Resumo- Funções PDF

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Summary

O arquivo contém um resumo das equações, funções, comportamento de gráfico e algumas resoluções vistas na disciplina. Algumas funções: Polinomial do 1º grau, Polinomial do 2º grau, Logarítmica, Exponencial, Modular, bijetora, injetora, sobrejetora etc....

Description

Resumo- Funções Função no cotidiano: É uma grandeza em função de outra grandeza. Funções Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto à um único elemento do segundo, ocorre uma função. Ela pode ser:  Sobrejetora: Quando seu conjunto imagem for igual ao contradomínio (não pode sobrar elementos no CD sem receber “flechas”);  Injetora: Os elementos que são imagem, são imagem de um único elemento (não pode haver nenhum elemento no CD recebendo mais de uma “flecha”);  Bijetora: Quando ela é sobrejetora e bijetora;  Somente função: Quando ela não é nem injetora e nem sobrejetora. Função par e ímpar Quando usado funções para descobrir:  Par: Quando os resultados das funções forem iguais;  Ímpar: Quando os resultados das funções forem opostos;  Nem par nem ímpar: Quando os resultados das funções forem diferentes. Quando usado gráficos para descobrir:  Par: A função cujo gráfico for simétrico em relação ao eixo y é chamada função par;  Ímpar: Uma função cujo gráfico for simétrico em relação à origem é chamada função ímpar. Função Polinomial do 1º grau f(x)= ax + b, com a ≠ 0. a= coeficiente angular: a > 0 /

a 0. Se for para cima, a < 0. b será positivo se, e somente se, quando a parábola passar pelo eixo y estiver subindo, b > 0. E será negativo se, e somente se, quando a parábola passar pelo eixo y estiver descendo, b < 0. c é o ponto onde a parábola corta o eixo y.

∆>0

∆=0

∆ 0, é o valor mínimo. ∆ < 0, é o valor máximo.

↓ ∆ > 0, fornece o valor mínimo. ∆ < 0, fornece o valor máximo.

Encontrando as raízes de uma equação do 2º grau mentalmente Para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau mentalmente, usamos a seguinte fórmula: x 2−Sx+ P=0

Em que S é a soma de dois algarismos e P a multiplicação dos mesmos. Exemplo 1: x2 - 7x + 12 = 0 Substituindo na fórmula, temos: x² -(-7x) + 12 = 0 ↔ x² + 7x + 12 = 0 Assim, temos que encontrar dois números cujo produto é igual a 12. Sabemos que:  1 . 12 = 12  2 . 6 = 12  3 . 4 = 12 Agora, precisamos verificar os dois números cuja soma é igual a 7. Assim, identificamos que as raízes são 3 e 4, pois 3 + 4 = 7 Exemplo 2: 3x2 - 21x - 24 = 0

Observe que todos os elementos são múltiplos de 3. Sendo assim, simplificando a equação e substituído na fórmula, obtemos: x² + 7x -8 = 0 Analisando a equação, vemos que o produto deverá resultar em -8 e a soma em 7. 8 e -1 multiplicados resultam em -8. 8 – 1 somados resultam em 7. S= {-1,8} Exemplo 3: -x² + 12x -20 = 0 Agora temos uma equação do segundo grau negativa. Para resolvermos, basta multiplicar toda a equação por -1. Sendo assim, teremos após a substituição na fórmula: x² + 12x + 20 = 0 Suas raízes são 10 e 2 pois: 10 + 2 = 12 e 10 . 2 = 20 S= {2,10} Exemplo 4: x² - 4x + 8 = 0 Observamos que, mesmo após a substituição na fórmula citada anteriormente, não é possível obter um resultado para equação, pois x < 0. Sendo assim, dizemos que ∄ x ∈ R .

Função Modular

Módulo: |x| Definição:

f(x)= x, se x ≥ 0 ou

f(x)= |x|

-x, se x < 0 D=IR

CD= IR

Im= ꭆ+ ou [0, ∞ [ Raiz= 0

f(x)= |x-2| D=IR

CD= IR

Im= ꭆ+ ou [0, ∞ [ Raiz= 2

f(x)= |3x-6|

3x 2 f(x)= ¿ 4 −5 ∨¿

f(x)= |x| e g(x)= |x|+2

f(x)= |x-2| e g(x)= |x-2|+3

f(x)= |x-2| e g(x)= |x-2|-3

Equações Modulares A equação modular é resolvida, “pegando-se” o que está dentro do módulo e igualando ao resultado ou ao seu oposto. |x+2|= 8

|2x-5|= 9

x+2= 8

x+2= -8

2x-5= 9

2x-5= -9

x= 6

x= -10

2x= 14

2x= -4

ꭆ S= {-10, 6} 7}

x= 7

|2x-4|= 0

|2x-4|= -3

2x-4= 0

Não existe modulo negativo, então:

