SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES (MAS) PDF

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SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ARMÓNICOSSIMPLES (MAS)EQUIPO 9 28/10/BARON ALARCON GERSON IVAN. CC: 1.002.300. Ingeniería Eléctrica. [email protected] LEYVA ANGIELI ZETH. CC: 1.115.720. Ingeniería Eléctrica. [email protected]ÁLVAREZ GUERRA ARIS SAID. CC: 1.192.719. Ingeniería Civil...

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SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES (MAS)

4.8

EQUIPO 9 28/10/2021 BARON ALARCON GERSON IVAN. CC: 1.002.300.244. Ingeniería Eléctrica. [email protected] VARGAS LEYVA ANGIELI ZETH. CC: 1.115.720.208. Ingeniería Eléctrica. [email protected] ÁLVAREZ GUERRA ARIS SAID. CC: 1.192.719.052. Ingeniería Civil. [email protected]

Resumen En esta práctica los MAS corresponden a señales sinusoidales eléctricas. Una de las señales tiene frecuencia fija de alrededor de 1000 [Hz] y es desfasada a través de un cambio en la señal obtenida por el segundo generador de señales que permite variar su frecuencia, así como su amplitud en un extenso rango. Estas señales acceden por el canal 1 (CH1) y 2 (CH2) de un osciloscopio, instrumento que posibilita visualizar cada señal por separado, ambas señales al mismo tiempo, la superposición de las señales en la misma dirección y la superposición de las señales en direcciones perpendiculares. Palabras clave: MAS, frecuencia, osciloscopio, superposición

1. Introducción

En este informe se presenta lo referente a la superposición de dos movimientos armónicos simples, para lo cual se utilizaran equipos como el osciloscopio y generadores de señal, en donde se podrán observar frecuencias, periodos y amplitudes de señales sinusoidales separadas o la suma por superposición de estas, aunque existirá el caso en que observaremos sistemas con aparente desorden, pero que no son así sino que serán sumas un poco extrañas las cuales son conocidas como figuras de Lissajous, las cuales serán vibraciones las cuales pretendemos estudiar en esta ocasión. Todos estos sistemas oscilatorios

serán trabajados restauradoras.

por

fuerzas

externas

2. Marco Teórico El movimiento oscilatorio simple es aquel movimiento entorno a un punto de equilibrio es estable, un desplazamiento de la partícula con respecto a la posición de equilibrio (elongación) da lugar a la aparición de una fuerza restauradora que devolverá la partícula hasta el punto de equilibrio. Una función x(t) tiene M.A.S alrededor de x=0, cuando la relación existe entre x y t que está dada por:

( 𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 𝜔𝑡 + 𝜑)

La cantidad 𝜔𝑡 + 𝜑 se denomina fase inicial; aunque hemos definido el movimiento simple mientras una función cosenoidal, puede igualmente expresarse en una función senoidal, el único cambio sería una diferencia inicial de fase=π/2.

𝒙𝟏 = 𝑨𝟏 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟏𝒕), (𝟑. 𝟏) 𝒙𝟐 = 𝑨𝟐 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟐𝒕)

Como la función seno y vcoseno varía entre -1 y 1, el desplazamiento de la partícula se repite después de un intervalo de tiempo de 2π/𝜔 luego el M.A.S e s periódico y su periodo es de T=2π/ 𝜔 La frecuencia es igual al número de oscilaciones completas por unidad de tiempo F=1/T. Cuando dos M.A.S actúan en la misma dirección y con la misma frecuencia, se desarrolla una superposición que tiene la misma frecuencia de sus componentes, pero cuya amplitud está determinada por el desfase de los dos movimientos. (1) Superposición de M.A.S en la misma dirección

Una vez que dos MAS trabajan en la misma dirección y con la misma frecuencia, se lleva a cabo una superposición que tiene la misma frecuencia de sus elementos empero cuya amplitud está definida por el desfase de ambos movimientos. La amplitud resultante es obtenida de forma sencilla, usando el término de fasor. Un MAS podría ser representado como un vector rotante (fasor). En la Figura están representados los fasores que corresponden a dos MAS de distinta frecuencia angular, distinta amplitud y con la misma etapa inicial: (2)

Por lo que de acuerdo con la interpretación geométrica de un MAS, el primer MAS es la proyección sobre el eje X de un vector de longitud 𝐴1 que gira con velocidad angular 𝜔1, en cuanto el segundo MAS es la proyección sobre el eje X de un vector de longitud 𝐴2 que gira con velocidad angular 𝜔2. El MAS resultante es la proyección sobre el eje X del vector suma vectorial de los dos fasores.

