Sistemi Lineari PDF

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Caricato il 19/10/2017 11:29...

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APPUNTI SUI SISTEMI LINEARI

1

Generalit` a.

Definizione 1. Un’equazione lineare a coefficienti nel campo K nelle incognite x1 . . . xn `e un’equazione di primo grado a coefficienti in K nelle variabili x1 , . . . xn : a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b,

(1)

con ai ∈ K, i = 1, . . . , n e b ∈ K. Se b = 0, l’equazione (1) `e detta omogenea. Esempio 2. Le seguenti sono equazioni lineari a coefficienti reali nelle incognite x, y e z: 2x − y + 3z = 6, x − 4y + z = 0, x + 8z = 1; la seconda `e omogenea.

Definizione 3.  soluzione dell’equazione lineare (1) `e un vettore nu Una β1 β2   merico X0 =   ..  ∈ Kn che soddisfa l’uguaglianza: . βn

a1 β1 + a2 β2 + ... + an βn = b. Esempio 4.   2 Il vettore  1 `e una soluzione dell’equazione lineare a coefficienti reali 1   3 2x − y + 3z = 6. Anche il vettore  0 `e soluzione della stessa equazione. 0 Lasciamo verificare allo studente che tutti i seguenti vettori   α 2α + 3β − 6  , α ∈ R, β ∈ R β sono soluzioni dell’equazione.

1

Osservazione. Consideriamo l’equazione lineare nelle incognite x1 ,..,xn : 0x1 + 0x2 + · · · + 0xn = b, ` immediato verificare che se b = 0 allora ogni vettore numerico con b ∈ K. E n di K `e soluzione dell’equazione; se invece b 6= 0 l’equazione non ammette soluzioni. Definizione 5. Un sistema lineare di m ≥ 1 equazioni in n ≥ 1 incognite a coefficienti in K `e un insieme di m equazioni lineari a coefficienti in K nelle stesse incognite x1 . . . xn :   a11x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1    a21x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ..   .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ,

(2)

con aij ∈ K, i = 1, . . . m j = 1, . . . n, bi ∈ K, i = 1, . . . m.

Si noti che non esiste alcuna relazione tra gli interi m e n, che indicano, rispettivamente, il numero delle equazioni del sistema ed il numero delle incognite; possiamo avere che m < n, m > n oppure m = n. Definizione   6. Una soluzione del sistema lineare (2) `e un vettore numerico β1 β2   X0 =   ..  ∈ Kn che `e soluzione di tutte le equazioni del sistema, i.e. .  βn

ai1 β1 + ai2 β2 + · · · + ain βn = bi ,

∀i = 1, . . . , m.

Dato il sistema lineare (2), introduciamo i seguenti vettori di Km • i vettori colonna dei coefficienti del sistema: per ogni j = 1, 2 . . . , n, indichiamo con Aj il vettore dei coefficienti dell’incognita xj :   a1j  a2j    A j =  .  ∈ Km ;  ..  amj 2

• il vettore colonna dei termini noti del sistema:   b1  b2   B =  ..  ∈ Km .  .  bm

Usando questi vettori possiamo scrivere il sistema (2) in forma vettoriale: x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn An = B,

(3)

e possiamo, quindi, leggerlo come un’equazione vettoriale lineare a coefficienti in Km nelle incognite x1 . . . xn . Si noti che nell’ equazione (3) scriviamo xi Ai invece di Ai xi , perch´e abbiamo scelto questa notazione per indicare il prodotto del numero reale xi e del vettore numerico Ai . Definizione 7. Una soluzione dell’equazione vettoriale (3) `e un vettore   β1 β2    numerico X0 =  ..  ∈ Kn che soddisfa l’uguaglianza: .  βn

β1 A1 + β2 A2 + · · · + βn An = B. Si noti che ci` o equivale a richiedere che il vettore X0 sia una soluzione del sistema lineare (2). Definizione 8. Un sistema lineare `e detto risolubile se ammette almeno una soluzione; in caso contrario il sistema `e detto non risolubile o impossibile.

