T02 Movilidad Cadenas Cinematicas PDF

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Teoría de Máquinas

Tema 2. Movilidad de las cadenas cinemáticas

Antonio López Navarro

Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Politécnica de Cartagena

1

Índice general Indice general

i

2. Movilidad de las cadenas cinemáticas

3

2.1. Criterios de desmodromía. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Criterio de restricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 6

2.3. Criterio de Grübler para mecanismos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4. Excepciones en la aplicación de los criterios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.5. Movilidad de los mecanismos espaciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.6. Excepciones en la aplicación del criterio Kutzbach-Grübler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

22

Índice de figuras 2.1. Ecuaciones de restricción en un par inferior de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2. Ecuaciones de restricción en un par inferior de Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3. Ecuaciones de restricción en un par inferior de Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.4. Sólido con rotación pura alrededor de un eje f ijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.5. Número de condiciones para n articulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.6. Cuadrilátero articulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.7. Número de pares de rotación cuando se unen varios eslabones. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.8. Mecanismo para ejemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.9. Mecanismo para ejemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.10. Se obtiene un mecanismo equivalente transformando pares superiores en inferiores, para poder aplicar el criterio de restricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.11. Mecanismo para ejemplo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Sustitución de pares superiores por inferiores para aplicar criterio de restricción . . . . . . . .

12 13

2.13. Mecanismo para ejemplo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.14. Sustitución de pares superiores por inferiores en ejemplo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.15. Un eslabón sólo tiene pares deslizantes y son paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.16. Sólo pares deslizantes y uno de rotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.17. Eslabones con dos pares deslizantes y ninguno de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.18. Relaciones especiales entre miembros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.19. Estructura pasa a hiperestática más mecanismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.20. Par superior de rodadura pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.21. Excepción a la consideración de rodadura pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.22. Excepción en transmisión con engrana jes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.23. Mecanismos espaciales clasif icados por Harrisberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.24. Mecanismo espacial esférico clase RRRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.25. Mecanismo REER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.26. Mecanismo de Sarrus, expcepción en mecanismos espaciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.27. Mecanismos para problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1

Capítulo 2

Movilidad de las cadenas cinemáticas 2.1.

Criterios de desmodromía. Generalidades

En el capítulo anterior: “conceptos básicos topológicos” se introdujo el concepto de GRADO de un par como el número de grados de libertad o movimientos independientes que el tipo de unión entre dos eslabones permite realizar a uno de ellos respecto al otro. Asi, los Pares inferiores son de pares de primer grado, porque sólo se permite un movimiento independiente entre los dos eslabones del par, los pares de grado 2 permiten dos grados de libertad o movimientos independientes, etc. En definitiva, los grados de libertad o posibles movimientos independientes entre dos eslabones indican cuántas coordenadas de los eslabones se tienen que especificar para conocer su posición exacta. En principio, dado que la posición de un eslabón viene definida, en el plano, por tres variables [xp , y p , ϕ], (coordenadas x e y de un punto P cualquiera del sólido y su orientación ϕ), habría que especificar un conjunto de 6 coordenadas para conocer la posición exacta de los dos eslabones: [xG1 , y G1 , ϕ1 ]; [xG2 , yG2 , ϕ2 ], donde se utiliza el centro de gravedad del sólido como punto de referencia. Esto es cierto si los dos sólidos son libres en el plano; pero cuando se unen formando un par cinemático se introducen unas condiciones de enlace que impiden determinados movimientos relativos. La formulación analítica de estas condiciones de enlace se conocen como ecuaciones de restricción e introducen relaciones entre las coordenadas de los dos sólidos del par, de forma que ahora NO TODAS las coordenadas son independientes. Veamos las ecuaciones de restricción que introducen algunos pares cinemáticos. Par inferior de Rotación En la figura 2.1 se muestran dos eslabones unidos por una articulación de rotación, formando un par inferior de rotación. En este par, podemos relacionar la posición del segundo eslabón con la del primero, mediante las siguientes Ecuaciones de Restricción: xG 2 yG2

