RESPONSE SURFACE METHODOLOGY (RSM) DAN APLIKASINYA PDF

Preview

Summary

RESPONSE SURFACE METHODOLOGY (RSM) DAN APLIKASINYA RIA FAULINA NRP 1311 201 002 SHOFI ANDARI NRP 1311 201 008 DIAN ANGGRAENI NRP 1311 201 009 Dosen : Dr. SUTIKNO, M.Si. JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2011 © RIA FAULINA|SH...

Description

Accelerat ing t he world's research.

RESPONSE SURFACE METHODOLOGY (RSM) DAN APLIKASINYA Risal Ngizudin

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

1-Opt imasi kekuat an t arik komposit polyest er diperkuat serat sisal.pdf Dinamika Teknik Mesin

1-Opt imasi kekuat an t arik komposit polyest er.pdf Dinamika Teknik Mesin SET T ING PARAMET ER MESIN PRESS DENGAN MET ODE RESPON PERMUKAAN PADA PABRIK KELAPA S… harri t arigan

RESPONSE SURFACE METHODOLOGY (RSM) DAN APLIKASINYA

RIA FAULINA NRP 1311 201 002 SHOFI ANDARI NRP 1311 201 008 DIAN ANGGRAENI NRP 1311 201 009

Dosen : Dr. SUTIKNO, M.Si.

JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2011

© RIA FAULINA|SHOFI ANDARI|DIAN ANGGRAENI (MAGISTER OF STATISTICS ITS)

2011

RESPONSE SURFACE METHODOLOGY (RSM) DAN APLIKASINYA I. LATAR BELAKANG Seiring berkembangnya dunia pendidikan, semakin berkembang pula penelitian-penelitian yang ditujukan untuk mencari jawaban atas pemikiran yang muncul akibat permasalahanpermasalahan. Secara umum, tujuan suatu penelitian atau eksperimen adalah untuk memperoleh keterangan tentang bagaimana respon yang diberikan oleh suatu objek pada berbagai keadaan tertentu yang ingin diperhatikan. Keadaan tertentu biasanya merupakan sesuatu yang sengaja diciptakan atau ditimbulkan, baik melalui pemberian perlakuan atau pengaturan keadaan lingkungan. Meskipun pemberian perlakuan telah ditentukan dan keadaan lingkungan telah diatur dengan cermat, penelaahan mengenai respon tidak akan luput dari gangguan keragaman alami yang ada pada setiap obyek serta pengaruh berbagai faktor yang memang tidak dapat dibuat persis sama bagi setiap obyek dalam eksperimen. Dalam hal ini metode analisis varians dapat membantu peneliti untuk memisah dan mengusut apa saja yang menimbulkan keragaman respon, yaitu berapa bagian yang disebabkan oleh perlakuan, berapa bagian yang disebabkan oleh lingkungan dan berapa bagian yang ditimbulkan oleh berbagai pengaruh yang tidak dapat dianalisis dengan jelas (Nuryanti dan Salimy, 2008). Desain eksperimen yang dibahas sebelumnya hanya terbatas pada faktor atau level yang memberikan pengaruh nyata atau signifikan pada respon. Baahkan uji perbandingan ganda yang merupakan uji lanjutan dari desain eksperimen yang mampu menentukan perbedaan antar level hanya dapat menunjukkan nilai respon yang maksimum atau minimum yang terbatas pada level-level yang dicobakan saja. Pada penelitian yang lebih mutakhir, kadang kala peneliti tidak cukup hanya dengan menentukan nilai respon maksimum atau minimum saja dari level-level yang dicobakan saja, karena nilai maksimum atau minimum tersebut bisa jadi muncul diantara selang level-level yang dicobakan. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu metode yang dapat mendukung kebutuhan tersebut. Salah satunya adalah metode permukaan respon. Metode permukaan respon (response surface methodology) merupakan sekumpulan teknik matematika dan statistika yang berguna untuk menganalisis permasalahan dimana beberapa variabel independen mempengaruhi variabel respon dan tujuan akhirnya adalah untuk mengoptimalkan respon (Montgomery, 2001). Ide dasar metode ini adalah memanfaatkan desain eksperimen berbantuan statistika untuk mencari nilai optimal dari suatu respon. Metode ini pertama kali diajukan sejak tahun 1951 dan sampai saat ini telah banyak dimanfaatkan baik dalam dunia penelitian maupun aplikasi industri. Misalnya, dengan menyusun suatu model matematika, peneliti dapat mengetahui nilai variabel-variabel independen yang menyebabkan nilai variabel respon menjadi optimal. Makalah ini membahas tentang metode permukaan respon. Pembahasan dimulai dengan penjabaran konsep, 152

