Resumen Razones y Proporciones PDF

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Razones(y(Proporciones( ! a)!Una!razón!entre!dos!cantidades!es!una!comparación!entre!las!cantidades! que!se!realiza!mediante!un!cociente!a!:!b,!y!se!lee!a!es!a"b.! ! Por!ejemplo,!si!las!edades!de!Carlos!y!Sebastián!son!12!y!15!años,!entonces!la! razón!entre!sus!edades!es:! ! 12!:!15!!o!!!! !!! .!!!!!!!Si!simplificamos!la!fracción!obtenemos:!! ! b)!Se!denomina!proporción!a!la!igualdad!de!dos!razones.!Por!ejemplo,!la! igualdad!entre!las!razones!anteriores:! ! ! ! Es!una!proporción,!lo!que!se!puede!constatar!porque!los!productos!cruzados! son!iguales:!!12!•!5!!=!!4!•!15! ! Por!lo!tanto,!la!propiedad!fundamental!de!las!proporciones!es:!! ! ! ! ! § Proporcionalidad(Directa:( ( Dos!variables!están!en!proporcionalidad!directa!si!su!cociente!permanece! constante:! ! ! ! ! k!es!la!constante!de!proporcionalidad.! ! El! gráfico! de! dos! variables! en! proporcionalidad! directa! es! un! conjunto! de! puntos! que! están! sobre! una! recta! que! pasa! por! el! origen! del! sistema! de! coordenadas.!Analizando!el!gráfico!se!visualiza!que!si!una!magnitud!aumenta,! la!otra!también!aumenta.! !

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Ejemplo:!!! ! Un! vehículo! en! carretera! tiene! un! rendimiento! de! 16! km! por! cada! litro! de! bencina.! ¿Cuántos! litros! de! bencina! consumirá! en! un! viaje! de! 192! km?! Se!forma!la!proporción!entre!las!variables!distancia!–!consumo!de!bencina!(si! aumenta! la! distancia,! entonces! se! deduce! que! el! consumo! aumenta,! por! lo! tanto!son!directamente!proporcionales).! ! ! ! Ocupando!la!propiedad!fundamental!de!las!proporciones!obtenemos!que:! ! Entonces,!16/1!=!16!(constante)!!!!y!!!!192/12!=!16!(constante).! ! ( § Proporcionalidad(Inversa:( ! Dos!variables!están!en!proporcionalidad!inversa!si!su!producto!permanece! constante:! ! ! ! k!es!la!constante!de!proporcionalidad.! ! ! !

El! gráfico! de! dos! variables! que! están! en! proporcionalidad! inversa! es! un! conjunto! de! puntos! que! están!sobre!una! hipérbola.!Analizando!el! gráfico! se! visualiza! que! a! medida! que! una! magnitud! aumenta,! la! otra! magnitud! disminuye.! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Ejemplo:(( Tres! obreros! demoran! 5! días! en! hacer! una! zanja.! ¿Cuánto! demorarán! 4! obreros?! ! La! relación! entre! el! número! de! obreros! –! tiempo! es! de! proporcionalidad! inversa,! ya! que! si! trabajan! más! obreros,! entonces! se! demorarán! menos! tiempo! en! terminar! el! trabajo.! Aplicando! la! propiedad! de! las! proporciones! inversas,!el!producto!entre!las!variables!es!constante:! ! ! ! ! Entonces,!!3!•!5!=!15!(constante)!!!!y!!!!4!•!3,75!=!!15!(constante).! ! ! § Proporcionalidad(Compuesta:( ! La! proporcionalidad! compuesta! permite! relacionar! variables! mediante! proporcionalidad! directa! y/o! proporcionalidad! inversa.! Para! resolver! ejercicios! de! este! tipo,! primero! se! debe! dilucidar! qué! proporcionalidad!existe!entre!cada!par!de!variables.!Posteriormente,!se!debe! determinar!la!constante!de!proporcionalidad!que!nos!permitirá!determinar!si! son!proporcionales!o!inversamente!proporcionales.! ! !

Ejemplo:! Se!necesitan!20!obreros!para!pavimentar!2!km!de!camino!en!5!días.!¿Cuántos! obreros!pavimentarán!5!km!en!10!días?! ! a)!En!primer!lugar,!determinaremos!qué!tipo!de!proporcionalidad!existe! entre!las!variables.!!Sean:!obreros!(O)!–!longitud!del!camino!(L):! ! Estas! dos! variables! están! en! proporcionalidad! directa,! ya! que! entre! más! obreros,!más!km!de!camino!se!pavimentarán,!por!lo!tanto:! !!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! =!!constante! ! ! b)!Por! otra! parte,! las! variables! obreros! (O)! –! tiempo! (T)! están! en! proporcionalidad! inversa! respecto! de! la! cantidad! de! km! por! pavimentar,! ya! que! entre! más! obreros,! menos! tiempo! se! demorarán! en! pavimentar! el! camino.!! Por!lo!tanto,!O!•!T!=!constante.! ! De!lo!anterior!se!deduce!que:! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! =!!constante! ! Aplicando! esta! constante! de! proporcionalidad! a! los! datos! dados,! tenemos! que:! ! ! ! Multiplicando!cruzado!en!esta!proporción!y!despejando!x!obtenemos:! ! x!=!25!obreros! ! Respuesta:! Entonces,!se!requieren!25!trabajadores!para!pavimentar!5!km!de! camino!en!10!días.! ! ! ! !

§ Porcentaje:(( ( El! porcentaje! es! una! proporcionalidad! directa! en! que! se! considera! la! totalidad!como!un!100%.!! ! Por!ejemplo,!decir!que!el!precio!de!un!artículo!ha!subido!5%!significa!que!se! ha! incrementado! 5! partes! de! un! total! de! 100.! En! términos! fraccionarios,! se! dice!que!ha!subido!la!5/100!parte.! ! a)! Cuando! calculamos! el! porcentaje! de! un! número,! podemos! hacerlo! directamente!ocupando!el!concepto!de!fracción.!Por!ejemplo,!el!12%!de!600! es:! ! ! ! El! cálculo! de! porcentaje! también! se! puede! realizar! a! través! de! una! proporcionalidad!directa:! ! ! ! ! Es! bastante! útil! utilizar!este! método! para! resolver! problemas! de! porcentaje! relacionados! con! ganancia! y! pérdida.! Por! ejemplo:!! El!precio!de!un!chaleco!durante!una!oferta!ha!bajado!de!$15.000!a!$13.500.!! ¿Qué!%!de!descuento!se!le!aplicó?! ! En!este!caso,!se!considera!el!precio!inicial!($15.000)!como!el!100%.!De!lo!que! disminuyó:!$15.000!–!$!13.500!=!$!1.500,!se!requiere!saber!qué!porcentaje!es! del!precio!original,!por!lo!tanto:! ! ! ! ! ! ! ! !

b)!Veamos!ahora!otro!ejemplo:! ! ¿Qué!%!es!0,2!de!4?!!! ! En! este! caso,! la! totalidad! es! 4! (el! 100%),! de! modo! que! planteamos! la! proporción:! !...