TEMA 3 Sistemas DE Coordenadas Lineales PDF

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GEOMETRÍA TÉCNICAS

SISTEMAS DE COORDENADAS LINEALES Y RECTANGULARES, LA RECTA Y LAS CÓNICAS MATEMÁTICAS CIENCIAS EXACTAS

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 3

ÍNDICE Pág. 3. TEMA 3

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3.1 Sistemas de coordenadas lineales 3.2 Segmentos rectilíneos dirigidos 3.3 Sistema coordenado rectangular 3.4 Distancia entre dos puntos 3.5 Área de triángulos 3.6 División de un segmento en una razón dada 3.7 Pendiente de una recta 3.8 Paralelismo y perpendicularidad 3.9 Ángulo entre dos rectas

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Recursos complementarios / Videos

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Bibliografía Actividades de aprendizaje autónomo

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Tema # 3

Las coordenadas son puntos representados en el plano cartesiano que describen una posición, estos puntos son dados en relación al eje X (abscisas) y al eje Y (ordenadas). Un sistema coordenado lineal, no es más que el establecimiento de una correspondencia uno a uno, entre los puntos de la línea recta y los números reales. (Iñiguez, 2020)

En la figura se puede observar que se ha colocado el punto O, el cual representa el punto 0, a la derecha de este punto se colocan los números positivos y a la izquierda se colocan los números negativos, por ejemplo el punto X1 toma un valor de 2. En este caso se puede definir como coordenada del punto, al número real representado que indica la distancia dirigida que hay desde el cero al punto, el sentido positivo de la recta es universal y se lo toma de izquierda a derecha. Para determinar la magnitud entre dos puntos definidos se debe aplicar el siguiente teorema:  En un sistema coordenado lineal, la magnitud de un segmento dirigido que une dos puntos dados, se obtiene, restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo.

|P1P2| = |P2P1| = |X1 − X2| = |X2 − X1|

Ejemplo: Dados los puntos A(-7) y B(2); determinar la magnitud del segmento dirigido BA. |฀฀฀฀| = |฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ |

|฀฀฀฀| = |−7 − 2|

|฀฀฀฀| = |−9| = 9

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Una recta dirigida es una recta en la cual una dirección se escoge como positiva y la dirección opuesta como negativa. Un segmento de la recta, formado por dos puntos cualesquiera y la parte entre ellos, se llama segmento de recta dirigido. El sentido de un segmento dirigido se indica escribiendo primero el origen y luego el extremo.

A diferencia de la geometría plana en la geometría analítica el segmento además de tener magnitud también tiene dirección. A la longitud con signo, se la denomina magnitud del segmento, y la designamos por AB. La longitud del segmento es igual al valor absoluto de su magnitud. ฀฀฀฀ = |฀฀฀฀|

Si los puntos del segmento coinciden, diremos que el segmento AB es nulo, ya que su magnitud es igual a cero. Los segmentos dirigidos siguen el siguiente teorema:  Si A, B Y C son tres puntos de una recta dirigida, entonces la distancia dirigida determinada por estos puntos satisface las ecuaciones:

Ejercicios resueltos:

฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀

1. El punto medio de un segmento dirigido tiene por coordenadas (-3), si el segmento tiene 8 unidades de longitud, hallar las coordenadas de los extremos. El punto B divide al segmento en dos partes iguales por lo tanto: ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ = 4

฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ → 4 = −3 − ฀฀฀฀ → ฀฀฀฀ = −7

฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ → 4 = ฀฀฀฀ − (−3) → ฀฀฀฀ = 1

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2. Uno de los extremos del segmento dirigido, está en el punto de coordenada (-3). Si su punto medio tiene por coordenada 5, hallar la coordenada del otro extremo. El punto B divide al segmento en dos partes iguales por lo tanto: ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀

฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ → ฀฀฀฀ = 5 − (−3) → ฀฀฀฀ = 8

฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ → 8 = ฀฀฀฀ − (5) → ฀฀฀฀ = 13

