Solucionario 2 bachillerato Dibujo Tecnico Editorial Donostiarra PDF

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La finalidad de este solucionario es ahorrarle al profesor la resolución de los
ciento trece ejercicios que se proponen en la GUÍA PRÁCTICA PARA EL ALUMNO....

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DIBUJO DIBUJO DIBUJO TÉCNICO I I

GUÍA PRÁCTICA PA ALUMNO GUÍ A PRÁCTI CA P ARA EL ALUM NO

INCLUYE EXPLICACIONES RAZONADAS DE LAS LÁMINAS

EDITORIAL DONOSTIARRA

NORMALIZACIÓN

DESCRIPTIVA

2º bachillerato

GEOMÉTRICO

SOLUCIONARI SOLUCIONARIO O

M

N

O

N

S

N

N

N 7'

S

N N

6'

N N

5' LH

P

1/2 D

4' 3'

2' 1

1

2

4

1' 9

7

6

2 2

7

6

1 1

7

6

2

8 6

8

7

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25

9

JOAQUÍN GONZALO GONZALO

DIBUJO TÉCNICO 2º Bachillerato

GUÍA PRÁCTICA PARA EL ALUMNO SOLUCIONARIO INCLUYE EXPLICACIONES RAZONADAS DE LAS LÁMINAS

EDITORIAL DONOSTIARRA Pokopandegi, nº 4 - Pabellón Igaralde - Barrio Igara Apartado 671 - Teléfonos 943 215 737 - 213 011 - Fax 943 219 521 20018 - SAN SEBASTIÁN

PRESENTA PRESENT PRESENTA ACIÓN PRESENTA CIÓN La finalidad de este solucionario es ahorrarle al profesor la resolución de los ciento trece ejercicios que se proponen en la GUÍA PRÁCTICA PARA EL ALUMNO. Este solucionario consta de dos partes: a. Parte gráfica Se puede tomar como referencia para facilitar la corrección de los ejercicios que se proponen a los alumnos en la GUÍA PRÁCTICA PARA EL ALUMNO. Esta parte gráfica no sólo contiene la solución, que se ha procurado que sea única; incluye, además, los trazados auxiliares necesarios para obtenerla a partir de los datos iniciales. Se advierte, no obstante, que estos trazados podrían ser diferentes cuando algunas fases de la resolución admiten otros métodos o cuando hay distintas opciones en la elección de un elemento auxiliar necesario: circunferencia, plano proyectante, etc. b. Explicación razonada A continuación de cada lámina se acompaña una explicación razonada de las fases que componen el proceso de resolución de cada uno de los ejercicios. La identificación del ejercicio de la lámina al cual se refiere la explicación se realiza mediante un símbolo que consiste en poner en azul el espacio que ocupa excepto un círculo central en blanco. Ejemplo: La resolución de la mayoría de los ejercicios propuestos, considerada en conjunto o por fases, tiene relación con los contenidos y ejercicios que se resuelven en el libro de texto DIBUJO TÉCNICO II de la Editorial Donostiarra, del cual la GUÍA PRÁCTICA PARA EL ALUMNO es el complemento práctico. En estos casos, se hace una llamada indicando el número de la figura con la que se relaciona y el tema al que pertenece. Cuando alguna de las fases tiene relación con conceptos o construcciones correspondientes al curso anterior también se indica. El autor

^ A = 180o - (30o + 45o) = 105o + = 180o - ^

a

D

V’

C

V 75o

Q

75o

O

45o O

45o

30 o

b A

P

B

75 o

Determinar los ángulos de 75o cuyos vértices equidisten de las rectas a y b y los lados contengan, uno al punto P y el otro al Q . Todos los trazados deben quedar dentro del espacio destinado al ejercicio.

Construir el cuadrilátero inscrito en la circunferencia dada siendo AB uno de sus lados y sabiendo que el ángulo que AC es de 30oo y el que forma el lado AB con la diagonal AC forma el lado BC BC con la diagonal BD es de 45 45o. Deducir, antes de efectuar los trazados, cuánto valdrá el ángulo del cuadrilátero de vértice CC.

