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“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de Independencia”Tema: MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTOPROPORCIONALAsignatura: Pensamiento LógicoINTEGRANTES-Yarleque Mena, Samuel Moises-Cubas Zapata, Gino Imanol-García Córdova, Claudio Aníbal-Martinez Juarez, Loidy Abigail-Carmenes Sunción, Etty Mylene-...

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“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de Independencia” Tema: MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL Asignatura: Pensamiento Lógico INTEGRANTES

-Yarleque Mena, Samuel Moises -Cubas Zapata, Gino Imanol -García Córdova, Claudio Aníbal -Martinez Juarez, Loidy Abigail -Carmenes Sunción, Etty Mylene -Saldarriaga Guerrero, Adriana Michael DOCENTE DE LA ASIGNATURA DE PENSAMIENTO LÓGICO

VICTOR BERNARDO SOSA GONZALES

Piura 2021

PROGRAMA DE FORMACIÓN HUMANÍSTICA ÁREA DE LÓGICO MATEMÁTICA

MATERIAL INFORMATIVO MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL 1. MAG MAGNI NI NITUD TUD Y CAN CANTID TID TIDAD AD Mag Magni ni nitud: tud: Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Además, posee la característica de variar, ya sea aumentando o disminuyendo, (Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 470). Can Cantid tid tidad ad ad:: Es todo estado particular de una magnitud, resulta de medir una determinada magnitud en ciertas unidades, (Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 470). Ejem Ejempl pl plo: o: La siguiente tabla muestra algunas magnitudes y su correspondiente unidad de medida: Mag Magni ni nitud tud Tamaño de un terreno (área) Peso de una persona Sueldo de una persona Velocidad de un automóvil Temperatura

Can Cantid tid tidad ad 120 m2 68 kg S/ 2 500 90 km/h 18° C

2. M CIONALE MAG AG AGNIT NIT NITUD UD UDES ES PRO PROPO PO POR RCIONALE NALESS Rela Relacion cion ciones es en entre tre dos m mag ag agnitu nitu nitud des Dos magnitudes son proporcionales, si al variar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra también varían proporcionalmente. Las magnitudes proporcionales pueden ser directamente proporcionales e inversamente proporcionales (Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 470): A. Magn agnitud itud itudes es dire direct ct ctame ame ament nt nte ep prop rop ropor or orcion cion cionales ales (D (DP) P) Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra, también lo hacen proporcionalmente. Análogamente si una disminuye, la otra lo hará proporcionalmente. Es decir, si al multiplicar el valor de una de ellas por un número, entonces la otra también queda multiplicada por el mismo número, y si al dividir el valor de una de ellas por un número, entonces la otra queda dividida por el mismo número. An iguient Analice alice alicemos mos el siguient ente e cas caso: o: el costo del metro cuadrado de un terreno en el distrito del Agustino es de S/ 3200. Observa la siguiente tabla que relaciona el tamaño de un terreno y su precio. PENSAMIENTO LÓGICO

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Tamaño del terreno Área (m2) Precio (S/)

1

90

120

150

180

200

3200

288 000

384 000

480 000

576 000

640 000

En los valores de la tabla observamos que, si el área se multiplica por un número, entonces el precio quedará multiplicado por el mismo número. Si comparamos sus valores mediante un cociente obtenemos: 1 200 180 150 120 90 = = = = = =𝑘 576 000 640 000 480 000 3200 288 000 384 000

En general, para dos magnitudes A y B, estas se relacionan en forma directamente proporcional, si el cociente de sus valores correspondientes es una constante. A DP B 

Es decir:

(valor de A ) k (valor de B )

(k: constante de proporcionalidad)

a1 a2 a3 an = = = ... = =k b1 b2 b 3 bn

Algunas magnitudes directamente proporcionales son: MAG MAGNI NI NITUD TUD 1 Tamaño de un terreno Número de máquinas de coser Número de artículos Cantidad de proteínas consumidas