2x= 4

x= -2

ꭆ S= {-2,

x € IR

x= 2 S= {2}

|x²-2x-5|= 3 ou

x²-2x-5= 3 x²-2x-8= 0

x²-2x-5= -3 x²-2x-2= 0

x=

2± √(−2 )2−4 .1. (−8) 2 .1

x=

2± √(−2 )2−4 .1. (−2) 2 .1

x=

2± √36 2

x=

2± √ 12 2

x´= 4

x=

2± 2 √ 3 2

x´´= -2

x=

2(1± √ 3) 2

x´= 1+ √3 x´´= 1- √ 3 ⸫S= {-2, 1- √ 3 , 1+ √3 , 4} |x²-4|= 5 x²-4= 5

ou

x²= 9

x²-4= -5 x²= -1 x € IR

x= ±√ 9 x= ±3 S= {-3, 3}

|3x-1|= x+2→ Condição de existência: x+2 ≥ 0 ↔ x ≥ -2 3x-1= x+2

ou

3x-1= -x-2

2x= 3

4x= -1

3

x= 2

x= S= {

−1 4

−1 3 , } 4 2

Obs.: A condição de existência é usada toda vez em que se há uma incógnita após o sinal de igualdade. |x|²-3|x|-10= 0 Variável auxiliar:

|x|= y

y²-3y-10= 0

Voltando à variável:

y=

2 3 ± √ (−3 ) −4 .1 .(−10 ) 2.1

y=

3 ± √ 49 2

|x|= y |x|= 5

x|= -2 y´= 5

x´= 5

∄ x ∈ IR

y´´= -2

x´´= -5 ꭆS= {-5, 5}

|x|²-10|x|+24= 0 Variável auxiliar: y²-10y+24= 0 Através da soma e produto, obtemos: y´= 6 y´´= 4 Voltando à variável auxiliar: |x|= y

|x|= y

|

|x|=6

|x|= 4

x´= 6

x´´´= 4

x´´= -6

x´´´´= -4

ꭆS= {-6, -4, 4, 6} Obs.: A variável auxiliar é usada quando se há uma equação do 2º grau, onde as incógnitas (somente elas) estejam em módulo.

||x²-1|-3|= 1 Quando se há módulo dentro de módulo, “pegamos” o valor que está dentro do maior módulo e igualamos ao resultado ou seu oposto. |x²-1|-3= 1

ou

|x²-1|-3= -1

|x²-1|= 4 x²-1=4

ou

x²= 5 x= ± √ 5

|x²-1|= 2

x²-1= -4

x²-1= -2

x²= -3

x²= -1

∄ x ∈ IR

ꭆS= {- √ 5

∄ x ∈ IR

, - √3 ,

√3 ,

ou

x²-1= 2 x²= 3 x= ± √ 3

√5 }

Inequações Modulares Nas equações modulares, temos que: |x|= 3 -3

3

|x|= 4 -4 |x|= -2

4

∄ X ∈ IR

|x|= a -a

a

Ou seja, somente os valores de a e -a que seriam válidos para a afirmativa. Agora, nas inequações modulares, teremos:

|x| > a

Extremos:

|x| ≥ a

(> e ≥)

|x| < a

“Meio”:

|x| ≤ a

(< e ≤) Como utilizar o quadro de sinais numa equação

Temos: |x-2| + |x+1|= 7 Aplicando a definição: f(x)= x, se x ≥ 0 ou

|x-2|= x-2 se x-2 ≥ 0

|x+1|= x+1 se x+1 ≥ 0

-x+2 se x-2 < 0 |x-2|= x-2 se x ≥ 2

-x, se x < 0

-x-1 se x+1 < 0 |x+1|= x+1 se x ≥ -1

-x+2 se x < 2

-x-1 se x < -1

Certo cuidado deve-se ter a partir de agora, pois um preenchimento sequer errado, todo o quadro de sinais foi feito em vão. Primeiro vamos adicionar os dois módulos da equação no quadro de sinais em linhas diferentes e na última linha vamos adicioná-los juntos. Em seguida, colocar os valores encontrados após a igualdade, em ordem crescente, exatamente no local onde se é mostrado: -1

2

-1

2

|x-2| |x+1| |x-2| + |x-1| Feito isso, iremos obedecer a definição usada para cada módulo: Primeiro com |x-2|:

Na definição diz que: |x-2|= x-2 se x ≥ 2

ou

-x+2 se x < 2

Obedecendo os valores encontrados e a ordem crescente que colocamos no quadro de sinais, vamos inserir: -x+2 no primeiro quadrinho, pois os valores de x até -1 são menores que 2 (x < 2); -x+2 no segundo quadrinho, pois os valores de x até 2 são menores que o próprio 2 (x < 2); x-2 no terceiro quadrinho, pois os valores de x tem que ser maior ou igual a 2 (x ≥ 2). -1 |x-2| |x+1| |x-2| + |x-1|