© RIA FAULINA|SHOFI ANDARI|DIAN ANGGRAENI (MAGISTER OF STATISTICS ITS)

2011

dilanjutkan dengan prosedur analisis dan pengujian, kemudian diberikan contoh aplikasi pada eksperimen kimia, yaitu eksperimen penumbuhan kristal. Tujuan dari kajian adalah untuk memahami peran metode permukaan respon dalam menentukan nilai variabel-variabel independen yang menyebabkan nilai respon penumbuhan kristal menjadi optimal. Dalam eksperimen ini, variabel respon penumbuhan kristal (y) dipengaruhi oleh tiga variabel independen yaitu suhu (x1), tekanan (x2) dan derajat keasaman (x3). Menggunakan formulasi model yang tepat, maka dapat diperoleh nilai variabel-variabel independen (x1, x2, dan x3) yang menyebabkan nilai penumbuhan kristal menjadi optimal.

II. KONSEP DASAR 2.1 Pengenalan Metode Permukaan Respon Menurut Montgomery (2001), Response Surface Methodology (RSM) atau Metode Permukaan Respon adalah sekumpulan metode-metode matematika dan statistika yang digunakan dalam pemodelan dan analisis, yang bertujuan untuk melihat pengaruh beberapa variabel kuantitatif terhadap suatu variabel respon dan untuk mengoptimalkan variabel respon tersebut. Sebagai contoh, akan dicari level-level dari suhu ( 1 ) dan tekanan ( 2 ) yang dapat mengoptimalkan suatu hasil produksi ( ). Hubungan variabel-variabel tersebut dapat dituliskan dalam sebah persamaan sebagai berikut : = (

1

+

2) +

�

Dimana � merupakan error pengeamatan pada respon . Jika nilai harapan respon dituliskan (

1

+

respon.

2)

= �, maka � = (

1

+

2)

(1) =

merepresentasikan sebuah permukaan yang disebut permukaan

Pada umumnya, permukaan respon digambarkan dengan sebuah grafik, seperti yang tampak pada Gambar 1. Untuk membantu visualisasi dari bentuk permukaan plot, sering digunakan kontur dari permukaan respon, seperti yang terlihat pada Gambar 2. Pada kontur tersebut, garis respon yang konstan berada pada permukaan datar ( 1 ,

2 ),

sedangkan garis respon yang lain berada pada

permukaan lengkung di atasnya.

153

© RIA FAULINA|SHOFI ANDARI|DIAN ANGGRAENI (MAGISTER OF STATISTICS ITS)

2011

Gambar 1. Ilustrasi plot permukaan respon

Gambar 2. Ilustrasi plot kontur Response Surface Permasalahan umum pada metode permukaan respon adalah bentuk hubungan antara variabel respon dengan variabel independen tidak diketahui. Oleh karena itu, langkah pertama dalam metode permukaan respon adalah mencari bentuk hubungan antara respon dengan beberapa variabel independen melalui pendekatan yang sesuai. Bentuk hubungan linier merupakan bentuk hubungan yang dicobakan pertama kali karena merupakan bentuk hubungan yang paling sederhana (low-order polynomial). Jika ternyata bentuk hubungan antara respon dengan variabel independen adalah fungsi linier, pendekatan fungsinya disebut first-order model, seperti yang ditunjukkan dalam persamaan berikut = �0 + �1

1

+ �2

2

+�

+

+�

(2)

Jika bentuk hubungannya merupakan kuadrat, maka untuk pendekatan fungsinya digunakan derajat polinomial yang lebih tinggi yaitu second-order model = �0 +

=1

�

+ =1

�

2

+

+ <

�

+�

(3)

Hampir semua permasalahan dalam metode permukaan respon menggunakan salah satu atau kedua model diatas. Setelah diperoleh bentuk hubungan yang paling sesuai, langkah selanjutnya adalah mengoptimalisasi hubungan tersebut. Jika permukaan yang paling sesuai dicari melalui pendekatan yang cukup, maka hasil analisis ini akan mendekati fungsi yang sebenarnya. Secara garis besar, langkah-langkah dalam metode permukaan respon adalah merancang percobaan, membuat model dan melakukan optimalisasi seperti pada Lampiran 1.