El módulo del vector resultante tiene una amplitud que varía con el tiempo en la forma 𝑨= √𝐀𝟏 𝟐 + 𝐀𝟐 𝟐 + 𝟐𝐀𝟏𝐀𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝟏 − 𝛚𝟐)𝐭

Su valor máximo es |𝐴1 + 𝐴2 |y su valor mínimo es |𝐴1 − 𝐴2 |. Se dice entonces que

la amplitud es modulada y el movimiento resultante no corresponde a un MAS. Cuando las amplitudes 𝐴1 y 𝐴2 son iguales, podemos simplificar el movimiento resultante, como:



𝑿 = 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 = 𝑨𝟏 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟏𝒕) + 𝑨𝟏 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟐𝒕)



𝑿 = 𝟐𝑨𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟏 𝟐 (𝝎𝟏 − 𝝎𝟐 )𝒕. 𝒔𝒊𝒏 𝟏 𝟐 (𝝎𝟏 + 𝝎𝟐 )𝒕

La ultima ecuación nos dice que se trata de un movimiento oscilatorio (no es un MAS porque la amplitud no es constante) de frecuencia angular (𝜔1 + 𝜔2) 2 ⁄ y de amplitud



𝑨(𝒕) = 𝟐𝑨𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟏 𝟐 (𝝎𝟏 − 𝝎𝟐 )𝒕

Superposición de dos direcciones paralelas

M.A.S

en

En la Figura, tenemos un ejemplo para el cual la primera gráfica representa 𝑋1, la segunda gráfica representa 𝑋2 y la tercera gráfica (en color azul) 𝑋1 + 𝑋2. En color rojo se representa la frecuencia de la oscilación de amplitud. Este fenómeno es conocido como pulsaciones. (3)

SUPERPOSICIÓN DE ONDAS EN DIRECCIONES PERPENDICULARES La composición de dos M.A.S. de direcciones perpendiculares se obtiene a través de la relación existente el M.A.S y el movimiento circular uniforme. Compondremos dos M.A.S de direcciones perpendiculares dados por las ecuaciones

𝑥 = 𝐴𝑥 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑥 𝑡) 𝑦 = 𝐴𝑦 sin(𝜔𝑦 𝑡 + 𝛿) Las amplitudes son Ax y Ay, las frecuencias angulares x y y, respectivamente, y  es la diferencia de fase entre ambos movimientos. El primer M.A.S. se origina proyectando el extremo del vector rotatorio Ax sobre el eje X, el segmento marcado en color rojo. Al girar con velocidad angular  x, al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular es xt. El origen de ángulos se encuentra en la parte derecha de la circunferencia en el punto marcado por O. El segundo M.A.S. se origina proyectando el extremo del vector rotatorio Ay sobre el eje Y, el segmento marcado en color azul. Al girar con velocidad angular  y, al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular es yt+ . El origen de ángulos se encuentra en la parte inferior de la circunferencia en el punto marcado por O y  es la posición angular de partida en el instante t=0. (4)

3. PREGUNTAS DE CONTROL 

¿Qué es un osciloscopio y consulte los comandos principales de un osciloscopio analógico?

Un osciloscopio es un instrumento de medición para la electrónica. Representa una gráfica de amplitud en el eje vertical y tiempo en el eje horizontal. Es muy usado por estudiantes, diseñadores, ingenieros en el campo de la electrónica. Frecuentemente se complementa con un multímetro, una fuente de alimentación y un generador de funciones o arbitrario. Últimamente, con la explosión de dispositivos con tecnologías de radio frecuencia como WiFi o BlueTooth, el banco de trabajo se complementa con un analizador de espectro (5)



¿Qué es voltaje pico-pico, periodo y frecuencia de una señal?



El voltaje pico a pico, VPP, es una forma de onda de voltaje que se mide desde la parte superior de la forma de onda, llamada cresta, hasta el fondo de la forma de onda.



Un período es el tiempo necesario para que un ciclo completo de vibración pase en un punto dado. A medida que la frecuencia de una onda aumenta, el período de tiempo de la onda disminuye.





