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solucionario villalobos 6ta edicion SAUL MENDIETA

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Mat emat icas financieras José Luis Villalobos 4ed Carlos Mauricio Navarret e Magaña mat emat icas financieras manauris vent ura Mat emat icas financiera JOSE LUIS VILLALOBOS Ximena Lopez Valdez

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Significado de literales A a a1 ai an an n b C cete cpp Cn Cnp Ck D d

Amortización, porción de la renta que se abona al capital. Base de la potencia enésima del número a. Base de los logaritmos. Primer término de una sucesión. i-ésimo término en las sucesiones. Término enésimo de las sucesiones. Enésima potencia del número a. Raíz enésima del número b. Capital, Valor presente, Valor actual, Principal. Valor original de un activo que se deprecia. Certificado de la Tesorería de la Federación. Costo porcentual promedio de captación. Valor de rescate, es el valor al final de la vida útil de un activo que se deprecia. Valor final de una cantidad C, luego de tener np incrementos o decrementos. Valor contable o valor en libros al final del k-ésimo año de un activo que se deprecia. Descuento. Deudas, un miembro de la ecuación de valores equivalentes. Diferencia común en las progresiones aritmé ticas. Tasa de descuento. Diferencia entre dos rentas sucesivas en la amorti zación constante. Diferencia en la amortización de créditos y en la constitución de fondos de renta variable aritméti camente. Tasa de depreciación. Tasa efectiva de interés compuesto. Base de los logaritmos naturales, e = 2.71828 aproximadamente. Tasa de variación en las rentas de las amortizacio nes y fondos de renta variable geométricamente. Tasa de interés global. Intereses, diferencia entre el monto y el capital. Índice de precios y cotizaciones. Tasa de interés simple. Tasa de interés anual capitalizable en p periodos por año.

Tasa de interés nominal. Tasa de inflación en la depreciación de activos. i/p Tasa de interés por periodo capitalizable cada pe riodo. K Constante de proporcionalidad. Ln(x) Logaritmo natural de x, la base es e. Log(x) Logaritmo común de x, la base es 10. M Monto de un capital, Valor acumulado, Valor futuro, Montante. m Número de términos de una sucesión o serie ( n). n Número de años del plazo en anualidades e inver siones con interés compuesto. Tiempo o plazo con interés y descuento simple. np Número de periodos o rentas en anualiddes, amor tizaciones y fondos. P Valor comercial o valor descontado de un docu mento que se negocia antes de su vencimiento. Pagos, un lado de la ecuación de valores equivalentes. Probabilidad de un evento. pib Producto interno bruto. p Frecuencia de conversión, número de veces por año en que se capitalizan los intereses. Número de rentas por año en las anualidades, la amortización de créditos y la constitución de fondos. R Renta, pago periódico en las anualidades, los fon dos y la amortización de créditos. Valor de la depreciación anual. r Razón constante en las progresiones geométricas. S Saldo insoluto en la amortización de créditos (SI). Sn Suma de los primeros términos de una serie ( Sm). spd Saldo promedio diario, en tarjetas de crédito e inversión. v Razón de variación constante en una sucesión. U Utilidades, sinónimo de intereses en inversiones. udi Unidades de inversión. x Literal que más se utiliza para representar a las incógnitas, en las ecuaciones. A, B, L, K, V, X, Y, A i, Ci, Mi, Ri, etc. Son variables auxiliares que no tienen significado específico alguno, pero se utilizan para simplificar y desarrollar las fórmulas en este libro.

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e f g I ipc i

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www.elsolucionario.net Fórmulas

Amortización constante de un crédito. R1 = A[1 + (np)(i/p)] y RN = R1 − (N − 1)d

Enésimo término de las progresiones aritméticas. an = al + (n − 1)d

Página 61

Suma de los primeros términos de una serie aritmética. Sn = (n/2)(a1 + an) o bien, Sn = (n/2)[2a1 + (n − 1)d]

Intereses.

