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Elektrotechnik 1 Lineare Netzwerke und Einschaltvorgänge Institut für Biomedizinische Technik (BMT) Prof. Dr.-Ing. Stefan Heger

Institut für Entwurf Integrierter Schaltkreise (EIS) Prof. Dr.-Ing. Jürgen Giehl

29. Oktober 2020, Version 1.2

Vorbemerkung Das vorliegende Begleitskript zur Vorlesung Elektrotechnik 1 (ET1) entstand während des Sommersemesters 2019 an der Hochschule Mannheim und beinhaltet den ersten Teil einer zweisemestrigen Veranstaltung. Teil 1 enthält alle wichtigen Grundlagen, welche zum Einstieg in die Elektrotechnik erforderlich sind. Die Fortsetzung, Teil 2, wird zu Beginn der Vorlesung ET2/WST ausgehändigt. ET2 ist eine Modulveranstalung und besteht aus den beiden Blöcken Wechselstromtechnik (WST) und elektronische Schaltungen (ES). In Kapitel 1-3 werden nach einer Einführung in die Grundbegriffe und die Terminologie zunächst einfache lineare Gleichstromnetzwerke bestehend aus Quellen und Widerstandsverzweigungen betrachtet und deren Verhalten mit Hilfe der Kirchhoff’schen Gesetze analysiert. Die hier hergeleiteten Methoden und Gesetzmäßigkeiten sind elementar und werden auch im späteren Verlauf des Studiums immer wieder aufgegriffen. Beispielhaft erwähnt seien hier die Teilerregeln, der Überlagerungssatz sowie die Methode der Ersatzquelle. Der Umgang und die Berechnung von Schaltungen erfordert dabei eine gewisse Übung und Erfahrung, welche in der Regel nur durch selbstständiges Rechnen und Wiederholen entsprechender Aufgaben auf dem Papier erlangt werden kann. Abschließend werden Methoden hergeleitet, mit welchen sich prinzipiell das Verhalten beliebiger komplexer Schaltungen analysieren lässt. Dabei handelt es sich um grundlegende rechnerbasierte Techniken, welche zur Schulung des Verständnisses bei einfachen Schaltungen auch auf dem Papier gelöst werden können. Das Beherrschen der zuvor erlangten Kenntnisse ist hier Vorraussetzung. Kapitel 4 bildet den Abschluss des ersten Teils. Hier werden die beiden zueinander komplementären Bauteile Kapazität und Induktivität eingeführt und deren Zeitverhalten bei Schaltvorgängen eingehend betrachtet. Da Wechselstrom immer eine Zeitabhängigkeit aufweist, werden beide Bauteile auch im zweiten Semester wieder eine wichige Rolle spielen. Ein Skript, wie das in der vorliegenden LaTeX-Fassung, entsteht nicht ohne Mitmenschen, Arbeit und großen Zeiteinsatz. Bedanken möchte ich mich daher an dieser Stelle bei allen, die zum Gelingen dieser aktuellen Version beigetragen haben. Dies sind natürlich alle Mitarbeiter der Institute BMT, EIS und mabel. Besonders hervorheben möchte ich Herrn Prof. Nguyen und Herrn Prof. Zwick, die aufgrund ihrer langjährigen Erfahrung insbesondere im Bereich der Schaltungsentwicklung immer mit Rat und Tat zur Seite standen. Und natürlich möchte ich auch Herrn Prof. Giehl danken. Das vorliegende Skript ist zum Teil ein Zusammenschnitt einer ursprünglich einmal 6SWS (ET1) + 8SWS (ET2) andauernden Veranstaltung. Teile dieses Skriptes basieren in Grundzügen auf Unterlagen der ursprünglichen Open-Office Version von Herrn Giehl. Ich hoffe, es ist gelungen, alle Grundgedanken dieser ursprünglichen Fassung gebührend abzubilden, auch wenn dies wegen der Kürzung und Verlegung von Inhalten zur elektromagnetischen Feldtheorie (Vorlesung Felder) nicht in Gänze möglich ist. Zum Schluss noch ein Hinweis. Kein Buch, Skript etc. ist vollkommen. Und so ist auch diese erste Überarbeitung sicher noch nicht frei von Fehlern. Wir bemühen uns, diese im weiteren Verlauf zu beseitigen. Wenn Sie Fehler oder Unstimmigkeiten entdecken, teilen Sie uns dies bitte mit. Eine aktualisierte Version wird Ihnen dann auf moodle zur Verfügung gestellt. Mannheim, den 07.10.2020, Stefan Heger

