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Sistemas Electrónicos de Control Curso 2013/2014-1

Tema 4. Control digital

Profesora: Rosa Mª Fernández-Cantí

Tema 4. Control digital

Contenido 1.

Control digital .......................................................................................................................................... 3 1.1 Transformada Z ................................................................................................................................. 3 1.1.1 Definición y propiedades .......................................................................................................... 3 1.1.2 Teorema del valor inicial (TVI) y teorema del valor final (TVF)............................................. 4 1.1.3 Solución de E (lineales y de coeficientes constantes) en el dominio z ................................... 4 1.2 Respuesta temporal de los sistemas discretos ................................................................................... 4 1.3 Respuesta frecuencial de los sistemas discretos................................................................................ 9 1.4 Métodos de discretización ............................................................................................................... 10 1.4.1 Aproximaciones numéricas (I). De la derivada ..................................................................... 11 1.4.2 Aproximaciones numéricas (II). De la integral...................................................................... 12 1.4.3 Transformación bilineal (I) ..................................................................................................... 13 1.4.4 Transformación bilineal (II). Prewarping .............................................................................. 13 1.4.5 Invariancia de la respuesta temporal (I). Impulsional............................................................ 14 1.4.6 Invariancia de la respuesta temporal (II). Indicial ................................................................. 15 1.4.7 Transformación directa (mapping) de ceros y polos finitos ................................................... 16 1.5 Discretización de reguladores PID ................................................................................................. 19 1.6 Análisis de controladores digitales ................................................................................................. 22 1.6.1 Lugar geométrico de las raíces ............................................................................................... 22 1.6.2 Análisis de estabilidad. Criterio de Jury ................................................................................ 24 1.7 Diseño de controladores digitales ................................................................................................... 26 1.7.1 Controlador dead beat............................................................................................................. 26 1.7.2 Controlador de Kalman .......................................................................................................... 27 1.7.3 Controlador de Dahlin ............................................................................................................ 29 1.8 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 30

2.

Control digital de 2 grados de libertad................................................................................................. 34 2.1 Controlador RST digital .................................................................................................................. 34 2.1.1 Configuración RST ................................................................................................................. 34 2.1.2 Funciones de sensibilidad ....................................................................................................... 36 2.2 Conformación de las funciones Syp y Sup ......................................................................................... 37 2.2.1 Propiedades de la función de sensibilidad de la salida Syp...................................................... 37 2.2.2 Propiedades de la función de sensibilidad de la entrada Sup ................................................... 42 2.2.3 Plantillas para las funciones de sensiblidad ............................................................................ 43 2.2.4 Descripción de la incertidumbre. Condiciones de estabilidad robusta................................... 44 2.2.5 Plantillas para el margen de módulo y de retardo en Syp ........................................................ 45 2.3 Control digital de dos grados de libertad ....................................................................................... 46 2.4 Fijación de polos (para seguimiento y regulación)......................................................................... 46 2.4.1 Formulación del problema ...................................................................................................... 47 2.4.2 Solución del problema ............................................................................................................ 47 2.4.3 Ejemplo .................................................................................................................................. 49 2.5 Seguimiento y regulación con objetivos independientes ................................................................. 50 2.5.1 Formulación del problema ...................................................................................................... 50 2.5.2 Solución del problema ............................................................................................................ 50 2.5.3 Ejemplos ................................................................................................................................. 52 2.6 Internal model control (IMC) .......................................................................................................... 55 2.6.1 Formulación del problema ...................................................................................................... 55 2.6.2 Solución del problema ............................................................................................................ 56 2.6.3 Ejemplo .................................................................................................................................. 58 2.7 Fijación de polos para conformar las funciones de sensibilidad .................................................... 60 2.7.1 Formulación del problema ...................................................................................................... 60 2.7.2 Solución del problema ............................................................................................................ 60 2.8 Ejercicio resuelto ............................................................................................................................ 61

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Tema 4. Control digital

1.