= xG1 + G1 A · cos ϕ1 + AG2 · cos ϕ2 = yG1 + G1 A · sin ϕ1 + AG2 · sin ϕ2

De tal forma que hay dos coordenadas que no son independientes: xG2 e yG2 . Las 4 restantes si lo son, y por tanto esta cadena cinemática tiene cuatro grados de libertad (habría que especificar el valor de las otras cuatro coordenadas para identificar la posición exacta en el plano de esos dos eslabones.). De lo anterior se puede deducir que un par inferior de rotación ELIMINA dos grados de libertad y por cada vez que aparezca un par de este tipo en un mecanismo se podrán escribir dos nuevas ecuaciones de restricción similares a las anteriores. Par inferior de Traslación También en un par de traslación podemos relacionar la posición del segundo eslabón con la del primero, según se muestra en la Figura 2.1 mediante las siguientes Ecuaciones de Restricción: 3

y

2

ϕ 2

y

G2

yA yG

1 1 ϕ 1

xG 1

xA

x

xG 2

x

e

Figura 2.1: Ecuaciones de restricción en un par inferior de rotación

y G

1

x

y

G 2

1

G 1

y

x

G 2

2

ϕ 1

Figura 2.2: Ecuaciones de restricción en un par inferior de Traslación

2

x

y

G 2

1

G 1

y

x

G 2

e

x

R

y

G 1

ϕ 1

Figura 2.3: Ecuaciones de restricción en un par inferior de Traslación

yG2 ϕ2

= yG1 + e = ϕ1

En este caso, y para mayor simplicidad se definen las coordenadas de los eslabones respecto a un sistema absoluto girado un determinado ángulo ϕ1 conocido. De nuevo hay otras dos coordenadas que no son independientes: yG2 e ϕ2 . Las 4 restantes si lo son, y por tanto esta cadena cinemática también tiene cuatro grados de libertad. De lo anterior se puede deducir que un par inferior de traslación también ELIMINA dos grados de libertad y por cada vez que aparezca un par de este tipo en un mecanismo se podrán escribir dos nuevas ecuaciones de restricción similares a las anteriores. Se puede concluir que cada par inferior, sea de rotación o de traslación, elimina DOS grados de libertad. Par superior El análisis que hay que realizar para obtener las ecuaciones de restricción que relacionan las coordenadas de los sólidos en un par superior es más complejo que en pares inferiores. Podemos hacernos una idea de cuántos grados de libertad elimina un par superior en un mecanismo, analizando un caso sencillo como el mostrado en la figura 2.3, en la que un disco rueda y desliza sobre una plataforma plana. En este caso, sólo existe una ecuación de restricción que relaciones coordenadas de los sólidos: yG2 = yG1 +

e +R 2

De modo que esta cadena cinemática tiene 5 grados de libertad. En todos los casos, un par superior par de grado 2 - elimina UN solo grado de libertad. Concepto de Movilidad La movilidad de una cadena cinemática es la dimensión de su espacio de configuraciones accesibles y coincide con la dimensión del conjunto de coordenadas independientes mínimo, necesario que permite definir la posición exacta de todos sus eslabones en cada fase de su ciclo cinemático. Para determinar la movilidad de una cadena cinemática se pueden utilizar los conceptos introducidos sobre los grados de libertad que elimina un par cinemático, en función de su clase o grado, sin tener que plantear las ecuaciones de restricción que introducen todos sus pares, lo que supondría un enorme traba jo en el análisis de mecanismos complejos. A partir de esos conceptos se pueden obtener expresiones sencillas enunciadas como "‘criterios de movilidad"’ que se analizan en los apartados siguientes. Una de las razones por las que es importante determinar la movilidad de un mecanismo, es porque el número de acciones independientes que se deben ejercer sobre él para controlar en todo momento su movimiento coincide con su movilidad. Así, para mover un mecanismo con un grado de libertad, sólo será