3

Inhaltsverzeichnis 1 Elektrotechnische Grundbegriffe

7

1.1

Physikalische Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Grundlagen elektrischer Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Elektrische Ladungsträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Ladungsträgertransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3 1.4 1.5 1.6

Elektrischer Strom I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Elektrische Stromdichte ~j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Driftgeschwindigkeit v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Elektrische Spannung U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.1

1.7

7

Potential ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.1

Elektrischer Widerstand R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.2

Elektrischer Leitwert G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7.3

Spezifischer Widerstand ρ und Leitfähigkeit κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8

Temperaturabhängigkeit elektrischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9

Reale Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8.1

Lineare Temperaturabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9.1

Innenwiderstand Ri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.2

Ersatzschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10 Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.10.1 Ideale Stromquelle (Konstantstromquelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10.2 Reale Stromquelle durch Umrechnung aus realer Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10.3 Gegenüberstellung Strom- und Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.11 Arbeit und Leistung im Gleichstromkreis 1.12 Leistungsanpassung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.12.1 Wirkungsgrad η

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Einfache lineare Gleichstromnetze

27

2.1

Bezugssinn und Pfeilsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2

Kirchhoff’sche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1

Erstes Kirchhoff’sches Gesetz (Knotensatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2

Zweites Kirchhoff’sches Gesetz (Maschensatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3

Spannungsteilerregel und Gesamtserienwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4

Stromteilerregel und Gesamtparallelleitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5

Zusammenschalten von Quellen und Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6

Dreieck-Stern / Stern-Dreieck Umwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.7

Verschwinden von Quellen sowie Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8

2.7.1

Verschwinden von Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7.2

Verschwinden von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Quellenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8.1

Verlegen von Stromquellen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5

Inhaltsverzeichnis 2.8.2

Verlegen von Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Methoden zur Berechnung linearer Netzwerke 43 3.1 Schaltung mit einer Quelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2

Überlagerungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3

Methode der Ersatzquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4

Netzwerkanalyse basierend auf Kirchhoff-Gesetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5

3.4.1

Maschenstromverfahren (MSV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4.2

Knotenpotentialverfahren (KPV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Besondere Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5.1

Brückenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Kapazität, Induktivität und deren Schaltverhalten 65 4.1 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2

6

4.1.1

Schaltverhalten an Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.2

Schaltverhalten an Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1.3

Zusammenschalten von Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1.4

Kapazitiver Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.5

Kapazitiver Stromteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.1

Induktion und Selbstinduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2.2

Schaltverhalten an Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.3

Schaltverhalten an Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.4

Zusammenschalten von Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1 Elektrotechnische Grundbegriffe 1.1 Physikalische Größen und Einheiten Zur Beschreibung physikalischer Vorgänge exisitieren zahlreiche Größen und Einheiten. Vereinfachend verwendet man in der Regel Abkürzungen. Beispiele sind: Länge l mit Einheit m (Meter), Zeit t mit Einheit s (Sekunde), elektrische Stromstärke I mit Einheit A (Ampere). Jede physikalische Größe ist darstellbar als Produkt aus Zahlenwert und Einheit: Länge: l = 5 ∗ m = 5 m Kraft: F = m ∗ a = 1 ∗ kg ∗ 1 ∗

kg ∗ m m =1∗ = 1 N (Newton) s2 s2

Zur eindeutigen Zuordnung wird überwiegend das internationale SI-Einheitensystem (SI = Système Internationale) vewendet. Dieses besteht aus 7 willkürlich festgelegten Basiseinheiten: Basisgröße

