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Universidad Politécnica d de e Chiapas

Carrer Carrera: a: Ing. Me Mecatrónica catrónica Asignatu Asignatura: ra: Resistenc Resistencia ia de materi materiales ales Tema: PPropiedades ropiedades geométricas Estudian Estudiante: te: Hernández Cabrera Juan José_181012 Docente: Aceves Suriano Omar Cuatrimes Cuatrimestre: tre: 5

Suchiapa, Chiapas a 05 de mayo del 2019

Grupo: A

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Índice Introducción……........................................................................................................... 5 Contenido…………………………………………………………………………….. 6 

Centroide de un área y áreas compuestas……………………………………………………….....……...



6

Momento de inercia de un área, teorema de los ejes paralelos para áreas compuestas y momento polar de inercia………....………………………………………….



10

Producto de inercia de un área................................................................................................................... 18



Momento y producto de inercia de un cuerpo con volumen...................................................................................................... 21

Conclusión……………………………………………………………………………. 25 Bibliografía…………………………………………………………………………… 26

3

Índice de imágenes Figura 1. Áreas y centroides para distintas áreas y segmentos de línea. …………….. 6 Figura 2. Áreas y centroides para distintas áreas y segmentos de línea. …………….. 7 Figura 3. Ejemplo de figura de área compuesta. …………………………………….. 8 Figura 4. División de áreas. …………………………………………………………. 8 Figura 5. División de áreas (Rectángulo pequeño). …………………………………. 8 Figura 6. Valores de las áreas. ………………………………………………………. 9 Figura 7. Ejemplo de figura de área compuesta. ……………………………………. 13 Figura 8. Momento polar de inercia. ………………………………………………... 14 Figura 9. Semicírculo. ………………………………………………………………. 15 Figura 10. Producto de inercia de un área. ………………………………………….. 18 Figura 11. Producto de inercia: signos. ……………………………………………... 19 Figura 12. sección simétrica respecto al eje z. …………………………………………… 19 Figura 13. Triángulo rectángulo de base b y altura h. ………………………………. 19 Figura 14. Producto de inercia de un triángulo rectángulo de base b y altura h. …… 19 Figura 15. Cilindro homogéneo. ……………………………………………………. 22 Figura 16. Momento de inercia de cuerpos con volumen. ………………………….. 24

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Índice de tablas Tabla 1. Momentos de inercia de áreas. ……………………………………………… 11 Tabla 2. Momento de inercia de cuerpos con volumen. ……………………………..... 23

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Introducción El centroide de un área y de áreas compuestas llega a ser útil para el cálculo de otros elementos, como el momento de inercia, de igual manera es usado en el teorema de los ejes paralelos, etc. hay figuras que ya cuentan con su centroide establecido, pero para figuras algo distintas a las “básicas”, es necesario obtenerlas, estas se calculan mediante ecuaciones, que más tarde se mostrarán. El producto de inercia a diferencia del momento de inercia, puede llegar a ser positiva, negativa o cero, no es utilizado tanto como el momento de inercia, pero es de importancia en otros casos. El momento de inercia es cuando un cuerpo gira en torno a uno de sus ejes principales. De igual manera están los cálculos de momento y producto de inercia para cuerpos que cuentan con un volumen, utilizando las tres dimensiones “x”, “y” y “z”. Las fórmulas para obtener cada una de ellas se irán explicando. Estas propiedades geométricas son importante conocerlas y saber calcularlas para conocer mejor los materiales que deseemos o que vayamos a ocupar.

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Contenido Centroide de un área y áreas compuestas El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede ser determinada a partir de fórmulas similares a las usadas para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o centro de masa. En particular, si el material que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo, y, por tanto, este término saldrá de las integrales y se cancelará a partir de los numeradores y denominadores de las ecuaciones. Las fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya que son independientes del peso del cuerpo y dependen sólo de la geometría de éste. Centroide del área. El centroide del área superficial de un objeto, tal como una placa o un disco, se puede encontrar subdividiendo el área en elementos dA y calculando los "momentos" de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados 𝑥 =

∫𝐴 𝑥 𝑑𝐴 ∫𝐴 𝑑𝐴

; 𝑦 =

∫𝐴 𝑦 𝑑𝐴 ∫𝐴 𝑑𝐴

Figura 1. Áreas y centroides para distintas áreas y segmentos de línea.

; 𝑧 =

∫𝐴 𝑧 𝑑𝐴 ∫𝐴 𝑑𝐴

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Figura 2. Áreas y centroides para distintas áreas y segmentos de línea.