-Frecuencia es la medida del número de veces que se repite un fenómeno por unidad de tiempo. (6)



Realice la tabla de las figuras de Lissajous.

¿Qué es un armonógrafo y para que se utiliza?

Un armonógrafo es un aparato mecánico que dibuja diferentes curvas utilizando únicamente el movimiento de distintos péndulos. La idea del armonógrafo tiene su origen en el matemático Jules Antoine Lissajous (1822-1880) y su gran interés por el movimiento ondulatorio y las vibraciones del sonido. Se dice que lo que realmente buscaba Lissajous era dibujar el movimiento vibratorio provocado por el sonido. En sus primeros experimentos hacía rebotar un rayo de luz en distintos diapasones, descubriendo así estas curvas tan inusuales. (7)



¿Para qué se utilizan las figuras de Lissajous?, ¿En qué logos se han utilizado las figuras de Lissajous? Las figuras de Lissajous han sido una herramienta muy importante de la física y la ingeniería; estas permiten de forma gráfica analizar e interpretar la interacción sobre una partícula de dos movimientos perpendiculares, proceso,

que de otra forma sería más complejo de comprender. Uso en logotipos Las figuras de Lissajous son usadas como logotipos. Ejemplos de estos logotipos son el de Australian Broadcasting Corporation (a = 1, b = 3, δ = π/2) y el del Lincoln Laboratory at MIT (a = 8, b = 6, δ = 0). Las curvas de Lissajous pueden ser trazadas mecánicamente por medio de un armonógrafo. (8)



¿Qué es modulación modulación?

y

tipos

de

Un objetivo de las comunicaciones es utilizar una frecuencia portadora como frecuencia básica de comunicación, pero modificándola utilizando un proceso denominado modulación para codificar la información en la onda de la portadora.

AM es el acrónimo de Amplitude Modulation (en español: Modulación de Amplitud) la cual consiste en modificar la amplitud de una señal de alta frecuencia, denominada portadora, en función de una señal de baja frecuencia, denominada moduladora, la cual es la señal que contiene la información que se desea transmitir. 

Frecuencia modulada (FM)

En telecomunicaciones, la frecuencia modulada (FM) o modulación de frecuencia es una modulación angular que transmite información a través de una onda portadora variando su frecuencia (contrastando esta con la amplitud modulada o modulación de amplitud (AM), en donde la amplitud de la onda es variada mientras que su frecuencia se mantiene constante). En aplicaciones analógicas, la frecuencia instantánea de la señal modulada es proporcional al valor instantáneo de la señal moduladora. 

Existen tres aspectos básicos de la portadora que pueden modularse:   

Amplitud Frecuencia Fase o ángulo

Las tres técnicas correspondientes son las siguientes: 

Amplitud modulada (AM):

Amplitud modulada (AM) o modulación de amplitud es un tipo de modulación lineal que consiste en hacer variar la amplitud de la onda portadora de forma que esta cambie de acuerdo con las variaciones de nivel de la señal moduladora, que es la información que se va a transmitir.

Modulación de fase (PM):

Tipo de modulación que se caracteriza porque la fase de la onda portadora varía directamente de acuerdo con la señal modulante, resultando una señal de modulación en fase. Se obtiene variando la fase de una señal portadora de amplitud constante, en forma directamente proporcional a la amplitud de la señal modulante. La modulación de fase no suele ser muy utilizada porque se requieren equipos de recepción más complejos que los de frecuencia modulada. La mayoría de los sistemas de comunicaciones utilizan alguna forma o

combinación de estas tres técnicas de modulación básicas.

Cuar Cuarta ta part parte: e: Mo Modulac dulac dulacio io ion n es y pul pulsacio sacio sacione ne ness  Realice el cálculo de la amplitud modulada del pulso (ver figura 2), de acuerdo a las escalas de voltaje utilizadas en el canal 1 y registre este valor en la tabla 1.

