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PRACTICA 2. REOMETRIA...

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS.

LABORATORIO FUNDAMENTOS DE FENOMENOS DE TRANSPORTE PRACTICA #2: “REOMETRIA” ALUMNO: ALVARADO DOMINGUEZ ALEXIS GRUPO: 2IV30 PROFESOR: PEDRO ESCOBAR BALLESTEROS.

CONSIDERACIONES TEORICAS. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD. El concepto de viscosidad nació con Newton, cuando en su obra. “Principia Matematica" afirmó que la resistencia ejercida, y que surge a partir de una falta en el deslizamiento de un fluido, si el resto de factores se mantienen, es proporcional a la velocidad a la que las partes de un fluido son separadas entre sí. De este modo, se establece la proporcionalidad existente entre el esfuerzo por unidad de área (F/A) necesario para producir un gradiente de velocidades en un fluido, siendo la constante de proporcionalidad un factor que describe "la capacidad de deslizamiento de un fluido". El sentido común sugiere que esta fuerza puede expresarse como sigue: 𝐹 𝑉 =µ 𝐴 𝛾 Es decir, la fuerza debe ser directamente proporcional al área y a la velocidad, e inversamente proporcional a la distancia entre las placas. La constante de proporcionalidad µ es una propiedad del fluido, definida como la viscosidad. REOLOGIA El campo de la reología se extiende desde la mecánica de los fluidos Newtonianos por una parte, hasta la elasticidad de Hooke por otra. Para tales estudios se usan aparatos llamados reómetros, que permiten cuantificar los parámetros inherentes al proceso, para así obtener, mediante gráficas adecuadas, la relación entre el esfuerzo y el cizallamiento. La reología estudia principalmente fluidos que están formados por macromoléculas o que tienen estructura y que se conocen con el nombre genérico de fluidos no newtonianos o fluidos complejos. Estos materiales tienen características intermedias entre los sólidos elásticos y los fluidos puramente viscosos, por lo que también se conocen como fluidos viscoelásticos. Dentro de este tipo de fluidos se encuentran las soluciones poliméricas, los polímeros fundidos, las suspensiones de partículas, los alimentos, los medicamentos, los recubrimientos, los fluidos y tejidos biológicos La viscosidad de un fluido Newtoniano se suele representar con la letra griega μ, pero para fluidos no Newtonianos la viscosidad aparente se suele representar entonces con la letra griega η.

Es posible definir lo que se conoce como fluido Newtoniano. Por fluido newtoniano se entiende aquel fluido cuyo valor de viscosidad, a una presión y temperatura dadas, es único para cualquier velocidad de cizalla, siendo independiente del tiempo de aplicación de la cizalla. Para líquidos Newtonianos, la viscosidad también se denomina coeficiente de viscosidad. Este coeficiente, en determinados fluidos deja de ser constante para convertirse en una función de la velocidad de deformación del fluido, apareciendo el término de viscosidad aparente o a veces viscosidad dependiente de la velocidad de cizalla .

Grafica A: Esfuerzo cortante contra velocidad de deformación (fluido newtoniano)

Grafica B: Viscosidad contra velocidad de deformación (fluido newtoniano)

De acuerdo con la ley de la viscosidad de Newton, al representar gráficamente tyx frente a -(dv/dy) para.un fluido determinado, debe de obtenerse una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, y cuya pendiente es la viscosidad del fluido a una cierta temperatura y presión. El tema del flujo no-newtoniano constituye actualmente una parte de otra ciencia más amplia que es la reología, es decir, la ciencia del flujo y la deformación, que estudia las propiedades mecánicas de los gases, líquidos, plásticos, substancias asfálticas y materiales cristalinos.

TABLAS DE DATOS EXPERIMENTALES. SHAMPOO.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Rapidez de corte Esfuerzo cortante 0.531 10 0.6 11 0.613 12.1 0.683 13.3 0.717 14.7 0.805 16.2 0.848 17.8 0.936 19.6 1.03 21.5 1.11 23.7 1.21 26.1 1.32 28.7 1.45 31.6 1.61 34.8 1.79 38.3 1.95 42.2 2.19 46.4 2.45 51.1 2.76 56.2 3.11 61.9 3.56 68.1 4.13 75 5.09 82.5 10.1 90.9 47.5 100

ACEITE. 30°C

20°C

Rapidez de corte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

8.65 9.62 10.6 11.8 13 14.4 16 17.7 19.6 21.6 23.9 26.4 29.2 32.2 35.6 39.3 43.3 47.8 52.7 58.2 64.2 70.8 78.1 86.1 95