Centroide para áreas planas compuestas. Consisten en una serie de cuerpos “más simples” que pueden ser rectangulares, triangulares o semicirculares y que están conectados entre sí. Dichos cuerpos pueden ser seccionados en sus partes componentes. Para un número finito de pesos tenemos. 𝑥 =

∑ 𝑥 𝑤 ∑ 𝑦 𝑤 ∑ 𝑧 𝑤 ; 𝑦 = ; 𝑧 = ∑𝑤 ∑𝑤 ∑𝑤

Ejemplo 1. Para la siguiente placa localizar el centroide.

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Figura 3. Ejemplo de figura de área compuesta.

Solución: Dividimos la placa en 3 áreas simples: un triángulo y dos rectángulos. El área del rectángulo pequeño se puede considerar negativa.

Figura 4. División de áreas.

Figura 5. División de áreas (Rectángulo pequeño).

Se obtiene el área de cada una de las áreas generatrices y sus respectivos centroides, respecto a los ejes de coordenados impuestos.

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Figura 6. Valores de las áreas.

Luego se obtiene los primeros momentos del área respecto a los ejes “x” y “y”. 𝑥 =

∑ 𝑥 𝐴 −4 = = −0.348 𝑚𝑚 ∑𝐴 11.5

𝑦 =

∑ 𝑦 𝐴 14 = = 1.22 𝑚𝑚 ∑𝐴 11.5

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Momento de inercia de un área, teorema de los ejes paralelos para áreas compuestas y momento polar de inercia Momento de inercia de un área Un área compuesta consiste en una serie de partes o formas “más simples” conectadas como rectángulos, triángulos y círculos. Siempre que el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede determinarse con respecto a un eje común, entonces el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes. La integral 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴 representa el momento de inercia respecto al eje x. La integral 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴 representa el momento de inercia respecto al eje y. Popov dice: “La integral sólo depende de las propiedades geométricas del área transversal. En mecánica esta cantidad lleva el nombre de momento de inercia (o momento de segundo orden) del área de la sección respecto al eje centroidal, cuando y se mide desde tal eje. Es una constante definida para la forma del área en particular y se designa por I” (1892). Como es sabido, estas integrales ya han sido resueltas para las figuras con geometría básica: rectángulo, círculo, triángulo. Estas expresiones quedan expresadas en función de variables que representan las dimensiones del elemento. En la vida real la aplicación de etas fórmulas resulta ser la manera más práctica de obtener los momentos de inercia.

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Rectángulo

Círculo

Media Parabólica complementaria

Triángulo Rectángulo

Semicírculo

Media Parábola

Triángulo Isósceles

Cuarto de círculo

Sector Circular

Triángulo

Cuarto de elipse

Tabla 1. Momentos de inercia de áreas.

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Teorema de los ejes paralelos para áreas compuestas El teorema de los ejes paralelos puede usarse para determinar el momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje que sea paralelo a un eje que pasa a través de su centroide y del cual se conozca el momento de inercia. 𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 ´ + 𝐴𝑑𝑦2 𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 ´ + 𝐴𝑑2𝑥

La forma de cada una de estas dos ecuaciones establece que el momento de inercia de un área con respecto a un eje es igual al momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo que pasea a través del centroide del área, más el producto del área y el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes. Procedimiento para el análisis. El momento de inercia para área compuesta con respecto a un eje de referencia puede determinarse por el siguiente procedimiento. Paso 1.-Partes compuestas: Con un croquis, divida el área en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia. Pase 2.- Teorema de los ejes paralelos: Si el eje centroidal para cada parte no coincide con el eje de referencia, deberá usarse el teorema de los ejes paralelos, para determinar el momento de inercia en la parte con respecto al eje de referencia. Paso 3.- Suma: El momento de inercia de toda el área con respecto al eje de referencia se determina con la suma de los resultados de sus partes componentes con respecto a este eje. Si una parte componente tiene un “agujero”, su momento de inercia se encuentra al “restar”

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el momento de inercia del agujero del momento de inercia de toda la parte, incluida el agujero. Ejemplo 2. Para el área sombreada que muestra la figura, determine los momentos de inercia con respecto a los ejes “x” y “y” si a= 20 mm.

Figura 7. Ejemplo de figura de área compuesta.

