tablice matematyczne PDF

Preview

Summary

tablice matematyczne...

Description

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WZORY SPIS TREŚCI 1. Wartość bezwzględna liczby ............................................................................1 2. Potęgi i pierwiastki ...........................................................................................1 3. Silnia. Symbol Newtona...................................................................................2 4. Dwumian Newtona...........................................................................................3 5. Wzory skróconego mnożenia ...........................................................................3 6. Ciągi .................................................................................................................3 7. Funkcja kwadratowa.........................................................................................4 8. Logarytmy ........................................................................................................5 9. Pochodna funkcji ..............................................................................................5 10. Geometria analityczna ......................................................................................6 11. Planimetria........................................................................................................8 12. Stereometria....................................................................................................11 13. Trygonometria ................................................................................................13 14. Kombinatoryka ...............................................................................................16 15. Rachunek prawdopodobieństwa.....................................................................16 16. Parametry danych statystycznych...................................................................17 17. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych ............................................... 19 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem: x , dla x ≥ 0 x =  −x dla x < 0 Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności: −x = x x ≥0 Dla dowolnych liczb x, y mamy: x+y ≤ x + y x−y ≤ x + y

x⋅ y = x ⋅ y

x x = y y Dla dowolnych liczb a oraz r, gdzie r ≥ 0 , mamy warunki równoważne: x −a ≤ r ⇔ a −r ≤ x ≤ a + r Ponadto, jeśli y ≠ 0 , to

x−a ≥ r ⇔

x≤ a−r

lub

x≥ a+r

2. POTĘGI I PIERWIASTKI Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n–tą potęgę: n ...# a = a!⋅" ⋅a n razy

Pierwiastkiem arytmetycznym że b n = a .

n

a stopnia n z liczby a ≥ 0 nazywamy liczbę b ≥ 0 taką,

1

a2 = a .

W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość:

Jeżeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczbę b < 0 taką, że bn = a . Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. _____

*

_____

Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: 1 − dla a ≠ 0 : oraz a 0 = 1 a− n = n a m

a n = n am m − 1 − dla a > 0 : a n = n m a Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a > 0 i b > 0 , to zachodzą równości: s ar r s r s = a r− s a ⋅a = a + ( ar ) = ar ⋅s as −

dla a ≥ 0 :

r

 a = a  b br   Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb a ≠ 0 , b ≠ 0 .

( a ⋅b)

r

= a ⋅b r

r

r

3. SILNIA. SYMBOL NEWTONA Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych: n ! = 1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1. Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi związek: ( n + 1) ! = n !⋅ ( n + 1) _____

*

_____

Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki 0 ≤ k ≤ n definiujemy symbol Newtona:  n n!  k = k! n k ! ( − )   Zachodzą równości:  n  n ( n − 1)( n − 2 )⋅ ...⋅ ( n− k + 1)  k = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ ...⋅ k   n   n  n  0  = 1  k  =  n k      −  Dla 0 ≤ k < n mamy:  n + 1  n   n   k + 1 =  k  +  k + 1      

 n  n =1  

 n  n  n − k  k +  =  k ⋅ k + 1   1 

2

4. DWUMIAN NEWTONA Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:  n  n  n  n   n (a + b )n =   a n +   a n −1b + ... +   a n−kb k + ... +   ab n −1 +   b n  0 1  k  n − 1  n 5. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Z dwumianu Newtona dla n = 2 oraz n = 3 otrzymujemy dla dowolnych liczb a, b:

(a + b ) = a 2 + 2ab + b2 2 ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 2

( a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 3 ( a − b) = a3 − 3a2 b+ 3ab2 − b3 3

_____

*

_____

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór: an − bn = ( a − b) ( an −1 + an− 2b + ... + an − k bk − 1 + ... + abn− 2 + bn− 1 ) W szczególności: a2 − b2 = ( a − b)( a + b ) a3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b2 ) a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 − ab + b2 ) 6. CIĄGI •

Ciąg arytmetyczny

Wzór na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i różnicy r: an = a1 + ( n − 1) r Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + a n początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego: Sn =

2a + (n − 1)r a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: a +a an = n −1 n +1 dla n ≥ 2 2 •

Ciąg geometryczny

Wzór na n–ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q: an = a1 ⋅ q n−1 Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + a n początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:  1 −qn a Sn =  1 1 − q n ⋅ a  1

dla

q ≠1

dla

q =1

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: a2n = an −1 ⋅ an +1 dla n ≥ 2

3

•

Procent składany

Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p % w skali rocznej, to kapitał końcowy Kn wyraża się wzorem: p   K n = K ⋅ 1 +  100   •

n

Granica ciągu

Jeżeli lim an = g oraz lim bn = h , to n →∞

n→∞

lim ( an + bn ) = g + h n →∞

lim (an − bn ) = g − h n →∞

lim ( an ⋅ bn ) = g ⋅ h n→∞

Jeżeli ponadto bn ≠ 0 dla n ≥ 1 oraz h ≠ 0 , to a g lim n = n →∞ b h n _____

*

_____

Jeżeli ( a n ) , n ≥ 1 , jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie q < 1 , to ciąg sum jego początkowych wyrazów Sn = a1 + a2 + ... + an ma granicę: a lim Sn = 1 n →∞ 1 −q 7. FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej: f ( x ) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 . Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: 2

b  ∆  f ( x) = a ⋅  x +  − , gdzie ∆ = b2 − 4 ac 2a  4a  pomocnej przy sporządzaniu wykresu. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych ∆   b  − 2 , − 4  . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 , do dołu, gdy a < 0 . a  a Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli liczba pierwiastków równania ax 2 + bx + c = 0 zależy od wyróżnika ∆ = b 2 − 4ac : − jeżeli ∆ < 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych), − jeżeli ∆ = 0 , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (równanie kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek): b x1 = x 2 = − 2a − jeżeli ∆ > 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki): −b + ∆ −b − ∆ x2 = x1 = 2a 2a