1 − rn o bien, 1− r

I=M−C

Sn = na1

I = Cin

Página 111 Página 131 Página 133

Saldo insoluto en operaciones de crédito con interés simple. S = (n − k)(C/n)

V =

Página 134

C=

R1 f −i/

  1 + f  np  − 1  p   1 + i / p  

Página 168

Tasa de interés efectiva, i es tasa nominal. e = (1 +

i/p)p −

1

 (1 + i/ p ) − 1  A = R1   i/ p   np

Página 178

Página 230

 (1 + i/ p ) − 1 − ( np ) ( i/ p )  B = d  (i/ p )2  

Monto de un fondo de renta variable geométricamente.  1 + i/ p  [(1 + f)np – (1 + i/p)np] M = R1   f − i/ p 

 1 − (1 + i / p ) C = R i /p 

 

Página 240

Valor presente de una anualidad anticipada.  1 − (1 + i/ p )− np  C = R(1 + i/ p )   i/ p 

Página 249

Monto acumulado de una anualidad ordinaria.  (1 + i/ p )np − 1  M = R  i/ p 

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Página 376

Depreciación anual en el método de la línea recta. C − Cn Página 402 n Valor de rescate de un activo, con inflación en el método de la línea recta.  (1 + i )n − 1  Cn = C (1 + i)n − R   i  

Página 407

Valor contable de un activo que se deprecia con el método de la suma de dígitos.

Valor presente de una anualidad ordinaria. − np

Página 371

np

R=

Monto acumulado en una anualidad anticipada.  (1 + i/ p )np − 1  M = R(1 + i/ p )   i/ p  

Página 328

Monto acumulado en un fondo de renta variable aritméticamente.

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Fórmula del interés compuesto.

M = C(1 + i/p)np

Página 323

1 − (1 + np(i/ p ))(1 + i/ p )− np (i/ p )2

M = (1 + i/p)(A + B) donde

Tasa de interés global total. g = (n + 1)(i/2)

1 − (1 + i/ p )− np i/ p

Amortización de renta variable geométricamente, serie en escalera.

Amortización de un crédito con interés simple. R = (C/2n)[(n + 1)i + 2]

C = T(R1) + V(d) donde T =

Página 95 Página 96

D = Mnd

Página 317

y

Valor comercial de un documento con descuento simple. P = M(1 − nd)

I = (Ci/2p)(np + 1)

Página 71

Fórmula del interés simple. M = C(1 + in)

Página 314

d = A(i/p)

Amortización de renta variable aritméticamente, gradiente. Página 69

Suma de los primeros n términos de una serie geométrica. Sn = a1

y

Intereses que se generan en la amortización constante.

Página 63

Enésimo término de las progresiones geométricas. an = a1(rn−1)

donde A = C/np

Página 251

k (C − Cn ) Página 422 (2 n − k + 1) 2S Valor en libros de un activo que se deprecia con el método de la tasa fija. Ck = C −

Ck= C(1 − d)k donde d = 1 − n Cn C

Página 430

Depreciación de un activo con el método del fondo de amortiza ción. (C − Cn )d Página 441 R= (1 + d )n − 1

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Matemáticas financieras Cuarta edición

Ing. José Luis Villalobos Pérez

Maestría en Enseñanza de las Matemáticas

Revisión técnica Francisco Alberto Piña Salazar Coordinador de Matemáticas Facultad de Contaduría y Administración Universidad Nacional Autónoma de México

www.elsolucionario.net Ernesto Hernández Pérez Profesor del Área de Matemáticas Facultad de Contaduría y Administración Universidad Nacional Autónoma de México Cuauhtémoc Tenopala Granados Coordinador del Área de Matemáticas Universidad La Salle Luis Guillermo Serrano Rolón Catedrático Colegio de Matemáticas Básicas Escuela Bancaria y Comercial

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www.elsolucionario.net Datos de catalogación bibliográfica VILLALOBOS, JOSÉ LUIS Matemáticas financieras. Cuarta edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012 ISBN: 978-607-32-1020-1 Área: Universitarios Formato: 18.5  23.5 cm

Páginas: 504

Dirección general: Dirección Educación Superior: Editora:

Laura Koestinger Mario Contreras Gabriela López Ballesteros e-mail: [email protected] Felipe Hernández Carrasco Rodrigo Romero Villalobos Jorge Evia / Ricardo López

Editor de desarrollo: Supervisión de producción: Diseño de portada: Gerencia editorial Educación Superior Latinoamérica: Marisa de Anta CUARTA EDICIÓN, 2012

D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México

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Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-1020-1 ISBN E-BOOK: 978-607-32-1021-8 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-1022-5 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 15 14 13 12

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Contenido

Prólogo

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Al estudiante

xii

Agradecimientos

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Capítulo 1 Fundamentos de matemáticas

1

1.1 Los números Redondeo de números

2 2

1.2 Exponentes, radicales y leyes de exponentes

3

1.3 Expresiones algebraicas, ecuaciones y solución de ecuaciones Expresiones algebraicas Ecuaciones Solución de ecuaciones Ecuaciones lineales

8 8 9 10 10

1.4 Tanto por ciento y porcentaje en serie

14

1.5 Razones y variación proporcional Proporción inversa Proporción mixta

20 21 22

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1.6 Logaritmos, exponenciales y sus propiedades Propiedades de los logaritmos

26 28

1.7 Logaritmos comunes, naturales y ecuaciones

31

1.8 Problemas de aplicación

36

Capítulo 2 Series y sucesiones

55

2.1 Terminología y clasificación de las sucesiones

56

2.2 Progresiones aritméticas Suma de los primeros términos

59 63

2.3 Progresiones geométricas Suma de los primeros términos

68 70

2.4 Algunas aplicaciones Pérdida del poder adquisitivo

76 81

Capítulo 3 Interés y descuento simple

91

3.1 Algunas definiciones Interés simple e interés compuesto

92 94

3.2 Interés simple Fórmula del interés simple

94 96

www.elsolucionario.net 3.3 Diagramas de tiempo

102

3.4 Descuento simple Fórmula general

109 111

3.5 Interés simple exacto y comercial

117

3.6 Amortización con interés simple Amortización de renta fija Amortización de renta variable Intereses sobre saldos insolutos (renta fija) Relación entre interés simple e interés global Saldo insoluto

124 125 126 129 132 134

3.7 Ejemplos de aplicación Certificados de la Tesorería de la Federación cetes Inversión en cetes El factoraje Tarjeta de crédito Unidades de Inversión (udis) Compras a plazos y sin intereses

137 138 138 140 141 145 146

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v

Capítulo 4 Interés compuesto

157

4.1 Introducción al anatocismo Variación constante Variación no constante

158 159 160

4.2 Interés compuesto

166

4.3 Tasas equivalentes, efectiva y nominal

175

4.4 Regla comercial y descuento compuesto Descuento compuesto

183 187

4.5 Diagramas de tiempo, fecha focal y ecuaciones de valor

192

4.6 Algunos problemas de aplicación Flujo de caja Reestructuración de un crédito automotriz Constitución de un fideicomiso con tasa variable Plazos equivalentes y fecha de vencimiento promedio

203 203 205 208 210

Capítulo 5 Anualidades

221

5.1 Definiciones y clasificación de las anualidades Clasificación de las anualidades Según las fechas inicial y terminal del plazo Según los pagos De acuerdo con la primera renta Según los intervalos de pago

222 223 223 223 223 224

5.2 Monto de una anualidad anticipada Tasa de interés variable

227 234

5.3 Valor presente de las anualidades ordinarias Ajuste del número de rentas Anualidad general

238 243 244

5.4 Rentas equivalentes Rentas anticipadas Rentas vencidas Anualidad general

248 248 250 253

5.5 Anualidad diferida Tasa variable de interés Anualidad general

257 261 263

5.6 Perpetuidades

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5.7 Algunos problemas de aplicación Costo estimado por consumo de agua Aportaciones a un fondo para el retiro Pagos equivalentes en dos anualidades Utilidades en cultivo de agave Ahorro para estudios profesionales Deuda externa del país Alquiler de viviendas Inversión a plazo fijo en el Banco del Ahorro Nacional Préstamos con periodo de gracia Reestructuración de crédito hipotecario con renta variable