S r = Sc

D AB · x = 45 2

C 45

AB 45 = x 45 x

22 o 30 ’

o 0’ 22 3

O

D

A

A 45

B

C

B

J. GONZALO GONZALO

x

Construir el trapecio isósceles inscrito en la circunferencia dada del que el segmento AC es una de sus diagonales y sabiendo que el ángulo que forman la otra diagonal BD BD y 30. el lado BC es de 22 22oo 30

TEMA 1 Lámina Nº 1

Construcción de un rectángulo, uno de cuyos lados es el segmento AB, AB equivalente a un cuadrado de 45 45 mm mm de lado.

Nombre:

Fecha:

TRAZADOS FUNDAMENTALES

NOTA:

EXPLICA EXPLICACIÓN CIÓN RAZONAD RAZONADA A DE LA LÁMINA 1 TEMA 1 1º. Para que un punto equidiste de las rectas a y b debe pertenecer a la bisectriz del ángulo que forman ambas. Éstas se cortan fuera de los límites del dibujo, por lo que la bisectriz se calcula como en la FFig. 5 del Tema 1 del libro. 2º. Pero, además, los vértices de los ángulos de 75 o cuyos lados pasan por los puntosPP y Q dados, pertenecen al arco capaz desde cuyos puntos el segmento PQ se ve bajo dicho ángulo (F Fig. ig. 15 15 del Tema 1 del libro). V 3º. Los puntos, V y V, V donde la referida bisectriz corta al citado arco capaz son los vértices de los ángulos y al unirlos con los puntos P y Q Q se obtienen las dos soluciones.

1º. Teniendo en cuenta lo que expresa la Fig. CCes de ig. 18 18 del Tema 1 del libro, se deduce que el valor del ángulo C^ 105o. 2o. Conociendo que el lado AB forma ángulo de 30 30oo con la diagonal AC se determina el vértice C . 3o. El vértice D se halla sabiendo que el lado BC BC y la diagonal BD BD forman ángulo de 45 oo, o también, que la diagonal AC y el lado AD forman el mismo ángulo de 45oo.

1º. En un trapecio isósceles uno de los lados iguales forma con una diagonal el mismo ángulo que el otro lado igual forma con la otra diagonal (F FFig. 18 del Tema 1 del libro). Esto permite hallar el vértice DD, ya que el lado 30 AD formará con la diagonal AC ángulo de 22oo 30 30. 2o. El vértice B se deduce sabiendo que las dos diagonales de un trapecio isósceles son iguales.

45 mm mm resulta: 1º. Si se igualan las áreas del rectángulo que se busca y del cuadrado de lado 45 AB · x = 4522, o bien:

AB 45 = 45 x

de donde se deduce que el lado desconocido del rectángulo, xx, es tercera proporcional entre los segmentos AB y 45 mm mm. La dimensión del lado xx se calcula aplicando la FFig. ig. 20 20 del Tema 1 del libro, lo que permite construir el rectángulo que se pide.

P

O1

37 o 30 ’ 22o30’ O2

B A

o 37 30’

o

22

MAR ’ 30

TIERRA

C LÍNEA DE COSTA

37o 30 Determinar la posición en el mar de un barco desde el que las visuales a los faros AA y B B forman un ángulo de 37 30 Resolverlo utilizando únicamente regla y compás. y entre las dirigidas a los faros B y C el ángulo es de 22 oo 30 30. P

PR = AC = b

m

RM = BC = a

b

A

C

m

b

A

Q

a

R

Q

C a

B

B

b2 = a · m

J. GONZALO GONZALO

M

Construir el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento BC BC, siendo el punto Q el pie de la altura respecto de la hipotenusa.

TEMA 1 Lámina Nº 2

Aplicando el teorema del cateto, dibujar el triángulo rectángulo, con ángulo recto en A, del que el segmentoAC es un cateto y sabiendo que la hipotenusa tiene posición vertical. Resuelto el problema comprobar que el ángulo^ A = 90o.

