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Sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas (x, y, z)
Coordenadas cilíndricas (ρ, ϕ, z)
Coordenadas esféricas (r, θ, ϕ)...

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Sistemas de coordenadas

Física General I

Sistemas de coordenadas Para localizar un punto P en el espacio, las coordenadas más utilizadas son las cartesianas, pero existen otros sistemas de coordenadas cuyo uso simplifica el tratamiento de algunos problemas. Definiremos en primer lugar el sistema de coordenadas cartesianas y a continuación las coordenadas cilíndricas y esféricas, y daremos, en cada sistema de referencia, las expresiones de las cantidades diferenciales y de los operadores vectoriales usuales.

Coordenadas cartesianas (x, y, z)

Las coordenadas cartesianas (x, y, z) son las distancias de la proyección ortogonal del punto P, medidas desde el origen O a lo largo de los tres ejes del sistema cartesiano. La base vectorial cartesiana es fija para cualquier punto P del espacio y constituye un triedro directo:

{

}

(

Bcartesiana = iˆ, ˆj , kˆ ,

)

ˆi ⋅ ˆj × kˆ = 1

Coordenadas cartesianas

Elemento diferencial de volumen

d = ( dx) + ( dy) + ( dz )  dr = dx ˆi + dy ˆj + dz kˆ  dS = dy dzˆi + dxdz ˆj + dx dy kˆ dV = dx dy dz

Gradiente del escalar φ

∇φ =

Elemento diferencial de línea Elemento diferencial de posición Elemento diferencial de superficie

Divergencia del vector

Rotacional del vector

 A

 A

Laplaciano del escalar φ Laplaciano del vector

 A

2

2

2

∂φ ˆ ∂φ ˆ ∂φ ˆ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

 ∂A ∂Ay ∂Az ∇ ⋅ A= x + + ∂x ∂y ∂z ˆj iˆ kˆ  ∂ ∇×A = ∂x Ax

∂ ∂y Ay

∂ ∂z Az

∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2    ∇2 A = ∇( ∇ ⋅ A) − ∇ ×( ∇ × A) ∇2φ =

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Sistemas de coordenadas

Física General I

Coordenadas cilíndricas ( ρ, ϕ, z) Adecuadas en situaciones con simetría cilíndrica. Para puntos contenidos en un mismo plano XY (z = cte), el sistema de coordenadas cilíndricas se reduce a un sistema bidimensional que se denomina sistema de coordenadas polares planas.

Coordenada radial ρ (≥0): es la distancia desde el origen O hasta la proyección ortogonal P’ del punto P sobre el plano XY. Es simplemente la distancia del punto P al eje Z. Coordenada acimutal ϕ ( ∈[ 0, 2π ] ) : es el ángulo entre el eje X positivo y la recta OP’, medido en sentido contrario a las agujas del reloj (desde el eje X positivo). Coordenada vertical z: es la coordenada z del sistema cartesiano.

La base vectorial cilíndrica cambia con el punto P ( ρˆ y ϕˆ cambian con la coordenada ϕ, por lo que no se pueden asumir como constantes en operaciones de derivación, integración o transformación de coordenadas que los involucren) y constituye un triedro directo: = ρˆ,ϕˆ ,kˆ , ρˆ ⋅ ϕˆ × kˆ = 1 B cilíndrica

{

}

(

)

Las ecuaciones de transformación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas son: ρ = x 2 + y 2  y   ϕ = arctan   x   z = z  La matriz de cambio de base de cartesianas a cilíndricas es: x y   2 2 2 x + y2  cosϕ senϕ 0  x + y    S car →cil =  −sen ϕ cos ϕ 0  = y x −  0  2 2 2 0 1  x +y x + y2   0 0  x = ρ cos ϕ  y = ρ senϕ  z = z

 0   0   1

Es decir, identificando filas y columnas:

ρˆ = cosϕ ˆi + senϕ ˆj  ϕˆ = −sen ϕ ˆi + cos ϕ ˆj ˆ = ˆ k k

x y ˆ ρˆ − ϕˆ = cos ϕρˆ − senϕϕˆ i = 2 2 2 2 + + x y x y   y x  ˆj = ρˆ + ϕˆ = senϕρˆ + cos ϕϕˆ  2 2 + y2 + y2 x x  kˆ = kˆ 

2

Sistemas de coordenadas

Física General I

Coordenadas cilíndricas

Elemento diferencial de volumen

d = ( d ρ ) + ( ρ dϕ ) + ( dz )  dr = d ρ ρˆ + ρ d ϕϕˆ + dz kˆ  dS = ρ dϕ dz ρˆ + d ρ dz ϕˆ + ρ d ρ d ϕkˆ dV = ρ d ρ dϕ dz

Gradiente del escalar φ

∇φ =

2

Elemento diferencial de línea Elemento diferencial de posición Elemento diferencial de superficie