Control digital

Formas equivalentes de describir un sistema dinámico Todo filtro, controlador o sistema dinámico puede ser descrito de diversas maneras, cada una con sus ventajas propias pero equivalentes entre sí, siendo la de Ecuaciones de Estado (EE) la más general. Continuo Ecuación diferencial (ED) Función de transferencia H(s) Respuesta frecuencial H(j) Ecuaciones de estado en t, EE(t)

Discreto Ecuación en diferencias (E) Función de transferencia H(z) Respuesta frecuencial H(ej T) Ecuaciones de estado en n, EE(n) Tabla 1

1.1

Transformada Z

1.1.1

Definición y propiedades

En los sistemas discretos en el tiempo se usa la variable de tiempo discreto n en vez de la variable de tiempo continuo t y se utiliza la transformada Z en lugar de la transformada de Laplace. Notar las similitudes y diferencias entre ambas transformadas: La transformada Z se define como:



Unilátera: Y ( z )  Z  y ( n) 



 y(n) z

n

n 0



Bilátera: YII ( z )  Z II  y (n ) 



 y (n )z

n

n  

En cuanto a las propiedades, la relación entre un retardo en n y en el dominio transformado Z es:

z 1   ( n  1) siendo  la delta de Kronecker.

Filtro generador La función de transferencia H(z) del filtro generador de la señal y(n) = an es H ( z )  al

excitar

y( n)  Z

1

dicho

filtro

con

un

impulso

Y ( z)   Z H ( z)U ( z )   Z 1

1

u(n)

=  (n),

la

salida

del

z ya que, z a mismo

es

 z  n  z  a 1  a , n  0.  

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Tema 4. Control digital

Si a>1, este filtro presenta un polo inestable (exterior al círculo unitario centrado en el origen del plano z) de valor p = a.

1.1.2

Teorema del valor inicial (TVI) y teorema del valor final (TVF)

Sistemas discretos: TVI: y (1)  lim y (n )  lim(1  z 1)Y ( z )  limY ( z ) n1

z 

z 

TVF: y( )  lim y( n)  lim(1  z 1 ) Y ( z) n

1.1.3

z1

Solución de E  (lineales y de coeficientes constantes) en el dominio z

Dada la ecuación en diferencias (E):

y (n  3)  a1 y (n  2)  a 2 y (n  1)  a 3 y( n)  b1u ( n) , con las condiciones iniciales (CI): y (0) , y (1) , y ( 2) , la solución se obtiene a partir de los pasos siguientes: 1) Aplicar Z[ ] a ambos lados de la ecuación. 2) Despejar Y ( z )  3) Descomponer

N ( z) (función racional). D (z )

Y (z ) en suma de fracciones simples (de primer orden): z A1 A2 A3 Y (z )  z  z z . z  p3 z  p1 z  p2

3.1) Hallar los polos (raíces de D(z)): p1, p2, p3. 3.2) Hallar los residuos Ai  Y ( z)( z  p i ) z p . (Nota: si los polos son complejos, conviene i

determinar los residuos gráficamente a partir del diagrama de polos y ceros) 4) Aplicar Z-1[ ].

 zA 

1  A r n . 4.1) Polo real (p = r): Z    z  r

1

zA *   zA  2  A  r n  cos( n   A) ; ( p  r , p*  r    )    z  p z  p *

4.2) Polos complejos: Z  

1.2

Respuesta temporal de los sistemas discretos

La correspondencia entre los resultados para sistemas en tiempo continuo y sistemas en tiempo discreto es la siguiente:

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Tema 4. Control digital

Transformada Polo real p

Continuo (tiempo: t) Laplace, H(s)

Discreto (tiempo: n) Z, H(z)