Esfuerzo cortante 10 11 12.1 13.3 14.7 16.2 17.8 19.6 21.5 23.7 26.1 28.7 31.6 34.8 38.3 42.2 46.4 51.1 56.2 61.9 68.1 75 82.5 90.9 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Rapidez de Esfuerzo corte cortante 4.73 10 5.17 11 5.63 12.1 6.17 13.3 6.79 14.7 7.44 16.2 8.19 17.8 9 19.6 9.87 21.5 10.8 23.7 11.9 26.1 13.1 28.7 14.4 31.6 15.8 34.8 17.4 38.3 19.1 42.2 21 46.4 23.1 51.1 25.4 56.2 27.9 61.9 30.7 68.1 33.7 75 37.1 82.5 40.8 90.9 44.9 100

SECUENCIA DE CALCULOS. -Aceite, 30°C Calculamos la viscosidad de cada medición. τ = µγ τ γ τ 15 µ =

µ= 1. µ = µ=

= 1.156069 8.65

12.1

µ=

13.3 11.8

µ=

14.7 13

µ=

16

µ=

19.6 17.7 21.5 19.6

10. µ = µ=

23.7 21.6

11. µ = µ=

26.1 23.9

51.1 47.8

µ=

56.2 52.7

µ=

τ

68.1 64.2

τ

75 70.8

τ

82.5 78.1

= 1.097222

µ=

τ

90.9 86.1

= 1.092050

26 4

τ γ

= 1.087121

13. µ =

τ γ

µ=

100 95

τ γ τ γ

= 1.055749

25 µ =

γ

τ γ

= 1.056338

24. µ =

γ

τ

γ

= 1.059322

23. µ =

γ

µ=

γ

= 1.060747

22. µ = µ=

τ

= 1.063573 58.2

γ

= 1.096938

28.7

= 1.066413

21. µ =

τ

τ γ

61.9

γ

µ=

τ γ

= 1.069037

20. µ =

γ

τ

γ

= 1.071593

19. µ =

τ

12 µ = µ=

46.4 43.3

γ

= 1.107344

9. µ = µ=

τ

γ

= 1.073791 39.3

18. µ = µ=

τ

42.2

γ

= 1.1125

8. µ =

µ=

τ

= 1.125 14.4 17.8

= 1.055842

17. µ =

16.2

7. µ = µ=

τ

= 1.130769

6. µ =

µ=

γ

= 1.127118

5. µ =

35.6

γ

= 1.141509

4. µ =

38.3

16. µ =

= 1.143451 9.62

10.6

µ=

τ

11

3. µ = µ=

γ

10

2. µ = µ=

τ γ

τ γ

= 1.052631

µ=

31.6 29.2

= 1.082191

14. µ = µ=

τ γ

34.8

= 1.080745 32.2

Se realizará un ajuste por minimos cuadrados para obtener un solo valor de la viscosidad. Teniendo una ecuacion de tipo lineal. 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 Se eleva la rapidez de corte (x) al cuadrado: (8.65)2= (9.62) 2= (10.6) 2= (11.8) 2= (13) 2= (14.4) 2= (16) 2= (17.7) 2= (19.6) 2= (21.6) 2= (23.9) 2= (26.4) 2= (29.2) 2= (32.2) 2= (35.6) 2= (39.3) 2= (43.3) 2= (47.8) 2= (52.7) 2= (58.2) 2= (64.2) 2= (70.8) 2= (78.1) 2= (86.1) 2= (95) 2=

74.8225 92.5444 112.36 139.24 169 207.36 256 313.29 384.16 466.56 571.21 696.96 852.64 1036.84 1267.36 1544.49 1874.89 2284.84 2777.29 3387.24 4121.64 5012.64 6099.61 7413.21 9025 ∑= 50181.1969

Se multiplica la rapidez de corte con esfuerzo cortante (x*y). X

Y 8.65 x 9.62 x 10.6 x 11.8 x 13 x 14.4 x 16 x 17.7 x 19.6 x 21.6 x 23.9 x 26.4 x 29.2 x 32.2 x 35.6 x 39.3 x 43.3 x 47.8 x 52.7 x 58.2 x 64.2 x 70.8 x 78.1 x 86.1 x 95 x

∑= 925.77

10= 11= 12.1= 13.3= 14.7= 16.2= 17.8= 19.6= 21.5= 23.7= 26.1= 28.7= 31.6= 34.8= 38.3= 42.2= 46.4= 51.1= 56.2= 61.9= 68.1= 75= 82.5= 90.9= 100= ∑= 993.7