2 G ϕ

1 Figura 2.4: Sólido con rotación pura alrededor de un eje fijo. necesario introducir un accionamiento externo: motor eléctrico, pistón hidráulico o neumático, giro introducido por acción humana, etc. Hay que destacar que el número de grados de libertad (G.D.L) de un mecanismo o una cadena cinemática sólo coincide con su Movilidad en el caso de sistemas holónomos, donde todas las restricciones impuestas están planteadas a nivel de posiciones y, en el caso de que alguna estuviera impuesta a nivel cinemático (ej. velocidades) ésta deberá ser integrable. Como se verá, la movilidad de un mecanismo depende principalmente de su propia configuración: número de eslabones que lo constituyen y de la forma en que éstos estén conectados (tipo de pares cinemáticos que forman), osea de las ecuaciones de restricción que se puedan establecer para los pares cinemáticos existentes. Pero, en determinados casos, puede ocurrir que aparezcan ecuaciones de restricción adicionales, o ecuaciones de restricción redundantes (que al introducirlas en el sistema no modifican su respuesta) y por tanto la movilidad del mecanismo, como se verá, puede ser verse modificada.

Ejemplo 1. Determinar la movilidad de una Barra en rotación en torno a un punto. La barra de la figura está unida al bastidor mediante un par cinemático inferior de rotación. Para poder conocer su posición en cualquier instante t es necesario determinar el ángulo girado en función del tiempo, es decir, conocer las características de su movimiento angular: θ = f (t). Las ecuaciones de restricción en este caso son: xG = yG =

L 2 L 2

· cos ϕ · sin ϕ

Por tanto, de las tres coordenadas que definen su posición, es suficiente con especificar sólo una; sólo una es independiente (ϕ) y este mecanismo tiene un grado de libertad.

En los siguientes apartados se exponen dos sencillos criterios útiles para determinar la movilidad de mecanismos planos de forma sencilla y rápida. En otro apartado se estudiará un criterio para determinar la movilidad de mecanismos espaciales.

2.2.

Criterio de restricción

Este criterio permite determinar el número de grados de libertad de cadenas cinemáticas siempre que: Sea una cadena cinematica formada exclusivamente por pares inferiores. Sea una cadena cinemática cerrada (todos sus eslabones están conectados, al menos, a otros dos) El número de grados de libertad del mecanismo L es igual a la diferencia de los dos siguientes valores: L = C − C′ Donde:

(2.1)

Articulaciones

Condiciones necesarias

2

1

3

3

4

5

Figura 2.5: Número de condiciones para n articulaciones C: es el número de eslabones necesarios para fijar completamene el número de articulaciones (pares inferiores de rotación o de traslación) dadas en el mecanismo. C ′ : es el número de eslabones efectivos dados en el mecanismo.

Veamos el cálculo de estos dos factores:

Cálculo de C].- Dadas p articulaciones en el plano, C es el número de eslabones necesarios para que éstas queden perfectamente fijadas. En la Figura 2.5 se muestran distintos valores de C, para diferentes números de articulaciones dadas.

El número de eslabones efectivos necesarios para fijar rígidamente p pares cinemáticos es, como se ve en la Figura 2.5: • Dos pares =⇒ un eslabón. • Tres pares =⇒ tres eslabones. • Cuatro pares =⇒cinco eslabones. • En general, para fijar p pares harán falta:

C =2·p−3

(2.2)

Cálculo de C’].- En la tabla siguiente se puede obervar que para cada eslabón con m pares cinemáticos (columna 1) son necesarias (2 · m − 3) condiciones (columna 2). El número total de condiciones para todos los eslabones con m pares cinemáticos resultarán de multiplicar el número de condiciones para cada uno, por el número de ellos que aparezcan. Sumando los resultados de todos estos productos obtenidos para cada valor de m, obtendremos el valor total de C ′ Pares cinemáticos(m) 2 3 4 .. . m

Condiciones: C = 2m − 3 1 3 5 ... 2m − 3

No eslabones (nm ) n2 n3 n4 .. . nm

3 4 2

1

1

Figura 2.6: Cuadrilátero articulado resultando: C′ =

m 

[(2 · m − 3) · nm ]

(2.3)

2

Luego los grados de libertad de un mecanismo se obtendrán de la expresión: L =2·p−3−

m 

[(2 · m − 3) · nm ]

(2.4)

2

en la que: L = número de grados de libertad del mecanismo. p = número de pares inferiores. m = número de pares inferiores de cada eslabón. nm =número de eslabones que unen con rigidez los m pares inferiores o articulaciones. En el siguiente ejemplo se muestra cómo utilizar la ecuación de movilidad de este criterio.

