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SMITH CORRIPIOCONTROLAUTOMATICO DEPROCESOSTeoría y PracticaCapítulo 2 Matemáticas necesarias para el análisis de sistemas de control2-1. A partir de la definición de transformada de Laplace, obtener la transformada F(s) de las siguientes funciones: a)f(t) = t b)f(t) = e−at , donde a es constante. c)...

Description

SMITH CORRIPIO CONTROL AUTOMATICO DE PROCESOS Teoría y Practica

Capítulo 2 Matemáticas necesarias para el análisis de sistemas de control

2-1. A partir de la definición de transformada de Laplace, obtener la transformada F(s) de las siguientes funciones: a) b) c) d)

f(t) = t f(t) = e−at , donde a es constante. f(t) = cos(wt), donde w es constante. −at f(t) = e ×cos ( wt ) , donde a y w son constantes.

Nota: en los incisos c) y d) posiblemente se requiera la identidad trigonométrica. ix

cos ( x ) =

−ix

e +e 2

Las respuestas se pueden verificar con las entradas de la tabla 2-1.1. Solución: a) f(t) = t ∞

F ( s) =L [ f ( t ) ]=∫ f ( t ) e

−st

dt

0

∞

F ( s) =L [ t ]=∫ t e

−st

0

[

[ ] [

dt=

−st ∞

−st e −t e F ( s) = − 2 s s

[

F ( s) = 0−0 + 0 +

∞

−t e−st 1 − st + ∫ e dt s 0 s

=

0

]

− (∞ ) e−s ( ∞ ) e−s (∞ ) ( 0) e−s (0 ) e−s ( 0 ) − 2 + + 2 s s s s

]

1 1 = 2 2 s s

b) f(t) = e−at

F ( s) =L [ e

∞

−at

]=∫ e

∞

−at −st

e

dt=∫ e

0

[

−(a+ s ) ∞

−e F ( s) = s+a

−( a+s ) t

0

( a +s )0

−e− + s+a

][

= 0+

[

]

1 1 = s +a s+ a

]

( a+s ) t ∞

−e− dt= s+a

0

]

c) f(t) = cos(wt) ∞

F ( s) =L [ cos (wt )]=∫ e

∞

−at −st

e

dt =∫e

0

− ( a +s )t

0

[

−e−( a+ s) t dt= s+a

]

∞

0

2-2. Usando una tabla de transformadas de Laplace y las propiedades de a transformada, encontrar la transformada F(s) de las siguientes funciones: a)

2 f ( t )=u ( t )+ 2t +3 t

1 2 3 ( 2 !) 1 2 6 F ( s)= + 2 + 2 +1 = + 2 + 3 s s s s s s

b)

−2 t f ( t )=e [ u ( t ) +2t +3 t2 ] −2 t −2 t −2t 2 F ( s )=L [ u (t ) e ] + 2 L[ e t ]+3 L [e t ]

F ( s)=

3 (2 ! ) 2 1 + + 2 s+2 ( s+ 2 ) ( s+ 2 )2+1

F ( s)=

2 1 6 + + s+2 ( s+ 2 )2 ( s+ 2 )3

c)

−2 t −t f ( t )=u ( t )+ e −2 e

F ( s)=L [ f ( t )] =L [ u ( t ) ]+ L [ e

−2 t

] −2 L [ e−t ]

2 1 1 F ( s)=L [ f ( t )] = + − s s+2 ( s +1 )

d)

−t −t f ( t )=u ( t )−e + t e

1 1 1 + F ( s )=L [ f ( t )] = − s s+ 1 ( s +1 )2

e)

−2 ( t −2 ) f ( t )=u ( t−2) [ 1−e sen ( t−2) ]

g ( t ) =u (t ) [ 1−e

−2 t

sen ( t ) ]

−2t

g ( t ) =u (t )−u (t ) e

sen ( t )

1 1 L [ g ( t ) ] =G ( s) = − s ( s+2) 2+1

[

−2 s L [ f ( t ) ] =e

1 1 − s (s +2 ) 2 +1

]