Definizione 9. Un sistema lineare `e detto omogeneo se il vettore colonna dei termini noti B `e il vettore nullo; in caso contrario il sistema lineare `e detto non omogeneo.

Osservazione. Un sistema lineare omogeneo `e sempre risolubile. Verifichiamo che il vettore nullo di Kn `e soluzione del sistema. Infatti si ha: 0A1 + 0A2 + · · · + 0An = 0n . Tale soluzione `e detta soluzione banale del sistema . 3

Dato il sistema lineare (2) introduciamo: • la matrice A dei coefficienti del sistema di colonne A1 , . . . , An :   a11 a12 ··· a1n  a21 a22 ··· a2n  . A =  .. .. .. ...    . . . am1 am2 · · · · · · · · · amn

(4)

La matrice A `e una matrice di m righe e n colonne ad entrate in K ed `e detta matrice dei coefficienti del sistema. • il vettore colonna delle incognite:  x1  x2    X =  ..  .  .  

xn

Ricordando il prodotto matrice-vettore, il sistema lineare (2) pu`o essere scritto nelle seguente forma matriciale: AX = B,

(5)

e possiamo quindi leggerlo come un’unica equazione matriciale nell’ incognita X . Infine associamo al sistema (2) la matrice che si ottiene aggiungendo alla matrice A la colonna B dei termini noti:   a11 a12 ··· a1n b1  a21 a22 ··· a2n b2    A˜ = (A|B) =  .. (6) .. .. . ..  . .  . . . . .  am1 am2 · · · · · · · · · amn bm La matrice A˜ `e una matrice di m righe e (n + 1) colonne ad entrate in K ed `e detta matrice completa del sistema. Esempio 10. Analizziamo alla luce di quanto detto il seguente sistema lineare:   2x + 4y − z + t = 0 x + y + 2t = 1   4x + 2z − 3t = 0

`E un sistema lineare non omogeneo di 3 equazioni in 4 incognite ad entrate reali. I vettori colonna dei coefficienti si ottengono nel seguente modo: 4

– il

– il

– il

– il

– il



 2 vettore A1 `e dato dai coefficienti di x: A1 =  1 , 4   4 vettore A2 `e dato dai coefficienti di y: A2 =  1 , 0   −1 vettore A3 `e dato dai coefficienti di z: A3 =  0 , 2   1 vettore A4 `e dato dai coefficienti di t: A4 =  2 , −3   0 vettore colonna dei termini noti `e: B =  1 . 0

La matrice dei coefficienti `e, quindi, la  2 4  1 1 A= 4 0

seguente:  −1 1 0 2 , 2 −3

la forma matriciale del sistema `e, la seguente:      x  0 2 4 −1 1 y   = 1  .  1 1 0 2  z  0 4 0 2 −3 t La matrice completa `e la seguente:   2 4 −1 1 0 2 1 . A˜ = 1 1 0 4 0 2 −3 0

2

Sistemi lineari equivalenti

Dato un sistema lineare di m equazioni in n incognite possiamo effettuare delle operazioni elementari sulle equazioni senza modificare le soluzioni del sistema. Definizione 11. Due sistemi lineari a coefficienti in K nelle stesse incognite sono detti equivalenti se tutte le soluzioni di uno sono soluzioni dell’altro e viceversa. 5

