Problemas de Trenes DE Engranajes 2018 PDF

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Problemas de trenes de engranajes 1. Proponga un tren de engranajes ordinario que desarrolle una relación de transmisión exacta dei  34 . Las relaciones de transmisión parciales están dentro del rango 1/5 ≤ i ≤ 5 y el número de dientes por rueda está comprendido en el rango 14 ≤ Z ≤ 100. RESOLUCIÓN. Se comienza por determinar el número mínimo de pares de ruedas: log  34 log i x x   2.19 log i max log 5



x 3

Se descompone la relación de transmisión en sus factores primos mínimos y se fijan el número de dientes de los piñones (en este caso, en el denominador de la fracción).

14 14 14 Z Z Z i  34  2 17 2 17     1  3  5 14 14 14 Z2 Z4 Z6



i 34 

Z1 Z 3 Z 5   14 14 14

Una vez propuesto el número de dientes de las ruedas conducidas y, agrupando factores primos mínimos, se calcula el número de dientes de las ruedas conductoras. Z 2 Z 4 24 73 17



Z2 Z4  24 73 17  (7  23 )  (72 )  (17  2)  56  49 34

Una posible solución sería:

i  34 

Z1 Z 3 Z 5 56 49 34      Z 2 Z 4 Z 6 14 14 14

Si los tres grupos de engrane son exteriores, el sentido de giro del engranaje de salida es el contrario que el de entrada.

2.

Proponga un tren de engranajes ordinario que desarrolle una relación de transmisión exacta de 1152 i . Las relaciones de transmisión parciales están dentro del rango 1/7 ≤ i ≤ 7 y el número de 209 dientes por rueda está comprendido en el rango 18 ≤ Z ≤ 140.

RESOLUCIÓN. Al determinar el número mínimo de pares de ruedas:

log i x log imax



1152  log    209   x 0.877 log 7



x 1

Se observa que, atendiendo solo a su relación de transmisión, podría realizarse con solo una pareja de ruedas pero dicha fracción no es reducible y no es factible fabricar ruedas con un número de dientes tan elevado. Se probará a conseguir la relación de transmisión con dos engranes. Primero, se descompone la relación de transmisión en sus factores primos mínimos y se fijan el número de dientes de los piñones. Posteriormente, se calcula el número de dientes de las ruedas conducidas, agrupando los términos restantes de la selección de las rueda conductoras. Se propone la siguientes solución: i

1152 27  32 Z1 Z3    209 11 19 Z2 Z4 Z 2 Z 4  2 8 3 2



i



i  2 8 3 2 

1 1 Z1 Z2    19 22 19 22

Z2  Z4  (3 2 4 )  (3 24 )  48 48

1152 Z1 Z3 48 48     209 Z 2 Z 4 19 22

1

3.

60 , con un 1061 error absoluto inferior a 10-5. Considerar que las relaciones de transmisión parciales no pueden sobrepasar el valor imax = 5 (1/5 ≤ i ≤ 5) y el número de dientes por rueda está comprendido entre Zmax = 100 y Zmin = 14 (14 ≤ Z ≤ 100).

Proponga un tren de engranajes ordinario que desarrolle una relación de transmisióni 

RESOLUCIÓN. Para hallar la relación de transmisión aproximada, con un error absoluto menor de 10-5 respecto a la dada (i = 60/1061), se usa el método de descomposición en fracciones continuas hasta hallar una reducida que cumpla las especificaciones.