Por lo cual, tenemos como datos. ∑x= 925.77 ∑y= 993.7 ∑x2= 50181.1969 (∑x) 2= 857050.093 ∑x*y= 53381.41

(X*Y) 86.5 105.82 128.26 156.94 191.1 233.28 284.8 346.92 421.4 511.92 623.79 757.68 922.72 1120.56 1363.48 1658.46 2009.12 2442.58 2961.74 3602.58 4372.02 5310 6443.25 7826.49 9500 ∑= 53381.41

Sustituyendo en la ecuación de k y b obtenemos los valores de las mismas constantes. ∑(x ∗ y) − ∑ x ∑ y (53381.41) − 925.77 ∗ (993.7) k= = = ∑ x 2 − (∑ x)2 (50181.1969) − 857050.093 k = 1.07397

b=

∑ x 2 ∑ y − ∑ x ∑(x ∗ y) 50181.1969 ∗ 993.7 − (925.77) ∗ 53381.41 = = 2 2 N ∑ x − (∑ x) 25 ∗ 50181.1969 − 857050.093 b = 1.12244

Obteniendo una ecuación. 𝑦 = 1.07397𝑥 + 1.12244

Aceite, 20°C Calculamos la viscosidad de cada medición. τ = µγ τ γ τ 15 µ =

µ= 1. µ = µ=

10 4.73

= 2.114164

2. µ = µ=

11 5.17 12.1 5.63

µ=

13.3 6.17

µ=

14.7 6.79

µ=

16.2 7.44

µ=

17.8 8.19

µ=

19.6 9

µ=

21.5 9.87

10. µ = µ=

23.7 10.8

11. µ = µ=

26.1 11.9

31.6 14.4

46.4 21

µ=

51.1 23.1

µ=

τ

56.2

τ

61.9 27.9

µ=

τ

68.1 30.7

µ=

τ

75 33.7

= 2.178318

µ=

τ

82.5 37.1

= 2.194444

µ=

τ

90.9 40.8

= 2.193277 τ γ

28.7

= 2.190839 13.1 τ

γ

= 2.194444

µ=

100 44.9

τ γ

= 2.227941

25 µ =

γ

τ γ

= 2.223719

24. µ =

γ

τ γ

= 2.225519

23. µ =

γ

τ γ

= 2.218241

22. µ =

γ

τ γ

= 2.218637

21. µ =

γ

τ γ

= 2.212598

20. µ = µ=

τ γ

= 2.212121

25.24

γ

τ γ

= 2.209523

19. µ =

γ

τ γ

= 2.209424

18. µ =

τ

13. µ = µ=

42.2 19.1

γ

12 µ = µ=

µ=

τ

= 2.177777

9. µ =

= 2.201149

17. µ =

= 2.173382

8. µ =

17.4

γ

= 2.177419

7. µ =

µ=

τ

= 2.166494

6. µ =

γ

16. µ =

= 2.155591

5. µ =

38.3

γ

= 2.149200

4. µ =

µ=

τ

= 2.127659

3. µ = µ=

τ γ

τ γ

= 2.227171

14. µ = µ=

34.8 15.8

τ γ

= 2.200253

Se realizará un ajuste por minimos cuadrados para obtener un solo valor de la viscosidad. Teniendo una ecuacion de tipo lineal. 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 Se eleva la rapidez de corte (x) al cuadrado: (4.73)2= (5.17) 2= (5.63) 2= (5.17) 2= (5.79) 2= (7.44) 2= (8.19) 2= (9) 2= (9.87) 2= (10.8) 2= (11.9) 2= (13.1) 2= (14.4) 2= (15.8) 2= (17.4) 2= (19.1) 2= (21) 2= (23.1) 2= (25.4) 2= (27.9) 2= (30.7) 2= (33.7) 2= (37.1) 2= (40.8) 2= (44.9) 2=

22.3729 26.7289 31.6969 38.0689 46.1041 55.3536 67.0761 81 97.4169 116.64 141.61 171.61 207.36 249.64 302.76 364.81 441 533.61 645.16 778.41 942.49 1135.69 1376.41 1664.64 2016.01 ∑=11553.6683

Se multiplica la rapidez de corte con esfuerzo cortante (x*y). X

Y 4.73 x 5.17 x 6.63 x 6.17 x 6.79 x 7.44 x 8.19 x 9x 9.87 x 10.8 x 11.9 x 13.1 x 14.4 x 15.8x 17.4 x 19.1 x 21 x 23.1 x 25.4 x 27.9 x 30.7 x 33.7 x 37.1 x 40.8 x 44.9x