154

© RIA FAULINA|SHOFI ANDARI|DIAN ANGGRAENI (MAGISTER OF STATISTICS ITS)

2011

2.1 Rancangan Percobaan Optimal Menurut Vardeman (1998), ada beberapa hal yang perlu diperhatikan jika melakukan analisis menggunakan metode permukaan respon. Hal pertama yang perlu dilihat adalah bentuk persamannya, apakah merupakan fungsi berorde satu atau fungsi berorde dua. Jika ternyata fungsi yang terbentuk berorde dua, selanjutnya yang perlu dilihat adalah sifat percobaan yang akan dilakukan, apakah sequential atau non sequential. Kedua hal diatas sangat berpengaruh terhadap prosedur perancangan yang akan dibuat. Untuk fungsi yang berorde satu, rancangan percobaannya cukup menggunakan 2k faktorial, dimana setiap perlakuan memiliki dua level perlakuan. Jika dibandingkan rancangan permukaan respon yang berorde dua, maka rancangan permukaan respon yang berorde satu membutuhkan lebih sedikit unit percobaan, yaitu sebanyak 2k unit percobaan, dimana k adalah banyaknya faktor perlakuan. Untuk permukaan respon yang berorde dua, rancangan percobaannya menggunakan central composite design (CCD) atau Box-Behnken design yang memerlukan jumlah unit percobaan lebih banyak daripada rancangan 2k faktorial (permukaan respon berorde satu).

2.2 Metode Steepest Ascent Seringkali, menduga titik optimum dari suatu respon berada jauh dari titik optimum yang sebenarnya. Salah satu cara untuk mencari titik optimum pada permukaan respon adalah dengan menggunakan cara satu faktor-satu faktor. Dimisalkan, jika maka akan dicari 1

dan

2

1

yang akan membuat

2

tetap sedangkan

1

berubah-ubah,

optimum atau hampir optimum. Setelah ditemukan nilai

tersebut, eksperimen dapat dilakukan untuk menentukan titik optimum. Akan tetapi, cara

ini tidak selalu berhasil, tergantung pada bentuk permukaan respon, terlebih lagi, biasanya bentuk permukaan respon tidak diketahui. Untuk itu, tujuan dari para peneliti adalah mencari titik optimum yang berada di sekitar titik optimum sebenarnya, menggunakan metode yang sederhana dan efisien. Dan biasanya, ketika dugaan titik optimum berada jauh dari nilai sebenarnya, diasumsikan bahwa model orde satu merupakan pendekatan yang cukup baik untuk menduga permukaan yang sebenarnya. Untuk mengatasi kesulitan diatas, diperkenalkan metode steepest ascent yaitu metode yang bekerja berurutan sepanjang permukaan respon yang bergerak secara cepat mengarah pada peningkatan respon sampai pada titik optimum (Gambar 3). Sebaliknya, jika yang diinginkan adalah mencari titik minimum, maka metode yang digunakan adalah metode steepest descent. Metode ini tidak menentukan nilai optimum tertentu, tetapi hanya mampu mengarahkan pada daerah sekitar nilai optimum tersebut.

155

© RIA FAULINA|SHOFI ANDARI|DIAN ANGGRAENI (MAGISTER OF STATISTICS ITS)

2011

Gambar 3. Ilustrasi Permukaan Respon Orde satu dan Garis Steepest Ascent 2.3 Karakteristik Permukaan Respon 1, 2, … ,

Misalkan ingin didapatkan nilai

yang megoptimalkan respon yang diprediksikan.

Jika nilai-nilai optimal ini ada, maka y pada persamaan (2) merupakan himpunan yang beranggotakan 1, 2, … ,

sedemikian sehingga turunan parsialnya: � �

= 1

� �

= 2

=

� �

=0

(4)

Dalam notasi matriks, persamaan (4) dapat dinyatakan sebagai:

= �0 + �′ � + �′��

dimana,

1

�′ =

2

 ˆ11 ˆ12 / 2 ˆ  / 2 ˆ 22 � =  12     ˆ ˆ  1k / 2 1k / 2

�1 �2 � = �3 �

(5)

 ˆ1k / 2   ˆ1k / 2      ˆ kk 

b merupakan vektor koefisien regresi orde pertama, sedangkan B adalah matriks orde kedua berukuran k x k yang elemen diagonal utamanya merupakan koefisien kuadratik murni �

dan

elemen-elemen segitiga atasnya adalah ½ dari koefisien kuadratik campuran (� , ≠ ). Turunan dari

terhadap vektor x adalah sama dengan 0, sehingga dinyatakan dengan: � ��

= � + 2�� = 0

(6)

156

© RIA FAULINA|SHOFI ANDARI|DIAN ANGGRAENI (MAGISTER OF STATISTICS ITS)

2011

Titik-titik stasioner yang merupakan solusi dari persamaan diatas, adalah: 1

di mana �

T

= (

1.0 , 2.0 , … ,

.0 ).