Con respecto al eje x, tenemos (+) Rectangulo superior 𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 ´ + 𝐴𝑑𝑦2 =

1 (60)(60)3 + (60)(20)(0)2 = 1.08(10)6 𝑚𝑚4 12

(-) Semicírculos 𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 ´ + 𝐴𝑑𝑦2 𝐼𝑥 ´ =

𝜋𝑟 4 𝜋(20)4 𝜋(20)2 (0)2 ] = 125660 𝑚𝑚4 + = 2[ 2 8 8

Suma de áreas 𝐼𝑥 = 1.08(10)6 − 125,660 = 954,340 𝑚𝑚4

Con respecto al eje y, tenemos

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(+) Rectangulo superior 𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 ´ + 𝐴𝑑𝑥2 =

1 (60)(60)3 + (60)(20)(30)2 = 2.16(10)6 𝑚𝑚4 12

(-) Semicírculo 1 𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 ´ + 𝐴𝑑2𝑥 𝐼𝑦 ´ =

𝜋(20)4 𝜋(20)2 4𝑟 4(20) 𝜋𝑟 4 =[ = + ; 𝑑2𝑥 = (8.488)2 ] = 68165 𝑚𝑚4 3𝜋 3𝜋 8 8 2

(-) Semicírculo 2 𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 ´ + 𝐴𝑑2𝑥 𝐼𝑦 ´ =

𝜋(20)4 𝜋(20)2 4𝑟 4(20) 𝜋𝑟 4 =[ = + ; 𝑑2𝑥 = (60 − 8.488)2 ] = 1730 𝑚𝑚4 3𝜋 3𝜋 8 8 2

Suma de áreas 𝐼𝑦 = 2.16(10)6 − 68165 − 1730 = 2,090,105 𝑚𝑚4

Momento polar de inercia Se llama momento de inercia polar cuando se formula un área diferencial 𝑑𝐴 con respecto al polo “O” o eje “z”.

Figura 8. Momento polar de inercia.

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Se define como 𝑑𝐽𝑂 = 𝑟 2 𝑑𝐴, donde r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z)

hasta el elemento 𝑑𝐴. Para toda el área, el momento de inercia polar es: .

𝐽𝑂 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 𝐴

Esta relación entre 𝐽𝑂 e 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 es posible puesto que 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦2 . A partir de las formulaciones anteriores se ve que 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 y 𝐽𝑂 siempre serán positivos ya que implican el producto de una distancia al cuadrado y un área. Además las unidades del momento de inercia implican longitud elevada a la cuarta potencia, por ejemplo, 𝑚4 , 𝑚𝑚4 , 𝑜 𝑝𝑖𝑒𝑠 4 Ejemplo 3. Determine el momento de inercia polar del área con respecto al eje “z” que pasa a través del punto O.

Figura 9. Semicírculo.

SOLUCION: El área de diferencial de la figura es: 𝑑𝐴 = (𝑟𝑑𝜃)𝑑𝑟 Momento de inercia con respecto al eje x:

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.

𝐼𝑋 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴 = ∫ 𝐴

𝜋/2

𝑟0

∫ 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃(𝑟𝑑𝜃 )𝑑𝑟

−𝜋/2 0

𝐼𝑋 = ∫

𝜋/2

𝑟0

∫ 𝑟 3 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃

−𝜋/2

0

𝑟

0 𝑟4 𝐼𝑋 = ∫ ( )| 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃 −𝜋/2 4 0

𝜋/2

𝑟0 4 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃 4 −𝜋/2

𝐼𝑋 = ∫ 𝐼𝑋 = ∫

𝜋/2

𝑟0 4 (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑑𝜃 −𝜋/2 8 𝜋/2

𝜋/2 𝑟0 4 1 𝐼𝑋 = [𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃]| 8 2 −𝜋/2

𝜋𝑟0 4 𝐼𝑋 = 8 Momento de inercia con respecto al eje y: .

𝐼𝑦 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴 = ∫ 𝐴

𝐼𝑦 = ∫

𝜋/2

𝜋/2

𝑟0

∫ 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃(𝑟𝑑𝜃)𝑑𝑟

−𝜋/2 0

𝑟0

∫ 𝑟 3 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃

−𝜋/2 0

𝑟

0 𝑟4 𝐼𝑦 = ∫ ( )| 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃 −𝜋/2 4 0

𝜋/2

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𝐼𝑦 = ∫ 𝐼𝑦 = ∫

𝜋/2

𝑟0 4 2 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑑𝜃

−𝜋/2

𝑟0 4 (𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 1)𝑑𝜃 −𝜋/2 8 𝜋/2

𝐼𝑦 =

𝑟0 4 𝜋/2 [𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜃]|−𝜋/2 8

𝐼𝑦 =

𝜋𝑟0 4 8

∴ Momento de inercia polar del área .

