Seminar assignments - Exempel rotationsvolym - Matematisk analys för lärare 2 PDF

Preview

Summary

Exercise - Matematisk Analys För Lärare 2...

Description

Exempel: Rotationsvolym vid rotation kring y -axeln Grafen till y = sin x, då x ∈ [0, π], och x-axeln begränsar en area. Då denna roteras kring y-axeln genereras en rotationskropp. Vi ska bestämma volymen av denna kropp.

Vi kan betrakta kroppen som uppbyggd av en serie cylinderskal innanför varandra med en tjocklek dx. Figuren visar ett av dessa skal. Detta skal genereras av att den lilla arean som approximativt är en rektangel med bredd dx och höjd f (x) roteras. Cylinderns radie är x, så dess omkrets är 2πx. Om man ”skär upp och rätar ut skalet” blir det därför, approximativt, ett rätblock med längd 2πx. Vårt volymselement är alltså dV = 2πxf(x)dx och volymen ges av integralen Z Z x2 V = dV = 2π xf (x) dx, x1

för lämpliga integrationsgränser för variabeln x. (Anm. 1: I denna beskrivning finns ingen hänvisning till just den rotationskropp vi har i detta exempel. Detta är alltså ett resonemang att komma fram till en allmän formel för rotationsvolym vid rotation kring y-axeln. Att approximationerna duger för att vi med denna integral ska få rätt svar är inte självklart, men det kan bevisas.) I vårt exempel är f (x) = sin x och integrationsgränserna är x1 = 0 och x2 = π. Volymen ges av Z Z π

V =

x sin x dx.

dV = 2π

0

Det som nu återstår är att beräkna denna integral. Vi använder partialintegrering där x är den faktor som deriveras. I dessa steg utelämnar jag faktorn 2π . Z

0

π

h iπ Z x sin x dx = − x cos x − 0

π 0

h iπ − cos x dx = − x cos x + sin x

= (−π · (−1) + 0) − (−0 + 0) = π.

0

Rotationskroppens volym blir då V = 2π · π = 2π 2 v.e. (Anm. 2: Är svaret rimligt? Låt oss göra en jämförelse. Vår kropp ryms i en cylinder med radie π och höjd 1. Denna har volym π · π 2 · 1 ≈ 3π 2 . Det är lätt att se från figuren att vår kropp upptar mer än halva denna volym och det stämmer bra med det beräknade värdet 2π 2 .) (Anm. 3: Det finns även en metod att beräkna volymen för rotationskroppar vid rotation kring y-axeln genom att återföra det på metoden att beräkna volym vid rotation kring x-axeln. Tänk dig att du byter plats på axlarna och variablerna. Den del av grafen y = sin x som i exemplet roteras kan då skrivas som två grafer − det räcker inte med en eftersom y = sin x inte är inverterbar − och den sökta volymen är den rotationsvolym man får genom att ta volymen den ”yttre grafen” ger vid rotation minus volymen från den ”inre grafen”. I detta exempel blir det besvärligare då det istället blir två integraler och funktionen blir något med arcsin x − det kan man ju vara glad att slippa. Men i andra exempel kan metoden med ett tänkt byte av axlarna fungera väl.)...