∑= 450.09

10= 11= 12.1= 13.3= 14.7= 16.2= 17.8= 19.6= 21.5= 23.7= 26.1= 28.7= 31.6= 34.8= 38.3= 42.2= 46.4= 51.1= 56.2= 61.9= 68.1= 75= 82.5= 90.9= 100= ∑= 993.7

Por lo cual, tenemos como datos. ∑x= 450.09 ∑y= 993.7 ∑x2= 11553.6683 (∑x) 2= 202581.0081 ∑x*y= 25615.862

(X*Y) 47.3 56.87 68.123 82.061 99.813 120.528 145.782 176.4 212.205 255.96 310.59 375.97 455.04 549.84 666.42 806.02 974.4 1180.47 1427.48 1727.01 2090.67 2527.5 3060.75 3708.72 4490 ∑= 25615.862

Sustituyendo en la ecuación de k y b obtenemos los valores de las mismas constantes. 𝑁 ∑(x ∗ y) − ∑ x ∑ y 25(25615.862) − 450.09 ∗ (993.7) k= = = 2 2 𝑁 ∑ x − (∑ x) 25(11553.6683) − 202582.0081 k = 2.239077

b=

∑ x 2 ∑ y − ∑ x ∑(x ∗ y) 11553.6683 ∗ 993.7 − (450.09) ∗ 25615.862 = = 2 2 N ∑ x − (∑ x) 25 ∗ 11553.6683 − 202582.0081 b = −0.562987

Obteniendo una ecuación. 𝑦 = 2.239077𝑥 − 0.562987

SHAMPOO. Calculamos la viscosidad de cada medición. τ = µγ τ γ τ 15 µ =

µ= 1. µ = µ=

10 0.531 11 0.6

µ=

13.3

µ=

14.7 0.717

µ=

16.2 0.805

µ=

17.8 0.848

µ=

19.6 0.936

µ=

21.5 1.03

10. µ = µ=

23.7 1.11

11. µ = µ=

26.1 1.21

µ=

τ

µ=

τ

56.2 2.76

µ=

τ

61.9 3.11

µ=

τ

68.1 3.56

µ=

τ

75 4.13

µ=

82.5 5.09

= 21.351351

µ=

τ

90.9 10.1

= 21.570247 τ γ

= 21.742424

13. µ =

τ γ

µ=

100 47.5

τ γ

= 16.208251 τ γ

=9

25 µ =

γ

τ γ

= 18.159806

24. µ =

γ

τ γ

= 19.129213

23. µ =

γ

τ γ

= 19.903537

22. µ =

γ

τ γ

= 20.362318

21. µ =

γ

τ γ

= 20.857142

20. µ =

γ

τ γ

= 21.187214

19. µ =

τ

1.32

51.1 2.45

γ

12 µ = µ=

2.19

τ γ

= 21.641025

18. µ =

= 20.873786

28.7

46.4

γ

= 20.940170

9. µ =

µ=

τ

= 20.990566

8. µ =

= 21.396648

17. µ =

= 20.124223

7. µ =

42.2 1.95

γ

= 20.502092

6. µ =

µ=

τ

= 19.472913

5. µ =

1.79

16. µ =

= 19.738988 0.6013

0.683

38.3

γ

12.1

4. µ =

µ=

τ

= 18.333333

3. µ = µ=

γ

= 18.832391

2. µ = µ=

τ γ

τ γ

= 2.105263

µ=

31.6 1.45

= 21.793103

14. µ = µ=

τ γ

34.8

= 21.614906 1.61

De acuerdo a la gráfica del shampo, de Rapidez de corte (γ) VS Esfuerzo Cortante (τ) es un fluido No Newtoniano y por lo tanto se rige por la ecuación: τ = mγn Para poder realizar una regresión lineal mediante el método de mínimos cuadrados se realizara algebra, aplicando Ln a la ecuación quedando: Lnτ = Lnm + n ∗ Ln γ Ahora con este nuevo cambio de variables la ecuación de la recta reacomodada quedara de la siguiente manera: y = Lnm + n ∗ Ln γ

y=b+kx

Calculamos logaritmos naturales de Rapidez de corte. Rapidez de corte Ln(0.531)= Ln(0.6)= Ln(0.613)= Ln(0.683)= Ln(0.717)= Ln(0.805)= Ln(0.848)= Ln(0.936)= Ln(1.03)= Ln(1.11)= Ln(1.21)= Ln(1.32)= Ln(1.45)= Ln(1.61)= Ln(1.79)= Ln(1.95)= Ln(2.19)= Ln(2.45)= Ln(2.76)= Ln(3.11)=

ln Rapidez Corte -0.632993258 -0.510825624 -0.489390343 -0.381260419 -0.332679438 -0.216913002 -0.164874643 -0.066139803 0.029558802 0.104360015 0.19062036 0.277631737 0.371563556 0.476234179 0.58221562 0.667829373 0.783901544 0.896088025 1.01523068 1.134622726

