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Díaz Matta, A. y Aguilera Gómez V. M. (2007) Matemáticas financieras. (Cuarta edición). México: Mc. Graw Hill.
Nappa, A. M. (2008) Introducción al cálculo financiero. Buenos Aires: Ediciones Temas UADE...

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Sistema de amortización francés

Análisis Cuantitativo Financiero II

Sistema francés Cuota En el sistema francés, la cuota total se mantiene constante, y lo que varía es la proporción de capital e intereses de cada cuota. Como el interés se calcula sobre saldos, en las primeras cuotas del préstamo se ha amortizado menos capital que en las últimas, por lo que en las primeras cuotas se paga más intereses que capital. A medida que va avanzando la amortización del capital, el importe total de intereses incluidos en las cuotas será menor, y como se ha definido que la cuota debe mantenerse contante en este sistema, es que gana valor la amortización de la deuda, en el monto de la cuota. La fórmula para la cuota total es la siguiente:

i es la tasa de interés y n es la cantidad de cuotas pendientes de pago. En el denominador se usa la "fórmula del valor actual". Si se considera la situación en el momento 1, al final del primer período, se observa que el saldo al momento anterior (cero) será igual al total de la deuda, ya que aún no se realizaron amortizaciones. Como el interés se calcula sobre saldos, tendremos que para la primera cuota el interés deberá aplicarse sobre el saldo anterior, que resultará la totalidad de la deuda:

Se llamará t a la primera cuota a cancelar, ya que es importante para el cálculo de la amortización.

1

Amortización Para el cálculo de la amortización de capital, en el caso del momento 2, tendremos:

Y la cuota de amortización será:

Distribuyendo i:

Como habíamos visto en el apartado anterior:

Si reemplazamos el primer término:

Sacando factor común:

Si generalizamos para cualquier período de pago de cuota, tendremos:

Para el cálculo del interés que se encuentra incluido en el importe de cada cuota, debemos aplicar:

2

Cuota de interés será:

En el transcurso de los últimos años, en la mayoría de los préstamos hipotecarios otorgados por el sistema financiero en Argentina se utilizó el Sistema Francés con tasa variable, en estos casos debemos preguntarnos ¿qué ventajas nos trae aparejada la utilización de este sistema? Desde el punto de vista comercial, el sistema de amortización francés presenta algunas ventajas:   

En las primeras cuotas se abona, proporcionalmente, más intereses que capital. Para el acreedor resulta más atractivo desde el punto de vista de la presentación contable de los beneficios. Dado que las cuotas son iguales, resulta en cierto modo beneficioso o atractivo a la consideración del deudor.

Gráficamente:

3

Figura 1

Fuente: elaboración propia.

Podemos observar cómo, con la utilización de este sistema, la determinación del valor total de la cuota tendrá un comportamiento contante, ya que se determinan para todos los períodos cuota iguales; modificándose la composición, siendo el concepto devengado por interés mayor en las primeras a raíz de que se determina sobre saldos. Aquí es sumamente importante que analicemos por qué se comporta de esta manera. La explicación viene dada por el saldo de capital adeudado. En una primera instancia, como el saldo adeudado es mayor, al aplicar la tasa de interés sobre este, el importe es mayor que el de las últimas cuotas, en las que el saldo pendiente de cancelación es menor al haber procedido al pago de distintas cuotas.

4

Saldo Los saldos al final de cada período se obtienen calculando el total de la deuda menos el monto amortizado en las distintas cuotas. Para el caso del primer momento, el saldo será igual al total de la deuda:

Luego de la primera cuota, tendremos:

Si fuésemos calculando el saldo que resta amortizar para los distintos períodos, tal como lo realiza la Dra. Ana María Nappa (2008), llegaremos a obtener las distintas formas de calcular los saldos, y que a manera de resumen podemos decir: Para un período h-ésimo estará dado como: Saldo inicial:

Y el Saldo final:

Ejemplos 1) Flujo de Fondos: Sistema Francés de un préstamo de $ 40.000, a 30 meses de plazo y con una TNA (tasa nominal anual) del 12%