Nombre:

Fecha:

TRAZADOS FUNDAMENTALES

NOTA:

EXPLICA EXPLICACIÓN CI CIÓN ÓN RAZONAD RAZONADA A DE LA LÁMINA 2 TEMA 1 La posición del barco, punto P , se encuentra en la intersección de dos arcos capaces (F ig. 15 15 del Tema 1). El FFig. primero de ellos es el que permite ver el segmento AB bajo un ángulo de37 37oo 30 30 y el segundo aquél desde cuyos puntos el segmento BC 30. BC se ve bajo un ángulo de 22o 30

Todo triángulo rectángulo se halla inscrito en una circunferencia cuyo diámetro coincide con la hipotenusa. Por lo que el vértice A se encuentra en la intersección de la perpendicular por Q a la hipotenusa y la semicircunferencia de diámetro BC BC. También se puede hallar el vérticeA A calculando la longitud del segmento QA que es media proporcional entre los segmentos BQ y QC QC (F Figs. 21, 22 y 23 del Tema 1). igs. 21 21 22

1º. Sabiendo que la hipotenusa es vertical y uno de sus extremos es el punto C , se calcula la proyección del cateto, b = AC AC, dado sobre la hipotenusa, segmentom. m 2o. Conociendo el cateto b y la proyección m, de éste sobre la hipotenusa, se calcula ésta sabiendo que es tercera proporcional entre los segmentos m y bb (F Fig. ig. 20 20 del Tema 1).

J. GONZALO GONZALO

TEMA 2

√K

x

m=

C O2

O

Nombre:

T m = √K

M

O3

Q O1

POTENCIA Y SECCIÓN ÁUREA

er P

er2

B S r = Sc m·x=l

r

T

O2 √K

C

m = l x l

A

m x Q

2

x L

m

O1

er 1

O1, O2 y O Hallar el centro radical C Cr, de las circunferencias de centros O O3. Determinar gráficamente la raiz cuadrada de la potencia, ÖK K, del centro radical respecto de las tres circunferencias.

l

Calcular el punto P , situado a la izquierda de la recta OM OM OM, cuya raiz cuadrada de la K, respecto de la circunferencia de centro O O y el puntoM M es igual al segmento potencia, ÖK cuya sección áurea es el segmento x .

x

Lámina Nº 3

Cr √K

C

D

N

Cr

Fecha:

NOTA:

O M

El punto C O y de dos circunferencias de centros O O11 y O2. Cr es el centro radical del punto O Calcular el radio de esta última.

Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento m dado.

EXPLICA EXPLICACIÓN CI CIÓN ÓN RAZONAD RAZONADA A DE LA LÁMINA 3 TEMA 2 1º. Se calcula el segmentom FFig. ig. 29 m que tiene como sección áurea el segmento conocido xx (F 29 del Tema 2). 2º. Con ayuda de la circunferencia auxiliar de centro C C que pasa porM M y es secante a la circunferencia de centroO ig. 16 FFig. O se calcula el eje radical de éstos, recta eerrr (F 16 del Tema 2). 3º. El punto, PP, que se busca pertenece a eer y dista de M M la distancia m = Ö K.

1º. Mediante la circunferencia auxiliar de centro C C, secante a las tres circunferencias dadas, se hallan los ejes radicales er1r1 de las circunferencias de centros O O1 y O22 y eer2 de las de centros O O1 y O33. El punto C C r, donde se cortan ambos ejes radicales, es el centro radical de las tres circunferencias (F ig. 23 FFig. 23 del Tema 2). K, raíz cuadrada de la potencia del punto C r respecto de las tres circunferencias dadas, es el 2º. El segmento ÖK tomado sobre una de las tangentes trazadas desdeCCrr a una de las circunferencias, por ejemplo la de centro O1, y cuyos extremos sonC Crr y el punto de tangencia TT .

O11 1º. La longitud de Ö K, raíz cuadrada de la potencia del punto C r respecto de las circunferencias de centros O Fig. 24 del Tema 2). yO ig. 24 O22 y el punto O , es el segmento C CrO (F 2º. Para calcular un punto de la circunferencia de centro O 22 y, por tanto, conocer su radio r se traza desde el Cr y radioÖ K. El punto de tangencia T pertenece a la punto O O2 una tangente a la circunferencia de centro C circunferencia de centro O O22.