R1 

R2 

R3 

1  0.05882353 17

1



1 17  1



1



1 1

3

1061

60

41

19

3

1

41

19

3

1

0

E1  i  R1  0.05655042  0.05882353  2.27 103  105

E 2  i  R 2  9.95 10 4  10 5

5 5 E3  i  R 3  5.33 10   10 

19  0.05654762 336

E4  i  R 4  2.8 10 6  10 5

1 2

R5  i 

6

3  0.05660377 53

1 17 

2

1 2

1 R3 

1

1  0.05555556 18

1 17 

17

1 6

1



1

17 

60  0.05655042 1061

1

1 2

1

1 3 La única reducida que provoca un error inferior a 10 -5 es la cuarta. Luego el tren de engranajes a construir tiene como relación de transmisión: 19 i Aproximada  (error  2,8 106  105 ) 336 6

Se fija el número mínimo de pares de ruedas x:

log i x log imax



 19  log    336   x 1.81 log 5



x2

Se descompone el numerador y el denominador en sus factores primos mínimos y se fijan el número de dientes de los piñones (se procura que sea un número bajo y que coincida con las factores mínimos comunes, en este caso, del numerador de la fracción). 19 19 19 14 Z1 Z 3 19 19 14 i i         336 24  3  7 24 3 7 14 Z 2 Z 4 336 Z 2 Z 4 Se obtiene el número de dientes de las ruedas conductoras y, agrupando factores primos mínimos, se determina el de las conducidas. Z 2 Z 4 2 5 3 7 2  Z2 Z4  25 3  72  (7  3  22 )  (7  23 )  84  56 Luego, una posible solución sería: Z 1 = 19

Z 2 = 84

Z 3 = 14

Z 4 = 56

2

4.

Proponga un tren de engranajes ordinario que desarrolle una relación de transmisióni  12 , con un error absoluto inferior a 10-3, considerando que en las relaciones de transmisión parciales imax = 5 (1/5 ≤ i ≤ 5) y el número de dientes debe estar incluido en el rango 17 ≤ Z ≤ 100.

RESOLUCIÓN. Para hallar la relación de transmisión aproximada, con un error absoluto menor de 10-3 respecto a la dada: 34641 i  12  3, 464101615 , se sustituye por i  y se usa el método de descomposición en fracciones 10000 continuas hasta hallar una reducida que cumpla las especificaciones. 3

R1  3 R 2 3  R3  3 

R 4 3 

2

6

2

6

2

2

10

34641 10000

4641

718

333

52

21

10

1

4641

333

52

21

10

1

0

718

E1  i  R1  3.46410 3  4.6 10 1  3.5 2 1 1 2 6



45  3.461538 13



1 6

97  3.464286 28

3

E3  i  R3  2.56 103  10 3

4 3 E 4  i  R 4  1.86 10   10 

1 2

Luego, una posible solución sería: Z 1 = 97

5.

10

E 2  i  R 2  3.59 10 2  10 3

1 2

1

Z 2 = 28

Un rodillo gira a 595 r.p.m. alimentado por un motor que gira a 3870 r.p.m. Proponga un tren de engranajes ordinario y recurrente que, con dos grupos reductores, desarrolle una relación de transmisión exacta que permita acondicionar la velocidad de giro, conociendo que:  El primer grupo reductor tiene un módulo m1 = 5 y un piñón de 17 dientes.  El segundo grupo reductor tiene un módulo m2 = 4 y un piñón de 21 dientes.  Las relaciones de transmisión parciales están dentro del rango 1/5 ≤ i ≤ 5.  El número de dientes de cada rueda está comprendido en el rango 17 ≤ Z ≤ 100.

RESOLUCIÓN. La relación de transmisión  es igual a la relación de velocidades:  595 119    Final    Inicial 3870 774 Por las condiciones de diseño se tiene que cumplir: Z Z 17 21 119      1  2  1  3  Z 2 Z 4 Z 2 Z 4 774



Z 2  Z 4  2322

Al ser el tren de engranajes ordinario y recurrente, con una distancia entre ejes a, se cumple que: m1 m2   (Z1  Z2 )   (Z3  Z4 ) a  r1  r2  r3  r4 a 2 2

5 4 a   (17 Z 2 )   (21 Z 4 ) 2 2 Luego se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:



Z4 

5 Z 2  1 4

5  Z 2 1   5  Z22  Z 2  9288  0  4  Z 2  Z 4  2322  De las dos soluciones posibles a esa ecuación, evidentemente, se elige como solución final la opción del número entero positivo, donde Z2 = 43 y, sustituyendo, resulta que Z4 = 54 dientes. Z4 

3

6.