� = − 2 �−1 �

(7)

Substitusi persamaan (7) ke persamaan (5) diperoleh nilai respon

optimal yang diprediksikan terjadi pada titik-titik stasioner, yaitu: 1 2

= �0 + � ′�

(8)

Karakteristik permukaan respon digunakan untuk menentukan jenis titik stasioner, apakah maksimum, minimum atau titik pelana. Berikut beberapa ilustrasi untuk titik-titik tersebut beserta plot kontur masing-masing seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4, 5 dan 6. Titik stasioner dapat diidentifikasi dengan mentransformasikan fungsi respon dari titik asal x(0,0,...,0) ke titik stasioner � dan sekaligus merotasikan sumbu koordinatnya, sehingga dihasilkan fungsi respon sebagai berikut:

=

0

dengan:

+ �1

2 1

+ �2

2 2

+

+�

2

(9)

= Variabel independen baru hasil transformasi 0

= Harga taksiran y pada titik stasioner

0

� = Konstanta yang merupakan eigen value dari matrik B, i = 1,2,…,k

Karakteristik dari permukaan respon ditentukan oleh harga � . Jika nilainya semua positif maka

0 adalah

titik minimum, sedangkan jika semua negatif maka

berbeda tanda diantara harga � , maka

0 merupakan

0 adalah

titik maksimum, jika harganya

titik pelana.

2.4 Rancangan Percobaan yang Sesuai untuk Permukaan Respon Pemilihan rancangan percobaan yang sesuai beserta analisisnya untuk permukaan respon adalah

hal yang sangat penting. Berikut ada beberapa kriteria dalam pemilihan rancangan percobaan yang sesuai untuk metode permukaan respon: 1. Memberikan gambaran distribusi dan informasi yang jelas berdasarkan data pada seluruh daerah yang difokuskan 2. Memungkinkan untuk mencari model yang memenuhi kelayakan model 3. Memungkinkan untuk membuat blok-blok dalam percobaan 4. Memungkinkan untuk membuat rancangan-rancangan yang mempunyai orde lebih tinggi 5. Memberikan pendugaan error dalam rancangan 6. Memberikan pendugaan koefisien model yang tepat 7. Memberikan pendugaan varianss yang baik 8. Bersifat robust terhadap outliers maupun data hilang 9. Tidak membutuhkan unit percobaan yang besar 10. Tidak membutuhkan terlalu banyak level dalam variabel independen 157

© RIA FAULINA|SHOFI ANDARI|DIAN ANGGRAENI (MAGISTER OF STATISTICS ITS)

2011

11. Memberikan kemudahan dalam perhitungan parameter model Kadang-kadang, kriteria diatas saling tidak mendukung, tetapi pemilihan rancangan harus tetap dilakukan sebaik mungkin.

Gambar 4. Ilustrasi permukaan respon maksimum

Gambar 5. Ilustrasi permukaan respon minimum

Gambar 6. Ilustrasi permukaan respon pelana 158

© RIA FAULINA|SHOFI ANDARI|DIAN ANGGRAENI (MAGISTER OF STATISTICS ITS)

2011

2.4.1 Rancangan yang Sesuai untuk Model Orde Pertama Rancangan percobaan yang sesuai untuk model orde pertama adalah rancangan orthogonal firstorder. Rancangan faktorial dan fraksional 2k adalah rancangan yang termasuk dalam rancangan orthogonal first-order, di mana pengaruh utama saling independen. Dalam rancangan ini, dibuat kode untuk level-level rendah dan tinggi dalam k faktor, misalnya ±1. Di samping kedua rancangan tersebut, ada pula rancangan yang termasuk rancangan orthogonal first-order, yaitu rancangan simplex. Rancangan ini biasanya digambarkan dalam suatu bangun ruang dengan k+1 titik dalam dimensi k. Dengan demikian, untuk

= 2, rancangan simplex menjadi segitiga sama sisi dan untuk

= 3, menjadi tetrahedral seperti pada gambar berikut:

Gambar 7. Rancangan Simplex untuk (a) 2 dimensi ( = 2) dan (b) 3 dimensi ( = 3) 2.4.2

Rancangan yang Sesuai untuk Model Orde Kedua Nilai optimum diperoleh dari sebuah model yang memenuhi dan mengandung kurvatur yang

pada umumnya merupakan model orde kedua: [

= �0 +

=0

�

+ =1

�

2

+

�

+ �

(10)

Kelompok rancangan yang paling banyak digunakan untuk model orde kedua ialah CCD atau centralcomposite design. Pada umumnya CCD terdiri atas factorial 2k (atau fraksional factorial dengan resolusi V) atau disebut nF, 2k titik atau percobaan aksial, dan titip pusat atau center point sebanyak nC . Secara praktis, CCD diterapkan melalui percobaan sekuensial. Percobaan tersebut tidak lain merupakan factorial 2k yang telah melalui model orde pertama namun memperlihatkan ketidaksesuaian model (lack of fit), kemudian titik-titik aksial ditambahkan ke dalam percobaan untuk memenuhi titik-titik kuadratik dalam model. CCD merupakan rancangan yang sangat sesuai untuk memperoleh model orde kedua. Terdapat dua parameter dalam rancangan ini yang harus diketahui

terlebih dahulu oleh peneliti: (1) jarak titik aksial  dari pusat rancangan dan (2) berapa banyak center point nC.

159

© RIA FAULINA|SHOFI ANDARI|DIAN ANGGRAENI (MAGISTER OF STATISTICS ITS)

2011

Model orde kedua yang disusun harus memiliki kemampuan untuk menduga daerah di sekitar titik optimum. ‘Kebaikan’ dugaan yang diperoleh dari model orde kedua dapat dicapai hanya jika model memiki varians yang konsisten dan konstan untuk nilai dugaan respon pada titik x tertentu. Persamaan berikut menggambarkan varians dari nilai dugaan respon pada nilai x tertentu: V[ (�)] = 2 xT(XTX)-1x

Dalam Box dan Hunter (1957)disebutkan bahwa respon surface model orde kodua harus memenuhi rotatabilitas. Hal ini berarti nilai V[ (�)] harus sama untuk semua nilai x yang jaraknya sama dari pusat rancangan. Dengan kata lain, varianss untuk nilai dugaan respon merupakan nilai konstan yang digambarkan seperti bola. Gambar 8 dan 9 menunjukkan kontur yang konstan dari V[ (�)] pada model orde kedua dengan CCD. Dapat dilihat bahwa standar deviasi nilai dugaan respon yang konstan membentuk kontur yang tepat berbentuk lingkaran. Rancangan yang memiliki sifat ini tidak akan membuat varians

berubah meskipun rancangannya dirotasi di sekitar pusatnya (0, 0, …, 0), oleh karena itu

disebut rancangan yang rotatable.

Gambar 8. Kontur V[ (�)]

Gambar 9. Plot permukaan respon

a) CCD sperik Rotatabilitas merupakan salah satu syarat untuk mendapatkan CCD sperik. CCD sperik sangat masuk akal digunakan jika rancangan kita melibatkan daerah ketertarikan berbentuk bola. Bagaimana pun juga, memiliki CCD sperik bukanlah keharusan. CCD sperik dapat didekati dengan menetapkan  dari sudut pandang dugaan varians untuk CCD sehingga  =

. Rancangan ini disebut rancangan

CCD sperik atau berbentuk bola, yakni dengan menetapkan titik-titik faktorial dan aksial di permukaan bola dengan radius

. Jika daerah ketertarikan sperik seperti pada rancangan ini, center

point yang direkomendasikan cukup sebanyak tiga sampai lima titik. Center point diperlukan dalam mendukung stabilitas varians dari nilai dugaan respon. 160

2011

© RIA FAULINA|SHOFI ANDARI|DIAN ANGGRAENI (MAGISTER OF STATISTICS ITS)

x3

x2 x1 (a)

(b)

Gambar 10. (a) Geometrik CCD 3 faktor dengan 8 nf, 6 aksial dan center point (b) Geometrik CCD 2 faktor dengan 4 nf, 4 aksial dan center point b) Rancangan Box-Behnken Box dan Behnken (1960) memperkenalkan rancangan tiga-tahap untuk menyusun respon surface. Rancangan ini dibentuk dengan mengombinasik...