Casos extremos de estas técnicas incluyen los siguientes:  Codificación por desplazamiento de amplitud (ASK) — Eliminar por completo la amplitud  Codificación por desplazamiento de frecuencia (FSK) — Saltar a una frecuencia extrema  Codificación por desplazamiento de fase (PSK) — Desplazar la fase 180 grados (9)

4. Procedimiento Valor por cuadro

Segunda parte: Figuras de Lissajous para el caso 𝝎𝟏 𝝎𝟐 ⁄ = 𝟏

V T

CH1

CH2

2V

2V

1 mS

1mS 100 1000Hz 0Hz

f

Tabla 0. 𝑽𝒑 − 𝒑 = 𝟒 ∗ 𝟐𝒗 = 𝟖𝑽



𝟏: 𝟏 =

𝟑 𝝅 𝟒

Realice el cálculo de la amplitud modulada del pulso (ver figura 2), de acuerdo a las escalas de voltaje utilizadas en el canal 1 y registre este valor en la tabla 1.

Señal modulada del pulso

Amplitud pico-pico [v] 8

Periodo [s]

Frecuencia [Hz]

1*10^3

1000

El eje con la mayor frecuencia es X= 2000Hz

Tabla 1. 𝑽𝒑 − 𝒑 = 𝟒 ∗ 𝟐𝒗 = 𝟖𝑽

𝑻 = 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝒎𝒔 = 𝟏𝟎𝒎𝒔 𝒇=



= 𝑻 5. Análisis de datos Para cada una de las gráficas obtenidas en la tercera parte (caso 1:2, 1:3, 2:3), determine el eje con mayor frecuencia, recuerde que el canal 1 corresponde al eje x y el canal 2 al eje y. 𝒘𝟏 = 𝟏: 𝟐 𝒘𝟐 𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐝𝐞𝐬𝐟𝐚𝐬𝐞 =

𝒘𝟏 = 𝟏: 𝟑 𝒘𝟐 𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐝𝐞𝐬𝐟𝐚𝐬𝐞 =

𝝅 𝟒

𝝅 𝟐 El eje con la mayor frecuencia es X= 3000Hz 𝒘𝟏 = 𝟐: 𝟑 𝒘𝟐 𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐝𝐞𝐬𝐟𝐚𝐬𝐞 =

𝝅 𝟒

figuras de Lissajous poseen la misma o diferente característica (frecuencia, amplitud, desfase). Figuras de Lissajous. 𝝎𝟏/ / 𝝎2 Cosos 𝝎𝟏

El eje con la mayor frecuencia es X= 3000Hz 2. Realice la gráfica de la cuarta parte (modulaciones y pulsaciones) e indique sobre ella la amplitud, el periodo y la frecuencia.

Amplitud

Frecuencia

imagen. 3. Complete la siguiente tabla, basándose en los resultados de la segunda y tercera parte (Figuras de Lissajous), indicando si ambas señales utilizadas para obtener las

𝟑

1:1

Igual (4V P-P)

Igual

1:2

Igual (4V P-P)

Diferente

𝝅 𝟐

1:3

Igual (4V P-P)

Diferente

𝝅

2:3

Igual

Diferente

𝝅 𝟒

(4V P-P)

Tabla 2. 6. Preguntas de profundización

La amplitud no se puede observar completamente, pero se entiende que ira desde el cruce de la línea amarilla con la azul hasta donde se indica. La frecuencia 1 es 𝑓 = 𝑇 , ya que no se observar en la

Desfase

1. ¿De acuerdo a la primera parte “calibración”, si cambia la escala de voltaje y frecuencia con las perillas del osciloscopio, cambiaría la amplitud y frecuencia de la señal, justifique su respuesta?  En realidad, la amplitud y frecuencia de la señal no cambian, esto depende únicamente de los generadores, las perillas del osciloscopio simplemente aumentan o disminuyen la escala en sí. 2. Imagine el siguiente escenario, que posea un osciloscopio analógico nuevo (sin fallas), que las conexiones del osciloscopio y de sus puntas con los generadores de señales estén perfectas, y suceda que al momento de visualizar las señales no se logre observar nada en la pantalla del osciloscopio, ¿Por qué cree que suceda esto?  Hay varias razones. Lo primera y más sencilla de todas puede ser porque el