1º. El lado menor, xx, del rectángulo áureo es sección áurea del mayor, m m (F Fig. ig. 30 30 del Tema 2). 2º. A partir del segmento m Fig. Fig. ig. 28 del Tema 2). m se calcula su áureo, x (F 3º. Para que el área del cuadrado que se busca sea igual a la del rectángulo, el lado de aquél, ll , es media proporcional de los lados de éste, m y x (F Fig. ig. 21 21 del Tema 1).

J. GONZALO GONZALO

c=

50

m

a

=

65

TEMA 3

ma

Oc

= 52

Nombre:

h a = 43 IC

a Ma

r

C

Ma

B

TRIÁNGULOS

Construir el triángulo cuyos datos son: el lado aa dado, la altura h a = 43 mm mm, la mediana maa = 65 mm y que el vértice A se halla lo más a la derecha posible. Hallar su incentro.

Dibujar el triángulo cuyos datos son: el lado cc= =50 50mm mm mm, la mediana maa = 52 mm y el ángulo^ B= = 67 67oo 30 30, uno de los lados de este ángulo es la semirrecta rr y su vértice su B extremo B B. El lado aa se halla sobre r. Calcular su ortocentro. Ma

C mc

B

M M

c

M

b

mb

a

M

a

A

C

=3 0

B

=4 0

Lámina Nº 4

A

A

Mc

3 2/

Fecha:

NOTA:

B

Mb

Mb

mb

Mc

Bc 2/3 m

a

c

C

Construir el triángulo cuyos datos son: el lado a dado y las medianas mbb y mcc conocidas.

A

Construir el triángulo ABC ABC en el que los pies de sus medianas, puntosM Maa, Mb y Mcc, son vértices de otro triángulo cuyos datos son: el lado M bM MccM a Mccc dado, MbMa = 40 mm y M = 30 mm mm. El punto M Maa está situado por encima del lado M MbMcc .

EXPLICA EXPLICACIÓN CI CIÓN ÓN RAZONAD RAZONADA A DE LA LÁMINA 4 TEMA 3 1º. El vértice A del triángulo se encuentra en la paralela al lado aa a una distancia igual a la altura h a = = 43 43 mm mm y a 65 65mm mm = =m maa del punto medio del lado a dado. 2º. El incentro de un triángulo es el punto donde se cortan las bisectrices de sus ángulos (F ig. 33 del Tema 3). Fig.

1º. El vértice A 30 = = 135 135oo /2 A se encuentra sobre la recta que pasa por B , forma con la recta rr ángulo de 67 oo 30 /2 = (90 o + 45oo)) // 22 2, y dista 50 mm de B B. 2º. Para hallar el tercer vértice C del triángulo, que debe pertenecer a la recta rr, se calcula previamente M a, punto medio del lado BC BC, que dista ma del vértice A . Fig. 3º. El ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortan sus alturas (F ig. 44 del Tema 3).

1º. Se calcula el baricentro, Bcc, del triángulo que se busca, cuyas distancias a los vértices B y C son2/3 2/3 de las FFig. medianas m ig. 22 del Tema 3). mb y mccc, respectivamente (F 2º. Una vez conocido BBcc hay diferentes opciones para hallar el vértice A . El utilizado ha sido el de prolongar los segmentos BB BBcc y CBc y tomar desde B y C , respectivamente, las longitudes m mbb y m mcc, lo que permite calcular M b y Mcc, puntos medios de los lados CA CA y BA, BA BA respectivamente.

1º. Con los datos que se aportan se construye el triángulo cuyos vérticesM Ma , Mb yM Mcc son los puntos medios de los lados del triángulo que se busca. 2º. Si en un triángulo se unen los puntos medios de dos de sus lados se obtiene la paralela media del tercer lado lo que significa que, por ejemplo, el lado BC BC es paralelo al segmento MbM Mcc , mide el doble que éste yM Ma es su punto medio.

