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Problemas de introducción4- 1C ¿Qué significa la palabra cinemática? Explique qué abarca el estudio de lacinemática de fluidos.La cinemática es el estudio del movimiento sin importar las causas que producen el movimiento. La cinemática de fluidos es el estudio de cómo fluyen los fluidos y cómo descr...

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Mecánica de los fluidos

Eva Caballero

Problemas de introducción

4-1C ¿Qué significa la palabra cinemática? Explique qué abarca el estudio de la cinemática de fluidos. La cinemática es el estudio del movimiento sin importar las causas que producen el movimiento. La cinemática de fluidos es el estudio de cómo fluyen los fluidos y cómo describir el movimiento del fluido.

4-2 Considere el flujo estacionario de agua por una boquilla axialmente simétrica de una manguera de jardín (Fig. P4-2). A lo largo de la línea central de la boquilla, la magnitud de la velocidad del agua aumenta de uentrada hasta usalida, como se muestra en la figura. Las mediciones revelan que la magnitud de la velocidad del agua en la línea central aumenta en forma parabólica a lo largo de la boquilla. Escriba una ecuación para la magnitud de la velocidad en la línea central, u(x), con base en los parámetros que se dan enseguida, desde x=0 hasta x=L.

Debemos escribir una ecuación para la velocidad de la línea central a través de una boquilla, dado que la velocidad de flujo aumenta parabólicamente. Si el flujo es incompresible y constante. La ecuación general para una parábola en la dirección x es: 𝑢 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏

Tenemos dos condiciones de contorno, a saber, en x=0, u= uentrada y en x=L, u=usalida. b=uentrada y a=(usalida - uentrada) / L2. Velocidad parabólica:

𝑢=

(𝑢𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 − 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 ) 𝐿2

𝑥 2 + 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

4-3 Considere el siguiente campo bidimensional estacionario de velocidad: 𝑣(𝑢,𝑣) = (0,5 + 1,2𝑥 )𝑖 + (−2 − 1,2𝑦)𝑗

¿Existe un punto de estancamiento en este campo de flujo? Si es así, ¿dónde está? 1

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Suponemos que el flujo es constante y bidimensional. En un punto de estancamiento, tanto u como v deben ser iguales a cero.

𝑢 = 0,5 + 1,2𝑥 = 0 → 𝒙 = −𝟎. 𝟒𝟏𝟕 𝑣 = −2 − 1,2𝑦 = 0 → 𝑦 = −1.67

Punto de estancamiento: 𝒙 = −𝟎. 𝟒𝟏𝟕 ; 𝑦 = −1.67

4-5C ¿Cuál es la descripción lagrangiana del movimiento de fluidos? En la descripción lagrangiana del movimiento del fluido, se siguen las partículas individuales del fluido (elementos del fluido compuestos por una masa de fluido fija e identificable). El método lagrangiano de estudiar el movimiento de fluidos es similar al de estudiar bolas de billar.

4-6C El método lagrangiano del análisis del flujo de fluidos ¿es más semejante al estudio de un sistema o al de un volumen de control? Explíquelo. El método de Lagrange es más similar al análisis del sistema (es decir, análisis del sistema cerrado). En ambos casos, seguimos una masa de identidad fija a medida que se mueve en un flujo. En un análisis de volumen de control, por otro lado, la masa se mueve dentro y fuera del volumen de control, y no seguimos ninguna porción particular de fluido. En su lugar, analizamos cualquier fluido que se encuentre dentro del volumen de control en ese momento. De hecho, el análisis lagrangiano es lo mismo que un análisis del sistema en el límite a medida que el tamaño del sistema se reduce a un punto.