𝟒

𝝅

𝟒

osciloscopio no se ha encendido simplemente. La siguiente razón podría ser porque no se ha ajustado la posición de la señal previamente (se debe hacer tanto para el canal 1 como para el canal 2). Otra razón es la de no haber ajustado la sensibilidad y base de tiempos de la señal, ya que con esto podemos ver señales de distinta amplitud y frecuencia óptimamente. 3. ¿Cuáles considera que son los errores en la primera parte “calibración del osciloscopio”, sea especifico en su respuesta?  Posiblemente pueda haber un daño en el aparato, las conexiones del osciloscopio y de sus puntas con los generadores de señales estén dañadas, o al conectar las puntas en las conexiones no se haga de manera correcta, o que los generadores puedan estar fallando 4. En la segunda parte del procedimiento, ¿qué sucedería si se duplicara la frecuencia en ambas señales o si se triplicara, justifique su respuesta?  Los resultados deberían ser los mismos, pues lo que se mira es la relación de las frecuencias, es decir 𝝎𝟏/𝝎𝟐 = 1. Por ejemplo, inicialmente ambas frecuencias son de 1000 Hz, si las duplicamos, tendríamos 2000 Hz para cada una, al hacer la relación 𝝎𝟏/𝝎𝟐 encontramos nuevamente que es igual a 1 y que la relación es de 1:1. Si se triplican, (3000 Hz para ambas) nuevamente encontramos una relación de 1:1. Así que, en conclusión, los resultados no cambian, y se obtienen las mismas figuras de Lissajous.

5. ¿Basado en la tercera parte del procedimiento considera qué se podrían formar figuras de Lissajous, si se utilizan otras relaciones de frecuencias inclusos si son frecuencias irracionales?  Sin importar qué valores de frecuencia se tengan, siempre se formarán figuras de Lissajous que varían dependiendo de la relación de dichas frecuencias y del desfase 𝛿. Ahora, lo que realmente sucede es que, basándonos en la literatura, las curvas que se forman solamente serán cerradas si la relación de las frecuencias es un número racional. 6. ¿Qué sucedería si invierte la conexión de las puntas del osciloscopio, es decir si conecta la punta del canal 1 con el generador de señales del lado derecho y la punta del canal 2 con el otro generador, analice esta situación cuando se obtuvieron las figuras de Lissajous? 

La forma de la figura no cambia en esencia, simplemente observaremos una rotación de la figura de Lissajous obtenida, ya que al invertir las puntas, obtendremos una relación de frecuencia 𝝎𝟐/𝝎𝟏 y si observamos la literatura, nos damos cuenta que para 𝝎𝟐/𝝎𝟏 = 2 se obtienen las mismas figuras que para 𝝎𝟏/𝝎𝟐 = ½, pero con una rotación de 90°.

7. Según lo aprendido en la cuarta parte del procedimiento, ¿Por qué se calcula la amplitud y la frecuencia de la señal modulada y no la que se observa en el osciloscopio? ¿Se podría obtener un pulso con otros valores de frecuencia para cada señal?



Primero, porque la perilla del osciloscopio marca 2 para la amplitud, ya que el generador suministra 4 voltios pico-pico, en realidad se tienen 8 V pico-pico para la señal modulada. Para las frecuencias, esto ocurre porque existe una superposición de las dos señales, es por eso que debe calcularse. Para la pregunta de si se podría obtener un pulso con otros valores de frecuencia, la respuesta es sí, siempre y cuando la superposición de las 2 señales genere una señal con una variación de amplitud respecto a la posición “x” y respecto al tiempo, sólo así se obtendrá un pulso



Durante la realización del laboratorio se observó y se aprendió a identificar ciertas figuras de Lissajous así como su formación y por qué se dan estas figuras.



Se observó el funcionamiento del osciloscopio, así como también su manipulación afianzando aún más los conocimientos por parte de los estudiantes

7. CONCLUSIONES 

Se pudo comprobar de manera práctica como el ángulo de amplitud en la que se colocar una partícula a oscilar, así como su peso, no afectan el periodo de la partícula.

8. Bibliografía (1) https://es.slideshare.net/kperezcha peta/lab-3-oscilaciones-yondasdocx-corregido (2) ,(3)http://www.sc.ehu.es/sbweb/fi sica/oscilaciones/pulsacion/pulsac ion.htm (4) http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica /oscilaciones/perpenDireccion/osc ila2_11.gif (5) http://personales.upv.es/jogomez/l abvir/material/osciloscopio.htm (6) https://usuaris.tinet.cat/fbd/electric idad/ca/ca.html

(7) https://divermates.es/blog/armono grafo/ (8) https://www.ucm.es/data/cont/doc s/76-2013-07-1105_Lissajous_figures.pdf (9) http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/ mapa/PROYECTO/libro27/381_ti pos_de_modulacin.html...