Ejemplo 2: Determinar la movilidad del mecanismo cuadrilátero articulado de la figura 2.6, aplicando la ecuación 2.4 del criterio de restricción. En este caso: Número de pares inferiores: p = 4; Y tabulamos los valores de m y de nm de la siguiente forma:

Eslabones con sólo dos pares cinemáticos (m = 2), encontramos cuatro (n2 = 4): son {1, 2, 3, 4}. Eslabones con tres pares cinemáticos (m = 3), no encontramos ninguno (n3 = 0). Y así sucesivamente hasta llegar al eslabón que más pares cinemáticos tiene.

m=



2 n = 3 m



m

 4 [(2 · m − 3) · nm ] = ⇒ L=2·p−3− 0 2

= 8 − 3 − [(2 · 2 − 3) · 4 + (2 · 3 − 3) · 0] = 8 − 3 − 4 = 1

Luego el mecanismo tiene un grado de libertad. Si observamos detenidamente la ecuación 2.4 veremos que el sumatorio del segundo término hay que evaluarlo para cada valor de m, hasta que alcance el valor del mayor número de pares que tiene un miembro en el mecanismo, m = 2, 3, 4, ... ( si hay un miembro con 10 pares, m llegará hasta 10 ). Pero el factor que multiplica a nm vale lo mismo para cada valor de m, así que puede evaluarse previamente de forma que la ecuación 2.4 se simplifica quedando: L = (2 · p − 3) − 1 · n2 − 3 · n3 − 5 · n4 − 7 · n5 − · · ·

(2.5)

La movilidad de un mecanismo será, en función del número de grados de libertad obtenidos aplicando las ecuaciones 2.4 o 2.5: L = 0 , el movimiento es imposible, la cadena constituye una estructura estáticamente determinada. L ≤ 1, existen eslabones sobrantes en la cadena, constituyendo ésta, una estructura estáticamente indeterminada. L = 1, la cadena será un mecanismo, por lo que existirá un movimiento desmodrómico o restringido a una sóla variable. L ≥ 2 , El movimiento desmodrómico sólo será posible cuando a la cadena se le proporcionen tantos movimientos independientes como grados de libertad hayan resultado del cálculo de su movilidad. El criterio de movilidad que acabamos de presentar es de gran sencillez pero, como ya se ha mencionado, no es aplicable a cualquier tipo de mecanismo. Existe otro criterio de movilidad cuya aplicación es aún más sencilla y su validez más general. Este es el criterio de Grübler que tampoco está exento de ciertas excepciones que se verán más adelante.

2.3.

Criterio de Grübler para mecanismos planos

Este criterio puede aplicarse a cualquier tipo de cadena cinemática, abierta o cerrada y en la que aparezcan tanto pares cinemáticos superiores como inferiores. Se basa en los dos principios siguientes: 1. El eslabón fijo o bastidor de un mecanismo plano carece de grados de libertad y los restantes, cuando no están ligados a otros, poseen cada uno tres grados de libertad: dos de traslación y uno de rotación. 2. Cuando un eslabón está conectado a otro a través de un par inferior, sus grados de libertad se reducen en dos, mientras que si la conexión tiene lugar a través de un par superior sólo pierde un grado de libertad. La expresión que ofrece este criterio para determinar la movilidad de un mecanismo se conoce como ecuación de Grübler: L = 3 · (n − 1) − 2 · pi − ps

(2.6)

La obtención de esta ecuación es bien sencilla, si están claras las consideraciones de partida. Dado un mecanismo de n eslabones conectados con pi pares inferiores y ps pares superiores, obtendremos: 3 · n grados de libertad en total, suponiendo libres todos los eslabones. A estos hay que restarles los siguientes: • −3 G.D.L del eslabón fijo (bastidor) que tiene todos sus movimientos limitados • −2 · pi ya que cada par inferior resta dos G.D.L. • −ps ya que cada par superior resta un G.D.L. Restando al número total de G.D.L los que se restringen por las condiciones mencionadas arriba, obtendremos la expresión dada en la ecuación 2.6.

Figura 2.7: Número de pares de rotación cuando se unen varios eslabones.

6

3

4

2 5

1 Figura 2.8: Mecanismo para ejemplo 5 Ejemplo 4: Determinar la movilidad de...