Ln(3.56)= Ln(4.13)= Ln(5.09)= Ln(10.1)= Ln(47.5)=

1.269760545 1.418277407 1.627277831 2.312535424 3.860729711 ∑=14.223361

Calculamos Ln de Esfuezo cortante. Esfuerzo cortante ln Esfuerzo cortante Ln(10)= 2.302585093 Ln(11)= 2.397895273 Ln(12.1)= 2.493205453 Ln(13.3)= 2.587764035 Ln(14.7)= 2.687847494 Ln(16.2)= 2.785011242 Ln(17.8)= 2.879198457 Ln(19.6)= 2.975529566 Ln(21.5)= 3.068052935 Ln(23.7)= 3.165475048 Ln(26.1)= 3.261935314 Ln(28.7)= 3.356897123 Ln(31.6)= 3.453157121 Ln(34.8)= 3.549617387 Ln(38.3)= 3.645449896 Ln(42.2)= 3.742420221 Ln(46.4)= 3.837299459 Ln(51.1)= 3.933784497 Ln(56.2)= 4.028916757 Ln(61.9)= 4.12552018 Ln(68.1)= 4.220977213 Ln(75)= 4.317488114 Ln(82.5)= 4.412798293 Ln(90.9)= 4.509760001 Ln(100)= 4.605170186 ∑= 86.34375636

ELEVAMOS AL CUADRADO LN DE RAPIDEZ DE CORTE ln Rapidez Corte x^2 (-0.632993258)2 0.40068046 (-0.510825624)2 0.26094282 (-0.489390343)2 0.23950291 (-0.381260419)2 0.14535951 (-0.332679438)2 0.11067561 (-0.216913002)2 0.04705125 (-0.164874643)2 0.02718365 (-0.06613980)2 0.00437447 (0.029558802)2 0.00087372 (0.104360015)2 0.01089101 (0.19062036) 2 0.03633612 (0.277631737)2 0.07707938 (0.371563556)2 0.13805948 (0.476234179)2 0.22679899 (0.58221562) 2 0.33897503 (0.667829373)2 0.44599607 (0.783901544)2 0.61450163 (0.896088025)2 0.80297375 (1.01523068) 2 1.03069333 (1.134622726)2 1.28736873 (1.269760545)2 1.61229184 (1.418277407)2 2.0115108 (1.627277831)2 2.64803314 (2.31253542) 2 5.34782009 (3.860729711)2 14.9052339 ∑=32.7712077

MULTIPLICAMOS X*Y x*y -1.457520839 -1.224906348 -1.220150672 -0.986612001 -0.894191595 -0.604105148 -0.474706818 -0.196800938 0.09068797 0.330349025 0.621791283 0.931981178 1.283067341 1.690449122 2.122437871 2.499298148 3.00806497 3.525017179 4.090279898 4.680908953 5.359630326 6.123395846 7.180848833 10.42897976 17.77931736 ∑=64.6875107

Por lo cual, tenemos como datos. ∑x= 14.223361 ∑y= 86.34375636 ∑x2= 32.7712077 (∑x) 2= 202.3039982 ∑x*y= 64.6875107

Sustituyendo en la ecuación de k y b obtenemos los valores de las mismas constantes. 𝑁 ∑(x ∗ y) − ∑ x ∑ y 25(64.6875107) − 14.223361 ∗ (86.34375636) k= = = 𝑁 ∑ x 2 − (∑ x)2 25(32.7712077) − 202.3039982 k = 0.6306

b=

∑ x 2 ∑ y − ∑ x ∑(x ∗ y) 32.7712077 ∗ 86.343756 − (14.223361) ∗ 64.687510 = 2 2 N ∑ x − (∑ x) 25 ∗ 64.6875107 − 202.3039982 = b = 3.094957

Obteniendo una ecuación. 𝑦 = 3.094957 + 0.6306𝑥

GRAFICAS.

ACEITE A 30 GRADOS C 120 y = 1.0739x + 1.1224 R² = 1

Esfuerzo cortante

100 80 60

40 20 0 0

20

40

60

80

100

Rapidez de corte

ACEITE A 20 GRADOS C 120 y = 2.2391x - 0.563 R² = 1

Esfuerzo cortante