4-7C ¿Cuál es la descripción euleriana del movimiento de fluidos? ¿En qué difiere de la descripción lagrangiana? En la descripción euleriana del movimiento de fluidos, nos ocupamos de las variables de campo, como la velocidad, la presión, la temperatura, etc., como funciones del espacio y el tiempo dentro de un dominio de flujo o volumen de control. En contraste con el método de Lagrange, el fluido fluye dentro y fuera del dominio de flujo de Euler, y no hacemos un seguimiento del movimiento de partículas de fluido identificables particulares. El método euleriano de estudiar el movimiento de fluidos no es tan "natural" como el método de Lagrange, ya que las leyes de conservación fundamentales se aplican a las partículas en movimiento, no a los campos.

4-8C Se coloca una sonda estacionaria en el flujo de un fluido y se mide la presión y la temperatura como funciones del tiempo en un lugar del flujo (Fig. P4-8C). ¿Ésta es una medición lagrangiana o una euleriana? Explíquelo.

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Como la sonda está fija en el espacio y el fluido fluye a su alrededor, no estamos siguiendo las partículas individuales de fluido a medida que se mueven. En cambio, estamos midiendo una variable de campo en una ubicación particular en el espacio. Por eso este es un euleriano. Si una sonda de flotación neutra se moviera con el flujo, sus resultados serían mediciones de Lagrangian, siguiendo las partículas de fluido. 4-9C Una diminuta sonda electrónica de presión, neutralmente flotante, se libera dentro del tubo de admisión de una bomba de agua y transmite 2000 lecturas de presión por segundo conforme pasa por dicha bomba. ¿Ésta es una medición lagrangiana o una euleriana? Explíquelo Debido a que la sonda se mueve con el flujo y tiene una flotabilidad neutral, estamos siguiendo las partículas individuales de fluido a medida que se mueven a través de la bomba. Por lo tanto esta es una medida lagrangiana. Si la sonda fuera fijada en una ubicación en el flujo, sus resultados serían mediciones Eulerianas.

4-10C Unos meteorólogos lanzan un globo meteorológico hacia la atmósfera. Cuando el globo alcanza una altitud en donde es neutralmente flotante, transmite información acerca de las condiciones del tiempo hacia las estaciones de monitoreo en tierra . ¿Ésta es una medición lagrangiana o una euleriana? Explíquelo. Dado que el globo meteorológico se mueve con el aire y flota neutralmente, seguimos las "partículas de fluido" individuales a medida que se mueven a través de la atmósfera. Por lo tanto esta es una medida lagrangiana. Tenga en cuenta que, en este caso, la "partícula de fluido" es enorme y puede seguir características generales del flujo; obviamente, el globo no puede seguir turbulencias a pequeña escala. Cuando los instrumentos de monitoreo del clima se montan en el techo de un edificio, los resultados son mediciones Eulerianas.

4-11C A menudo se puede ver una sonda estática de Pitot que sobresale por la parte inferior de un avión. Conforme el avión vuela, la sonda mide la velocidad relativa del viento. ¿Ésta es una medición lagrangiana o una euleriana? Explíquelo. En relación con el avión, la sonda es fija y el aire fluye a su alrededor. No estamos siguiendo las partículas individuales de fluido a medida que se mueven. En cambio, estamos midiendo una variable de campo en una ubicación particular en el espacio en relación con el avión en movimiento. Así pues, esta es una medida euleriana. El avión se está moviendo, pero no se está moviendo con el flujo.

4-12C El método euleriano del análisis del flujo de fluidos ¿es más semejante al estudio de un sistema o al de un volumen de control? Explíquelo. El método euleriano es más similar al análisis de volumen de control. En ambos casos, la masa se mueve dentro y fuera del dominio de flujo o el volumen de control, y no seguimos ninguna porción particular de fluido. En su lugar, analizamos cualquier fluido que se encuentre dentro del volumen de control en ese momento. De hecho, el análisis euleriano es lo mismo que un análisis de volumen de control, excepto que el análisis euleriano 3

