Programma dettagliato analisi matematica 1 boella PDF

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programma dettagliato per l'esame di analisi 1, dimostrazioni richieste e definizioni...

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Analisi Matematica 1 e Geometria Ing. Biomedica — A.A. 2020/2021 Programma dettagliato∗ M. Boella 28 dicembre 2020

Insiemi numerici • Gli insiemi N, Z e Q. Operazioni elementari in N, in Z e in Q. Struttura di Q. Proprietà di Q. • L’insieme R. Definizione di numero reale. Completezza di R. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme di R. Elementi di topologia in R. • L’insieme C. Definizione di numero complesso. Forma algebrica e forma trigonometrica. Le quattro operazioni in forma algebrica, prodotto (*) e quoziente in forma trigonometrica. Potenza e radice n-esima di un numero complesso z (*). Teorema fondamentale dell’Algebra.

Successioni • Definizione di successione. Successioni limitate e monotone. Limite di una successione (definizione metrica); successioni regolari e successioni irregolari. • Teorema di monotonia (*). Il numero e: monotonia e limitatezza della successione (1 + n1 )n . L’esponenziale ex . Teorema di unicità del limite (*). Algebra dei limiti (* limitatamente a somma e prodotto). Teorema di permanenza del segno (*). Teorema del confronto (*) e corollario. Aritmetizzazione parziale di ∞. Forme di indecisione. • Successioni infinite e infinitesime. Confronto di infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito o di infinitesimo. Equivalenza asintotica di successioni infinite e infinitesime. Gerarchia degli infiniti. • Limiti notevoli di successioni (*). Per lo svolgimento della “Parte di teoria” dell’esame, è richiesta la dimostrazione relativa agli argomenti contrassegnati con l’asterisco (*). ∗

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Funzioni • Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive; simmetria, limitatezza e monotonia. Funzioni invertibili. Funzione inversa. Legame tra monotonia e invertibilità. Principali funzioni (potenze, esponenziali, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche) e loro inverse. Operazioni sul grafico di una funzione. • Limite di una funzione: definizione metrica e successionale. Limiti notevoli. Asintoti di una funzione. Teorema di monotonia per le funzioni. • Funzioni continue. Definizione, teorema di permanenza del segno, continuità delle funzioni elementari e algebra delle funzioni continue. Cambio di variabile nel limite, teorema di continuità della funzione composta. Teorema degli zeri (*), teorema di Weierstrass, teorema di Darboux o dei valori intermedi (*). Teorema di continuità della funzione inversa. • Infiniti e infinitesimi. Asintotico e o-piccolo. Aritmetizzazione del simbolo di o-piccolo. Ordine di infinito/infinitesimo e parte principale.

Calcolo differenziale • Definizione di derivata. Caratterizzazione dei punti di non derivabilità. Relazione tra derivabilità e continuità (*). • Regole di derivazione: algebra delle derivate, derivata della funzione composta, derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari (*). Teoremi di Fermat (*), di Rolle-Lagrange (*), test di monotonia (*). Teorema “del tappabuchi”, continuità della derivata. • Concavità e convessità, legami con derivata prima e con derivata seconda. • Differenziabilità: definizione di funzione differenziabile, legame tra differenziabilità e derivabilità. • Teorema di de l’Hôpital. • Polinomi di Taylor e MacLaurin. Formule di Taylor e di MacLaurin con il eesto secondo Peano (*) e secondo Lagrange (*). Sviluppi di ex , sin x, cos x, Ch x, Sh x, ln(1 + x), (1 + x)α . Sviluppi composti.

Geometria analitica • Vettori in R2 e R3 : definizione e operazioni, somma e prodotto per uno scalare in termini delle componenti. Prodotto scalare: proprietà, calcolo in termini delle componenti (*). Prodotto scalare e proiezioni ortogonali. Prodotto vettore: proprietà, calcolo in termini delle componenti (*). Determinante di matrici 3 × 3 e analogia con il prodotto vettore. Prodotto misto, interpretazione geometrica. • Equazione vettoriale della retta. Equazioni cartesiane, casi particolari. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità. Equazione cartesiana del piano. Formula della distanza punto–piano (*). Formula della distanza punto–retta.Formula della distanza retta-retta.

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Calcolo integrale • Definizione di integrale, definizione di funzione integrabile e criteri di integrabilità. Interpretazioni fisiche e geometriche. • Proprietà: linearità, additività, monotonia e corollario. Definizione di media integrale e teorema della media (*). • Definizione di primitiva. Teorema fondamentale del calcolo — 1 (*). Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Teorema fondamentale del calcolo — 2 (*). • Integrali generalizzati. Definizione. Comportamento dell’integrale di di xα 1 nell’intorno dell’origine e nell’intorno dell’infinito. Criteri di convergenza per gli integrali generalizzati.

Algebra lineare Spazi vettoriali Definizione di spazio vettoriale; sottospazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, basi; intersezione e somma di sottospazi. Matrici Definizione, somma e prodotto e loro proprietà, matrice trasposta; riduzione a scala e MEG; rango di una matrice e sue proprietà. Definizione di matrice inversa e relative proprietà. Definizione di determinante e relative proprietà. Legame tra invertibilità e determinante. Sistemi lineari Definizioni, equivalenza tra sistemi. Sistemi omogenei (legame tra rango di A e numero di soluzioni); nucleo di una matrice, legame tra dimensione del nucleo e rango. Sistemi completi, caratterizzazione delle soluzioni; teorema di Rouché-Capelli; teorema di Cramer. Algoritmo di Gauss-Jordan. Trasformazioni lineari Definizione, iniettività e suriettività, nucleo e immagine di una trasformazione e loro proprietà (*), teorema di rappresentazione e conseguenze, teorema di nullità più rango e corollari. Matrici unitarie e loro proprietà (*). Autovalori e autovettori Definizione di autovalore e autovettore, relative proprietà. Similitudine e diagonalizzabilità (legame con la regolarità degli autovalori). Matrici simmetriche: teorema spettrale; forme quadratiche, legame tra segno e autovalori, cenno allo studio del segno di una forma quadratica.

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