2-3. Verificar la validez de los resultados del problema 2-2 aplicando los teoremas del valor inicial y del valor final. ¿Estos teoremas se aplican en todos los casos? Teorema del valor final

lim f ( t) =lim sF ( s) t→∞

t→0

Teorema del valor inicial

lim f ( t) =lim sF ( s) t→0

t→∞

 Ejemplo 2-2.a Aplicando Teorema del valor final

lim ( u ( t )+ 2 t + 3 t 2 )=lim s t→∞

s→0

(1s + s2 + s6 ) 2

3

( u( t ) + 2t +3 t2 )=¿ ∞ lim ¿ t→∞

s

(

)

(

)

2 6 1 2 6 + 2 + 3 =¿ lim 1+ + 2 =indeterminado s →0 s s s s s lim ¿ s→0

El teorema del valor final no aplica al ejemplo 2-2.a Aplicando Teorema del valor inicial

lim ( u ( t )+ 2 t + 3 t 2 )=lim s t→0

s→ ∞

(1s + s2 + s6 ) 2

( u( t ) + 2t +3 t2 )=¿ u ( t ) =1 lim ¿ t→0

s

(

)

(

)

1 2 6 2 6 + 2 + 3 =¿ lim 1+ + 2 =1 s s s s s s →∞ lim ¿ s →∞

3

El ejemplo 2-2.a cumple con el teorema del valor inicial

 Ejemplo 2-2.b Aplicando Teorema del valor final

lim ( e−2 t [ u ( t ) + 2 t + 3 t ] ) =lim s 2

t→∞

s →0

(

6 2 1 + + 2 s+2 (s+ 2 ) ( s+ 2 )3

)

( e−2 t [ u (t )+2t +3 t 2 ])=¿ 0 lim ¿ t→∞

s

(

)

2 1 6 + =¿ 0 + 2 s +2 ( s+2 ) ( s+2)3 lim ¿ s →0

El ejemplo 2-2.b cumple con el teorema del valor final Aplicando Teorema del valor inicial

lim ( e

−2 t

t→0

s [ u ( t ) +2 t +3 t 2 ] )=lim s→∞

(

2 1 6 + + 2 s +2 ( s+2 ) ( s+2 )3

( e−2 t [ u (t )+2t +3 t 2 ])=¿ u ( t ) =1 lim ¿ t →0

lim s s→∞

(

)

6 2 1 =0 + + 2 s +2 ( s+2) ( s+2)3

El ejemplo 2-2.b no cumple con el teorema del valor inicial

 Ejemplo 2-2.c Aplicando Teorema del valor final −2 t

lim ( u (t )+e

( 1s + s+21 − (s +12 ) )

−2 e−t )= lim s s →0

t→∞

( u( t ) + e−2t −2 e−t) =¿ u ( t )=1 lim ¿ t→∞

lim s s →0

2 2s ¿ ( 1s + s+1 2 − ( s+1 )) =lim (1+ s+s2− ( s+1 )) s →0

)

(

1+

( s +1 )( s+2 )+s( s+1 ) −2 s ( s+2 ) s 2s =lim =¿ − s+2 ( s+1) s → 0 ( s+2 )( s+1 ) lim ¿

(

)

)

s →0

( (s +1 2)(s+2 ) )=¿ ( 0+12) ( 0+2) = 22=1 lim ¿ s→0

El ejemplo 2-2.c cumple con el teorema del valor final Aplicando Teorema del valor inicial

lim ( u (t )+e−2 t −2 e−t )= lim s s →∞

t→0

(

1 2 1 − + s s +2 ( s+ 1)

)

( u( t ) +e−2t −2 e−t) =¿ u ( t )+ 1−2 (1 )=u (t ) −1=0 lim ¿ t→0

s

(1s +s +21 − ( s+2 1 ) )=¿ lim ( ( s+ 12)( s+2 ) )=0 s→ ∞

lim ¿ s →∞

El ejemplo 2-2.c cumple con el teorema del valor inicial

 Ejemplo 2-2.d Aplicando Teorema del valor final

lim ( u (t )−e−t +t e−t )= lim s t→∞

s→0

(

1 1 1 + − s s+1 ( s +1 )2

)