RELA RELACI CI CIÓN ÓN DP

MAG MAGNI NI NITUD TUD 2

DP

Precio del terreno Producción de pantalones Precio total a pagar

DP

Masa corporal

DP

B. Mag Magni ni nitud tud tudes es inve invers rs rsam am amen en ente te p prop rop ropor or orcion cion cionales ales (IP (IP)) Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra disminuyen en la misma proporción. Análogamente si una de ellas disminuye, la otra aumentará proporcionalmente Es decir, si al multiplicar el valor de una de ellas por un número, entonces la otra queda dividida por el mismo número, y si al dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. PENSAMIENTO LÓGICO

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An Analice alice alicemos mos el sigui siguien en ente te caso: el recorrido que realiza un bus interprovincial para ir de Lima a Arequipa es de aproximadamente 1000 km. Teniendo en cuenta que el bus viaja a velocidad constante durante todo su recorrido, obtenemos la siguiente tabla que relaciona la velocidad y el tiempo de viaje. Velocidad(km/h) 50 80 Tiempo (h)

20

12,5

100

125

10

8

En los valores de la tabla observamos que, si la velocidad del bus se multiplica por un número, entonces el tiempo quedará multiplicado por el inverso del mismo número. Teniendo en cuenta cada par de valores obtenemos: 50 × 20 = 80 × 12,5 = 100 × 10 = 1000 = 𝑘

En general, dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si el producto de sus valores correspondiente es constante.

A IP B  (valor de A)(valor de B)  k

(k es constante de proporcionalidad)

Algunas magnitudes inversamente proporcionales son: MAG MAGNI NI NITUD TUD 1 Número de inasistencias al trabajo

RELA RELACI CI CIÓN ÓN IP

Remuneración

Número de trabajadores

IP

Número de días para terminar un trabajo

IP

Tiempo de viaje

IP

Presión atmosférica

Velocidad desplazamiento Altura msnm

de

MAG MAGNI NI NITUD TUD 2

Ejem Ejempl pl plo o 11:: Indique, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son directamente proporcionales y los que son inversamente proporcionales. 1. El número de obreros empleados y el trabajo realizado. ( ) 2.

Los días de trabajo y las horas diarias que se trabajan

(

)

3.

La velocidad de un móvil con el tiempo empleado en recorrer un

(

)

espacio. 4.

El espacio con el tiempo, si la velocidad no varía.

(

)

5.

El peso y el precio de una mercancía, cuando se paga a razón del peso. El número de obreros empleados y el tiempo necesario para hacer una obra. El número de cosas y el precio, cuando se paga a razón del número.

(

)

(

)

(

)

6. 7.

PENSAMIENTO LÓGICO

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8.

El tiempo y las unidades producidas

(

)

9.

La longitud con el ancho y la altura y en general cualquier dimensión

(

)

de un cuerpo con otra, si la superficie o el volumen permanecen constantes.

Ejem Ejempl pl plo o 22:: Carlos trabaja como vendedor en una tienda de electrodomésticos y recibe una comisión de S/ 150 por cada televisor vendido cuyo valor sea mayor a S/ 1000. ¿cuántos televisores cuyo valor sea mayor a S/ 1000 tendrá que vender para recibir S/ 1650 de comisión? Solu Solución ción ción:: Se sabe que, si se incrementa el número de televisores vendidos, entonces la comisión será mayor. Por lo tanto, el número de televisores vendidos es directamente proporcional a la comisión. N° de televisores DP Comisión Por lo tanto se cumple: 𝑁° 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 =𝑘 𝐶𝑜𝑚𝑖𝑠𝑖ó𝑛 Si por cada televisor recibe una comisión de S/ 150; y por x televisores vendidos se recibe S/ 1650, entonces: 1 150

𝑥

= 1650

1650 = 150𝑥

𝑥 = 11

Rpta. Carlos tendrá que vender 11 televisores para obtener una comisión de S/ 1650. Ejem Ejempl pl plo o3 3:: Ciertos estudios han determinado que la temperatura en el interior de una habitación varía de forma inversamente proporcional al área de la misma. Un ingeniero civil ha realizado estudios que indican que en una habitación de 50 m2 la temperatura es de 20° C, ¿Cuál será la temperatura en un ambiente de 40 m2? Solu Solución ción ción:: Sabemos que Temperatura IP Área Por lo tanto, se cumple: (𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎)(Á𝑟𝑒𝑎) = 𝑘