3. Un segmento vertical dirigido se divide en tres partes iguales, las coordenadas de trisección son (-2) y (4). Calcular las coordenadas de los extremos. Los puntos de trisección dividen al segmento en tres partes iguales por lo tanto: ฀฀฀฀ = 4 & ฀฀฀฀ = −2

฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ → ฀฀฀฀ = 4 − (−2) → ฀฀฀฀ = 6 ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀

฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ → 6 = −2 − ฀฀฀฀ → ฀฀฀฀ = −8

฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ → 6 = ฀฀฀฀ − 4 → ฀฀฀฀ = 10

El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) es un objeto matemático formado por dos rectas perpendiculares trazadas sobre un plano llamadas "ejes", la recta horizontal es el eje X, la recta vertical es el eje Y. El plano queda dividido en cuatro partes llamados cuadrantes.

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Las coordenadas de un punto, será entonces, pares ordenados de la forma (X, Y) en los cuales X es la distancia dirigida del eje Y al punto, la cual toma el nombre de abscisa, de la misma manera Y es la distancia dirigida del eje X al punto y se denomina ordenada. Para graficar puntos en este sistema podemos seguir los siguientes pasos: Escoger la escala en la cual se pretende graficar los puntos. Medir sobre el eje X (abscisas) las unidades que se indiquen ya sean positivas o negativas. Medir sobre el eje Y (ordenadas) las unidades que se indiquen ya sean positivas o negativas. Trazamos paralelas del eje X e Y desde el punto que se midió en los apartados anteriores hasta que se crucen.  El corte es el punto deseado.

   

Ejercicios resueltos: 1. Grafique los siguientes puntos: A(1, 5); B(-5, -2); C(-4, 3); D(3, -3)

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La distancia entre dos puntos cualesquiera, o la longitud del segmento de recta que los une, se pueden calcular a partir de las coordenadas de los puntos. Un segmento de recta (o una recta) se clasificará como horizontal, vertical o inclinado dependiendo de si el segmento es paralelo al eje x, al eje y o a ningún eje. En vista de que a menudo se requieren las longitudes de los segmentos, sin importar su dirección, se enuncia una regla que da resultados en cantidades positivas.  La longitud de un segmento de recta horizontal que une dos puntos es la abscisa del punto de la derecha menos la abscisa del punto de la izquierda.  La longitud de un segmento de recta vertical que une dos puntos es la ordenada del punto superior menos la ordenada del punto inferior.

Para encontrar la distancia entre dos puntos, se suma el cuadrado de la diferencia de las abscisas con el cuadrado de la diferencia de las ordenadas y se obtiene la raíz cuadrada

Ejercicios resueltos:

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ = �(฀฀฀฀ − ฀฀฀฀)฀ ฀ + (฀฀฀฀ − ฀฀฀฀)฀฀

1. Halle el perímetro del triángulo, cuyos vértices son: A(-3, -4); B(2, 5); C(3, -2) El perímetro se calcula sumado la longitud de los lados entonces: ฀ ฀ = ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀

฀฀฀฀ = �(฀฀2 − ฀฀1)2 + (฀฀2 − ฀฀1)2 = �(−3 − 2)2 + (−4 − 5)2 = 10,29 ฀฀฀฀ = �(฀฀2 − ฀฀1)2 + (฀฀2 − ฀฀1)2 = �(2 − 3)2 + (5 + 2)2 = 7,07

฀฀฀฀ = �(฀฀2 − ฀฀1)2 + (฀฀2 − ฀฀1)2 = �(−3 − 3)2 + (−4 + 2)2 = 6,32

฀ ฀ = ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ = 10,29 + 7,07 + 6,32 = 23,68 ฀฀

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2. Determine las coordenadas de un punto perteneciente al eje X, que se caracteriza por ser equidistante de los puntos A (3, -2) y B (-7, 4). El punto se encuentra en el eje X por lo tanto su ordenada es 0 C(x, 0) El punto C equidista por lo cual BC = AC

