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INSTITUTO DE EDUCACION TECNICA Y FORMACION PROFESIONAL “13 DE JULIO” Practico N°1 Sistemas Reticulados Planos;Métodos de Cremona; Ritter y Culmann

Sistemas reticulados planos Los sistemas reticulados planos son sistemas formados por barras unidas en sus extremos en puntos llamados Nudos o nodos y dispuestas de forma tal que los ejes de las barras son coplanares Una de las aplicaciones de estos sistemas es para soportar cubiertas, donde las cargas son relativamente pequeñas como ser techos o tinglados de talleres galpones hangares cubiertas etc y se denominan cerchas armaduras o cabriadas. Otra de las aplicaciones típicas es la de soportar cargas mas elevadas puentes soportes plumas etc. y se denominan vigas de celosía.

Se considera que los nudos las barras están articuladas y no ofrecen oposición al giro de una barra respecto a las otras en cada nudo, para tener una estructura que resista a las solicitaciones requeridas según el caso debemos construir figuras que si bien tengan articulaciones en los nudos no sean deformables, la figura más pequeña que resulta indeformable aunque haya articulaciones en sus nudos es el triángulo, el que constituye el reticulado más simple. Agregando mas barras de forma tal que se vayan formando triángulos vinculados entre si, se puede, tomando ciertos recaudos como por ejemplo agregar dos barras a partir de dos nodos adyacentes y unirlas en un nuevo nodo para ir configurando una sucesión ordenada de triángulos, construir estructuras reticuladas indeformables. Las características de un reticulado simple son las siguientes:    

Están formados exclusivamente por triángulos. Cada dos triángulos tienen un lado (barra) en común y dos vértices. Un mismo vértice (nodo) no pertenece a más de tres triángulos. Existen nodos a los cuales concurren solo dos barras, los que se llaman nodos simples.

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Existen también reticulados no triangulares o compuestos, los que resultan de combinar agregar o quitar barras, o por no poseer nudos simples. La condición necesaria pero NO suficiente para que un reticulado sea indeformable es que b = 2.n-3 siendo b el Nº de barras y n el Nº de articulaciones ya que si b > 2.n-3 el numero de barras supera al necesario para que el reticulado sea indeformable por lo que hay un número de barras excedente y el reticulado es súper abundante, en cambio si b < 2.n-3 el reticulado es deformable o inestable y no puede ser utilizado.

Hipótesis de cálculo. La resolución de una estructura reticulada consiste en determinar cuáles son los esfuerzos a que están sometidas cada una de sus barras componentes. A efectos de realizar el cálculo se hacen las siguientes hipótesis 1. Los nudos funcionan como articulaciones desprovistas de rozamiento. 2. Las cargas actúan exclusivamente en los nodos y están en el plano de la estructura 3. Las barras son rectas y rígidas. Métodos de cálculo:

Método de Cremona El método de Cremona se basa en la construcción de polígonos de fuerzas en cada nudo de la estructura. Así, cuando en un nudo concurren varias fuerzas, de entre las cuales se desconocen dos de ellas y son consecutivas en posición, se puede construir el polígono de fuerzas para la determinación de las fuerzas desconocidas Para la aplicación del método de Cremona se siguen las siguientes convenciones: 1. El análisis del equilibrio en cada nudo se realiza de izquierda a derecha, procurando que en los nudos no concurran más de tres barras, y que por lo menos sean desconocidas solo los esfuerzos en dos de ellas. 2. En cada nudo la composición de fuerzas se realiza en sentido horario. 3. Las fuerzas en equilibrio en cada nudo tienen su sentido indicado por flechas en el polígono de fuerzas, las cuales son trasladadas al nudo del esquema de la estructura, donde se adopta la siguiente convención: en la barra correspondiente, si la flecha se dirige hacia el nudo de cada extremidad, se considera la barra en compresión, y a tracción en caso contrario. 4. Se pasa a analizar el siguiente nudo al estudiado, invirtiéndose el sentido de la flecha en la barra que se dirige a este nudo, indicándolo con doble flecha.

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Normalmente se superponen los sucesivos polígonos de fuerzas hasta completar el polígono completo de fuerzas interiores. Se inicia la resolución mediante la creación del polígono de fuerzas exteriores (acciones y reacciones). este polígono debe ser cerrado cumpliendo la condición de equilibrio para las mencionadas fuerzas y a partir de este, se determinan los esfuerzos axiales en las diferentes barras mediante el trazado de paralelas a las diferentes barras y las reacciones de vinculo del reticulado el que debe estar isostaticamente sustentado.