-x+2

2 -x+2

-1

x-2

2

Agora, com |x+1|: Obedecendo os valores encontrados e a ordem crescente que colocamos no quadro de sinais, vamos inserir: -x-1 no primeiro quadrinho, pois os valores de x até -1 são menores que o próprio -1 (x < -1); x+1 no segundo quadrinho, pois os valores de x tem que ser maior ou igual a -1 (x ≥ -1). x+1 no terceiro quadrinho, pois os valores de x tem que ser maior ou igual a -1 (x ≥ -1). -1 |x-2| |x+1| |x-2| + |x-1|

-x+2 -x-1

2 -x+2 x+1

-1

x-2 x+1 2

Por fim, iremos somar o primeiro quadrinho de |x-2| com o primeiro quadrinho de |x+1| para acharmos o valor do primeiro quadrinho de |x-2| + | x-1|. E assim faremos com os demais.

|x-2|

-1

2

-x+2

-x+2

x-2

|x+1| |x-2| + |x-1|

-x-1 -2x+1

x+1 3

x+1 2x-1

-1

2

Basta agora pegarmos cada resultado obtido e igualarmos à 7: -2x+1= 7

3=7

2x-1= 7

Falso! 3≠7

-2x= 6

2x= 8

x= -3

x= 4 ∴ S {−3, 4 }

Função Exponencial Potenciação 2 n+4 +2n +2 + 2n−1 2n−2+ 2n−1

Para resolvermos essa expressão, temos que recordar das regras de potência. Lembra-se quando havia multiplicação ou divisão de potência de mesma base? Bastava conservar a base e somar o subtrair os expoentes, certo? Nesta expressão, temos que ter em mente o processo inverso, ou seja, desmembrar a potência. 2 n . 24 + 2n . 22 + 2n . 2−1 2n . 2−2 +2n .2−1

Colocando 2n em evidência, temos: 1 2 n(16+4 + ) 2 1 1 2n ( + ) 4 2

1 2 1 1 + 4 2

20+

↔

↔

41 2 3 4

↔

41 2

Algumas observações devem ser feitas e lembradas:

3

. 4

=

82 3

Quando as bases não são iguais, podemos fatorá-las para que elas fiquem iguais; Podemos utilizar fator comum em evidência para resolver as equações, ou então a variável auxiliar.

 

A seguir, veremos dos dois métodos: Fator comum em evidência

4

x +1

+4

x

x+2

−4

x

2

1

x−1

−4

x

x−2

=315

−1

x

−2

4 . 4 + 4 . 4 − 4 . 4 − 4 . 4 =315

1 1 4 x ( 4 +16− − )=315 4 16 4x

315 =315 16

4 x=

315 315 16

4 x =315.

16 315

4 x =16 4 x = 4 2 (bases iguais, expoentes iguais)

x= 2

Variável Auxiliar → 4 x= y

4

x +1

+4

x+2

−4

x−1

−4

x−2

=315

4 x . 4 1+ 4 x . 4 2− 4 x . 4−1− 4 x . 4−2 =315 y y 4 y+16 y − − =315 4 16

64 y+ 256 y−4 y− y =16 .315 16

(para facilitar a conta, não multiplicamos o denominador pelo valor depois igualdade, só deixamos por escrito)

320y-5y= 16 . 315 315

y= 16 . 315 y= 16

Voltando à variável auxiliar: 4 x =16 4 x = 4 2 (bases iguais, expoentes iguais)

x= 2 Sistema linear com equações exponenciais Determine qual par (x,y) é a solução do sistema: 4x . 8y=

1 4

↔ 22 x . 23 y = 2−2

9 x . 272 y =3 ↔

32 x .3 6 y =31

(bases iguais, expoentes iguais)

2x+3y= -2 2x+6y= 1

(-1)

2x+3y= -2 -2x-6y= -1 0x+-3y=-3

2x+3y= -2

-3y= -3

2x+3= -2

y= 1

2x= -5

22 x+3 y =2−2 3

2 x +6 y

=3

1

da

x= ∴ S {(

−5 2

−5 , 1) } 2

Gráficos exponenciais Para se construir o gráfico de uma função exponencial, basta escolhermos valores para x, que encontramos y. O gráfico terá um comportamento exponencial (curvado). f(x)= 2x

A função y= 2x se aproximará bastante do eixo das abscissas (x), mas nunca o cortará, pois essa função não tem raiz. Essa função é crescente. f(x)=