Basiseinheit

Kurzzeichen Einheit

Länge

Meter

m

Masse

Kilogramm

kg

Zeit

Sekunde

s

elektrische Stromstärke

Ampere

A

Temperatur

Kelvin

K

Lichtstärke

Candela

cd

Stoffmenge

Mol

mol

Die Basiseinheiten werden per Definition festgelegt. 1 Ampere: Werden zwei im Abstand von 1 Meter im Vakuum platzierte parallele unendlich lange Leiter gleichsinnig von einem Strom der Stärke 1 Ampere durchströmt, so würde dieser Strom zwischen den Leitern eine Kraft von 2 ∗ 10−7 N hervorrufen: 1Meter 1A

1A 2 ∗ 10−7 N

Alle übrigen SI-Einheiten heißen abgeleitete Einheiten. Abgeleitete SI-Einheiten ergeben sich aus den zuvor festgelegten SI-Basiseinheiten und besitzen teilweise eigene Abkürzungen. Die SI-Einheit der Kraft (Newton) ist also eine abgeleitete SI-Einheit.

7

1 Elektrotechnische Grundbegriffe Weitere Beispiele sind: Gewschwindigkeit:

v=

l W eg = t Zeit

Arbeit bzw. Energie: W = F ∗ l

m [l] = [t] s kg ∗ m Einheit: [W ] = ∗ m = N m = J (Joule) s2 Einheit: [v] =

Abgeleitete SI-Einheiten zeichnen sich außerdem dadurch aus, dass in den sie verbindenden Einheitsgrößen kein von 1 verschiedener Zahlenfaktor auftritt. Für das Newton ist dies erfült: 1N = 1kg ∗ 1

m s2

Für das Kilopond (kp), welches ebenfalls als Einheit für die Kraft verwendet werden kann, trifft dies nicht zu, da 1 kp der Gewichtskraft von 1 kg auf der Erdoberfläche entspricht: 1kp = 1kg ∗

m 9, 81 2 | {z s }

Erdbeschleunigung

Einheiten haben häufig ungünstige Größenordnungen, so dass dezimale Vielfache bzw. Teile verwendet werden. Zur übersichtlichen Kennzeichnung existieren Abkürzungen, welche der Einheit anstelle der Zehnerpotenz vorgesetzt werden. Üblich sind folgende Präfixe:

Vorsatz

Zeichen

Bedeutung

weiter:

Tera

T

1012

Peta

P

1015

Exa

E

1018

9

Giga

G

10

Mega

M

106

Zeta

Z

1021

3

Yota

Y

1024

Kilo

k

10

Hekto

ha

102

Deka

da

101

Dezi

d

10−1

Centi

c

10−2

Milli

m

10−3

Zepto

z

10−21

−6

Yokto

y

10−24

Mikro

µ

10

Nano

n

10−9

Piko

p

10−12

Femto

f

10−15

Atto

a

10−18

Abkürzungen zur Kennzeichnung von Größenordnungen sollten wegen der besseren Lesbarkeit verwendet werden und werden daher als bekannt vorausgesetzt. Einige Beispiele sind: l = 104 m t = 10 I = 5 ∗ 10

8

→

l = 10 km (Kilometer)

s

→

t = 10 µs (Mikrosekunden)

A

→

I = 50 mA (Milliampere)

−4

−2

1.2 Grundlagen elektrischer Strömung

1.2 Grundlagen elektrischer Strömung 1.2.1 Elektrische Ladungsträger Fortwährende mechanische Zerkleinerung eines Stoffes führt zum Molekül, eine weitere chemische Aufspaltung zum Atom. Ein stark vereinfachtes Modell eines Atoms ist das Schalenmodell, bei dem negativ geladene Ladungsträger (Elektronen) um einen positiv geladenen Atomkern kreisen. Der Kern besteht wiederum vereinfacht aus positiv geladenen Protonen sowie ungeladenen Neutronen. Im elektrisch neutralen Zustand ist die Anzahl positiver und negativer Ladungsträger gleich groß. Elektronen können sich nur in festgelegten (diskreten) Energiezuständen (Schalen) aufhalten. Durch Zuführung einer Mindestenergie E = h ∗ f können Elektronen in eine höhere Schale angehoben oder sogar vom Atomrumpf getrennt werden, so dass das Elektron frei ist (Ionisierung). Das nun geladene Atom heißt Ion. Jede Schale kann nur eine bestimmte Anzahl Elektronen aufnehmen (z.B. innerste Schale max. 2, nächste Schale max. 8, ...). Elektronen der in der Regel nicht vollständig besetzten äußersten Schale heißen Valenzelektronen. Sie tragen zur Bindung zwischen Atomen bei. E =h∗f − Valenzelektronen in ¨außeren Schalen