5

Tabla 1

Cuota

Cuota Total 1= 2 + 3

1

1.549,92

Amortización de capital 2 1.149,92

400

Saldo final del período 4 (saldo anterior -2) 38.850

2

1.549,92

1.161,42

388,50

37.689

3

1.549,92

1.173,04

376,89

36.516

4

1.549,92

1.184,77

365,16

35.331

5

1.549,92

1.196,62

353,31

34.134

6

1.549,92

1.208,58

341,34

32.926

7

1.549,92

1.220,67

329,26

31.705

8

1.549,92

1.232,87

317,05

30.472

9

1.549,92

1.245,20

304,72

29.227

10

1.549,92

1.257,66

292,27

27.969

11

1.549,92

1.270,23

279,69

26.699

12

1.549,92

1.282,93

266,99

25.416

13

1.549,92

1.295,76

254,16

24.120

14

1.549,92

1.308,72

241,20

22.812

15

1.549,92

1.321,61

228,12

21.490

16

1.549,92

1.355,03

214,90

20.155

17

1.549,92

1.348,38

201,55

18.806

18 19

1.549,92 1.549,92

1.361,66 1.375,48

188,06 174,45

17.445 16.069

20

1.549,92

1.389,23

160,69

14.680

21

1.549,92

1.403,13

146,80

13.277

22

1.549,92

1.417,16

132,77

11.860

23

1.549,92

1.431,33

118,60

10.428

24

1.549,92

1.445,64

104,28

8.983

25

1.549,92

4.460,10

89,83

7.522

26

1.549,92

1.474,70

75,22

6.048

27

1.549,92

1.489,45

60,48

4.558

28

1.549,92

1.504,34

45,58

3.054

29

1.549,92

1.519,38

30,54

1.535

30

1.549,92

1.534,58

15,35

0

Intereses 3

Fuente: elaboración propia

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2) Se solicita un préstamo por un valor de $ 300.000, el cual amortizará mediante cuotas anuales por espacio de ocho años. Determina el valor de las cuotas periódicas a conociendo que la tasa de interés de colocación es del 10%. Solución A= $ 300.000 n=8 i =0,10 R=?

Tabla de cálculo valor de la cuota y su composición:

Tabla 2 Período de pago 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total

Cuota anual --------------56233 56233 56233 56233 56233 56233 56233 56233 (+3) 449864

Interés sobre el Amortización saldo insoluto ----------------------------30.000 26233 27.377 28856 24.490 31742 21.317 34916 17.825 38408 13.985 42248 9.760 46473 5.112 51121 149.866 299.997 (+3)

Saldo insoluto 300.000 273,767 244,911 213169 178253 139845 97597 51124 (-3) 0.000000 -----------------

Fuente: elaboración propia.

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3) Se solicita un préstamo por $ 100.000, a pagar en 10 cuotas mensuales iguales, con una tasa de interés del 6%. Con capitalización mensual al 4° mes se hace un abono extraordinario de $ 10.000. Se pide confeccionar la tabla para amortizar la deuda en el mismo plazo. Solución

0,5%=0,005

Tabla 3 Período de pago 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

Cuota anual --------------10277 10277 10277 20277 8581 8581 8581 8581 8581 8581 102594

Interés sobre el Amortización saldo insoluto ----------------------------500 9777 451 9826 402 9875 353 19924 253 8328 211 8370 170 8411 128 8454 85 8496 43 8539 2594 100.000

Saldo 100.000 90223 80397 70522 50.598 42270 33900 25489 17035 8539 0.000.000 -------------

Fuente: elaboración propia.

Cálculo de la nueva renta para los 6 meses restantes:

8

Ejemplo con planilla de cálculo Excel Se solicita un préstamo por un capital de $ 100 a pagar en dos meses con un interés del 10% mensual, a ser pagado en cuotas iguales y consecutivas al final de cada período, utilizando el sistema de amortización francés. En las fórmulas de Amortización e Interés se utilizan referencias absolutas a las celdas $C$3 y $C$4 para que la fórmula sea válida para las demás filas.

Figura 2

Fuente: elaboración propia.

IMPORTE O CAPITAL PRESTADO en la celda C2 se ingresa "100" INTERÉS MENSUAL en la celda C3 "10%" MESES en la celda C4 "2" CUOTA Al contar con los datos de capital o importe solicitado del préstamo, los meses y el interés se pueden calcular en la celda C5 la cuota del préstamo con la función PAGO. Función PAGO Calcula el pago o cuota de un préstamo por el sistema francés considerando los pagos constantes y la tasa de interés constante. Sintaxis PAGO (tasa;nper;va;vf;tipo) Tasa: es la tasa de interés del préstamo

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Nper: es el número total de pagos del préstamo Va: es el valor actual. Si el argumento Va se omite, se asume que es cero (o el valor actual del préstamo es cero) Vf: es el valor futuro. Si el argumento Vf se omite, se asume que es 0 (o el valor futuro del préstamo es cero) Tipo: es un número 0 o 1 e indica el vencimiento de pagos: 0 al final del período, 1 al inicio del período Sustituyendo en la función general los datos disponibles: =-PAGO (C3;C4;C2). C3 es el interés mensual del préstamo (10%), C4 los meses (2) y C2 capital prestado o Importe solicitado ($ 100). El valor actual y futuro, se asume, son iguales a cero.