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generalmente se aplica a volúmenes infinitesimales y ecuaciones diferenciales de flujo de fluidos, mientras que el análisis de volumen de control generalmente se refiere a volúmenes finitos y ecuaciones integrales de flujo de fluidos. 4-13C Defina un campo estacionario de flujo en el marco de referencia euleriano. En un flujo estacionario de este tipo, ¿es posible para una partícula de fluido experimentar una aceleración diferente de cero? Un campo de flujo se define como estacionario en el marco de referencia de Euler cuando las propiedades en cualquier punto del campo de flujo no cambian con respecto al tiempo. En tal campo de flujo, las partículas de fluidos individuales aún pueden experimentar una aceleración distinta de cero; la respuesta a la pregunta es sí. Aunque la velocidad no es una función del tiempo en un campo de flujo constante, su derivada total con respecto al tiempo no es necesariamente cero ya que la aceleración está compuesta por una parte local (inestable) que es cero y una parte advectiva que no es necesariamente cero. 4-14C Haga una lista de al menos otros tres nombres para la derivada material y escriba una breve explicación acerca de por qué cada nombre es apropiado. La derivada material también se denomina derivada total, derivada de partícula, derivada de Euler, derivada de Lagrange y derivada sustancial. "Total" es apropiado porque el derivada del material incluye partes locales y convectivas. La "partícula" es apropiada porque enfatiza que la derivada material es una que sigue las partículas de fluido a medida que se mueven en el campo de flujo. "Euleriano" es apropiado ya que la derivada material se utiliza para transformar los marcos de referencia de Lagrangiano a Euleriano. "Lagrangiano" es apropiado ya que la derivada material se utiliza para transformar los marcos de referencia de Lagrangiano a Euleriano. Finalmente, "sustancial" no es un término claro para la derivada material. Todos estos nombres enfatizan que estamos siguiendo una partícula fluida a medida que se mueve a través de un campo de flujo. 4-15 Considere el flujo bidimensional, incompresible y estacionario por un ducto convergente. Un sencillo campo aproximado de velocidad para este flujo es:

𝑣(𝑢,𝑣) = (𝑈0 + 𝑏𝑥)𝑖 + −𝑏𝑦𝑗

Donde U0 es la velocidad horizontal en x=0. Note que en esta ecuación se ignoran los efectos viscosos a lo largo de las paredes, pero es una aproximación razonable para toda la gran parte del campo de flujo. Calcule la aceleración material para las partículas de fluido que pasan por este ducto. Dé su respuesta de dos maneras: 1) como las componentes a x y ay, de la aceleración y 2) como el vector aceleración 𝑎. El flujo es incompresible y estacionario. Las componentes del campo de aceleración se obtienen de su definición (la aceleración material) en coordenadas cartesianas:

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1) Componentes de aceleración material:

2) Vector aceleración:

𝑎𝑥 = 𝑏(𝑈0 + 𝑏𝑥)

;

𝑎 𝑦 = 𝑏2 𝑦

2 𝑎 = 𝑏(𝑈0 + 𝑏𝑥)𝑖 + 𝑏 𝑦𝑗

Para x y b positivos, las partículas de fluido se aceleran en la dirección x positiva. A pesar de que este flujo es constante, aún hay un campo de aceleración distinto de cero 4-22C ¿Cuál es la definición de línea de corriente? ¿Qué indican las líneas de corriente? Una línea de corriente es una curva tangente al vector instantáneo de velocidad local. Indica la dirección instantánea del movimiento del fluido en todo el campo de flujo. Si un campo de flujo es estable, las líneas de corriente, las líneas de traza y las líneas de trayectoria son idénticas. 4-23 Se modela el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4-15. Genere una expresión analítica para las líneas de corriente del flujo.

En una línea de corriente:

Integrando se llega a:

𝑣(𝑢,𝑣) = (𝑈0 + 𝑏𝑥)𝑖 + −𝑏𝑦𝑗 𝑑𝑦 𝑣 −𝑏𝑦 = = 𝑑𝑥 𝑢 𝑈0 + 𝑏𝑥 𝑦=

𝐶

𝑈0 + 𝑏𝑥

Cada valor de la constante C produce una línea de corriente única del flujo. 4-24E Se modela el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4-15. Para el caso en el que U0= 5.0 ft/s y b=4.6s-1, trace la gráfica de varias líneas de corriente, desde x=0 ft hasta 5 ft y y=-3 ft hasta 3 ft. Cerciórese de mostrar la dirección de las líneas de corriente.

