Resumen Bosquejo DE Curvas Polinomiales PDF

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1 RESUMEN BOSQUEJO DE CURVAS POLINOMIALES A continuación algunas pautas a tomar en cuente en el trazo de curvas polinomiales. El objetivo primordial es calcular máximos relativos, mínimos relativos, determinar intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento, calcular puntos de inflexión y determinar intervalos en la función dada es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Debe recordarse que las funciones polinomiales tienen dominio IR y NO presentan asíntotas de ningún tipo. Los siguientes ejemplos pueden servir de orientación acerca del método de trabajo a seguir.

1) Dada la función f ( x)  x3  6 x2  15 x , de ella determine: a)

Los puntos máximos y puntos mínimos relativos, si existieran. Los intervalos donde f(x) es creciente y decreciente.

b) Los puntos de inflexión, si existieran. hacia arriba y cóncava hacia abajo.

Los intervalos donde

f(x) es cóncava

Solución: a) Para encontrar los valores de “x” en los cuales hay máximos y mínimos relativos, es necesario entonces hallar la primera derivada de f(x):

f ( x )  x 3  6x 2  15x  3x 2  12x  15 Luego se iguala el resultado anterior críticos:

a cero para hallar los llamados puntos

f ( x) 0  3x 2  12 x  15 0  3  x 2  4x  5  0 

 x  5   x 1  0

 x 5 y x  1 El sentido de variación de f(x) se determina mediante el siguiente cuadro:  x+1 x5 Signo de f  Sentido de variación

 

1

+

5

+

+  

+ + +

↗

↘

↗

2 Con base en la información anterior y por el criterio de la primera derivada se concluye que en x = 1 ocurre un MÁXIMO relativo, pues el sentido de variación pasa de

↗

a

↘.

Para encontrar el punto máximo relativo se evalúa el valor encontrado en la

función dada:

f (  1)   1  6    1  15   1 8 , 3

corresponde al par ordenado

2

así el punto máximo relativo

  1, 8

Con base en la información anterior y por el criterio de la primera derivada se concluye que en x = 5 ocurre un MÍNIMO relativo, pues el sentido de variación pasa de

↘

a

↗

. Para encontrar el punto mínimo relativo se evalúa el valor encontrado en

la función dada:

f (5)  5  6  52  15  5  100 , 3

corresponde al par ordenado

así el punto mínimo relativo

 5,  100  .

  ,  1  en :   1, 5 

Podemos afirmar también que f(x)

es creciente en :

Podemos afirmar también que f(x)

es decreciente

y

 5,    .

.

b) A fin de determinar los valores de “x” en los que se presentan puntos de inflexión, debe hallarse primero la segunda derivada de f ( x ) :

f ( x )  3x 2  12x  15  6 x  12 Luego se resuelve la ecuación:

f ( x) 0



6 x  12 0



x 2

Se construye un cuadro de variación con los valores anteriores: 

 

x2

f 



concavidad

+

2 + 



El cuadro de variación indica que hay en x 2 hay un punto de inflexión, pues se presenta un cambio en la concavidad de la función. La imagen de 2 es f (2) 23  6 22  15  2  46 , así el punto de inflexión corresponde al par ordenado

 2,  46  . Podemos afirmar también que f(x)

es cóncava hacia arriba en :

Podemos afirmar también que f(x)

es cóncava hacia abajo en :

Un bosquejo de la gráfica de la función es:

 2,    .   , 2  .

3

4

1 3 2 2) Dada la función f ( x)  x  x  3x  3 , de ella determine: 3 a) Los puntos máximos y puntos mínimos relativos, si existieran. Los intervalos donde f(x) es creciente y decreciente. b) Los puntos de inflexión, si existieran. hacia arriba y cóncava hacia abajo.