฀฀฀฀ = �(฀฀2 − ฀฀1)2 + (฀฀2 − ฀฀1)2 = �(฀ ฀ + 7)2 + (0 − 4)2 ฀฀฀฀ = �(฀฀2 − ฀฀1)2 + (฀฀2 − ฀฀1)2 = �(฀฀ − 3)2 + (0 + 2)2 Al ser las distancias iguales igualamos:

�(฀ ฀ + 7)2 + (0 − 4)2 = �(฀฀ − 3)2 + (0 + 2)2

�฀฀ 2 + 14฀ ฀ + 65 = �฀฀ 2 − 6฀ ฀ + 13

฀฀ 2 + 14฀ ฀ + 65 = ฀฀ 2 − 6฀ ฀ + 13 13 13 ฀฀=− → ฀฀(− , 0) 5 5

3. Dibuje el triángulo que tiene los siguientes vértices A(6, 2); B(2, -3); C(-2, 2). Determine si el triángulo es isósceles. El triángulo isósceles tiene 2 lados iguales y uno desigual por lo tanto vamos a determinar la longitud de los lados: ฀฀฀฀ = �(฀฀2 − ฀฀1)2 + (฀฀2 − ฀฀1)2 = �(2 − 6)2 + (−3 − 2)2 = 6,40

฀฀฀฀ = �(฀฀2 − ฀฀1)2 + (฀฀2 − ฀฀1)2 = �(−2 − 6)2 + (2 − 2)2 = 8

฀฀฀฀ = �(฀฀2 − ฀฀1)2 + (฀฀2 − ฀฀1)2 = �(−2 − 2)2 + (2 + 3)2 = 6,40

฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀á฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ó฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀.

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Existen varios métodos para obtener el área de un triángulo, en esta ocasión se aprenderá a calcular el área por las coordenadas de los vértices, para la aplicación se debe tomar en cuenta el siguiente teorema.  El área de un triángulo que tiene por vértices los puntos P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3), está dada por el determinante:

฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀ ฀ ฀ = �฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀� ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀ Desarrollando el determinante se obtiene la siguiente expresión:

Operando:

฀฀ ฀ ฀ = [฀฀฀฀฀฀฀฀ + ฀฀฀฀฀฀฀฀ + ฀฀฀฀฀฀฀฀ − ฀฀฀฀฀฀฀฀ − ฀฀฀฀฀฀฀฀ − ฀฀฀฀฀฀฀฀] ฀฀

฀฀ ฀ ฀ = [(฀฀฀฀ + ฀฀฀฀)(฀฀฀฀ − ฀฀฀฀) + (฀฀฀฀ + ฀฀฀฀)(฀฀฀฀ − ฀฀฀฀) − (฀฀฀฀ + ฀฀฀฀)(฀฀฀฀ − ฀฀฀฀)] ฀฀ El área del triángulo puede ser positivo o negativo, esto depende del sentido y del orden que se tomen los vértices, para evitar errores se debe tomar los vértices en sentido antihorario es decir de derecha a izquierda, así las áreas obtenidas siempre serán positivas, por lo que no tomaremos el valor absoluto del determinante. Ejercicios resueltos: 1. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3,5); B(-4,3) y C(-6.-5), calcular su área. Para calcular el área tomamos el punto A como inicial en sentido antihorario:

฀฀1 ฀฀1 ฀฀2 ฀฀ ฀฀3 ฀฀3 5 1 3 � ฀ ฀ = −4 3 2 −6 −5 1 =2 �฀฀2

2

1 1� 1 1 1� ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀: 1

1 ฀ ฀ = [9 − 30 + 20 + 18 + 15 + 20] 2

฀ ฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀

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Para calcular el área tomamos el punto C(x, 0) como inicial en sentido anti horario:

฀฀1 ฀฀1 1 1 ฀ ฀ = �฀฀2 ฀฀2 1� 2 ฀฀3 ฀฀3 1 1 ฀ ฀ 0 1 ฀ ฀ = �2 1 1� ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀: 2 1 −3 1