Iniziamo a prendere in considerazione due equazioni lineari nelle incognite x1 , x2 , . . . xn : (1) : a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, ¯ (2) : a ¯1 x1 + ¯a2 x2 + · · · + a ¯n xn = b. Consideriamo l’equazione lineare che si ottiene aggiungendo all’equazione (1) un multiplo dell’equazione (2): (3) : (a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn ) + µ(¯a1 x1 + a ¯ 2 x2 + · · · + a ¯n xn ) = b + µ¯b, dove µ ∈ K. Per indicare l’equazione ottenuta in questo modo scriveremo: (3) = (1) + µ(2). Abbiamo la seguente semplice osservazione: Osservazione. Il sistema lineare di equazioni (1) e (2) `e equivalente al sistema lineare diequazioni (3) e (2).  β1   Infatti, sia X0 =  ...  ∈ Kn una soluzione delle equazioni (1) e (2), si ha: βn

a ¯ 1 β1 + · · · + a ¯n βn = ¯b;

a1 β1 + · · · + an βn = b

osserviamo che X0 `e soluzione anche dell’equazione (3), infatti si ha: (a1 β1 + · · · + an βn ) + µ(¯ a1 β1 + · · · + ¯an βn ) = b + µ¯b. Pertanto X0 `e soluzione del sistema di equazioni (3) e (2). Viceversa, osserviamo che possiamo ottenere l’equazione (1) aggiungendo all’equazione (3) un multiplo dell’equazione (2): (1) = (3) − µ(2), pertanto l’argomento usato prima ci permette di concludere che se X0 ∈ Kn `e una soluzione delle equazioni (2) e (3), allora `e soluzione anche dell’equazione (1). Quindi X0 `e soluzione del sistema di equazioni (1) e (2).

Proposizione 12. Un sistema si trasforma in un sistema equivalente effettuando le seguenti operazioni elementari sulle equazioni: 1. scambiando tra di loro due equazioni, 2. moltiplicando un’equazione del sistema per uno scalare di K diverso da zero, 3. aggiungendo ad un’equazione un multiplo di un’altra equazione del sistema. 6

3

Il metodo di riduzione di Gauss

Il metodo di riduzione di Gauss consiste nel trasformare, tramite operazioni elementari sulle equazioni, un sistema lineare in un sistema lineare equivalente ad esso, di cui `e immediato stabilire la risolubilit` a e, in tal caso, procedere con la risoluzione. Mostriamo come funziona l’algoritmo di Gauss per un sistema lineare di m equazioni nelle incognite x1 , x2 ,.., xn :   a11x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1    a21x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 (7) ..   .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm Il procedimento `e ricorsivo e pu`o essere schematizzato nei seguenti passi. Passo (1) Controllare se tra le equazioni del sistema lineare (7) compare un’equazione del tipo: 0x1 + 0x2 + · · · + 0xn = bj ; si hanno seguenti casi: (1a) se bj 6= 0 allora il sistema lineare (7) non ammette soluzioni; il processo termina. (1b) se bj = 0, allora l’equazione `e superflua e pu`o essere eliminata dal sistema (7). Passo (2) Se necessario, riordinare le variabili e le equazioni del sistema, in modo che sia a11 6= 0. Passo (3) Moltiplicare la prima equazione per lo scalare a11 −1 . Per ogni i ≥ 2, sommare all’equazione i-esima la prima equazione moltiplicata per lo scalare −ai1 . Si ottiene pertanto il sistema lineare:  ′ x1 +a′12x2 + · · · + a1n xn = b′1    ′  ′  a22 x2 + · · · + a2n xn = b′2 (8) ..   .    ′ x + · · · + a′ x = b′ am2 2 mn n m Passo (4) Considerare ora il sottosistema lineare di m − 1 equazioni nelle incognite x2 , . . . , xn :  ′ a x2 + · · · + a′2n xn = b′2    22 .. (9) .    ′ ′ , am2 x2 + · · · + a′mn xn = bm 7

e ripartire dal passo (1). Iterando il procedimento, il processo termina se ad un certo punto si verifica il caso (1a) e quindi il sistema non `e risolubile. Se non si verifica mai il caso (1a), dopo un numero finito di passi, otteniamo un sistema lineare di r ≤ m equazioni (ogni volta che si presenta il caso (1b) viene eliminata un’equazione), equivalente a quello dato della forma seguente:   x1 + c12x2 + c13 x3 + · · · + c1n xn = d 1      x2 + c23x3 + · · · + c2n xn = d 2   x3 + . . . c3n xn = d 3 (10)   ..   .     x +··· +c x = d r