1 s p

1 z  z  p 1  pz1 pn

Modo natural e pt asociado al polo real p Ganancia en H (0) continua Eje de Frecuencia:  rad/s frecuencias Eje imaginario del plano complejo, j Respuesta H ( s ) s j  H ( j ) frecuencial Región de estabilidad Teorema del valor final (TVF) Teorema del valor inicial (TVI) Constantes de error en régimen permanente

H (1) Frecuencia:  rad Círculo unitario (c.u.) centrado en el origen en el plano complejo

H ( z ) z e j  H ( ej  )

En sistemas muestreados:    Ts Semiplano izquierdo (SPI) del Interior del c.u. plano complejo

lim sY (s )

lim(1  z 1 )Y (z )

lim sY ( s )

lim(1  z 1 )Y ( z )

k p  lim L( s)

k p  lim L( z)

s0

z 1

s 

z

z 1

s0

k p  lim sL( s)

1 z  1 L( z) s 0 Ts

k p  lim

s0

k a  lim s 2 L(s ) s0

 1 z   lim

1 2

ka

s 0

Ts 2

L( z)

Tabla 2 En sistemas muestreados, la relación de frecuencias es    Ts , donde  es la frecuencia del sistema discreto/muestreado (en rad),  es la frecuencia del sistema analógico y Ts es el periodo de muestreo. Notar que la relación exacta entre los planos s y z en sistemas muestreados es

z  e sTs

s

,

1 ln z Ts

Transformada Z directa y región de convergencia (ROC) Dadas las muestras de la respuesta impulsional h(n) de un sistema., su transformada Z (unilátera) es:

H ( z)  Z h( n ) 



 h( n ) z

n

n 0

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Tema 4. Control digital

Transformada básica Dada la señal u( n )  a n , n  0 , su transformada Z es 

U ( z)  Z u( n)    a z n

n0

n



  az n 0



1 n

1  az 1  1  si az 1  1   1 1  az 1 1  az 





1 La condición az   1 (o equivalentemente z  a ), necesaria para que la transformada tenga una

expresión cerrada, define la llamada región de convergencia (ROC, region of convergence). Para el análisis de estabilidad nos fijamos en el círculo unitario z  1 puesto que 

si a  1 la señal a n crece fuertemente con el tiempo n (inestabilidad)



si a  1 la amplitud de la señal a n se mantiene constante con el tiempo n (oscilación



sostenida) si a  1 la señal a n decrece con el tiempo n (estabilidad)

Por ello se dice también que un modo natural asociado al polo de un sistema es estable si su ROC incluye al c.u.

Tabla de transformadas Z Modo natural

 

z a za Escalón unitario 1 z Z 1n   1 1n z1 1 z Rampa unitaria z 2 n (muestreo a Ts) Ts  z  1 n

Z an 

 

Tabla 3 Ejemplo 1. Transformada Z directa. Hallar la transformada Z unilátera de u ( n)  cos( n). Puesto que u (n )  cos( n) 

e

j n

 e  j n podemos calcular su transformada como 2 1 z z  U ( z)     j 2 ze z  e j 

Agrupando términos,

U ( z) 

z z  e j  z  e j z( z  cos  )  2 j  j 2 2 z  z( e  e )  1 z  2 z cos   1

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Tema 4. Control digital

Transformada Z inversa Cada factor z-1 puede interpretarse como una delta de Kronecker decalada una muestra (Nota: la delta de Kronecker  (n) vale 1 en n=0 y vale 0 para el resto de valores de n). Por ejemplo, la transformada Z inversa de la señal

z  1.2z  0.64  z  1  1.2z  0.64 2 z es, directamente, y (n )   ( n  1)  1.2 (n  1)  0.64 (n ) Y (z ) 

También es posible obtener la respuesta a partir de las transformadas inversas de cada uno de los modos naturales. Por ejemplo,

Y (z ) 

z 2z 2  4z 2 z( z  2)  2  2 z  3z  2 (z  2)(z  1) z 1

y (n )  2  (1)n

, n 0

Notar además que la división del numerador entre el denominador de Y(z) nos da las muestras en tiempo:

2 z2  (2 z 2 0

z2  4z  6 z  4) 2 4 2z  (2 z  6  4 z 1 )  4 z 1 0 2

 3z 2 1  2z  2 z 2

 ...