Ahora que son conocidas todas las fuerzas exteriores comenzaremos a determinar las fuerzas interiores. Como la estructura está en equilibrio podemos asegurar que todos los nudos estan también en equilibrio. Teniendo en cuenta esto último estudiaremos cada nudo de la siguiente forma: 1- Resumimos todas las fuerzas exteriores que actúan cada nudo a una resultante equivalente. 2- Para utilizar la notación de Bow procedemos a nombrar los campos exteriores en sentido horario con una letra minúscula (a, b , c ….) y considerando que cada campo exterior finaliza en cada nudo en el que haya aplicada una fuerza exterior. 3- A continuación continuamos nombrando los campos interiores los que son las áreas limitadas por las barras 4- Tomamos un nudo simple, o sea al que solo concurran dos barras y que posea una carga exterior, lo ideal es tomar un nudo de apoyo, o sea donde actúa una reacción de vínculo. 5- Suponemos aislado el nudo del resto de la estructura, por lo que las fuerzas exteriores deberán ser equilibradas por las fuerzas de las barras. 6- Dado que las fuerzas de las barras trabajan según su dirección debemos equilibrar la resultante exterior con un par de fuerzas que trabajen según las direcciones de las barras cuyos esfuerzos queremos calcular. 7- Para ello usamos el sentido de rotación horario. 8- Debemos dibujar el polígono de fuerzas que resultará cerrado porque debe estar en equilibrio. Dibujamos las fuerzas en el orden que van apareciendo a medida que giramos con centro en el nudo a partir de la vertical descendente esta convención la aplicaremos a todos los nudos. 9- Por haber dos incógnitas tendremos dos fuerzas de las cuales solo conocemos la dirección, y que es coincidente con la dirección de las barras cuyos esfuerzos queremos determinar, pero desconocemos el sentido y la intensidad de las mismas, así que estas fuerzas serán representadas momentáneamente con su dirección. 10- Por lo antedicho tendremos una fuerza y en cada uno de sus extremos pasará una dirección paralela a cada una de las barras. 11- El sentido de las fuerzas está dada por el sentido que hace que el sistema sea cerrado. 12- La intensidad de los esfuerzos está dado por la longitud de los segmentos que representan la fuerza, medidos en la escala correspondiente.

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13- Trasladamos el sentido obtenido de las fuerzas recientemente calculadas a la proximidad del nudo analizado 14- Si el sentido de la flecha que evidencia la fuerza que la barra ejerce sobre el nudo para mantenerlo en equilibrio se dirige hacia el nudo comprimiéndolo se dice que la barra trabaja a la compresión o que esta comprimida y se considera negativa, si por el contrario la mencionada flecha se aleja del nudo tirando de el se dice que la barra trabaja a la tracción o está traccionada y se considera positiva. 15- Ya conocidos los esfuerzos en estas barras debemos trasladar estos esfuerzos al otro extremo de cada barra, donde actúan sobre los nudos que están vinculados al resto de la estructura, esto lo hacemos indicando una flecha en sentido inverso al que habíamos determinado pero en la proximidad del otro nudo. De esta forma si la flecha en el nudo que acabamos de resolver se dirigía hacia este indicando compresión, debemos dibujar sobre la barra pero en proximidades del nudo contiguo, vinculado por esta barra, una flecha de dirección contraria a la anterior, la que al quedar señalando hacia el otro nudo indicará, como corresponde compresión. De haber tenido originalmente el sentido de tracción se ve que al poner la flecha en las proximidades del otro nudo que vincula esa barra con el sentido contrario indicaría tracción, es lógico ya que una barra isostaticamente sustentada no puede estar sometida a tracción en un extremo y a compresión en el otro

Resumen de lo anterior incluyendo la notación de Bow •1. Análisis de cargas: calcular cargas nodales y reacciones de vínculo •2. Ordenar todas las fuerzas exteriores (acciones y reacciones) en orden cíclico y horario •3. Denominar los campos: a, b, c, …….. •4. Construir el polígono de fuerzas exteriores y continuar a partir del primer nudo posible, es decir, •5. Comenzar a resolver por aquel nudo dónde sólo concurran dos barras de esfuerzo desconocido. •6. Se resuelve un nudo y luego el siguiente: la resultante de las fuerzas exteriores conocidas se las equilibra en las direcciones de las barras y en sentido horario •7. Controlar los resultados con la última barra: la resultante de las fuerzas conocidas deberá tener la dirección de la barra. •8. Cuadro sinóptico: nombre de c/ barra, intensidad, solicitación (+ -)