Sea un tren de engranajes epicicloidal y recurrente, como el de la Figura 5.1, con un número de dientes de los engranajes igual a Z1 = 24, Z2 = 36, Z3 = 18 y Z4 = 78. Se pide: a) Si los dos engranes tienen el mismo módulo, comprobar que el tren es recurrente. b) Relación de transmisión entre el eje último y el primero cuando el eje del brazo está fijo. c) Relación de transmisión entre el eje último y el eje del brazo cuando el engranaje primero está fijo. d) Relación de transmisión entre el eje del brazo y el eje primero cuando el engranaje último está fijo. e) Relación de transmisión entre el eje último y el eje primero cuando es conocido que la velocidad de giro del eje del brazo es la mitad que la del eje de entrada.

Figura 5.1 Representación de un tren de engranajes epicicloidal.

RESOLUCIÓN. a)

Al ser el tren de engranajes recurrente y el segundo grupo poseer un engrane exterior, se cumple que: m m a  r1  r 2  r4  r3 a  1  (Z1  Z2 )  2  (Z4  Z3 )  2 2 Donde, al tener el mismo módulo los dos engranes, se comprueba que: m m  (Z1  Z 2 )   (Z 4  Z3 )  (Z1  Z2 ) (Z4  Z3 )  (24 36) (78 18) 2 2

b) La relación de transmisión de velocidades angulares entre el eje último y el primero cuando el eje del brazo está fijo (B = 0), sería la misma que la de un tren ordinario, luego:   B Z Z A  Z    A O  B O O La relación de transmisión aparente coincide con la solicitada: Z Z  Z  Z  Z 24 18 2   A     A    1   3    1 3  Z Z Z Z 36 78 13    2  4 2 4 O c)

La relación de transmisión entre el eje último y el eje del brazo cuando el engranaje primero está fijo (0 = 0), sería la equivalente a la de un tren epicicloidal simple, luego:  B  Z Z  2  15 1  Z  1  A  1      A  Z O  B B B B  13  13

d) La relación de transmisión entre el eje del brazo y el eje primero cuando el engranaje último está fijo (Z = 0), sería la equivalente a la de un tren epicicloidal de balancín pero al ser el tren recurrente se comporta como un tren epicicloidal simple invertido, luego: B  2    Z  B B O B A B 13  2         A  B 2  O  B  B  O      1 15 O A O 1    1 O  13 

4

e)

Este tren de engranajes epicicloidal se comporta como un diferencial donde son conocidas las velocidades angulares del eje del brazo y del engranaje primero y se solicita la relación de transmisión entre el eje último y el eje primero, donde B 

Z  B  A O  B O 2



 1  Z  A  O  1  A 1  A



B 

7.

2

, luego:

 1 Z  A O 1 A 1  A

1  1  Z    A 1  A 2 1  A 



 Z  A 1  2 O

O



  A 1    O     O   2 (1  A ) 

2

 1  Z  13  11   2 26 O

Sea un tren de engranajes epicicloidal y recurrente, como el de la Figura 5.2, del cual se conoce que el primer engranaje permanece fijo y su número de dientes es igual a Z 1 = 24. La relación de transmisión entre la velocidad del eje del engranaje último y la del portasatélites es 1.4. Determinar el número de dientes del satélite y de la corona última. ¿Podría colocar 4 satélites entre la corona y el engranaje sol? ¿y 7?

RESOLUCIÓN.

Figura 5.2 Tren de engranajes epicicloidal de tres engranajes.