Los intervalos donde

f(x) es cóncava

Solución:

a. Para encontrar los valores de “x” en los cuales hay máximos y mínimos relativos, es necesario entonces hallar la primera derivada de f(x): 1  f ( x)  x 3  x 2  3x  3   x 2  2 x  3 3  Luego se iguala el resultado anterior críticos:

a cero para hallar los llamados puntos

f ( x) 0  x 2  2 x  3  0  x 2  2x  3 0 

 x  3  x  1 0

 x 3 y x  1 El sentido de variación de f(x) se determina mediante el siguiente cuadro:  x+1 x3 Signo de f  Sentido de variación

 

1

+

3

+

+  

+ + +

↗

↘

↗

Con base en la información anterior y por el criterio de la primera derivada se concluye que en x = 1 ocurre un MÁXIMO relativo, pues el sentido de variación pasa de

↗

a

↘.

Para encontrar el punto máximo relativo se evalúa el valor encontrado en la

1 14 3 2 f (  1)    1    1  3   1  3  , así el punto máximo relativo 3 3 14   corresponde al par ordenado   1,  . 3   función dada:

Con base en la información anterior y por el criterio de la primera derivada se concluye que en x = 3 ocurre un MÍNIMO relativo, pues el sentido de variación pasa de

↘

a

↗

. Para encontrar el punto mínimo relativo se evalúa el valor encontrado en

3 2 1 f (3)    3    3   3  3  3  6 , 3 corresponde al par ordenado  3,  6  .

la función dada:

Podemos afirmar también que f(x)

es creciente en :

así el punto mínimo relativo

  ,  1 

y

 3,   

.

5 Podemos afirmar también que f(x)

es decreciente en :

  1, 3 

.

b) A fin de determinar los valores de “x” en los que se presentan puntos de inflexión, debe hallarse primero la segunda derivada de f ( x ) :

f ( x )  x 2  2 x    2x  2 Luego se resuelve la ecuación:

f ( x) 0



2 x  2 0



x 1

Se construye un cuadro de variación con los valores anteriores: 

 

x1

f 



concavidad

+

1 + +



El cuadro de variación indica que hay en x 1 hay un punto de inflexión, pues se presenta un cambio en la concavidad de la función. La imagen de 1 es

1 2 3 2 , f (3)   1  1   3  1  3  3 3   2 ordenado  1, .  3 

así el punto de inflexión

Podemos afirmar también que f(x)

es cóncava hacia arriba en :

Podemos afirmar también que f(x)

es cóncava hacia abajo en :

Un bosquejo de la gráfica de la función es:

corresponde al par

 1,    .   , 1  .

6

3)

1 4

4 Dada la función f ( x )  x 

9 2 x , de ella determine: 2

a) Los puntos máximos y puntos mínimos relativos, si existieran. b) Los puntos de inflexión, si existieran. Solución: a) Deben encontrarse los valores de “x” en los cuales hay máximos y mínimos relativos, es necesario entonces hallar la primera derivada de f(x):

9  1 f ( x )  x 4  x 2  x 3  9x 2  4 Luego se iguala el resultado anterior a cero:

f ( x ) 0  x 3  9x 0  x  x 2  9 0

 x  x  3   x  3  0  x 0, x 3 y x  3 El sentido de variación de

f(x) se determina mediante el siguiente cuadro:

 x+3 x x3

f f

   

3

↘

+

+ +

+  

+ + +

↘

↗

0 +

  +

↗

3

Con base en la información anterior y por el criterio de la primera derivada se concluye que en x = 3 ocurre un MÍNIMO . Para encontrar el punto mínimo se evalúa el valor encontrado en la

1 9  81 4 2 , así el punto mínimo relativo corresponde f (  3)    3    3  4 4 4  81   al par ordenado   3,  . De forma análoga se concluye que en x = 3 ocurre un MÍNIMO, 4     81 siendo el punto mínimo el par ordenado  3,  . 4   función dada:

Con base en la información anterior y por el criterio de la primera derivada se concluye que en x = 0 ocurre un MÁXIMO . Para encontrar el punto máximo se evalúa el valor encontrado en la función dada: ordenado

f (0) 

 0,0 .