Elementarladung: e = 1, 602 ∗ 10−19 As ,

Elektron 10−10 m

1As = 1C

Masse Proton: mp ≈ 1, 672 ∗ 10−27 kg Masse Elektron me ≈

+

1 m 1836 p

Proton

Elementarladung Die kleinste frei existierende Ladungsmenge heißt Elementarladung e. Es gilt e = 1, 602 ∗ 10−19 As, 1As = 1C (Coulomb). Ladungen üben elektrostatische Kräfte derart aufeinander aus, dass gleichnamige Ladungen sich gegenseitig abstoßen und ungleichnamige Ladungen sich anziehen: −e F

F

−e −

− +e

+e +

+ +e +

F F

F

gleichnamige Ladungen stoßen sich ab

F

−e −

ungleichnamige Ladungen ziehen sich an

elektrostatische Kr¨ afte

1.2.2 Ladungsträgertransport Damit in einem Material ein nennenswerter Transport von Ladungsträgern zustande kommt, müssen die Ladungsträger eine gewisse Beweglichkeit aufweisen. Man spricht dann von einer Leitfähigkeit des Materials. Der Ladungstransport kann durch freie Elektronen, Ionen oder Defektelektronen verursacht werden:

9

1 Elektrotechnische Grundbegriffe • Freie Elektronen: insbesondere in Metallen: Valenzelektronen der äußeren Schalen können sich leicht vom Rumpf lösen (auch Elektronengas genannt) und tragen direkt zur Leitung bei; viele Metalle besitzen bereits bei Raumtemperatur eine große Anzahl frei beweglicher Elektronen • Defektelektronen: insbesondere in Halbleitern (z.B. Silizium, Germanium): Elektronen im höchsten besetzten Energieband (=Valenzband) eines vierwertigen Halbleiters (=vier Valenzelektronen) können in bestimmten Defektsituationen (zum Beispiel durch absichtliche Verunreinigung mit einem dreiwertigem Fremdatom in geringen Mengen = Dotierung ) zur Herstellung einer Bindung zum Valenzband des Fremdatoms wandern, so dass im Halbleiter eine Leerstelle (Defektelektron oder positives geladenes Loch) zurückbleibt; Defektelektronen (bzw. Löcher) können wiederum leicht durch ein Elektron aus einem benachbarten Atom besetzt werden kann; in Folge wandern also Leerstellen (Löcher) durch den Stoff, deren Beweglichkeit allerdings geringer ist als die Beweglichkeit freier Elektronen; umgekehrt, bei Verwendung fünfwertiger Fremdatome, bleibt bei einer vollständigen Bindung ein Elektron übrig, welches ebenso zur Leitung beiträgt • Ionen: Löst sich ein Elektron vom Atom, bleibt ein positiv geladener Rumpf zurück (Ion). Ionen können in flüssiger Materie bewegt werden. Der Materietransport ist aufgrund der Masse des Ions vergleichsweise groß ist (Beispiel: Galvanisieren). Die Ionenbeweglichkeit ist den gleichen Gründen allerdings eher klein. Bändermodell Ein Modell zur Erklärung speziell, aber nicht nur, der Leitfähigkeit in Halbleitern ist das Bändermodell. Das Bändermodell ist Teil der Festkörperphysik und wird in aufbauenden Vorlesungen des Hauptstudiums noch im Detail besprochen. Die weiteren Ausführungen sollen daher nur ein grobes Verständnis liefern. Betrachtet werden die Energieniveaus und Elektronen-Besetzungszustände des Valenzbandes (V...