La relación de transmisión entre el eje de la corona última y eje del portasatélites cuando el engranaje sol está fijo (0 = 0), sería la equivalente a la de un tren epicicloidal simple, luego:   B  Z  1 Z   1  A A  Z O  B B B Donde, conocido el valor de la relación de transmisión aparente, se calcula el número de dientes de la corona última:  Z  Z  Z1 Z Z1 24 Z  1  1   3    60 A   1 Z3  Z3 Z Z 1.4 B 1     3  3 Z 1    B  Al ser el tren de engranajes epicicloidal recurrente, se cumple que: m m r1  2 r2  r3 Z1  2 Z 2  Z 3   (Z1  2 Z 2 )   Z 3  2 2 De cuya expresión se despejará el número de dientes de los satélites. Z3  Z1 60  24  18 Z2 2 2 Para determinar el número de satélites que se pueden colocar entre el engranaje sol y la corona, se deben cumplir dos premisas:  La condición de montaje que dice que si S es el número de satélites, la siguiente expresión debe resultar un número entero: Z 3  Z1  Nº entero S

5



La condición geométrica de que haya suficiente espacio físico para colocarlos. La siguiente expresión es aproximada, de forma que para asegurar el suficiente espacio el primer término debe ser claramente inferior:  S 2 ra 2  2   r1  r3 S 2 (r2  m)  2   r1  r3









m  m  S  2  (Z 2  2)   2     Z1  Z3  2  2 











S  Z 2  2    Z1  Z3

Así, si S = 4, se cumple la primera condición: Z 3  Z 1 60  24   21 Nº entero S 4 Y también se cumple la segunda:  S Z2  2    Z1  Z3 4  18 2    24 18





80 131,94

Luego podría colocar 4 satélites. Sin embargo, si S = 7, se cumple la primera condición: Z 3  Z 1 60  24   12  Nº entero S 7 Pero no la segunda:  S Z2  2    Z1  Z3 7  18 2     24 18



140131,94















Luego no podría colocar 7 satélites.

8.

¿Se pueden conseguir relaciones de transmisión superiores a mil con un tren epicicloidal simple? Poner un ejemplo.

RESOLUCIÓN. Una de las aplicaciones de los trenes de engranajes epicicloidales son sistemas con una elevada reducción de velocidad, como el denominado tren de Pecquer. El tren de Pecquer consiste en un tren epicicloidal simple, como el de la Figura 5.3, donde los engranaje poseen los siguientes números de dientes: Z1 = X-1 Z2 = Z4 = X Z3 = X+1

Figura 5.3 Tren de engranajes epicicloidal simple de cuatro engranajes.

De forma que cuando se obtiene la relación de transmisión del eje último, en función del eje de giro del brazo portaengranajes, resulta:  Z   Z  Z Z 1 (X 1) (X 1) X 2 1  1   A  1    1     3  1  1    2 2 B  Z Z X X X X   2  4  B Así por ejemplo, un tren epicicloidal simple, con un número de dientes de los engranajes igual a Z 1 = 39, Z2 = Z4 = 40 y Z3 = 41 conferiría una reducción de 1600.  Z   Z3 Z Z 39 41 1599 1  1   1     1  1    B  Z Z 40 40 1600 1600   2   4  B

6

9.

Proponer un tren de engranajes con una relación de transmisión exacta de valori 

769 . Considerar 2360

que imax = 5 y el número de dientes estará incluido en el rango 18 ≤ Z ≤ 200. RESOLUCIÓN. Los trenes de engranajes epicicloidales son una buena herramienta para conseguir relaciones de transmisión irreducibles donde alguno de sus términos presenta un valor primo superior al número máximo de dientes admisible. En este caso, como el numerador es 769, un número primo superior a los 200 dientes permitidos, se propone como solución un tren epicicloidal simple, como el de la Figura 5.34, donde: i

 Z   Z  Z Z Z  1   A  1    1    3  1  1 3 Z Z Z2  Z4 B  2  4



i

Z2  Z4  Z1  Z3 Z 2 Z 4

Se iguala la relación de transmisión solicitada con la del tren epicicloidal simple: i