𝐽𝑂 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 𝐴

𝐽𝑂 = 𝐽𝑂 =

𝜋𝑟0 4 𝜋𝑟0 4 + 8 8 𝜋𝑟0 4 4

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Producto de inercia de un área El producto de inercia de un área está definido respecto a un par de ejes perpendiculares entre sí, en el plano de dicha área. La integral la cual se, obtiene al multiplicar a cada elemento dA de un área A por sus coordenadas x e y e integrando sobre toda el área, se conoce como el producto de inercia del área A con respecto de los ejes x e y. A diferencia de los momentos de inercia Ix e Iy, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero.

Figura 10. Producto de inercia de un área.

El producto de inercia del área respecto a un sistema de ejes perpendiculares y e z, se define como:

𝐼𝑦𝑧 = ∫ 𝑦𝑧𝑑𝐴 𝐴

Al igual que en los momentos de inercia, la dimensión del producto de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia, por ejemplo,𝑚4 , 𝑚𝑚4 , 𝑜 𝑝𝑖𝑒𝑠 4 , 𝑝𝑢𝑙𝑔4 . Sin embargo, el producto de inercia puede ser positivo o negativo, como se muestra en la Figura 11, o nulo, como se muestra en la Figura 12.

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Figura 12. sección simétrica respecto al eje z.

Figura 11. Producto de inercia: signos.

Ejemplo 4. Determine el producto de inercia 𝐼𝑥𝑦 del triángulo que se muestra en la figura.

Figura 13. Triángulo rectángulo de base b y altura h.

SOLUCION: Un elemento diferencial con espesor dx, como se muestra en la figura tiene, tiene un área 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥. El producto de inercia de este elemento con respecto a los ejes 𝑥 y 𝑦 se determinan con el teorema de os ejes paralelos.

Figura 14. Producto de inercia de un triángulo rectángulo de base b y altura h.

 𝑑𝐼𝑥𝑦 = 𝑑𝐼𝑥 ′𝑦′ + 𝑑𝐴𝑋  𝑌

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Donde 𝑋 y 𝑌 ubican el centroide del elemento o el origen de los ejes 𝑥 ′ , 𝑦′. Como 𝑑𝐼𝑥 ′𝑦′ =

0, debido a la simetría, y 𝑋 = 𝑥 y 𝑌 = 𝑦/2, entonces: 𝑦 ℎ ℎ 𝑑𝐼𝑥𝑦 = 0 + (𝑦𝑑𝑥 )𝑥 ( ) = ( 𝑥𝑑𝑥) 𝑥 ( 𝑥) 2𝑏 𝑏 2 =

ℎ2

2𝑏2

𝑥 3 𝑑𝑥.

Al integrar con respecto a 𝑥 desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 𝑏 se obtiene. 𝐼𝑥𝑦 =

ℎ2 𝑏 3 𝑏 2 ℎ2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑏2 0 8

∴ 𝐼𝑥𝑦 =

𝑏2 ℎ2 8

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Momento y producto de inercia de un cuerpo con volumen Momento de inercia de un cuerpo con volumen. El momento de inercia de un sólido es una magnitud escalar que viene dada por: 𝑁

𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 𝑅𝑖2 𝑖=1

De su definición se deduce que el momento de inercia de un sólido depende del eje de giro (puesto que el radio de giro de cada partícula depende del eje). Como un sólido está constituido por un número muy grande de partículas, en vez de tratarlo como un sistema discreto puede ser analizado como un sistema continuo. Por tanto, el sumatorio de la ecuación anterior puede ser sustituido por la siguiente integral: 𝐼 = ∫ 𝑑𝑚 𝑅 2 Donde dm es un elemento de masa del sólido y R2 su distancia al aje de giro del mismo. El elemento de masa dm está relacionado con la densidad ρ del sólido y, si éste es homogéneo, al sustituir dm en la expresión del momento de inercia podemos sacar la densidad de la integral: 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 𝐼 = 𝜌 ∫ 𝑅 2 𝑑𝑉 dV es un elemento de volumen del sólido y, para calcular el momento de inercia de un sólido homogéneo es preciso resolver la integral recuadrada en rojo. Ejemplo 5. Calcularemos el momento de inercia de un cilindro homogéneo con respecto a uno de sus ejes de simetría, el eje longitudinal z que pasa por su centro de masas. El

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elemento de volumen en este caso es el volumen de la corteza cilíndrica de espesor dR que se encuentra a una distancia R del eje de giro, y viene dado por:

Figura 15. Cilindro homogéneo.