1 4 9  0    0 0 , 4 2

así el punto máximo relativo corresponde al par

7 b) A fin de determinar los valores de “x” en los que se presentan puntos de inflexión, debe hallarse primero la segunda derivada de f ( x ) :



f ( x)  x3  9 x   3x2  9 3  x 2  3  3 x  Luego se resuelve la ecuación:

f ( x) 0





3 x

3

  x  3  0







x  3

3 x 3

Se construye un cuadro de variación con los valores anteriores: 



3 f  f

+

3 + 

+

 +



+







x 3 x

 3

+

El cuadro de variación indica que hay en x 

3 hay un punto de inflexión . La imagen de 4 2 1 9  45 f (  3)   3   3  , así el punto de inflexión este número es: 4 2 4  45   corresponde al par ordenado   3,  . De forma parecida se concluye que en x  3 4    45   ocurre un punto de inflexión, el cual corresponde al par ordenado  3,  . 4  



4)







Dada la función f ( x)  x 3  2 x 2  x 1 , de ella determine: a) Los puntos máximos y puntos mínimos relativos, si existieran. b) Los puntos de inflexión, si existieran.

Solución: a) Deben encontrarse los valores de “x” en los cuales hay máximos y mínimos relativos, es necesario entonces hallar la primera derivada de f(x):

f ( x )  x3  2x 2  x  1 3x 2  4x  1 Luego se iguala el resultado anterior a cero:

f ( x ) 0  3x 2  4x  1 0   x El sentido de variación de

1 3

 3x  1  x  1 0

y x 1

f(x) se determina mediante el siguiente cuadro:

8

 

3x1 x1 f f

+

1 3

1 +

+

+

 

+ +

↗

↘

↗



Con base en la información anterior y por el criterio de la primera derivada se concluye que en x = 1 ocurre un MÍNIMO . Para encontrar el punto mínimo se evalúa el valor encontrado en la función dada:

f (1) 13  2   1  x 1 1 , así el punto mínimo relativo corresponde al par 2

ordenado (1,1) . Con base en la información anterior y por el criterio de la primera derivada se concluye que en

1 ocurre un MÁXIMO . Para encontrar el punto máximo se evalúa el valor encontrado en la 3 3 2 31  1  1  1 1 , así el punto máximo relativo corresponde función dada: f      2      1  27  3  3  3 3  1 31  al par ordenado  ,   3 27  x

b) A fin de determinar los valores de “x” en los que se presentan puntos de inflexión, debe hallarse primero la segunda derivada de f ( x ) :

f ( x)  3x 2  4 x 1  6x  4 Luego se resuelve la ecuación:

f (x ) 0 

 6x  4   0



4 2 x  6 3

Se construye un cuadro de variación con los valores anteriores: 

6x  4 f  f

 

∩

+

2 3 + +



9

El cuadro de variación indica que hay en x  3

2 hay un punto de inflexión . La imagen de este 3

2

29 2  2  2  2 número es: f      2     1 27 3  3  3  3  2 29  ordenado  ,   3 27 

, así el punto de inflexión corresponde al par

Realice un análisis similar con las siguientes funciones. gráfica que se presenta. 5)

f ( x )  x3  27 x .

6)

f ( x)  x3  3 x2  9 x  2 .

7)

f ( x)  x5  5 x .

Compare sus respuestas con la

Soluciones: 5)

  ,  3  y  3,    . f(x) es decreciente en :   3, 3  . Punto máximo:   3,54 ; Punto mínimo:   3,  54 f(x)

es creciente en :

Punto de inflexión: (0,0) f(x) es cóncava hacia arriba en :

f(x)

es cóncava hacia abajo en :

 0,    .   , 0  .

10

6)

  1, 3  . f(x) es decreciente en :   ,  1  y  3,    Punto máximo:  3, 25  ; Punto mínimo:   1,  7 f(x)

es creciente en :

Punto de inflexión: (1,9)

f(x)

es cóncava hacia arriba en :

f(x)

es cóncava hacia abajo en :

  , 1  .  1,    .

.

11

7)

  ,  1  y  1,    . f(x) es decreciente en :   1, 1 . Punto máximo:   1, 4 ; Punto mínimo: 1,  4  f(x)

es creciente en :

Punto de inflexión: (0,0)

f(x)

es cóncava hacia arriba en :

f(x)

es cóncava hacia abajo en :

 0,    .   , 0  .

12...