1 x ( ) 2

ou f(x)= 2− x

A função y= 2x se aproximará bastante do eixo das abscissas (x), mas nunca o cortará, pois essa função não tem raiz. Essa função é decrescente. f(x)= 2x +1

Havendo agora um termo independente (positivo), ocorrerá o que chamamos de reta assíntota horizontal, onde o gráfico da função exponencial chegará muito perto do valor independente, mas não o cortará. x

1 f(x)= ( ) −49 7

Havendo agora um termo independente (negativo), também ocorrerá o que chamamos de reta assíntota horizontal, onde o gráfico da função exponencial chegará muito perto do valor independente, mas não o cortará. Essa função tem raiz, sendo ela -1. Algumas observações devem ser feitas e lembradas:  Só irá existir raiz na função exponencial quando houver um termo independente na função, sendo ele negativo;  Para sabermos onde a função exponencial cortará no eixo das ordenadas (y), basta considerarmos o “x” da função igual a zero e somar ao valor independente, quando houver;  Para descobrir a raiz da função, basta igualarmos ela à zero e resolver a equação;

 Quando tiver raiz, o gráfico da função exponencial transladará para baixo. Equação exponencial com módulo A seguir, resolveremos uma equação exponencial, onde haverá módulo. A única diferença de como resolvê-la é quando retornarmos à variável auxiliar. |x−1 |

4

−5 . 2|x−1 |=−4

V.A.→

|x−1 |

2

=y

(2|x−1|)²−5 .2|x−1 |=−4

y² - 5y + 4= 0 y’= 1 y’’= 4 Voltando à V.A.→ 2|x−1 |= y 2|x−1|=1 |x−1|

2

=2

2|x−1 |=4 0

|x−1 |

2

=2

2

|x-1|= 0

|x-1|= 2

|x-1|= -2

x= 1

x= 3

x= -1

∴ S {−1, 1,3 }

Função Logarítmica Logaritmo Definição: loga b=x ↔ a x=b (a base elevada ao logaritmo é igual ao logaritmando) a→ base logarítmica b→ logaritmando x→ logaritmo

Propriedades

1≠ a> 0

b>0

1) 2) 3) 4)

log a (b . c)=log a b+log a c b log a ( )=log a b− log a c c log a b=log a c ↔b =c p n

p log a √ b =log a b = . log b n a n

p

Consequências da definição 1) 2) 3) 4)

log a a=1 log a a n=n log a 1=0 a

loga b

=b

Mudança de base log b log a b= c log c a

Cologaritmo Chamamos de cologaritmo de um número b na base a, o oposto do logaritmo de um número b na base a. Assim, se 1≠ a> 0 e b > 0, então: colog a b=−log a b

Podemos fazer a seguinte expansão: colog a b=−log a b colog a b=(−1). log a b colog a b=log a b

colog a b=log a

−1

1 b

Função Composta

Uma função composta nada mais é do que quando temos uma função dentro de outra função. Exemplo:  g(f(x)) ou gof(x);  f(g(f(x))) ou fogof(x);  g(g(f(g(x)))) ou gogofog(x). Sempre resolvemos uma função composta de dentro para fora. Vamos fazer agora um exemplo com valores reais, para exemplificar melhor: f(x)= 2x+3

g(x)= x+5

 g(f(x)) ou gof(x) De dentro para fora, vamos pegar f(x) e substituir no valor de “x” em g(x), ou seja: g(x)= x+5 g(2x+3)= 2x+3+5 g(2x+3)= 2x+8 g(f(x))= 2x+8

 f(g(f(x))) ou fogof(x) De dentro para fora, vamos pegar f(x) e substituir no valor de “x” em g(x), ou seja: g(x) = x+5 g(2x+3)= (2x+3)+5 g(2x+3)= 2x+8 Agora, vamos pegar o valor encontrado e substituir em f(x): f(x)= 2x+3 f(2x+8)= 2.(2x+8) +3 f(2x+8)= 4x+16 +3 f(2x+8)= 4x+19 f(g(f(x)))= 4x+19

 g(g(f(g(x)))) ou gogofog(x). Fazendo o mesmo processo, de dentro para fora, vamos pegar g(x) e substituir no valor de “x” em f(x), ou seja: f(x)= 2x+3 f(x+5) = 2 . (x+5)+3 f(x+5) = 2x+10+3 f(x+5) = 2x+13 Agora, vamos pegar o valor encontrado e substituir em g(x): g(x)= x+5 g(2x+13) = (2x+13) + 5 g(2x+13) = 2x+18 Por fim, vamos pegar o valor encontrado e substituir novamente em g(x): g(x)= x+5 g(2x+18) = (2x+18) + 5 ↔ g(2x+18) = 2x+23 ↔ g(g(f(g(x))))= 2x+23...