( u( t ) −e−t +t e−t) =¿ u ( t ) =1 lim ¿ t →∞

lim s s →0

lim s →0

(

) (

)

s 1 1 1 s =lim 1− ¿ + − + s +1 ( s +1 )2 s s +1 ( s+1) 2 s →0

2 s +1

(( ) ) s+ 1

2

=

2( 0)+ 1 =1 2 ( 0+1 )

El ejemplo 2-2.d cumple con el teorema del valor final Aplicando Teorema del valor inicial

lim ( u (t )−e−t +t e−t )= lim s t→0

s →∞

(

1 1 1 + − s s+1 ( s+1 )2

)

( u( t ) −e−t +t e−t) =¿ u ( t ) +1−0( 1 )=u ( t )+1=2 lim ¿ t→0

(

lim s s→∞

)

1 1 1 − + =0 s s+1 ( s +1)2

El ejemplo 2-2.d no cumple con el teorema del valor inicial

 Ejemplo 2-2.e Aplicando Teorema del valor final

lim ( u ( t−2 )[ 1−e

−2 (t −2 )

t→∞

( [

−2 s sen ( t−2 )] )=lim s e s →0

1 1 − s (s +2 ) 2 +1

])

( u( t−2 ) [ 1−0 ] )=1 ( u( t−2 )[ 1−e−2( t−2) sen ( t−2) ])=¿ lim t→∞ lim ¿ t→∞

( [

lim s e−2 s s →0

]) ( [

])

s 1 1 =lim e−2 s 1− ¿1 − 2 s ( s +2 )2 +1 s →0 ( s +2 ) + 1

El ejemplo 2-2.e cumple con el teorema del valor final Aplicando Teorema del valor inicial

lim ( u ( t−2 )[ 1−e

−2 (t −2 )

t→0

( [

sen ( t−2 )] )= lim s e

−2 s

s→∞

1 1 − s ( s+ 2 )2+1

])

( u( t−2 )[ 1−e−2( t−2) sen ( t−2) ])=¿ lim ( u( 0−2 ) [ 1−e−2 (0−2 ) sen ( 0−2 ) ] )=¿ t→0 lim ¿ t→0 4 4 lim ( u (−2 ) [1−e sen ( −2) ]) = ( 1 [ 1−e sen( −2 ) ]) =2.9 t→0

( [

lim s e−2 s s→∞

]) ( [

])

1 1 s =lim e−2 s 1− =0 − 2 2 s→ ∞ s (s + 2 ) +1 ( s +2 ) +1

El ejemplo 2-2.e no cumple con el teorema del valor inicial 2-4. En el ejemplo 2-1.1b se obtuvo la transformada de Laplace de un pulso utilizando la definición de la transformada. Demostrar que se obtiene la misma transformada con el

teorema de traslación real. Note que el pulso es la diferencia entre dos cambios escalón idénticos de magnitud H con el segundo retardo por la duración del pulso, T.

f ( t )=Hu ( t )− Hu ( t−T ) ⋯ ⋯⋯( 1) Solución: Teorema de traslación real

L [ f (t −t 0 )] =e

−s t 0

F (s )

Aplicando transformada de Laplace a la Ecuación (1):

L [ f ( t ) ]= L [ Hu (t ) −Hu( t−T ) ] F ( s) =L [ Hu (t ) ]−L [ Hu( t−T )] Aplicando el teorema de traslación real al segundo término tenemos:

F ( s) =H

F ( s) =

() ( ) −sT 1 e −H s s

H (1−e−sT ) s

2-5. En el enunciado del teorema de traslación real se señaló que para que el teorema se pueda aplicar, la función retardada debe ser cero para todos los tiempos menores que el tiempo de retardo. Demostrar lo anterior calculando la transformada de Laplace de la función − ( t−t 0 ) /τ

f ( t )=e

Donde

t0 y τ

son constantes

a) Suponiendo que la expresión se cumple para todos los tiempos mayores a cero, es decir, que se puede reordenar como t / τ −t / τ f ( t )=e e 0

b) Suponiendo que es cero para apropiada como

t ≤ t0 , es decir, que podría escribirse de manera

−(t −t0 ) / τ

f ( t )=u (t−t 0 ) e

Trazar la gráfica de las dos funciones. ¿Las dos respuestas son iguales? ¿Cuál de las dos concuerda con el teorema de traslación real?