rn n

r

Tale sistema `e detto sistema lineare a gradini. Come promesso la risoluzione di un sistema lineare a gradini `e quasi immediata. Si ha infatti il seguente risultato: Proposizione 13. Il sistema lineare a gradini (10) `e risolubile. Pi` u precisamente, se r = n il sistema ammette un’unica soluzione; se invece r < n il sistema ammette infinite soluzioni e le soluzioni possono essere scritte in funzione di un vettore arbitrario di Kn−r . Dimostrazione. (a) Supponiamo che sia r = n. Proviamo che il sistema `e risolubile e la soluzione `e unica. Procediamo con il metodo di risoluzione all’indietro. Dall’ultima equazione abbiamo: xn = d n . Passiamo alla penultima equazione e sostituiamo il valore trovato per xn ; otteniamo: xn−1 = −cn−1n d n + d n−1 . Procedendo in queso modo, al passo k-esimo possiamo ricavare xn−k+1 . Abbiamo pertanto risolto il sistema e determinato l’unica soluzione. (b) Supponiamo ora che sia r < n. Portiamo a secondo membro le variabili xi , i = r + 1, . . . , n e poniamo xi = ti , i = r + 1, . . . , n. Consideriamo il sistema lineare nelle incognite x1 , . . . , xr :   x + c12x2 + c13 x3 + · · · + c1r xr = −c1r+1tr+1 − · · · − c1n tn + d 1   1    x2 + c23x3 + · · · + c2r xr = −c2r+1tr+1 − · · · − c2n tn + d 2   x3 + . . . c3r xr = −c3r+1tr+1 − · · · − c3n tn + d 3 (11)   .  ..      x = −c t − ··· − c t +d r

rr+1 r+1

8

rn n

r

 tr+1   Fissato un vettore numerico T =  ...  ∈ Kn−r , per il punto (a) il sistetn ma lineare (11) ammette una sola soluzione. tale soluzione con   Indichiamo s1  ..     .  s1    sr   ..  r  ∈ Kn `e una soluzione del  S =  .  ∈ K . Il vettore numerico   tr+1 sr  ..   .  tn ` immediato verificare che al variare del vettore T in Kn−r sistema (10). E si ottengomo tutte le soluzioni del sistema lineare (10). Osserviamo che le variabili xr+1 , . . . , xn possono assumere qualsiasi valore in K, pertanto sono dette libere. 

Riassumendo, dato un sistema lineare di m equazioni in n incognite, possono presentarsi i seguenti casi: - il sistema non `e risolubile; - il sistema `e risolubile ed ammette un’unica soluzione; - il sistema `e risolubile ed esiste r ≥ 1, con r < m e r < n, tale che tutte le soluzioni si possono scrivere in funzione di n − r variabili libere. Osserviamo che i coefficienti della i-esima equazione di un sistema li˜ = (A|B). neare sono le entrate della i-esima riga della matrice completa A Le operazioni elementari sulle equazioni che permettono di trasformare un sistema in uno ad esso equivalente si traducono in corrispondenti operazioni sulle righe della matrice completa. Definizione 14. Sia A una matrice di m righe ed n colonne e siano R1 , . . . , Rm le sue righe. Chiamiamo operazione elementare sulle righe di A una delle seguenti: 1. scambio delle righe Ri e Rj ; 2. moltiplicazione della riga Ri per un numero reale non nullo; 3. sostituzione della riga Ri con Ri + µRj , con µ ∈ K e i 6= j . Una matrice ottenuta da A attraverso un’ operazione elementare sulle righe `e detta modificazione elementare di A.