Z 2  Z 4  Z1  Z3 769  Z2  Z4 2360

Se descompone el denominador en dos valores, asimilables como Z 2 y Z4 :

Z2  Z4  2360  59  40



Z 2  59

Z 4  40

Posteriormente, se sustituye en la ecuación que define la relación de transmisión y se determina el producto de Z1 por Z3 :

i

Z2  Z4  Z1  Z3 2360  Z1  Z3 769   Z2  Z4 2360 2360

 2360  Z 1  Z 3  769

 Z 1  Z 3 1591

Y, finalmente, descomponiendo el producto anterior, se proponen como valores de Z 1 y Z3 :

Z1  Z3  1591  43 37

10.



Z1  43

Z 3  37

Determinar la velocidad lineal del punto A, del mecanismo de la Figura 5.4, conociendo que el engranaje 1 (Z1 = 36 dientes), en ese instante, gira a una velocidad angularO = 10 ·  rad/s, en sentido antihorario y engrana con el engranaje 2 (Z2 = 24 dientes). La barra AB tiene una longitud de 160 mm. Los valores de los ángulos, en ese instante, son  = 30º y  = 100º. Los engranajes han sido montados y tallados de forma normalizada (módulo m = 4).

RESOLUCIÓN. Los dos engranajes se comportan como un tren de epicicloidal de balancín: 1 O  B 1 1  O A B    1 O   1     1 O A  1 O A B B A B 1

A

Figura 5.4 Representación de un mecanismo con un tren epicicloidal de balancín.

Donde la relación de transmisión aparente es:  Z  36 3 A   1      24 2  Z2 

7

Luego la velocidad de rotación de la barra OB respecto al punto fijo O será:

 3   3 2  O    O   O B  A 1 5  3 1    2

A

3 5

3 5

B   O   10    6  rad / s



La longitud OB puede determinarse como la distancia entre los ejes de los dos engranajes:

OB  a  r1  r2 

m  Z1 m  Z1 m    (Z1  Z2 ) 2 2 2

4 OB  (36 24) 120 mm. 2



La velocidad del punto B aparece representada en la Figura 5.36 y su valor numérico será:

VB   B OB  6  0.12  2.26 m / s Aprovechando las propiedades de las proyecciones axiales de la velocidad ( Figura 5.5) y conocidas magnitudes angulares, se puede determinar la velocidad en el punto A:

PAB  VB cos(  90)  VA cos( ) VA 



cos(100  90) cos(10)  2.26  2.26 cos(30) cos(30)

VA  

cos( 90) VB cos( ) VA  2.57 m / s

Figura 5.5 Representación de las velocidades en el mecanismo.

11.

El tren de la figura es epicicloidal, recurrente y con las siguientes especificaciones: i = 49/600 (cuando

B = 0); Z1 = 14; Z2 = 30; Z4 = 80, y mA = 3 para el conjunto A.

a) Calcular Z3. b)

Encontrar el valor del módulo para el conjunto de ruedas B.

8

c) Calcular

Z cuando O = 0. B

d) El tren funciona como un diferencial, siendo  O y B son las entradas, y  Z la salida. Si el valor de  O y B es 60 r.p.m en el mismo sentido (por ejemplo, horario). Calcular la velocidad de salida  Z . Sol: a) Z3= 14 b) mb= 2 c)

12.

Z =1.0816 d) Z =60 r.p.m B

Utilice fracciones continuas para reducir la fracción 900/2001 a una racional admitiéndose un error de ||< 1 x 10-4. 2001 201

2 900 96

4 201 9

2 96 6

10 9 3

1 6 0

2 3

Sol: 94/209

13.

Huygens (físico y astrónomo holandés) calculo la relación de 25335/105190 como el cociente entre la duración orbital del planeta M...