Solución: a) Función

t / τ −t / τ f ( t )=e e ⋯ ⋯⋯ (a ) 0

Utilizando la transformada de Laplace

L [ f (t ) ]= L [e t / τ e−t / τ ] 0

t 0/ τ

F ( s )=e F ( s )=

son constantes el termino e t

t0 y τ

Debido a que

0

/τ

es constante

L [ e−t /τ ]

e t /τ ⋯⋯ ⋯( 1 ) s+1/τ 0

b) Función −(t −t0 ) / τ

f ( t )=u (t−t 0 ) e

⋯⋯ ⋯ (b )

Sea: −( t−t 0 ) /τ

f ( t )=h (t −t 0 ) =u ( t−t0 ) e Entonces: −t / τ

h ( t )=u (t ) e Donde:

−t / τ L [ h (t)] =L[ u ( t) e ]

H ( s )=

1 ⋯ ⋯⋯ ( x ) s+ 1/τ

Utilizando el teorema de traslación real en la ecuación (b)

[

−( t−t 0) / τ

L [ f (t ) ]= L [ h( t−t0 ) ]= L u (t−t 0 ) e

]

e−st ⋯⋯ ⋯( 2 ) s+1/τ 0

F ( s )=

Para trazar la gráfica de las ecuaciones (a) y (b), asignamos valores las constantes: t 0=0.7 y τ =0.1 Trazamos la gráfica para un tiempo de 0 a 2 cada 0.1 segundos para las ecuaciones (a) y (b): t 0 0.1 0.2

f(t)…(a) 1096.63316 403.428793 148.413159

f(t)…(b) 0 0 0

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

54.59815 20.0855369 7.3890561 2.71828183 1 0.36787944 0.13533528 0.04978707 0.01831564 0.00673795 0.00247875 0.00091188 0.00033546 0.00012341 4.54E-05 1.6702E-05 6.1442E-06 2.2603E-06

0 0 0 0 0 0.36787944 0.13533528 0.04978707 0.01831564 0.00673795 0.00247875 0.00091188 0.00033546 0.00012341 4.54E-05 1.6702E-05 6.1442E-06 2.2603E-06

Grafico 1 t

Grafico 2 t vs f(t)...(b)

1200 1000

0.4 0.35 0.3

600 400

Y(t)

Y(t)

800

200 0

0

2 0.

4 0.

6 0.

8 0.

tie

0.25 0.2 0.15 0.1

f(t)…(b)

0.05 0 0

2 0.

4 0.

6 0.

8 0.

1

2 1.

4 1.

6 1.

8 1.

2

tiempo (t)

Como se puede apreciar comparando las gráficas 1 y 2 las dos funciones no son iguales, y solo la ecuación 2 concuerda con el teorema del traslación real ya que para un tiempo menor de t 0=0.7 la función se hace cero. 2-6. Obtener la solución Y(t), como una desviación de su condición inicial de estado estacionario y(0), de las siguientes ecuaciones diferenciales. Usar el método de la transformada de Laplace y la expansión en fracciones parciales. La función de forzamiento es la función escalón unitario, x(t) = u(t). a)

dy ( t ) +2 y ( t )=5 x (t )+ 3 dt

d y (t )

dy (t ) + 4 y ( t ) =8 x( t )−4 dt

2

+18

b)

9

c)

9

d)

9

e)

d y( t ) d2 y ( t ) dy ( t ) +9 y ( t )=3 x (t ) 2 +7 + 21 3 2 dt dt dt

dt

2

d y (t ) 2

dt

2

d y (t )