9

Consideriamo la matrice completa gradini:  1 c12 c13 · · ·  0 1 c23 · · ·   0 0 1 ˜ A=  .. .. .. ...  . . .  .. 0 0 . 1

associata ad un sistema lineare a ···

···

··· ...

··· .. .

crr+1 · · ·

 c1n d 1 c2n d 2   c3n d 3   ..  ... .   crn d r

Osserviamo che su ogni riga della matrice abbiamo trovato un elemento che vale 1 e tutti gli elementi della stessa colonna al di sotto sono nulli: tale ˜ `e detta matrice a scala elemento `e detto pivot della matrice. La matrice A e r `e detto numero dei pivot della matrice. Operativamente, conviene lavorare direttamente sulla matrice completa del sistema. Illustriamo il procedimento direttamente su alcuni esempi. Esempio 15. Consideriamo il sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite:   x + 3y + z − t = 3    3x + 9y + 4z + t = 0  2x + y + 5z + 2t = 1    y − z − t = 1. La matrice dei coefficienti ed il vettore colonna dei termini noti sono:     1 3 1 −1 3 3 9 4   1  0 . A = B= 2 1 5   2 1 0 1 −1 −1 1 Partiamo dalla prima colonna di A; infatti, la prima coordinata del vettore A1 `e non nulla. Conviene rappresentare direttamente la matrice completa A˜ = (A|B), con una barra verticale per separare la colonna dei termini noti. Passo 1: Vogliamo annullare tutti gli elementi della prima colonna che sono sotto a11 attraverso operazioni elementari. Quindi operiamo nel seguente modo: al posto della riga R2 sostituiamo R2 − 3R1 , al posto della riga R3 sostituiamo R3 − 2R1 ; lasciamo infine invariata R4 .     1 3 1 −1 3 1 3 1 −1 3  3 9 4 1 0  1 4 −9   =⇒  0 0  .  0 −5 3 2 1 5 2 1  4 −5  0 1 −1 −1 1

0

10

1

−1 −1

1

Osserviamo che l’elemento della seconda colonna sulla diagonale `e nullo. Possiamo scambiare tra loro la seconda riga e la quarta riga:     1 3 1 −1 3 1 3 1 −1 3  0 0   1 4 −9    =⇒  0 1 −1 −1 1  .  0 −5 3  0 −5 3 4 −5  4 −5  0 1 −1 −1 1 0 0 1 4 −9 Passo 2: Osserviamo che a22 = 1, ci proponiamo di annullare tutti gli elementi della seconda colonna che sono sotto a22 attraverso operazioni elementari. Quindi operiamo nel seguente modo: al posto della riga R3 sostituiamo R3 + 5R2 , e lasciamo invariate le altre.     1 3 1 −1 3 1 3 1 −1 3  0 1 −1 −1 1      =⇒  0 1 −1 −1 1  .  0 −5 3  0 0 −2 −1 0  4 −5  0 0 1 4 −9 0 0 1 4 −9 Passo 3:  1 0  0 0

Moltiplichiamo la terza riga per   1 3 1 −1 3  0 1 −1 −1 1   =⇒   0 0 −2 −1 0  0

1

4

− 21 .

 3 1 −1 3 1 −1 −1 1  . 1 0 1 0  2 0 0 1 4 −9

−9

Passo 4: Vogliamo annullare tutti gli elementi della terza colonna che sono sotto a33 attraverso operazioni elementari. Quindi operiamo nel seguente modo: al posto della riga R4 sostituiamo R4 − R3 e lasciamo invariate le altre.     1 3 1 −1 3 1 3 1 −1 3  0 1 −1 −1 1   1    =⇒  0 1 −1 −1 . 1 1 0 0 1    0 0 1 0 0 2 2 7 −9 0 0 1 4 −9 0 0 0 2 Passo 5:  1  0   0 0