Ejemplo: Resolveremos la cercha o cabriada de la figura, para ello primero determinamos las reacciones de vinculo,

M A  0  RA .0m  F1.0m  F2 .2m  F3.4m  P .4m  F 4.6m  F 5.8m  RB .8m

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1T .2m  2T .4m  1T .4 m  2T.6 m  2T.8 m  5,25T 8m M B  0  RA .8m  F1.8m  F2 .6m  F3.4m  P.4m  F 4.2m  F 5.0m  RB .0m 1T.8 m  1T.6 m  2 T.4 m  1T.4 m  2 T.2 m  3,75T RA  8m RB 

Para la resolución gráfica determinamos una escala de fuerzas y una de longitudes, establecemos el sentido de giro y denominamos los campos empezando con los exteriores y luego los interiores.

Nombramos los campos externos e internos

bfa

Comenzaremos por el nudo A para determinar las barras bf y fa ya que cumple la condición de poseer solo 2 incógnitas para ello siguiendo el sentido de giro propuesto colocamos en nuestro polígono de fuerzas para ab RA y F1, luego para bf trazamos a partir de nuestro punto conocido “b” una paralela a la dirección de bf y por el punto “a” una paralela a af, donde se cortan estas paralelas obtenemos el punto “f” Debemos determinar la dirección de las fuerzas que equilibran el sistema de fuerzas exteriores, en este caso RA y F1 para ello el sentido de las fuerzas que actúan según bf y fa seran en bf con dirección de b a f y en fa con dirección de f hacia a Se deben colocar en el dibujo de la cercha o cabriada con el mismo sentido en las proximidades del nodo y en el otro extremo de cada barra se dibujan con sentido contrario.

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Ya estamos en condiciones de ir completando el cuadro de barras, para ello debemos tener en cuenta los siguientes detalles. 1. Si la dirección de la fuerza que acabamos de obtener se dirige hacia el nodo se trata de una barra comprimida. 2. Si la dirección de la fuerza que acabamos de obtener se dirige hacia fuera del nodo se trata de una barra traccionada. 3. las tensiones de compresión se considerarán negativas. 4. Las tensiones de tracción se considerarán positivas. 5. El nombre de la barra será adjudicado por los campos que separan por ejemplo en el nudo A la barra horizontal se denominará fa ya que separa los campos f y a observando el cambio en el sentido de las agujas del reloj con centro en el nudo que estamos estudiando.

bf -5.4

cg

Barras, Cargas en Toneladas (+) Tracción (-) Compresión dh ei af ia fg gh +4.7

hi

Hasta el momento nuestro polígono de fuerzas es el del nudo bfa mostrado en la figura. Observamos que al nudo afghi concurren cuatro barras incógnitas, las fg gh hi y la ia y como sabemos no podemos tener mas de dos barras desconocidas puesto que el método de CREMONA no permite resolver mas de dos barras por nudo. Por lo antedicho continuamos analizando y el próximo nudo debe ser el bcgf que tiene las barras incógnitas cg y gf dado que la barra bf es conocida. Tomamos pues este nudo y completamos el polígono de fuerzas que venimos realizando. Esto consiste en trazar la dirección cg a partir de c y la dirección de fg a partir de f en la intersección de dichas direcciones tendremos el punto g que estábamos buscando, el sentido de las fuerzas para equilibrar el nudo deben ser tales que la resultante sea cero por lo que cg se Nudo bcgf dirigirá hacia g y fg hacia f. esto se indica en el dibujo de la cercha con flechas en el mismo sentido en la proximidad del nudo en estudio y el contrario en el extremo opuesto de cada barra. Notemos que en este nodo el sentido de fb es el opuesto al que poseía en el primer nodo analizado, siendo de todos modos de compresión en los dos nodos

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bf -5.4

cg -4.5

Barras, Cargas en Toneladas (+) Tracción (-) Compresión dh ei af ia fg gh +4.7 -1.0

Nudo cdhg

hi

A continuación tomaremos el nudo cdhg cuyas barras incógnitas son dh y hg, realizamos las operaciones que hicimos en los nudos anteriores

