ROTASI (PUTARAN) PDF

Preview

Summary

ROTASI (PUTARAN) Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah GEOMETRI TRANSFORMASI yang diampuh oleh Ekasatya Aldila A., M.Sc. Di susun oleh: ZAKKINA GAIS NIM: 13511008 SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) GARUTJl. Pahlawan No. 32 Telp. (0262) 233556 Fax. (0262) 540649 Tarogong – Garut ...

Description

ROTASI (PUTARAN) Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah GEOMETRI TRANSFORMASI yang diampuh oleh Ekasatya Aldila A., M.Sc.

Di susun oleh:

ZAKKINA GAIS

NIM: 13511008

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) GARUTJl. Pahlawan No. 32 Telp. (0262) 233556 Fax. (0262) 540649 Tarogong – Garut

ZAKKINA GAIS 13511008

INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI”

BAB XI PUTARAN (ROTASI) Buku Rawuh 11.1 Ketentuan dan sifat-sifat sederhana putaran Telah anda ketahui bahwa hasilkali transformasi yang terdiri atas dua reflexi adalah suatu setengah putaran dengan pusat titik potong sumbu-sumbu reflexi apabilasumbu-sumbu ini tegak lurus. Apabila sumbu-sumbu reflexi itu sejajar maka hasilkali dua reflexi menghasilkan suatu geseran (translasi). Hal yang akan anda pelajari kali ini adalah hasilkali dua reflexi yang sumbu-sumbunya tidak tegak lurus dan tidak pula sejajar. Untuk ini akan didefinisikan sudut yang berarah.

Definisi

• Sebuah sudut yang berarah adalah suatu sudut, yang salah satu kakinya ditentukan sebagai kaki awal dan kaki yang lain sebagai kaki akhir

Catatan

• Bandingan dengan ruas garis berarah. Di sini ada titik awal dan titik akhir.

Untuk melambangkan suatu sudut misalnya ∠ adalah sudut arah dengan sinar BA sebagai kaki awal dan sinar BC sebagai kaki akhir. Kita tulis ↗ ABC. Lambang ↗ ABC adalah untuk sudut berarah dengan kaki awal BC dan kaki akhir BA. Untuk melambangkan besarnya sebuah sudut berarah kita tentukan hal-hal berikut : m ( ↗ ABC ) = m (∠

m ( ↗ ABC ) = - m (∠

) apabila orientasi ganda (BAC) adalah positif.

) apabila orientasi ganda (BAC) adalah negatif. Gambar 11.1

C

B

C

A

B

m ( ↗ ABC ) = 45

I

A

H

m ( ↗ ABC ) = 45

M

Y

G m ( ↗ GHI ) = 150 Z

R N

P m ( ↗ PNM ) = -90

X

S

T

m ( ↗ RST ) = < 0

m ( ↗ XYZ ) > 0 Page | 1

ZAKKINA GAIS 13511008

INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI” Apabila ∠ABC sebuah sudut, maka ∠ABC = ∠CBA sehingga m (∠ABC) = m (∠CBA). Tetapi untuk sebuah sudut berarah ABC, berlaku m ( ↗ ABC = m ( ↗ CBA ). Ini disebabkan oleh orientasi ganda (BAC) selalu lawan orientasi ganda (BCA) Apabila ada dua garis berpotongan yang tidak tegaklurus, sudut antara dua garis itu kita pilih sudut lancip. Sebab ada dua pasang sudut bertolak belakang, satu pasang lancip dan satu pasang tumpul. Pada gambar 11.2 besarnya sudut antara gari s dan garis t adalah 70, sedangkan besar sudut antara garis s dan garis u adalah 80. Gambar 11.2 u

t 80

s

70

Gambar 11.3 s

C

A P

t

B

Kita sekarangan lebih merinci sudut antara dua garis sebagai berikut. Andaikan garis s dan garis t berpotongan di titik A (gambar 11.3). Andaikan P sebuah titik pada s sedang B dan C dua titik t sehingga A terletak antara B dan C. Jika ∠PAB lancip, maka dikatakan bahwa sudut dari s ke t adalah sudut ∠PAB. Jika ∠PAB tumpul, maka sudut dari s ke t adalah ↗ . Pada gambar 11.3 jika m ( ∠PAB ) = 150, maka besarnya sudut dari s ke t adalah m (↗ 30 sedangkan besarnya sudut dari t ke s adalah m ↗ = 30