Moltiplico la quarta riga per   3 1 −1 3  1 −1 −1 1   =⇒  1   0 1 0 2 7 0 0 −9 2

2 . 7

1 0 0 0

3 1 −1 1 −1 −1 1 0 1 2 0 0 1

 3 1  . 0 

−18 7

Il sistema dato `e equivalente al seguente sistema a gradini:   x + 3y + z − t = 3    y − z − t = 1  z + 12 t = 0    t = − 18 . 7

11

Possiamo risolvere il sistema con il procedimento di risoluzione all’indietro. Partiamo dall’ultima equazione, abbiamo: t=−

18 ; 7

sostituiamo nella terza equazione, abbiamo: 1 18 9 z + (− ) = 0 =⇒ z = . 2 7 7 Sostituiamo ora nella seconda equazione, abbiamo: 9 18 2 y − . − (− ) = 1 =⇒ y = − . 7 7 7 Infine, sostituiamo i valori trovati nella prima equazione, abbiamo: 2 9 18 x + 3(− ) + − (− ) = 3 =⇒ x = 0. 7 7 7 La soluzione del sistema `e quindi la seguente:     0 x y   − 2    =  97  .  z   7 18 t −7 Esempio 16. Consideriamo il sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite:   x − y + z + t = 1 2x + y + 2z − t = −1   −x + 2y − 2z + 2t = 2. La matrice dei coefficienti ed il vettore colonna dei termini noti sono:     1 −1 1 1 1 1 2 −1 B = −1 . A=2 −1 2 −2 2 2 Partiamo dalla prima colonna di A; infatti, la prima coordinata del vettore A1 `e non nulla. Passo 1: Vogliamo annullare tutti gli elementi della prima colonna che sono sotto a11 attraverso operazioni elementari. Al posto della riga R2 sostituiamo R2 − 2R1 , al posto della riga R3 sostituiamo R3 + R1 :    1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1  2 1 2 −1 −1  =⇒  0 3 0 −3 −3  . −1 2 −2 2 2 0 1 −1 3 3 

12

Passo2: Possiamo moltiplicare la seconda riga per 13 :     1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1  0 3 0 −3 −3  =⇒  0 1 0 −1 −1  . 0 1 −1 3 3 0 1 −1 3 3 Passo 3: Vogliamo annullare tutti gli elementi della seconda colonna che sono sotto a22 attraverso operazioni elementari. Quindi operiamo nel seguente modo: al posto della riga R3 sostituiamo R3 − R2 :     1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1  0 1 0 −1 −1  =⇒  0 1 0 −1 −1  . 0 1 −1 3 3 0 0 −1 4 4 Passo 4: Possiamo moltiplicare la terza riga per −1:     1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1  0 1 0 −1 −1  =⇒  0 1 0 −1 −1  . 0 0 −1 4 4 0 0 1 −4 −4 Il sistema dato `e equivalente al seguente sistema a gradini:   x − y + z + t = 1 y − t = −1   z − 4t = −4. Portiamo l’incognita t a secondo membro e risolviamo il sistema rispetto alle incognite x, y e z che corrispondono ai tre pivot:   x − y + z = 1 − t y = −1 + t  z = −4 + 4t. Per ogni t ∈ R fissato, possiamo risolvere il sistema con il procedimento di risoluzione all’indietro. Partiamo dall’ultima equazione, abbiamo: z = −4 + 4t, dalla terza equazione, abbiamo: y = −1 + t, sostituendo nella prima abbiamo: x − (−1 + t) + (−4 + 4t) = 1 − t =⇒ x = 4 − 4t.

13

Abbiamo ottenuto x, y e z in funzione di t. Al variare di t in R otteniamo tutte le soluzioni del sistema:    4 − 4t        t − 1  , t ∈ R .  4t − 4       t Possiamo descrivere i vettori soluzione anche nel seguente modo:        4 −4 x      y   −1   1    =   + t , t ∈ R .       −4 4   z     t 0 1

14...