Las direcciones son indicadas en este diagrama solo a efectos de la comprensión del procedimiento, y en la práctica deben ser indicadas solo en el en el dibujo de la cercha con flechas en el mismo sentido en la proximidad del nudo en estudio y el contrario en el extremo opuesto de cada barra, como se ha indicado anteriormente. Completamos el cuadro de valores:

bf -5.4

cg -4.5

Barras, Cargas en Toneladas (+) Tracción (-) Compresión dh ei af ia fg gh -4.5 +4.7 -1.0 -1.6

hi

Ahora podemos abordar el nudo deih

Se procede del mismo modo que en los anteriores nodos, o sea colocando las direcciones de las incógnitas ei en el punto e y ih en el punto h del polígono midiendo la intensidad de las fuerzas actuantes del polígono de fuerzas en escala de fuerzas y completando el cuadro teniendo en cuenta que las fuerzas de tracción, evidenciadas por sentido de la flecha alejándose del nodo son positivas y las de compresión evidenciadas por sentido de la flecha hacia al nodo negativas

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Nuestro cuadro de valores queda entonces de esta forma:

bf -5.4

cg -4.5

Barras, Cargas en Toneladas (+) Tracción (-) Compresión dh ei af ia fg gh -4.5 -6.6 +4.7 -1.0 -1.6

hi -2.1

Solo queda como incognita la barra ia, esta se puede determinar analizando el nudo afghi o el aie siendo indistinto, tomamos el aie.

Con este nodo ya resolvimos toda la estructura, completamos el cuadro con el valor obtenido y analizaremos los resultados para el dimensionamiento de las barras que componen la cercha.

bf -5.4

cg -4.5

Barras, Cargas en Toneladas (+) Tracción (-) Compresión dh ei af ia fg gh -4.5 -6.6 +4.7 +5.7 -1.0 -1.6

hi -2.1

En la realización práctica al finalizar el trazado del polígono nos debe quedar de esta manera:

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Del análisis de los resultados obtenemos que la carga máxima de las barras sometidas a tracción es de 5.7 T y la máxima de compresión es de 6.6 T.

Método de Ritter: Cuando analizamos la estructura por el método de Cremona no podemos analizar una barra en particular sin el cálculo previo de otras barras, además de la limitación en el número de barras incógnita que concurren a un nudo. Estas limitaciones se eluden utilizando el método de Ritter. El metodo en si consiste en dividir el reticulado en dos, de modo tal que el corte 1. No pase por ningún nudo. 2. No encuentre más de 3 barras. 3. Las barras no sean concurrentes. Con estas condiciones cumplidas tenemos que se ha destruido el equilibrio de una parte y otra del reticulado, el que será restituido si en cada barra que hemos cortado colocamos la fuerza correspondiente a la barra. Si consideramos el conjunto de fuerzas exteriores que actúan sobre el lado izquierdo del corte que hemos efectuado, para restablecer el equilibrio debemos colocar como dijimos las fuerzas correspondientes a los esfuerzos de las barras cortadas, si ahora que se reestablecieron estas fuerzas tomásemos momentos de todas las fuerzas que actúan sobre este lado, respecto a cualquier punto del plano del reticulado, la sumatoria de estos seria nula por tratarse de un sistema en equilibrio. El método consiste en tomar como centro de cálculo de momentos a el punto de intersección de la dirección de dos de las barras cortadas, de esta forma solo queda una incógnita y se resuelve por el simple hecho de equilibrar el momento de la resultante con el momento que produce la barra ya que la dirección de las otras dos barras pasa por el punto elegido como centro y por lo tanto tienen momentos nulos.

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Ejemplo: Resolveremos la cercha o cabriada de la figura, para ello primero determinamos las reacciones de vinculo, para simplificar el ejemplo utilizaremos la misma cabriada que para la resolución por Cremona

En la figura anterior vemos como se ha realizado el corte mediante la sección SS cumpliendo las premisas no pasar por un nodo, no cortar mas de 3 barras, no cortar barras concurrentes. Tomamos momentos respecto a el punto o ubicado como es requisito en la intersección de la dirección de dos de las barras.

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A efectos de individualizar las fuerzas nombramos a los esfuerzos incógnita como I1, I2 y I3, al seleccionar el punto “O” anulamos los momentos que producirían I1 y I2, por lo que nos queda:

M

o

 0  RA .2m  F1.2m I 3 .1,15m  F2 .0m  I 2.0m  I 1.0m