1 ฀ ฀ = [฀฀ − 6 − 1 + 3฀฀ ] 2

4฀฀ − 7 = 6

฀฀=

13 13 → ฀฀( , 0) 4 4

3. Dos de los tres vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(-1; 1), B(3; 1), hallar las coordenadas del tercer vértice y su área. Para este ejercicio se tiene 2 soluciones posibles ya que el triángulo se pude desarrollar como se muestra en la figura ฀฀฀฀ = �(฀฀2 − ฀฀ 1)2 + (฀฀2 − ฀฀1)2 = �(3 + 1)2 + (1 − 1)2 = 4

฀฀฀฀ = �(฀฀2 − ฀฀1)2 + (฀฀2 − ฀฀1)2 = �(฀ ฀ + 1)2 + (฀฀ − 1)2 = 4 ฀฀฀฀ = �(฀฀2 − ฀฀1)2 + (฀฀2 − ฀฀1)2 = �(฀฀ − 3)2 + (฀฀ − 1)2 = 4

Igualamos AD = BD

�(฀ ฀ + 1)2 + (฀฀ − 1)2 = �(฀฀ − 3)2 + (฀฀ − 1)2

Resolviendo:

(฀ ฀ + 1)2 + (฀฀ − 1)2 = (฀฀ − 3)2 + (฀฀ − 1)2 −6฀ ฀ + 9 = 2฀ ฀ + 1 → ฀฀ = 1

Remplazamos X en AD

�(1 + 1)2 + (฀฀ − 1)2 = 4 ฀฀ 2 − 2฀฀ − 11 = 0 Resolviendo: ฀฀=

−฀฀ ± √฀฀ 2 − 4฀฀฀฀ 2฀ ฀

2 ± �(−2)2 − 4(−11) 2฀ ฀ ฀ ฀ = 4,5 & ฀ ฀ = −2,35

฀฀=

Para calcular el área tomamos el punto B como inicial:

฀฀1 ฀฀1 1 1 ฀ ฀ =2 �฀฀2 ฀฀2 1� ฀฀3 ฀฀3 1 1 1 1 3 ฀ ฀ = � 1 4,5 1� ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀: 2 −1 1 1

1 ฀ ฀ = [13,5 + 1 − 1 + 4,5 − 1 − 3] 2 2 ฀ ฀ = 7 ฀฀

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El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas. En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos. Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, AP y PB, están en la relación r:

Principios fundamentales:

฀฀฀฀ ฀฀= ฀฀฀฀

 El punto que causa la división de un segmento, debe ser interior o exterior a éste. Si es exterior, pertenecerá a la prolongación del segmento.  El número r no depende del modo en que se ha tomado la dirección positiva de la recta L.  El número r no depende de la unidad elegida para la medida de las longitudes de los segmentos definidos.  Si los segmentos tienen la misma dirección, la razón definida por la proporción es positiva, si son de sentidos contrarios, es negativa.  Si el punto P, se aproxima al punto A, el número r se aproxima a cero; si el punto P, coincide con A, la razón vale cero.  Si el punto P, se aproxima al punto B, el número r, crece indefinidamente o tiende al infinito si P coincide con el punto B, decimos que la razón es infinita.  Si el sentido del segmento a ser dividido está definido existe una única forma de hacerlo, pero si este no está definido, se puede ubicar de dos maneras diferentes.

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Como se mencionó, antes se busca en determinar las coordenadas del punto P desconocido, para ello se aplica el siguiente teorema. ฀฀฀฀

 Si el punto P(Xp, Yp) divide al segmento AB en la razón dada: ฀ ฀ = , sus coordenadas están ฀฀฀฀ definidas por:

Ejercicios resueltos:

฀฀฀ ฀ =

฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀฀฀ ; ฀฀฀ ฀ = ; ฀฀ ≠ −฀฀ ฀฀+฀ ฀ ฀฀+฀ ฀

1. Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento A(8, 2) y B(-5, 7) en la razón r = 3/4. Para hallar los puntos en la razón dada se utiliza las ecuaciones vistas anteriormente. 3 17 ฀฀1 + ฀฀฀฀2 8 + 4 (−5) = = ฀฀฀ ฀ = 3 7 1+฀ ฀ 1+ 4 3 ฀฀1 + ฀฀฀฀2 2 + 4 × 7 29 = = ฀฀฀ ฀ = 3 7 1+฀ ฀ 1+ 4 29 17 , ) ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀( 7 7 2. Dados los puntos: A(1, 1); B(7, 4); hallar en la recta los puntos que determinan P, si se encuentra entre A y B, y esta dos veces más cercano al punto A que al punto B Se grafican los puntos de tal manera que la distancia de AP = 1, y la distancia de PB = 2 entonces se tiene las siguientes razones: 1 ฀฀฀฀ 2 ฀฀฀฀ = ฀฀ = ฀฀฀฀ 2 ฀฀฀฀ 1 ฀฀1 + ฀฀฀฀2 7 + 2(1) = = 3 ฀฀฀ ฀ = 1+฀ ฀ 1+2 ฀฀1 + ฀฀฀฀2 4 + 2(1) = =2 ฀฀฀ ฀ = 1+฀ ฀ 1+2

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀(3, 2)

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Se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal (la tangente inversa del valor de la pendiente "m" es el ángulo en grados o radianes).

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2), dos puntos de una recta, no paralela al eje Y como muestra la figura.

La pendiente m de una recta que pasa por dos puntos dados P1 y P2 es igual a la diferencia de las ordenadas dividida entre la diferencia de las abscisas tomadas en el mismo orden; esto es, ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ ฀฀= ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje X positivo m = tan(α).  Si la pendiente (m) es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva.  Si la pendiente es menor que 0 se dice que la pendiente es negativa.  Si la pendiente es igual a 0 la recta es paralela al eje (X) del plano cartesiano

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 Si la pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (Y) del plano cartesiano Ejercicios resueltos: 1. Halla la pendiente de la recta y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A(3, 2) y B(-4, -1) Se grafican los puntos dados y se calcula la pendiente: ฀฀2 − ฀฀1 −1 − 2 3 = ฀฀= = ฀฀2 − ฀฀1 −4 − 3 7 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ á฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀:

3 ฀ ฀ = tan(฀฀) = 7

3 ฀ ฀ = arctan � � = 23,2° 7 2. Dado los puntos A (-1, -1), B (5, 0), C (4, 3), D (-2, 2) demuestre que los puntos dados forman un paralelogramo. Se grafican los puntos dados y se calcula la pendiente: ฀฀2 − ฀฀1 0 + 1 1 = = ฀฀฀฀฀฀ = ฀฀2 − ฀฀1 5 + 1 6 ฀฀2 − ฀฀1 3 − 0 ฀฀฀฀฀฀ = = = −3 ฀฀2 − ฀฀1 4 − 5 1 ฀฀2 − ฀฀1 2−3 = ฀฀฀฀฀฀ = = ฀฀2 − ฀฀1 −2 − 4 6 ฀฀2 − ฀฀1 −1 − 2 ฀฀฀฀฀฀ = = = −3 ฀฀2 − ฀฀1 −1 + 2 Es un paralelogramo ya que sus pendientes opuestas son iguales. 3. ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos (5, 5) y (4, 2)? Se grafican los puntos dados y se calcula la pendiente: ฀฀2 − ฀฀1 5 − 2 ฀฀= = 3 = ฀฀2 − ฀฀1 5 − 4 La pendiente es 3

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Si dos rectas son paralelas, el ángulo que forman entre ellas es de 0º o de 180º, según que sus direcciones sean iguales u opuestas, en ambos casos la tangente de estos ángulos vale cero, por lo que: ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ =0 1 + ฀฀฀฀฀฀฀฀ Para que se cumpla el numerador debe valer 0 por lo tanto:

฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ = 0 ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀

La condición necesaria y suficiente, para que dos rectas sean paralelas, es que sus pendientes sean iguales. Si las rectas son perpendiculares, el ángulo formado por ellas es de 90º, como la tan(90º) no está definida, se debe usar su expresión racional que es: 1/ctg: 1 + ฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀฀฀฀฀(90°) ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ Como la ctg(90º)= 0, el numerado de la ecuación debe valer 0,por lo tanto:

1 + ฀฀฀฀฀฀฀฀ = 0 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀: ฀฀฀฀ × ฀฀฀฀ = −1

Para que dos rectas sean perpendiculares entre sí, es condición necesaria y suficiente que el producto de sus pendientes sea igual a -1.