+9

dy (t ) + 4 y ( t )=8 x ( t )−4 dt dy (t ) +4 y ( t )=8 x ( t ) −4 dt

2

dt

2

+12

3

Solución: Se expresarán todas las ecuaciones como variables de desviación y no se tomará en cuenta los términos constantes de acuerdo al ítem 2.3.1 Variables de desviación: a)

dY (t ) + 2Y ( t )=5 X ( t ) dt Por el teorema de diferenciación real reemplazando la función de forzamiento X(t) = u(t) escalón unitario:

SY ( s ) +2 Y ( s)=5 u ( s ) Y ( s) [ S+2 ] =

Y ( s) =

5 S

5 ( S +2) S

Haciendo la inversión por fracciones parciales:

Y ( s) =

A1 A2 5 = + ( S +2) S ( S+2) S

Y ( s) =

−2.5 2.5 + ( S +2) S

Haciendo inversión por correspondencia con las entradas de la tabla 2-1.1, se obtiene la respuesta: −2t

Y ( t ) =−2.5 e

+2.5 u ( t )

b)

9

2 d Y ( t)

dt

2

d Y (t )

+18

dY( t ) + 4 Y ( t ) =8 X (t ) dt

+18

dY ( t ) + 4 Y ( t )=8 u (t ) dt

2

9

dt

2

Por el teorema de diferenciación real reemplazando la función de forzamiento X(t) = u(t) escalón unitario:

9 S 2 Y ( s )+18 SY ( s) + 4 Y ( s )= Y ( s)[ 9 S2 +18 S+ 4] =

8 S

8 S

Las raíces obtenidas con la formula cuadrática son -0.255, - 1.745 y 0

Y ( s)=

A1 A2 A 8 = + + 3 ( S +0.255 ) (S +1.745 ) ( S+ 0.255 ) ( S+1.745 ) S

Utilizando la ecuación 2-2.9:

A 1= lim s→−0.255

8 =−21.06 ( S +1.745) S

A 2= lim

8 =3.08 ( S+ 0.255) S

A 3= lim

8 =17.98 ( S +0.255) ( S +1.745)

s→−1.745

s →−1.745

Remplazando en Y(s):

Y ( s)=

3.08 17.98 −21.06 + + S ( S +0.255 ) ( S+1.745 )

Haciendo inversión por correspondencia con las entradas de la tabla 2-1.1, se obtiene la respuesta: −0.255t

Y ( t) =−21.06 e

c)

+3.08 e−1.745t + 17.98u ( t )

dY (t ) d2 Y ( t) +4 Y ( t ) =8 X ( t ) +9 9 2 dt dt

Por el teorema de diferenciación real reemplazando la función de forzamiento X(t) = u(t) escalón unitario:

9 S 2 Y ( s )+9 SY (s ) +4 Y ( s) =8 X ( s ) Y ( s)[ 9 S2 +9 S+4 ] =8 u ( s ) r 1=−0.5+ 0.44 i y

Las raíces obtenidas con la formula cuadrática son r 2=−0.5−0.44 i y r 3=0

Y ( s)=

8 ( S +0.5−0.44 i )( S+0.5+ 0.44 i ) S

Y ( s)=

A1 A2 A + + 3 ( S +0.5−0.44 i ) (S +0.5+0.44 i ) S

Utilizando la ecuación 2-2.9:

A 1=

A 2=

8 =−0.16+1.8 i s→ −0.5 +0.44 i ( S + 0.5 + 0.44 i ) S lim

lim s→ −0.5−0.44 i

A 3=lim

s→0

8 =−0.16 −1.8 i ( S+0.5−0.44 i) S

8 =18 (S+ 0.5+0.44 i ) ( S+ 0.5−0.44 i )

Remplazando en Y(s):

Y ( s)=

−( 0.16−1.8 i) 18 0.16+1.8 i + − ( S +0.5−0.44 i ) ( S+0.5+0.44 i ) S

Haciendo inversión por correspondencia con las entradas de la tabla 2-1.1, se obtiene la respuesta: −(0.5−0.44 i ) t