Luego, reemplazando los valores: (50)(20)  40 x 1000  40 x 25  x

Rpta. La temperatura en un ambiente de 40 m2 es de 25° C

3. REP REPART ART ARTO O PPROP ROP ROPORCIO ORCIO ORCIONA NA NALL Consiste en repartir o dividir cierta cantidad en forma proporcional a determinados factores o números, llamados índices de reparto. PENSAMIENTO LÓGICO

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Los elementos que siempre se encuentran presentes en un reparto proporcional son: cantidad a repartir, factores o índice de reparto y cociente de reparto o cantidad recibida. Cuando escuchamos la palabra reparto imaginamos una división en partes iguales; sin embargo, no siempre es el caso, en muchas ocasiones se toman en cuenta números indicadores de la forma en que se va a realizar el reparto.

Rep Repart art arto o Pr Prop op oporci orci orcion on onal al Sim Simple: ple: Es aquel reparto que se realiza en forma proporcional a un solo grupo de índices, este reparto puede ser de dos tipos: A. Rep Reparto arto Si Simp mp mple le Dir Direct ect ecto: o: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son directamente proporcionales a los índices. En general repartir una cantidad N DP a los índices a1 , a2 , a3 ,.... , an Se cumple que las partes obtenidas: P1 , P2 , P3 , .... , Pn son DP a los índices.

P1 P2 P3    a1 a2 a3



P k an

, donde N  P1  P2  P3  ...  Pn

B. Rep Repart art arto o Si Simp mp mple le Inv Invers ers erso: o: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son inversamente proporcionales a los índices. En general repartir N IP a los índices a1 , a2 , a3 ,.... , an Se cumple que las partes obtenidas: P1 , P2 , P3 , .... , Pn son IP a los índices. P1.a1  P2. a2  P3. a3 



k

Además: N  P1  P2  P3  ...  Pn Ejem Ejempl pl plo o 55:: Andrés, Benito y Carlos se asocian para realizar un negocio de venta de autopartes, para lo cual Andrés aporta S/ 2000, Benito S/1800 y Carlos S/ 800. Si se proyecta una utilidad de S/ 23 000. ¿Cuánto le correspondería a cada uno? Solu Solución ción ción:: El reparto de las utilidades debe de darse de manera directamente proporcional al aporte de cada uno y esto debe sumar el total. Sean A, B y C las cantidades que le corresponde de la utilidad a cada uno respectivamente, tenemos A  B  C  23 000 Como la utilidad que le correspondería es DP a sus aportes, se determina la constante de proporcionalidad:  A  2000k A B C     k   B  1800k 2000 1800 800 C  800 k  PENSAMIENTO LÓGICO

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Reemplazando las cantidades que le corresponde a cada uno llegamos a la ecuación: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 23000 2000𝑘 + 1800𝑘 + 800𝑘 = 23000 4600𝑘 = 23000 𝑘=5

Por lo tanto, lo que cada uno recibirá, es: Andrés: A = 2000(5) = 10 000 soles. Benito: B = 1800(5) = 9 000 soles. Carlos: C = 800(5) = 4000 soles. Ejem Ejempl pl plo o 66:: El gerente de una empresa de servicios de taxi desea disminuir el índice de infracciones a las normas de tránsito y decide repartir un bono de S/ 8 460 entre sus trabajadores. El reparto se realizará de manera inversamente proporcional a las infracciones cometidas según la información de la tabla: Trab aj ado N° de in fra cci on es Trabaj ajado adorr infra fracci ccion ones Javier