J. GONZALO GONZALO

TEMA 3

Lámina Nº 5

B

C

C’

Nombre:

c 37 o 30’

a’

45 o b

TRIÁNGULOS Y POLÍGONOS

C

45 o

c

b+c

N

A

P’

c+a

A

B’

B

P

c’ + a’

Dibujar el triángulo rectángulo del que se conoce la suma , bb + ccc, de sus catetos, segmento CN CN, y el ángulo^ C = 37 37ooo 30 30. 30 El vértice A del ángulo recto se halla en la C= recta CN CN.

El segmentoAP APdado es la suma de uno de los lados iguales c y del lado desigual aa de un triángulo isósceles. Dibujarlo sabiendo que el extremo A es el vértice del ángulo desigual cuyo valor es ^ A A= = 45 45oo..

D D

C E

d

C

8 =8 l 45 o

A

a-b

Fecha:

NOTA:

Q

B A

El segmento AQ es la diferencia, a-b a-b entre los lados de un rectángulo. Dibujarlo conociendo su diagonal dd = = 88 88 mm mm mm.

B

Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal, dibujar directamente el pentágono estrellado dos de cuyos vértices no consecutivos son los puntos A yD D dados.

EXPLICA EXPLICACIÓN CI CIÓN ÓN RAZONAD RAZONADA A DE LA LÁMINA 5 TEMA 3 1º. Suponiendo resuelto el triángulo rectángulo ABC ABC, si se prolonga el cateto bb y se le suma el otro cateto cc se forma otro triángulo rectángulo isósceles BAN BAN cuyos ángulos iguales son de45 B se 45o . Por esto el vértice B encuentra en la recta que pasa por N y forma 45oo con el segmento CN CN = = bb + + cc (F Fig. ig. 88 del Tema 3). 2º. En este caso el vértice B se ha de encontrar en la recta que pasa por CCy forma un ángulo con el segmento CN de 37 37o 30 30 = = 75 75oo // 22 = = (90 (90oo -- 15 15oo)) // 22. 2 3º. Conociendo el vértice B , el vértice A del ángulo recto es el pie de la perpendicular desde BB al segmento CN CN.

1º. Todos los triángulos isósceles que tienen iguales entre sí el ángulo desigual son semejantes. Esto es lo mismo que se aplica en la Fig. ig. 11 11 del Tema 3. 2º. Se construye un triángulo isósceles BAC cuyo ángulo desigual^ A es de45 45o y se efectúa la suma de uno de sus lados iguales c a. c y el desigual a 3º. La comparación, trazando paralelas, del segmento AP dado con AP = c + a a permite calcular el vértice C..

Si se tiene en cuenta que una diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos iguales cuyos catetos son los lados del rectángulo y que la diagonal de éste es la hipotenusa de aquél, el problema se resuelve como en la Fig. ig. 77 del Tema 3.

1º. Se halla la longitud del lado l del pentágono regular que es sección áurea de la diagonal dada AD (Fig. Fig.28 28 Fig. del Tema 2). 2º. Se determinan los vértices B , C y E sabiendo que la distancia entre dos vértices consecutivos es el lado ll y entre dos no consecutivos es la diagonal AD. AD 3º. Uniendo los vértices de dos en dos, comenzando por cualquiera de ellos, por ejemplo A , y terminando en el mismo se obtiene el pentágono estrellado que se pedía.

J. GONZALO GONZALO

TEMA 4

Lámina Nº 6

E

A

A’

1≡ 1’

e 1 ≡ 1’

e

E’

Nombre: 2≡ 2’

A’

C’

D’

O

B’

C

O

HOMOLOGÍA

Dibujar la figura homológica del pentágono ABCDE ABCDE siendo la recta e el eje de homología, el punto O O su centro y el puntoA A el homológico del vértice A .

N∞

E

E’ 3 ≡ 3’

O

N’

C’ 4 ≡ 4’

D’

d1

M

1 ≡ 1’

3 ≡ 3’

Dibujar la figura homológica del pentágono ABCDE conociendo la dirección dd del eje de A yB A homología y siendo los puntos A y B homológicos de los vértices A B respectivamente.

M’∞

M’∞

...