Y ( t) = (−0.16+1.8 i ) e

d)

9

−(0.5 +0.44 i ) t

− ( 0.16+1.8 i ) e

+18u( t )

d2 Y ( t) dY ( t ) + 4 Y ( t ) =8 X (t ) +12 2 dt dt

Por el teorema de diferenciación real reemplazando la función de forzamiento X(t) = u(t) escalón unitario:

9 S 2 Y ( s )+12 SY ( s ) + 4 Y ( s )=8 u ( s ) Y ( s)[ 9 S2 +12 S + 4] =

8 S

La Ecuación tiene raíces repetidas

Y ( s)=

r 1,2=−2/3

A3 A1 A2 8 u( s ) + = + 2 2 9 (S +2/3 ) S ( S+2/3 ) ( S+2 /3 ) S

Utilizando la ecuación 2-2.9:

A 1= lim

8 =−1.33 9S

A 2= lim

1 d 8 =0 1! ds 9 S

s→−2 /3

s→−2 /3

A 3=lim

s→0

[ ]

8 =2 2 9( S+ 2/3)

Remplazando en Y(s):

Y ( s)=

−1.33 2 + 2 ( S +2/3 ) S

Haciendo inversión por correspondencia con las entradas de la tabla 2-1.1, se obtiene la respuesta: −2 t /3 +2 u ( t ) Y ( t) =−1.33t e

2 dY ( t ) d Y (t ) d Y(t ) + 21 +9 Y ( t )=3 X ( t ) + 7 2 3 dt dt dt 3

e)

2

Por el teorema de diferenciación real reemplazando la función de forzamiento X(t) = u(t) escalón unitario: 3 2 2 S Y ( s )+7 S Y ( s)+21 SY ( s )+9 Y ( s) =3u ( s)

3 2 Y ( s)[ 2 S +7 S +21 S+ 9 ]=

Las raíces obtenidas son

3 S

r 1=−0.5 , r 2=−1.5+ 2.6i , r 3=−1.5−2.6 i y

r 4 =0

Y ( s)=

3 u ( s) 2 (S+0.5 )( S+1.5−2.6 i )( S+1.5+ 2.6i ) S

Y ( s)=

A1 A2 A3 A + + + 4 ( S +0.5) ( S+1.5−2.6 i ) ( S + 1.5 + 2.6 i ) S

Utilizando la ecuación 2-2.9:

A 1= lim s→−0.5

A 2=

3 =0.38 2 ( S +1.5−2.6 i ) (S + 1.5 + 2.6 i ) S

3 =0.03+0.02 i s→ −1.5 +2.6 i 2 ( S+0.5 )( S+ 1.5 + 2.6 i ) S lim

A 3=

lim s →−1.5−2.6 i

A 4 =lim

s →0

3 =0.03− 0.02 i 2 (S +0.5) ( S +1.5−2.6 i ) S

3 =0.33 ( ) ( 2 S +0.5 S +1.5−2.6 i ) (S + 1.5 + 2.6 i )

Remplazando en Y(s):

Y ( s)=

0.38 0.03+0.02i 0.03−0.02i 0.33 + + + ( S +0.5) ( S+1.5−2.6 i ) ( S + 1.5 + 2.6 i ) S

Haciendo inversión por correspondencia con las entradas de la tabla 2-1.1, se obtiene la respuesta: −0.5t −(1.5−2.6i ) t −( 1.5 +2.6 i) t Y ( t) =0.19t e + ( 0.03 + 0.02 i ) e +( 0.03 −0.02 i ) e + 0.33u ( t )

2-7. Repetir el problema 2-6d usando como función de forzamiento −t / 3 a) X ( t ) =e b)

−( t−1) /3

X ( t ) =u( t−1) e

Solución: Asumiendo que las funciones de desviación de la entrada a) Del problema 2.6d

−t / 3

X ( t ) =e

dY ( t ) d Y ( t) −t /3 +12 + 4 Y ( t ) =8 e 2 dt dt 2

9

Por el teorema de diferencia...