273 274 274 275 277 278 280 281 282 283 284

Capítulo 6 Amortización de créditos

295

6.1 Definiciones y sistemas de amortización Amortización gradual Amortización constante Amortización con renta variable

296 296 296 296

6.2 Amortización gradual Renta mínima

297 298

www.elsolucionario.net 6.3 Saldo insoluto, derechos transferidos y cuadros de amortización Cuadro de amortización

304 306

6.4 Amortización constante Intereses en la amortización constante

312 316

6.5 Amortización de renta variable Variación aritmética Variación geométrica

321 321 326

6.6 Problemas de aplicación Traspaso de un bien considerando su plusvalía Renta variable en bloques Amortización de un crédito del Infonavit

334 334 341 344

Capítulo 7 Constitución de fondos

357

7.1 Conceptos generales y definiciones

358

7.2 Fondo de renta fija

358

7.3 Cuadro de constitución de fondos

363

7.4 Fondos de renta variable Variación aritmética Variación geométrica

369 370 376

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7.5 Problemas de aplicación Rentas que varían aritméticamente en bloques Intereses en un fondo de renta variable Fondo de renta variable considerando inflación Fondo de ahorro para el retiro, Afore Capítulo 8 Depreciación de activos

383 383 385 386 388 399

8.1 Definiciones y conceptos Métodos

400 401

8.2 Método de la línea recta Cuadro de depreciación Depreciación con inflación en el método de la línea recta

402 403 404

8.3 Método de unidades de producción o de servicio Valor contable Depreciación con inflación

412 413 415

8.4 Método de la suma de dígitos Valor contable Depreciación con inflación en el método de la suma de dígitos

420 421 425

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8.5 Método de la tasa fija Depreciación de tasa fija con inflación

429 434

8.6 Método del fondo de amortización Valor contable Depreciación con inflación en el método del fondo de amortización

440 443 445

Apéndice A Respuestas de ejercicios impares

A-1

Apéndice B Número de cada día del año

A-19

Apéndice C Glosario

A-23

Índice analítico

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Prólogo

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Alguna razón tienen quienes clasifican a las matemáticas, el mayor obstáculo de muchos estudiantes, en 3 importantes categorías: las útiles, las inútiles y las perjudiciales. Las 2 primeras son las que todos utilizamos cuando, por ejemplo, compramos una prenda de vestir con un descuento; o cuando revisamos el cambio, es decir, la diferencia entre lo que nos cuesta un artículo y el dinero que dimos para pagarlo; y mas aún, cuando observamos el reloj para determinar la hora con minutos y segundos. Por otro lado, hay evidencias de que matemáticos investigadores de renombre, dicho con todo respeto, padecen de insomnio, falta de apetito y otra sintomatología, cuando buscan el camino adecuado para demostrar un teorema o un argumento matemático válido para llegar a importantes conclusiones en sus investigaciones, y esto es un ejemplo de la última categoría. Por supuesto que todas las áreas de las matemáticas son útiles; de otro modo simplemente perderían su razón de ser, y el desarrollo de la tecnología y los avances de la ciencia no serían posibles sin el recurso del vigor y el rigor de las matemáticas. Más bien, ello dependerá de la persona, su profesión o actividad en particular ya que, por ejemplo, a un niño con menos de 2 años de edad para muy poco le servirían los conocimientos matemáticos. Este libro se dedica al estudio de las matemáticas financieras, una de las ramas más útiles, interesantes y de mayor aplicación de las matemáticas modernas. Es el resultado de un esfuerzo por ofrecer de forma lógica, clara, sencilla y muy accesible, la metodología, las fórmulas, los conceptos y los procedimientos para conocer cómo los bienes y el dinero pierden o cambian su valor y su poder adquisitivo con el paso del tiempo. Busca ser un auxiliar importante para asesores financieros y hombres de negocios, contadores, administradores, actuarios, economistas y, en general, para quienes tienen capitales para invertir o se ven en la necesidad de conseguir dinero en préstamo; y especialmente para los docentes y los alumnos que tienen la necesidad de...