conforme la longitud sea mayor, existe un menor riesgo de equivocación a la hora de medir el tiempo de un determinado número de oscilaciones. Por tanto, longitudes mayores nos proporcionarán un valor de la gravedad más fiable.

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