Divergencia del vector

Rotacional del vector

2

2

1 ∂φ ∂φ ∂φ ρˆ + ϕˆ + kˆ ρ ∂ϕ ∂ρ ∂z

 1 ∂ ( ρ Aρ ) 1 ∂ Aϕ ∂ Az ∇⋅ A= + + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ˆρ ρϕˆ kˆ

 A

 1 ∂ ∇×A = ρ ∂ρ Aρ

 A

∇2φ =

Laplaciano del escalar φ

∂ ∂ϕ ρAϕ

1 ∂  ∂φ ρ ρ ∂ρ  ∂ρ

∂ ∂z Az

 1 ∂ 2φ ∂ 2φ  + ρ 2 ∂ϕ2 + ∂ 2 z 

Coordenadas esféricas (r, θ , ϕ ) Adecuadas en situaciones con simetría esférica.

Coordenada radial r (≥0): es la distancia desde el origen O hasta el punto P. Coordenada cenital θ ( ∈[ 0, π ] ) : es el ángulo entre el eje Z positivo y la recta OP, medido en sentido de las agujas del reloj (desde el eje Z positivo). Coordenada acimutal ϕ ( ∈[ 0, 2π ] ) : es el ángulo entre el eje X positivo y la recta OP’, medido en sentido contrario a las agujas del reloj (desde el eje X positivo).

La base vectorial esférica cambia con el punto P ( rˆ, θˆ y ϕˆ cambian con la coordenada θ y con la ϕ, por lo que no se pueden asumir como constantes en operaciones de derivación, integración o transformación de coordenadas que los involucren) y constituye un triedro directo: = rˆ,θˆ,ϕˆ , B rˆ ⋅ θˆ × ϕˆ = 1 esférica

{

}

(

)

Las ecuaciones de transformación entre coordenadas cartesianas y esféricas son: x = r senθ cosϕ  y = r senθ senϕ z = r cosθ 

r = x 2 + y 2 + z 2    z θ = arccos   x2 + y2 + z2     y ϕ = arctan  x  

   

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Sistemas de coordenadas

Física General I

La matriz de cambio de base de cartesianas a esféricas es: x   2 2 2 + x y +z   senθ cosϕ senθ senϕ cosθ   z x S car→ esf =  cosθ cosϕ cosθ senϕ − senθ  =   x2 + y2 + z2 x2 + y 2  cos ϕ 0    −sen ϕ y  −  2 2 x +y  Es decir, identificando filas y columnas: ˆr = sen θ cos ϕ iˆ + sen θ sen ϕ ˆj + cos θ kˆ  θˆ = cosθ cosϕ ˆi + cosθ senϕ ˆj − senθ kˆ ˆ ˆ ˆ ϕ = −sen ϕ i + cos ϕ j

y 2 2 x +y +z 2

z

y

x +y +z x 2

2

2

x + y2 2

2 2 x +y

z  2 2  + + x y z   x2 + y2  − x2 + y2 + z2    0   2

 x z x y ˆi rˆ + θˆ − ϕˆ = senθ cos ϕ rˆ + cosθ cosϕθˆ − senϕϕˆ  = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + x y z x y z x y x y   y z y x rˆ+ θˆ + ϕˆ = se nθ senϕ rˆ + cosθ senϕθˆ + cosϕϕˆ  jˆ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + x y z x y z x y x y   x2 + y2 z ˆ θˆ = cos θrˆ − senθθˆ rˆ − k = 2 2 2 2 2 2 x +y +z x +y +z  Coordenadas esféricas

Elemento diferencial de superficie

d = ( dr ) + ( r d θ ) + ( r sen θ d ϕ)  dr = dr rˆ + r dθ θˆ + r senθ dϕ ϕˆ  dS = r 2senθ dϕ dθ rˆ + r senθ dr dϕ θˆ + r dr dθ ϕˆ

Elemento diferencial de volumen

dV = r 2senθ dr dθ dϕ

Gradiente del escalar φ

∇φ =

Elemento diferencial de línea Elemento diferencial de posición

Divergencia del vector

Rotacional del vector

 A

Laplaciano del escalar φ

 A

2

2

2

1 ∂φ ˆ 1 ∂φ ∂φ θ+ ϕˆ rˆ + ∂ρ r ∂θ r sen θ ∂ϕ

 1 ∂ 2 ∂Aϕ  1  ∂ ∇ ⋅ A= 2 r Ar )+ (  ( Aθ sen θ ) +  r ∂ρ r senθ  ∂θ ∂ϕ  rˆ r θˆ r senθ ϕˆ  ∇ ×A =

∇2φ =

∂ 1 r sen θ ∂r Ar 2

∂ ∂θ r Aθ

∂ ∂ϕ r sen θ Aϕ

1 ∂  2 ∂φ  1 ∂  ∂φ  sen θ r + ∂θ r 2 ∂r  ∂r  r 2 senθ ∂θ 

1 ∂ 2φ  +  2  r senθ ∂ϕ 2

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