Figura 3

Fuente: elaboración propia.

Se completan los datos, fórmulas y funciones de la fila 8. MES en la celda A8 se ingresa "1" SALDO INICIAL B8 el saldo inicial del préstamo "100". En C8 se calculará la amortización, en D8 el interés y en E8 el Saldo Final que es igual al Saldo Inicial - Amortización. AMORTIZACIÓN es posible realizar los cálculos de las amortizaciones en Excel con la función PAGOPRIN. Función PAGOPRIN Calcula el pago sobre el capital de una inversión durante un período determinado, basándose en una tasa de interés constante y pagos periódicos constantes 10

Sintaxis PAGOPRIN (tasa;periodo;nper;va;vf;tipo) Tasa: es la tasa de interés del período Período: es el período para el que se desea calcular la amortización y deben estar entre 1 y el argumento nper Nper: es número total de pagos del préstamo Va: es el valor actual de una serie de pagos futuros. Si se omite, se asume que es igual a cero. Vf: es el valor futuro de una serie de pagos futuros. Si se omite, se asume que es igual a cero. Tipo: es un numero 0 o 1 e indica el vencimiento de pagos Tipo: 0 al final del período Tipo: 1 al inicio del período Sustituyendo los datos disponibles en la función: =-PAGOPRIN(C$3;A8;C$4;C$2) Donde C$3 es interés simple del préstamo (10%); A8 es el mes o período que se calcula; C$4 son los meses (2); y C$2 capital prestado o Importe solicitado, ($100). En el sistema francés, como la cuota es fija, se cuenta con otra forma de calcular la amortización, que consiste en restarle el interés de cada período a la cuota. El cálculo debe realizarse en cada período porque la amortización es variable. INTERÉS Para calcular en E8 los intereses del período 1, se utiliza la función PAGOINT. Función PAGOINT Calcula el interés pagado en un período especificado por una inversión basándose en una tasa de interés constante y pagos en períodos también constantes (sistema francés). Sintaxis PAGOINT(tasa;periodo;nper;va;vf;tipo) Tasa: es la tasa de interés del período Período: es el período para el que se desea calcular el interés y deben estar entre 1 y el argumento nper. Nper: es el número total de pagos del préstamo

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Va: es el valor actual de una serie de pagos futuros. Si se omite, se asume que es igual a cero. Vf: es el valor futuro de una serie de pagos futuros. Si se omite, se asume que es igual a cero. Tipo: es un numero 0 o 1 e indica el vencimiento de pagos (0 al final del período, 1 al inicio del período) C$3 es la referencia mixta a la celda donde se encuentra la tasa de interés a fin de poder copiar la fórmula a la fila 9. Sustituyendo en la función los datos = PAGOINT(C$3;A8;C$4;C$2) SALDO FINAL es el que se obtiene al final del período luego de pagar la amortización del capital y se calcula con la siguiente fórmula: =B8-C8 donde B8 es el saldo inicial y C8 es la amortización. Se ingresa en A9 el mes "2 " y se copian las fórmulas y funciones del rango A8:F8 en A9:F9. Nota: Los intereses se calculan sobre el saldo inicial del período. Al utilizar funciones financieras, es posible copiar las celdas desde el período 1 al n sin necesidad de realizar modificaciones. Verificación de los resultados Al trabajar con una planilla electrónica, siempre es conveniente verificar los resultados. Se realizarán algunas verificaciones en el cuadro elaborado. Debe cumplirse que: 1) Las cuotas multiplicadas por la cantidad de períodos es igual al total de amortizaciones más el total de intereses. 2) La cuota es igual en cada período a la amortización más el interés. 3) Total de amortizaciones es igual al capital prestado. 4) El saldo final del último período es nulo.

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Figura 4

Fuente: elaboración propia.

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Referencias Díaz Matta, A. y Aguilera Gómez V. M. (2007) Matemáticas financieras. (Cuarta edición). México: Mc. Graw Hill. Nappa, A. M. (2008) Introducción al cálculo financiero. Buenos Aires: Ediciones Temas UADE

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