)=-

t

B

u

C P

70

D

30

s

A

E Gambar 11.4

Page | 2

ZAKKINA GAIS 13511008

INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI” Pada gambar 11.4 anda dapat melihat bahwa : (1) Sudut dari s ke t : � ↗ (2) Sudut dari s ke u : � ↗ (3) Sudut dari u ke t : � ↗

= =− =−

Sehingga dapat dikatakan bahwa sudut berarah dari satu garis ke garis lain dapat berkisar antara -90 hingga +90. Sedangkan sudut antara dua garis dapat berkisar antara 0 dan 90. Dengan didasari oleh sudut-sudut berarah ke atas kita sekarang dapat menyelidiki lebih lanjut hasilkali reflexi-reflexi yang sumbu-sumbunya tidak saling tegak lurus dan juga tidak sejajar. Sifat ini dituangkan dalam teorema berikut.

Teorema 11.1 :

 Andaikan s dan t dua garis yang tidak saling tegak lurus dan yang berpotongan di titik A. Andaikan P dan Q dua titik yang berlainan dengan A. Maka � ↗ " = m ↗ QAQ" , de ga P = MtMs P da Q = MtMs (Q) Bukti : Kasus I. Andaikan P dan K terletak pada s (gambar 11.5.a)

P

K

K

P t

t

A

A K

P P

K

s

Gambar 11.5.a

P

s

Gambar 11.5.b

P

K

P t

A K P

s

Gambar 11.5.c

Page | 3

ZAKKINA GAIS 13511008

INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI”

Maka MtMs A = A. “e ut peta i i A , jadi A = A, oleh karena MtMs se uah iso etri, aka P ,K da A =A terletak pada satu garis a g elalui A. “ehi gga � ↗ ” = m ↗ KAK”

Apabila P  s, dan karena besarnya sudut-sudut tidak berubah terhadap isometri maka � ↗ � = � ∠ "AK" Oleh karena komposit dua reflexi garis adalah sebuah isometri langsung maka orientasi ganda APK sa a de ga orie tasi ga da AP K . Jadi � ↗ Kasus 2.

� = � ↗ ” AK” .

Apabila kedudukan P seperti dalam gambar 11.5.b maka � ↗ = m ↗ PAK + m ↗ KAP” . Sedangkan � ↗ � � = m ↗ KAP” + � ↗ ”AK” . Sehingga � ↗ ” = m ↗ � �” Kasus 3.

Dengan cara yang serupa untuk kedudukan P seperti pada gambar 11.5.c, dapat pula dibuktikan bahwa � ↗ " = � ↗ � �" .

Coba Anda buktikan sendiri

Jadi untuk seriap titik P ≠ A kita peroleh � ↗

” = � ↗ � �”

� ↗

” = � ↗ � �”

� ↗

” =� ↗

Begitu pula titik Q :

Sehingga

”

Jadi oleh transformasi MtMs setiap titik terputar dengan sudut berarah yang sama mengelilingi titik yang sama.

Definisi

• A daika A se uah titik da φ se uah ila ga a g memenuhi -180 < φ < +180. Sebuah rotasi mengelilingi A adalah sebuah padanan RAφ : V  V yang ditentukan sebagai berikut: • RAφ (A) = A • Jika P ≠ A aka ‘Aφ P = P sehi gga m ↗ PAP ′ = φ dan AP = AP.

Page | 4

ZAKKINA GAIS 13511008

INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI”

RA,60 P = P P 60 A

Q= Ra,60 (Q) Q Gambar 11.6

Teorema 11.2

• Jika s dan t dua garis yang tidak tegak lurus dan yang berpotongan di A dan jika sudut antar garis s ke garis t adalah setengah φ, maka RAφ = MtMs K

Bukti :

t

φ

A

K Gambar 11.7

A daika

se uah titik P ≠ A

m ↗ KAK

′

da

titik K ≠ A pada s. A daika

K = MtMs (K) maka

x φ = φ. Jika P = MtMs (P) maka menurut teorema 11.1 m ↗ PAP′ =

m ↗ KAK ′ sehingga m ↗ PAP′ = φ

Berhu u g de ga A = MtMs (A) =A dan berhubung MtMs se uah iso etri PA = P A , e urut kete tua aka MtMs = RAφ

aka P A = PA atau

Menurut teorema di atas, komposit dua reflexi terhadap dua garis yang berpotongan tidak tegak lurus adalah sebuah rotasi dengan kedua garis itu sebagai pusat. Jika kaki-kaki sudut BA dan BC membentuk dua sinar yang berlawanan arah, sehingga misalnya (CAB), kita jiga dapat mengatakan bahwa BA  BC adalah sudut...