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𝑦=

𝐶 5 + 4.6𝑥

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El flujo es convergente.

4-25C Considere la visualización del flujo sobre un cono de 12° de la figura P4-25C. ¿Se están viendo líneas de corriente, de traza, de trayectoria o línea fluida? Explíquelo.

Si el flujo es estacionario, las líneas de corriente, las de trayectoria y las de traza son idénticas. A menudo, las líneas de traza se confunden con las de corriente y las de trayectoria. Aun cuando los tres patrones de flujo son idénticos en el flujo estacionario, pueden ser bastante diferentes en el no estacionario. La diferencia principal es que una línea de corriente representa un patrón instantáneo de flujo, en un instante dado, en tanto que una de traza y una de trayectoria son patrones de flujo que tienen cierta edad y, en consecuencia, una historia asociada con ellas. Una línea de traza es una fotografía instantánea de un patrón de flujo integrado respecto del tiempo Por otra parte, una línea de trayectoria es la trayectoria de una partícula de flujo expuesta en el tiempo durante algún periodo.

4-26C ¿Cuál es la definición de línea de trayectoria? ¿Qué indican las líneas de trayectoria? Una línea de trayectoria es la trayectoria real recorrida por una partícula de fluido durante algún periodo. Las líneas de trayectoria son los patrones de flujo más fáciles de entender. Una línea de trayectoria es un concepto lagrangiano en el que sencillamente se sigue de una partícula de fluido conforme se desplaza en el campo de flujo.

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4-27C ¿Cuál es la definición de línea de traza? ¿En qué difieren las líneas de traza de las de corriente? Una línea de traza es el lugar geométrico de las partículas de fluido que han pasado de manera secuencial por un punto prescrito en el flujo. Las líneas de traza constituyen el patrón de flujo más común generado en un experimento físico. Si se inserta un tubo pequeño en un flujo y se introduce una corriente continua de fluido trazador (tinte en un flujo de agua o humo en flujo de aire), el patrón que se observa es una línea de traza. La diferencia principal es que una línea de corriente representa un patrón instantáneo de flujo, en un instante dado, en tanto que una de traza y una de trayectoria son patrones de flujo que tienen cierta edad y, en consecuencia, una historia asociada con ellas. Una línea de traza es una fotografía instantánea de un patrón de flujo integrado respecto del tiempo Por otra parte, una línea de trayectoria es la trayectoria de una partícula de flujo expuesta en el tiempo durante algún periodo.

4-28C Considere la visualización del flujo sobre un ala de un planeador delta de 15° de la figura P4-28C. ¿Se están viendo líneas de corriente, de traza, de trayectoria o la línea fluida? Explíquelo.

Como la imagen es una instantánea de las trazas de tinte en el agua, cada línea muestra el historial de tiempo del tinte que se introdujo anteriormente desde un punto en el cuerpo. Por lo tanto, estas son líneas de trazas. Dado que el flujo parece ser no estacionario, estas líneas de trazas no son lo mismo que las líneas de corriente o las líneas de trayectoria.

4-29C Considere la visualización del flujo de un vórtice terrestre de la figura P4-29C. ¿Se están viendo líneas de corriente, de traza, de trayectoria o línea fluida? Explíquelo

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Cada línea de la fotografía muestra el historial de tiempo de humo que se introdujo anteriormente a partir de un punto. Por lo tanto, estas son líneas de traza. Dado que el flujo parece ser no estacionario, estas líneas de trazas no son lo mismo que las líneas de trayectoria o las líneas de corriente.

4-30C Considere la visualización del flujo sobre una esfera de la figura P4-30C. ¿Se están viendo líneas de corriente, de traza, de trayectoria o línea fluida? Explíquelo.

