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Warning: TT: undefined function: 32UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICADinámica Aplicada Asignación No.Profesora: Ilka Banfield. Entrega: Miércoles 6 de mayo 12:00 m.En los siguientes problemas determine la ecuación de movimiento utilizando la formulación de Lagrange.Prob...

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Dinámica Aplicada Asignación No.6 Profesora: Ilka Banfield. Entrega: Miércoles 6 de mayo 12:00 m.d. En los siguientes problemas determine la ecuación de movimiento utilizando la formulación de Lagrange. Problema No.1. El bloque m es libre de moverse sobre el plano inclinado y todo el conjunto (plano inclinado y bloque) se desliza a su vez por una superficie horizontal. Ambos movimientos son sin fricción. Determine la ecuación de movimiento.

Solución: a) Las coordenadas generalizadas están ya definidas en el esquema, como 𝑞1 y 𝑞2 . b) No hay fuerzas no conservativas, entonces el vector de fuerzas generalizadas 𝓠 es cero. c) Energía Cinética: 𝑣 = [(𝑞󰇗 1 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑞󰇗 2 )𝑖, 𝑞󰇗 1 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑗] 𝒯1 =

1 1 𝑚𝒗𝟏 ∙ 𝒗𝟏 = 𝑚(𝑞󰇗 12 + 𝑞󰇗 22 + 2𝑞󰇗 1 𝑞󰇗 2 𝑐𝑜𝑠𝛼) 2 2 1 1 𝒯2 = 𝑀𝒗𝟐 ∙ 𝒗𝟐 = 𝑚𝑞󰇗 22 2 2

1 1 𝒯 = (𝑚 + 𝑀)𝑞󰇗22 + 𝑚(𝑞󰇗 12 + 2𝑞󰇗 1 𝑞󰇗 2 𝑐𝑜𝑠𝛼) 2 2

d) Energía Potencial: 𝒱2 = −𝑚𝑔𝑞1 𝑠𝑒𝑛𝛼 1 1 ℒ = 𝒯 − 𝒱 = (𝑚 + 𝑀)𝑞󰇗 22 + 𝑚(𝑞󰇗 12 + 2𝑞󰇗 1 𝑞󰇗 2 𝑐𝑜𝑠𝛼) + 𝑚𝑔𝑞1 𝑠𝑒𝑛𝛼 2 2 𝒅 𝝏𝓛 𝝏𝓛 = 𝓠𝟏 ( )− 𝝏𝒒𝟏 𝒅𝒕 𝝏𝒒󰇗 𝟏 𝒎(𝒒󰇘 𝟏 + 𝒒󰇘 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜶) − 𝒎𝒈𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝟎 𝒅 𝝏𝓛 𝝏𝓛 = 𝓠𝟐 ( )− 𝝏𝒒𝟐 𝒅𝒕 𝝏𝒒󰇗 𝟐 (𝒎 + 𝑴)𝒒󰇘 𝟐 + 𝒎𝒒󰇘 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 0

Problema No.2. Una partícula está confinada a moverse dentro de un cilindro de radio R. Utilice 𝜑 𝑦 𝑧 para determinar la ecuación de movimiento de la partícula. Solución:

a) Las coordenadas generalizadas, z y 𝜑.

b) No hay fuerzas no conservativas, entonces el vector de fuerzas generalizadas 𝓠 es cero. c) Energía Cinética: 𝑣𝜌 = 0, 𝑣𝜑 = 𝑅𝜑,󰇗 𝑣𝑧 = 𝑧󰇗 𝒯= e) Energía Potencial:

1 𝑚(𝑅 2 𝜑󰇗 2 + 𝑧󰇗 2 ) 2 𝒱 = 𝑚𝑔𝑧

1 ℒ = 𝒯 − 𝒱 = 𝑚(𝑅 2 𝜑󰇗 2 + 𝑧󰇗 2 ) − 𝑚𝑔𝑧 2 𝝏𝓛 𝒅 𝝏𝓛 ( )− =𝟎 𝒅𝒕 𝝏𝒛󰇗 𝝏𝒛 𝒎𝒛󰇘 + 𝒎𝒈 = 𝟎 𝒅 𝝏𝓛 𝝏𝓛 =𝟎 ( )− 𝝏𝝋 𝒅𝒕 𝝏𝝋󰇗 𝒎𝑹𝟐𝝋󰇘 = 𝟎

Problema No. 3. Un péndulo simple (masa, m, longitud de cuerda L), está sujeto al punto P de una rueda sujeta en O y que está forzada a rotar con una velocidad angular constante ω. En el tiempo t=0, la posición de la masa m, es a la altura del centro O y a la derecha del punto. Determine la ecuación de movimiento.

m

Solución: a) La única coordenada generalizada es 𝝋. El ángulo de rotación del punto P es constante y determinado, por lo que la posición de ese extremo estará determinada al saber su posición angular inicial, más el desplazamiento. Asumiendo que la posición indicada en la inicial en t=0, tendremos que a partir de allí la posición angular es 𝜔𝑡, donde t, es el tiempo. No hay independencia de esa posición. b) No hay fuerzas no conservativas, entonces el vector de fuerzas generalizadas 𝓠 es cero. c) Energía Cinética: Denominamos R, al radio de la rueda y 𝐿, longitud de la cuerda del péndulo. Posición de la Partícula m con respecto al marco inercial O. 𝑟 𝑚/𝑂 = (𝑅𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐿𝑠𝑒𝑛𝜑)𝑖 + (𝑅𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 − 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑗 𝒓󰇗 𝒎/𝑶 = (−𝑹𝝎𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 + 𝑳𝜑󰇗 𝒄𝒐𝒔𝝋)𝒊 + (𝑹𝝎𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 + 𝑳𝜑󰇗 𝒔𝒆𝒏𝝋)𝒋 = 𝒗𝟏 𝓣𝟏 =