Dos rectas que se intersecan forman dos pares de ángulos iguales, y un ángulo de un par es el suplemento de un ángulo del otro par. Se mostrará cómo encontrar una medida de cada ángulo en función de las pendientes de las rectas.

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Para calcular el valor de los ángulos θ y β, cuando conocemos las pendientes m1 y m2 de las rectas que lo forman, se aplica el siguiente teorema:  Un ángulo especifico θ, formado por dos rectas al cortarse, se define mediante la relación: ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀(฀฀) = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ × ฀฀฀฀ ≠ −฀฀ ฀ ฀ + ฀฀฀฀ × ฀฀฀฀ Ejercicios resueltos: 1. Los vértices de un triángulo tienen por coordenadas: A(2, -1); B(-2, 0) y C(3, 2). Calcular el valor de sus ángulos interiores. Se grafican los puntos dados y se calcula la pendiente: 0+1 ฀฀2 − ฀฀1 1 = ฀฀฀฀฀฀ = = − ฀฀2 − ฀฀1 −2 − 2 4 ฀฀2 − ฀฀1 2 − 0 2 = ฀฀฀฀฀฀ = = ฀฀2 − ฀฀1 3 + 2 5 ฀฀2 − ฀฀1 2 + 1 = ฀฀฀฀฀฀ = = 3 ฀฀2 − ฀฀1 3 − 2 Para el ángulo ϕ, se tiene mf = mAB, mi = mAC 1 − −3 ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ 4 = tan(฀฀) = = −13 1 + ฀฀฀฀฀฀฀฀ 1 + �− 1� × 3 4 ∅ = arctan(−13) = 94,36° Para el ángulo θ, se tiene mf = mAC, mi = mBC 2 3−5 13 ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ = tan(฀฀) = = 1 + ฀฀฀฀฀฀฀฀ 1 + 3 × 2 11 5 13 ∅ = arctan � � = 49,8° 11

Para el ángulo β, se tiene mf = mBC, mi = mAB 2 1 ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ 5 + 4 = 13 tan(฀฀) = = 1 + ฀฀฀฀฀฀฀฀ 1 + 2 × 1 18 5 4 13 ∅ = arctan � � = 35,84° 18

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2. Hallar el ángulo formado, por el eje de las ordenadas y la recta que pasa por los puntos A(1,1) y B(-4, 5).

Se grafican los puntos dados y se calcula la pendiente: ฀฀2 − ฀฀1 1 − 5 4 ฀฀฀฀฀฀ = = − = ฀฀2 − ฀฀1 1 + 4 5 Hallamos el ángulo de inclinación: 4 � = 141,3° ฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ �− 5 Se halla el ángulo con respecto al eje de ordenadas: ฀ ฀ = ฀฀ − 90°

฀ ฀ = 141,3° − 90° = 51,3° 3. Una recta de pendiente -1/2 pasa por el punto: (2, 0), otra recta de pendiente 1 pasa por el punto (-2, 0), ¿en qué punto se cortan las dos rectas? Se grafican los puntos dados y se calcula la pendiente: ฀฀2 − ฀฀1 0 − ฀฀ 1 ฀฀฀฀1 = = = − ฀฀2 − ฀฀1 2 − ฀฀ 2 ฀฀ − 2 = −2฀฀ ฀฀2 − ฀฀1 0 − ฀฀ ฀฀฀฀2 = = 1 = ฀฀2 − ฀฀1 −2 − ฀฀ ฀ ฀ + 2 = ฀฀ Resolvemos el sistema de ecuaciones: 4 3฀฀ − 4 = 0 → ฀฀ = 3 2 ฀ ฀ = ฀฀ − 2 → ฀฀...