Dado que la imagen es una exposición temporal de burbujas de aire en el agua, cada línea blanca muestra el camino de una burbuja de aire individual. Por lo tanto estos son líneas de trayectoria. Dado que el flujo exterior (partes superior e inferior de la fotografía) parece ser estable, estas líneas de trayectoria son las mismas que las líneas trazas y las líneas de corriente.

4-31C ¿Cuál es la definición de línea fluida? ¿Cómo se pueden producir líneas fluidas en un canal de agua? Nombre una aplicación en donde las líneas fluidas sean más útiles que las de traza. Una línea de tiempo es un conjunto de partículas de fluido adyacentes que se marcaron en el mismo instante de tiempo. Las líneas de tiempo se pueden producir en un flujo de agua utilizando un cable de burbuja de hidrógeno. También hay técnicas en las que se inicia una reacción química aplicando corriente al cable, cambiando el color del fluido a lo largo del cable. Las líneas de tiempo son más útiles que las líneas de puntos cuando se debe visualizar la uniformidad de un flujo. Otra aplicación es visualizar el perfil de velocidad de una capa límite o un flujo de canal. Las líneas de tiempo difieren de las líneas de corriente, las líneas de puntos y las líneas de ruta, incluso si el flujo es constante.

4-32C Considere una rebanada de sección transversal que atraviesa un arreglo de tubos de un intercambiador de calor (Fig. P4-32C). Para la información deseada, elija cuál clase de gráfica de visualización del flujo (gráfica vectorial o gráfica de contornos) sería la más apropiada y explique por qué. a) Se debe visualizar la ubicación de la magnitud máxima de la velocidad del fluido. b) Se debe visualizar la separación del flujo en la parte posterior de los tubos. c) Se debe visualizar el campo de temperatura en todo el plano. d) Se debe visualizar la distribución de la componente de la vorticidad normal al plano 8

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En general, las gráficas de contorno son más apropiadas para los escalares, mientras que las gráficas de vectores son necesarias cuando se deben visualizar los vectores. (a) Un trazado de contorno de la velocidad es el más apropiado ya que la velocidad del fluido es un escalar. (b) Un gráfico vectorial de vectores de velocidad mostraría claramente dónde se separa el flujo. Alternativamente, una gráfica de contorno de vorticidad de vorticidad normal al plano también mostraría claramente la región de separación. (c) Una gráfica de contorno de la temperatura es la más apropiada, ya que la temperatura es un escalar. (d) El diagrama de contorno de este componente de vorticidad es el más apropiado, ya que uno de los componentes de un vector es un escalar.

4-77C Verdadero o falso: para cada proposición, elija si es verdadera o falsa y explique su respuesta con brevedad. a) El teorema del transporte de Reynolds es útil para transformar las ecuaciones de sus formas en el volumen de control, que se presentan de manera natural, hacia sus formas en sistemas. b) El teorema del transporte de Reynolds sólo es aplicable a los volúmenes de control que no están deformándose. c) El teorema del transporte de Reynolds se puede aplicar a los campos de flujo estacionarios y a los no estacionarios. d) TEl teorema del transporte de Reynolds se puede aplicar tanto a las cantidades escalares como a las vectoriales a) Falso: La declaración está al revés, ya que las leyes de conservación ocurren naturalmente en la forma del sistema. (b) Falso: El TTR se puede aplicar a cualquier volumen de control, fijo, en movimiento o deformación. (c) Verdadero: El TTR tiene un término no estacionario y se puede aplicar a problemas no estacionarios. (d) Verdadero: la propiedad extensiva B (o su forma intensiva b) en el TTR puede ser cualquier propiedad del fluido: escalar, vectorial o incluso tensor.

4-78 Considere la forma general del teorema del transporte de Reynolds (TTR) dada por:

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donde 𝑣𝑟 es la velocidad del fluido con relación a la superficiede control. Sea Bsist la masa m de un sistema de partículas de fluido. Se sabe que, para un sistema, dm/dt=0 ya que, por definición, ninguna masa entra...