Cálculo de residuos En casos más complicados se procede igual que en tiempo continuo (descomposición en suma de fracciones simples y cálculo de residuos). Las fórmulas para el cálculo de residuos son análogas al caso continuo, A  Y ( z )

( z  1) z

. z 1

Ejemplo 2. Transformada Z inversa vía cálculo de residuos. Vamos a obtener la transformada inversa de Y (z ) 

z(3 z  0.6) . Puesto que no es estrictamente propia, dividimos el numerador z  0.8z  0.2 2

entre el denominador y obtenemos:

Y (z ) 

z (3z  0.6) 1.8z  0.6  3 2 z  0.8 z  0.2 z  0.8 z  0.2 2

Y ahora realizamos la descomposición en suma de fracciones simples del término estrictamente propio:

Az Bz 1.8z  0.6   z  0.8 z  0.2 z  1 z  2 2

Los residuos son:

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Tema 4. Control digital

A

B

1.8 z  0.6 ( z  1) ( z 1)( z  0.2) z

 z 1

1.8  0.6 2.4  2 1.2 1.2

1.8 z  0.6 ( z  0.2)  0.36  0.6 0.24   1 ( z 1)( z  0.2) ( 1.2)( 0.2) 0.24 z z 0.2

Por tanto, la señal en el dominio temporal es: n n y (n )  2(1)  ( 0.2)  3 (n) , n  0

Teoremas del valor inicial y final Para el señal Y (z )  TVF: TVI:

2z , tenemos: (z  1)

(z  1) 2z 2 z ( z  1) (z  1) 2z y(0)  lim(1  z1 ) Y ( z)  lim 2 z  z  z ( z  1)

y( )  lim(1  z 1) Y ( z)  lim z 1

z 1

Representación de la respuesta indicial con MATLAB Considerar el sistema

H ( z) 

z  0.6 z  z  0.29 2

Para obtener su respuesta indicial, se puede usar dstep: >> dstep([1 -0.6],[1 -1 0.29])

O bien, se puede usar step >> H=tf([1 -0.6],[1 -1 0.29],1) Transfer function: z - 0.6 -------------z^2 - z + 0.29 Sampling time: 1 >> step(H)

El resultado es:

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Step Response 1.6

1.4

1.2

Amplitude

1

0.8

0.6 0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (sec)

Fig. 1 A continuación, verificamos el valor inicial y el valor final de la anterior respuesta indicial: (z )  H   z  0.6 z ( z  1) 1 0 y(0)  lim (1  z )Y ( z )  lim 2 z z  0. 29    z  z  z z 1 Y (z )

H ( z)

     z z z ( 1 ) 0 . 6 1  0.6 0.4 1   1.379  y ( )  lim(1  z  )Y ( z )  lim 2 z 1 z1 0.29 1 1  1  0.29 0.29    z z  z  z  Y( z)

1.3

Respuesta frecuencial de los sistemas discretos

La respuesta frecuencial en un sistema discreto es H (z )z e j   H (e

j

), donde  es la frecuencia

discreta (en rad). En los sistemas muestreados, la frecuencia discreta es   T s, donde  es la frecuencia angular continua (en rad/s) y Ts es el periodo de muestreo (en s). Obtención punto a punto Se procede igual que en el caso de los sistemas continuos en el tiempo. Por ejemplo, considerar el siguiente sistema junto con su diagrama de polos y ceros: Im

z  0.5 H( z)  2 z  z  0.5

p1

1

p2

2

1

 z

Re

Fig. 2

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La siguiente tabla muestra los valores de la respuesta frecuencial.

 0

  

H 



0.5

 0.5  1.5  2

2

2

H  0º

 0.2

H  18.9º

H  0.35

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