𝟏 𝟏 𝒎𝒗𝟏 ∙ 𝒗𝟏 = 𝒎 (𝑹𝟐𝝎𝟐 + 𝑳𝟐𝝋󰇗𝟐 + 𝟐𝑹𝑳𝝎𝝋󰇗𝒔𝒆𝒏(𝝋 − 𝝎𝒕)) 𝟐 𝟐

d) Energía Potencial: 𝒱 = 𝑚𝑔{𝑅(𝑐𝑜𝑠𝜃) − 𝐿 (𝑐𝑜𝑠𝜑)} ℒ= 𝒯−𝒱 =

𝟏 𝒎 (𝑹𝟐𝝎𝟐 + 𝑳𝟐𝝋󰇗𝟐 + 𝟐𝑹𝑳𝝎𝝋󰇗𝒔𝒆𝒏(𝝋 − 𝝎𝒕)) + 𝑚𝑔𝐿𝑐𝑜𝑠𝜑 𝟐 𝒅 𝝏𝓛 𝝏𝓛 =𝟎 ( )− 𝝏𝝋 𝒅𝒕 𝝏𝝋󰇗

𝒎𝑳𝟐𝝋󰇘 + 𝒎𝑹𝑳𝝎𝒄𝒐𝒔(𝝋 − 𝝎𝒕)𝝋󰇗 + 𝒎𝒈𝑳𝒔𝒆𝒏𝝋 = 𝟎 𝝋󰇘 +

𝑹𝝎 𝒈 𝒄𝒐𝒔(𝝋 − 𝝎𝒕)𝝋󰇗 + 𝒔𝒆𝒏𝝋 = 𝟎 𝑳 𝑳

Problema No.4. Un disco de radio R, espesor d, y densidad ρ, mostrado en la figura, puede rotar libremente alrededor del punto O, donde se encuentra el marco de referencia inercial. Un espacio rectangular a x 4a x d es parte del disco y un pistón, que es modelado como un bloque restringido por resorte de constante k y se

desliza sin fricción por el espacio. El pistón tiene masa m y dimensiones a x a x t, espesor t en la dirección Z. El resorte está sin elongar cuando x=0

Solución: d) Las coordenadas generalizadas, 𝑥 y 𝜃. e) No hay fuerzas no conservativas, entonces el vector de fuerzas generalizadas 𝓠 es cero. f) Energía Cinética: Del disco: 1 𝒯1 = 𝐼𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜/𝑂 𝜃󰇗 2 2 𝐼𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜/𝑂 = 𝐼𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜/𝑂_𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐼𝑅𝑎𝑛𝑢𝑟𝑎/𝑂 𝐼𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜/𝑂 =

𝑚 𝑀𝑅 2 − { [(4𝑎)2 + 𝑎2 ] + 𝑚𝑏 2 } 2 12

𝑀 = 𝜌𝜋𝑅 2 𝑑,

𝑚 = 𝜌(4𝑎)𝑎𝑑 = 4𝜌𝑑𝑎2

Del bloque en la ranura: 𝒯2 =

𝟏 1 𝒎𝒗𝟐 ∙ 𝒗𝟐 + 𝐼𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒/𝑂 𝜃󰇗 2 𝟐 2

𝐼𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒/𝑂 =

𝑚 (𝑎2 + 𝑎2 ) 12

𝒗𝟐 = 𝑹󰇗𝑶/𝑰 + 𝒗𝒃𝒍𝒐𝒒𝒖𝒆/𝑶 + 𝝎 × 𝒓𝒃𝒍𝒐𝒒𝒖𝒆/𝑶  × (𝒙𝒊 − 𝒃𝒋) = (𝒙󰇗 + 𝒃𝜽󰇗)𝒊 + 𝒙𝜽󰇗𝒋 𝒗𝟐 = 𝟎 + 𝒙󰇗 𝒊 + 𝜽󰇗𝒌

Nota: El marco de ref. O es el que rota con el disco. Detrás del disco está el marco inercial I. Luego el marco de ref. O no experimenta traslación con respecto al Marco Inercial I. f) Energía Potencial: 𝒱2 =

1 2 𝑘𝑥 2

1 1 1 1 ℒ = 𝒯 − 𝒱 = 𝐼𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜 𝜃󰇗 2 + 𝐼𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 𝜃󰇗 2 + 𝑚(𝑥󰇗 2 + 2𝑏𝑥󰇗 𝜃󰇗 + 𝑏2 𝜃󰇗 2 + 𝑥 2 𝜃󰇗 2 ) − 𝑘𝑥 2 2 2 2 𝑂 2 𝑂

𝝏𝓛 𝒅 𝝏𝓛 ( )− =𝟎 𝒅𝒕 𝝏𝒙󰇗 𝝏𝒙 𝒎(𝒙󰇘 + 𝒃𝜽󰇘 − 𝒙𝜽󰇗𝟐) + 𝒌𝒙 = 𝟎 𝝏𝓛 𝒅 𝝏𝓛 =𝟎 ( )− 󰇗 𝝏𝜽 𝒅𝒕 𝝏𝜽 (𝑰𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐 + 𝑰𝒃𝒍𝒐𝒒𝒖𝒆 + 𝒎(𝒃𝟐 + 𝒙𝟐)) 𝜽󰇘 + 𝒃𝒙󰇘 = 𝟎...