Tablice podstawa całki PDF

Preview

Summary

Download Tablice podstawa całki PDF

Description

TABLICE MATEMATYCZNE Funkcje trygonometryczne: sin2 x + cos2 x = 1 x 0 sin x 0 cos x 1 tg x 0 ctg x ±∞ Przydatne granice:

sin 2x = 2 sin x cos x π 4 √ 2 2 √ 2 2

π 6 1 √2 3 √2 3 √3

1 1

3

cos 2x = cos2 x − sin2 x 3π 5π π 6 √4 2 1 0 1 2 2 √ √ 3 2 −1 0 − 2 − √2 3 0 3 ±∞ − √ 3 −1 − 3 √ √ 3 3 0 − 3 −1 − 3 ±∞ 3

π 3 √ 3 2 1 √2

π 2

2π √3 3 2 − 12 √

ex − 1 a x sin x =1, lim =1 lim lim (1 + ) = ea , x→±∞ x→0 x x→0 x x π π lim arc tg x = , lim arc tg x = − , lim arc ctg x = π lim arc ctg x = 0 , x→−∞ x→+∞ x→+∞ x→−∞ 2 2 Wzory na pochodne: (xn ) = nxn−1 dla n ∈ R, w szczególności: √ ′ ′ ′ ′ – (c) = 0 (x) = 1 ( x1 ) = − x12 ( x) = ′

(ex ) = ex ,

(ax ) = ax ln a ,

′

(sin x) = cos x , ′

(arcsin x) = ′

(ln x) =

′

′

(cos x) = − sin x , ′

√ 1 1−x2

,

(loga x) = ′

,

(tg x) =

1 (arccos x) = − √1−x , 2 ′

1 x

1 √ 2 x

′

1 cos2 x

(arc tg x) = ′

f (x) ± g(x))′ = f ′ (x) ± g ′ (x) ,

1 1+x2

′

(x) ( fg(x) ) =

[f (g (x))]′ = f ′ (g (x)) ⋅ g ′ (x)

Pozostałe przydatne rzeczy:

(ctg x) = − sin12 x ′

,

1 (arc ctg x) = − 1+x 2 ′

(af (x))′ = af ′ (x)

(f (x)g (x))′ = f ′ (x)g (x) + f (x)g ′ (x) ,

Sposoby x f ′ (x) + f ′′(x) + f (x) Ä

,

1 x ln a

f ′ (x)g(x)−f (x)g ′ (x) (g (x))2

wypełniania tabelek przy badaniu pochodnych: + − ¼

− − ¿

− + Ç

x f ′ (x) f (x)

+ ↗

− ↘

x f ′′(x) f (x)

+ − ⌣ ⌢

W pierwszym wierszu punkty wyróżnione to ”dziury” w dziedzinie oraz miejsca zerowe stosownej pochodnej (lub obu). ∞ ] , [0 ⋅ ∞] , [∞ − ∞] , [00 ] , [1∞ ] , [∞0 ] , [ 10 ] Symbole nieoznaczone: [ 00 ] , [ ∞

Asymptoty ukośne y = ax + b ∶

f (x) , x→±∞ x

a = lim

b = lim (f (x) − ax) x→±∞

Wzór przydatny do pochodnych i niektórych granic: f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) (a

Wzory skróconego mnożenia: = (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a2 − b2 = (a − b)(a + b) 3 3 2 2 3 3 3 (a + b) = a + 3a b + 3ab + b (a − b) = a − 3a2 b + 3ab2 − b3 3 3 2 2 a − b = (a − b)(a + ab + b ) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )

+ b)2

a2

+ 2ab + b2

Podstawowe całki: n ∫ x dx =

xn+1 n+1

dla n ≠ −1, w szczególności:

– ∫ 1dx = x + C, x x ∫ e dx = e + C,

∫ xdx =

x2 + C, 2

ax x a dx = + C, ∫ ln a

∫ sin xdx = − cos x + C,

∫ ∫

dx 1 = − + C, 2 x x

√ dx ∫ √ = 2 x+C x

1 dx = ln ∣x∣ + C x

∫ cos xdx = sin x + C,

∫

dx = tg x + C, cos2 x

∫

dx = − ctg x + C sin2 x

dx dx = arcsin x + C , ∫ = arc tan x + C ∫ √ 1 + x2 1 − x2 √ 1 1 x 2 ∫ √x2 +q dx = ln ∣x + x + q∣ + C, ∫ √q−x2 dx = arcsin √q + C Wzór na całkowanie przez części: ′ ′ ∫ u v = uv − ∫ uv