4

Leonardo

5

Carlos

3

Calcular el monto que recibirá cada uno. Solu Solución ción ción:: El reparto del bono debe de darse de manera inversamente proporcional al número de infracciones, y esto debe dar el total. 𝑱𝒂𝒗𝒊𝒆𝒓 + 𝑳𝒆𝒐𝒏𝒂𝒓𝒅𝒐 + 𝑪𝒂𝒓𝒍𝒐𝒔 = 𝟖𝟒𝟔𝟎

Si el reparto es inversamente proporcional a 4, 6 y 3; entonces determinamos la constante de proporcionalidad. k  J  4  k  J x 4  L x 5  C x 3  k  L  5  k  C  3 Replanteando las cantidades que le corresponde a cada uno llegamos a la ecuación: 𝑱 + 𝑳 + 𝑪 = 𝟖𝟒𝟔𝟎 𝑲 𝑲 𝑲 + + = 𝟖𝟒𝟔𝟎 𝟓 𝟒 𝟑 𝑲 = 𝟏𝟎 𝟖𝟎𝟎 PENSAMIENTO LÓGICO

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Por lo tanto, cada uno recibe: 10 800 Javier: J   2700 soles 4 10 800 Leonardo: L   2160 soles 5 10 800 Carlos: C   3600 soles 3

CASOS DIDÁCTICOS Instr Instrucc ucc uccion ion iones: es: Resu esuelv elv elvee la lass sigui siguient ent entes es situ situacio acio aciones nes con ontex tex textual tual tuales es aplic aplican an ando do los conc concep ep eptos tos de ma magni gni gnitud tud tudes es pr prop op oporc orc orcion ion ionales ales y rep repar ar arto to pr prop op oporc orc orcion ion ional. al. 1. En una imprenta, el precio unitario de un libro es IP al número de ejemplares editados. Si los ingresos de una primera edición ascienden a S/ 41 800, ¿cuál será el precio de cada libro en una segunda edición en la que se venden 1900 ejemplares? Dat Datos os ssign ign ignific ific ificati ati ativos vos Magnitud Precio ($)

relación IP

Plan Plantea tea teami mi mient ent ento o y so soluci luci lución ón

Magnitud Número de libros (unidades)

P. N= K Precio ($) Número de libros (unidades) PENSAMIENTO LÓGICO

41800= X (1900) X= 22 P

X

N

1900 2021-1

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Primera edición P. N=K

Resp Respue ue uesta sta sta:: EEll pr preci eci ecio od de e ccada ada libr libro o en llaa ssegu egu egunda nda edición sserá erá de $$22 22 2. El jefe de servicios de enfermería concluyó que la dosis de medicamento para los pacientes del pabellón “B” es proporcional a la masa de cada persona. Además, se sabe que una persona recibió 20 mg de medicamento y otra persona que pesaba 7 Kg menos recibió 18 mg. Determina la masa de ambos pacientes. Dat Datos os ssign ign ignific ific ificati ati ativos vos

Plan Plantea tea teami mi mient ent ento o y so soluci luci lución ón

Magnitud Dosis (Mg)

relación IP

Magnitud Masa (Kg)

Dosis(Mg) Masa(Kg)

20 x

18 x-7

20/x= 18/x-7 20x-140= 18x 2x= 140 X= 70 Dosis(Mg) Masa(Kg)

20 70

18 70-7= 63

Resp La m Respue ue uesta sta sta:: La mas as asaa de lo loss p pacie acie acientes ntes es 7 70 0 kg y 63k 63kgg 3. Cuatro estudiantes de la UCV sede Lima: Vanessa, Magaly, Lourdes y Carolina hicieron un viaje de pasantía a la UCV sede Huaraz. Reunieron el dinero que cada una tenía S/ 600 de Vanessa, S/ 700 de Magaly, S/ 900 de Lourdes y S/ 800 de Carolina. Al regresar les quedó un total de S/ 150 que decidieron repartirlo de manera proporcional al monto que cada una aporto. Calcule cuanto le tocó al estudiante que más aportó. Dat Datos os ssign ign ignific ific ificati ati ativos vos - Reparto D.P V/600= M/700= L/900= C/800