𝑑𝑉 = 2𝜋𝑅𝑑𝑅ℎ 𝜌=

𝑚 𝑚 = 𝑉 𝜋ℎ𝑅12

Sustituyendo en la expresión del momento de inercia: 𝐼 = 𝜌∫

𝑅1

0

𝑅1

𝑅 𝑑𝑉 = 𝜌 ∫ 2𝜋ℎ𝑅 3 𝑑𝑅 2

0

Integrando: 𝑅 4 𝑅1 𝜌2𝜋ℎ 4 𝑅1 𝐼 = 𝜌2𝜋ℎ | = 4 4 0 Finalmente, sustituyendo la densidad en la expresión anterior, el momento de inercia del cilindro con respecto al eje z es: 𝐼=

1 𝑚𝑅12 2

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Sólido

Eje

Momento de inercia 𝑀𝑅 2

Superficie cilíndrica de radio R y altura h

El del cilindro

Cilindro macizo de radio R y altura h

El del cilindro

Cilindro hueco de radio interior 𝑅1 , exterior 𝑅2 y altura h

El del cilindro

Varilla rectilínea de longitud H

Perpendicular por el centro

1 𝑀𝐻 2 12

Paralelogramo de lados b y h (incluye cuadrados, rectángulos y rombos) Cubo macizo de arista a

Perpendicular por el centro

𝑀(𝑏2 + ℎ2 ) 12

Cualquiera que pase por su centro

𝑀𝑎2 6

Superficie esférica de radio R

Cualquiera que pase por su centro

2𝑀𝑅 2 3

Esfera maciza de radio R

Cualquiera que pase por su centro

2𝑀𝑅 2 5

Tabla 2. Momento de inercia de cuerpos con volumen.

1 𝑀𝑅 2 2 1 𝑀(𝑅12 + 𝑅22) 2

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Figura 16. Momento de inercia de cuerpos con volumen. Producto de inercia de un cuerpo con volumen. Se denominan productos de inercia de un sólido a las cantidades 𝑃𝑥𝑦 = ∑𝑖 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑃𝑥𝑧 = ∑𝑖 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑧𝑖

𝑃𝑦𝑧 = ∑𝑖 𝑚𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖

de manera que los elementos no diagonales del tensor de inercia cumplen 𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑦𝑥 = −𝑃𝑥𝑦

𝐼𝑥𝑧 = 𝐼𝑧𝑥 = −𝑃𝑥𝑧

𝐼𝑦𝑧 = 𝐼𝑧𝑦 = −𝑃𝑦𝑧

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Conclusión Estas propiedades geométricas están relacionadas, cada una es indispensable en el cálculo de otra propiedad. Hay figuras que cuentan con su fórmula ya estructurada para una fácil obtención de cálculos en áreas compuestas, aquí es donde surgen figuras u objetos con formas peculiares. El centroide permitirá el cálculo del momento de inercia y el producto de inercia, de igual manera para los cuerpos que cuentan con su volumen. El momento polar de inercia no debe ser confundido con el momento de inercia, debido a que el primero se encarga de analizar cuan resistente es un objeto a la torsión, y el momento de inercia que caracteriza a un objeto de la aceleración angular con respecto a la torsión. El teorema de los ejes paralelos es el que permite relacionar el momento de inercia respecto a un eje cualquiera, siempre y cuando sea con otro momento de inercia siendo un eje paralelo al anterior.

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Bibliografía Tema 2. Centroides. http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/nayive/mr10_web/tema2_centroides.pdf Capítulo III. Momento de inercia en áreas planas. http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/duran_p_da/capitulo3.pdf Servín de la mora, R. (2015, Marzo 11). Momentos de inercia en áreas compuestas. Recuperado de https://prezi.com/lgbltk2ukf4w/momentos-de-inercia-en-areas-compuestas/ Momento polar de inercia. https://es.slideshare.net/YimyLeodanCarhuatoct/momentopolar-deinercia Unknown. (2017, Mayo 21). Producto de inercia de área. Recuperado de https://ingenieriaelemental.com/producto-de-inercia/ Segundo Sánchez. PRODUCTO DE INERCIA. Recuperado de https://www.academia.edu/10036903/PRODUCTO_DE_INERCIA Martí...