Schemat całkowania przed podstawienie: t = g(x) ′ ′ ′ ∫ f (g (x))g (x)dx = ∣ dt = g ′ (x)dx∣ = ∫ f (t)dt = f (t) + C = f (g(x)) + C Inne wzory przydatne przy całkowaniu: Wzór Ostrogadskiego: √ Wn (x)dx = Vn−1 (x) ax2 + bx + c + ∫ ∫ √ 2 ax + bx + c

Podstawienie uniwersalne:

Jeśli t = tg

Adx √ ax2 + bx + c

2dt 2t x 1 − t2 to dx = , sin x = , cos x = 2 1 + t2 1 + t2 1 + t2

Młodszy brat podstawienia uniwersalnego: Jeśli t = tg x to dx =

dt t2 1 2 , sin x = , cos2 x = 2 1 + t2 1 + t2 1+t

˙ Wzory trygonometryczne przydatne przy całkach postaci n m ∫ sin x cos xdx w sytuacji gdy n, m parzyste: sin x cos x =

sin 2x 2

,

cos2 x =

1+cos 2x , 2

sin2 x =

1−cos 2x 2

Zastosowania całek oznaczonych: 1) Pole figury płaskiej: a) współrzędne kartezjańskie - jeśli figura jest ograniczona przez y = f (x) (z góry), y = g(x) (z dołu) b

oraz x = a, x = b, to jej pole to: S = ∫ (f (x) − g (x))dx

b) współrzędne biegunowe - jeśli figura składa się z punktów o kącie należącym do przedziału [α, β ] a

β

1 (gdzie α, β ∈ [0, 2π) i promieniu mniejszym od r = r(φ), to jej pole to: S = ∫ (r (φ))2 dφ 2 α c) postać parametryczna - jeśli figura leży pomiędzy osią OX, a krzywą x = x(t), y = y (t) gdzie t ∈ [t1 , t2 ], oraz x′ (t) i y(t) są ciągłe, x(t) monotoniczna, a y(t) stałego znaku, to pole tej figury to: t2

S = ∫ ∣y (t)x′ (t)∣dt t1

2) Długość krzywej: a) współrzędne kartezjańskie - długość krzywej y = f (x) dla x ∈ [a, b] to: l = ∫

b

√ 1 + (f ′ (x))2 dx

b) współrzędne biegunowe - długość krzywej r = r(φ) dla φ ∈ [α, β] (gdzie α, β ∈ [0, 2π )) to: l = β √ (r (φ))2 + (r ′ (φ))2 dφ ∫ a

α

c) postać parametryczna - długość krzywej x = x(t), y = y (t) dla t ∈ [t1 , t2 ] to: l = ∫

t1

t2

√ (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt

3) Objętość bryły obrotowej: a) współrzędne kartezjańskie - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywymi b

y = f (x), y = 0, x = a, x = b wokół osi OX ma objętość: V = π ∫ (f (x))2 dx

b) postać parametryczna - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywą x = x(t), y = y (t) (gdzie x′ (t) i y (t) są ciągłe, a x′ (t) jest stałego znaku) dla t ∈ [t1 , t2 ] i osią OX wokół osi OX a

t2

ma objętość: V = π ∫ (y (t))2 ∣x′ (t)∣dx t1

4) Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej: a) współrzędne kartezjańskie - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywymi b √ y = f (x), y = 0, x = a, x = b wokół osi OX ma pole powierzchni bocznej: Pp = π ∫ ∣f (x)∣ 1 + (f ′ (x))2 dx

b) postać parametryczna - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywą x = x(t), y = t2 √ y(t) dla t ∈ [t1 , t2 ] i osią OX wokół osi OX ma pole powierzchni bocznej: Pp = π ∫ ∣y (t)∣ (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dx a

t1...