Plan Plantea tea teami mi mient ent ento o y so soluci luci lución ón V/600= M/700= L/900= C/800= K V= 6K M= 7K L= 9K C= 8K Les quedó 150 6K+ 7K+ 9K+8K= 150 K= 5

Resp Respue ue uesta sta sta:: LLaa qu que e más ap apor or ortó tó fu fue e LLour our ourd des y se le d dev ev evolv olv olvió ió 445 5

PENSAMIENTO LÓGICO

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4. En un concurso de matemáticas se entregaron 20 problemas y se premiaron a los 3 primeros lugares en partes inversamente proporcionales al número de problemas no resueltos. El primer puesto resolvió 19 problemas, el segundo puesto resolvió 18 problemas y el tercer puesto resolvió 16 problemas. ¿Cuánto le corresponde a cada uno si el premio es de S/ 700? Dat Datos os ssign ign ignific ific ificati ati ativos vos

Plan Plantea tea teami mi mient ent ento o y so soluci luci lución ón

Resp Respue ue uesta sta sta:: Al pr prim im imer er p pue ue uesto sto le ccorr orr orresp esp espon on onde de 4400 00 00,, aall ssegu egu egundo ndo 20 200 0 y al ter tercer cer cero o 1100 00

5. EL PE PERÚ RÚ EEN N CIF CIFRA RA RASS DEL AÑ AÑO O 20 2017 17

Fuente: INEI Densidad de población Es un indicador que nos permite saber cuánta población habita en una zona territorial, como un país, una región, una comuna, etc. Así como también saber cuándo la población está concentrada o dispersa, respecto al territorio que habitan. Ejemplo: Un área geográfica tiene una población de 9.800 habitantes y tiene una superficie de 15 km2, por tanto, la densidad de población es de 653 hab/km2. En base a la in infor for forma ma mació ció ción n pres presen en entad tad tada a rresp esp espond ond onde: e: PENSAMIENTO LÓGICO

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A. Comenta sobre lo que nos brinda la información. Nos habla sobre la densidad de población en el Perú y el cuadro nos brinda datos tales como la PEA, Superficie, Esperanza de vida, Población estimada, entre otros. B. ¿Qué magnitudes y unidades intervienen en la densidad poblacional de nuestro país? Población de Perú y superficie de Perú C. Teniendo en cuenta los datos anteriores calcular la densidad poblacional del Perú en el 2017. Interpretar la misma.

D. Si el número de habitantes en nuestro país aumenta, ¿Cuál sería el comportamiento de nuestra densidad poblacional? Justifica tu respuesta. -La densidad también aumentaría, ya que estas dos magnitudes son directamente proporcionales, cuanda los habitantes aumente, la densidad también lo hará. E. Asumiendo que las cifras reportadas por el INEI se relacionan proporcionalmente en el citado año, estimar: - La cantidad de personas que tendrían cobertura de salud, de una población total de 100,000 peruanos.

-61 900 tendrían cobertura de salud - La población económicamente activa por cada 100 peruanos.

En 2017, según INEI, de cada 100 peruanos 50 de ellos pertenecían a la población económicamente activa

PENSAMIENTO LÓGICO

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PENSAMIENTO EN ACCIÓN SITUACIÓN CONTEXTUAL N° 01 EL CENSO EN CIFRAS Censo nacional se dio en medio de reclamos, omisiones y calles vacías. La población cumplió, el INEI no. Pasadas las 5 p.m. no se terminó de censar a todas las casas de las zonas urbanas. El INEI precisó que hubo una omisión del 2% que se atenderá en estos días. Empadronadores denunciaron problemas logísticos y hasta una violación. No hubo transporte público. En La Convención (Cusco) se suspendió el censo. Hoy arranca en el área rural.

La un vo de est

16 1%

MAGNITUD Cantidad de empadronadores

UNIDAD N° de empadronadores

Tiempo

Años

Cantidad de Población

N° de habitantes

Cantidad de viviendas

N° de viviendas

Tasas de Crecimiento

Porcentajes

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