4

Jeśli ∆ ≥ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 ) Wzory Viéte’a: x1 + x2 =

−b a

x1 ⋅ x2 =

c a

8. LOGARYTMY Niech a > 0 i a ≠ 1 . Logarytmem log a c liczby c > 0 przy podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę c: b b = log a c ⇔ a = c Równoważnie: alog a c = c Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory: x r log a ( x ⋅ y) = log a x + log a y log a x = r ⋅ log a x log a = log a x − log a y y Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , b ≠ 1 oraz c > 0 , to log a c log b c = log a b 9. POCHODNA FUNKCJI ′ c ⋅ f (x ) =c ⋅ f ′ (x ) dla c ∈ R  f ( x ) + g ( x ) ′ = f ′(x ) + g ′(x )  f ( x ) − g ( x )  ′ = f ′( x ) − g ′(x ) ′  f ( x ) ⋅g ( x )  = f ′(x ) ⋅g (x ) + f ( x ) ⋅g ′(x )  f ( x ) ′ f ′ (x )⋅ g (x ) − f (x )⋅ g ′ (x ) , gdy g ( x ) ≠ 0   = 2 g ( x )   g (x )  Pochodne niektórych funkcji: f ( x) = c ⇒ f ′ (x ) = 0 f ( x ) = ax + b ⇒

f ′ (x ) = a

f (x ) = ax + bx + c ⇒ f ′ (x ) = 2ax + b a −a f (x ) = ⇒ f ′ (x ) = 2 x x f ( x ) = xr ⇒ f ′ ( x ) = rxr −1 gdzie r ≠ 0 , zaś a, b, c – dowolne liczby rzeczywiste. 2

5

•

Równanie stycznej

Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 , to równanie stycznej do wykresu funkcji f

w punkcie ( x0 , f ( x0 ) ) dane jest wzorem: y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) 10. GEOMETRIA ANALITYCZNA •

Odcinek

Długość odcinka o końcach w punktach A = ( xA , yA ) , B = (x B , y B ) dana jest wzorem: AB =

y B = ( xB , y B )

( xB − x A )2 + ( y B − y A )2 A = ( xA , yA )

Współrzędne środka odcinka AB:  xA + xB yA + yB   2 , 2    •

O

x

Wektory

$$$% Współrzędne wektora AB , który przesuwa punkt A na punkt B: $$$% AB = [x B − x A, y B − y A ] % % Jeżeli u = [u1 , u2 ] , v = [v1 , v2 ] są wektorami, zaś a jest liczbą, to % % % u + v = [ u1 + v1 , u2 + v2 ] a ⋅ u = [ a ⋅ u1 , a ⋅ u2 ] •

Prosta

Równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0 , gdzie A2 + B2 ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0). Jeżeli A = 0 , prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B = 0 , prosta jest równoległa do osi Oy; jeżeli C = 0 , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. y Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe: y = ax + b Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej: a = tgα Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina.

y = ax + b

b

α O

Równanie prostej, przechodzącej przez dwa dane punkty A = ( x A, y A ) , B = ( x B , y B ) :

( y−

yA )( xB − xA ) − ( yB − yA )( x − xA ) = 0

6

x

•

Prosta i punkt

Odległość punktu P = ( x 0 , y 0 ) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 dana jest wzorem: Ax 0 + By 0 + C A2 + B2 •

Para prostych

Dwie proste, o równaniach kierunkowych y = a1 x + b1 y = a2 x + b2 spełniają jeden z następujących warunków: − są równoległe, gdy a1 = a 2 , − są prostopadłe, gdy a1a2 = −1 , − tworzą kąt ϕ taki, że: 0& < ϕ < 90& i tg ϕ =

a1 − a2 . 1 + a1a2

Jeżeli proste dane są równaniami w postaci ogólnej: A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0 to odpowiednio: − są równoległe, gdy A1 B2 − A2 B1 = 0 , − są prostopadłe, gdy A1 A2 + B1 B2 = 0 , − tworzą kąt ϕ taki, że: 0& < ϕ < 90& i tg ϕ = •

A1 B2 − A2 B1 . A1 A2 + B1B2

Trójkąt

Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) , C = ( x C , y C ) , dane jest wzorem: 1 P∆ABC = ( x B − x A )( y C − y A ) − ( y B − y A )(x C − x A ) 2 Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne:  x A + xB + xC y A+ y B + y C  ,   3 3   •

Przekształcenia geometryczne % − przesunięcie o wektor u = [a, b ] przekształca punkt ( x, y ) na punkt ( x + a, y + b ) ; − symetria względem osi Oy przekształca punkt ( x, y) na punkt ( − x, y ) ; − symetria względem punktu ( a, b ) przekształca punkt ( x, y ) na punkt (2a − x, 2b − y ) ; − jednokładność o środku w punkcie

(0,0 )

na punkt ( sx, sy) .

7

i skali s ≠ 0 przekształca punkt

( x, y )

•

Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku w punkcie ( a, b ) i promieniu r:

( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0

lub

gdzie r 2 = a 2 + b 2 − c > 0

11. PLANIMETRIA •

Oznaczenia a, b, c – długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków A, B, C;

C γ b

α A

2 p = a + b + c – obwód trójkąta; a

α , β , γ – miary kątów przy wierzchołkach A, B, C;

β

h a , hb , h c – wysokości, opuszczone z wierzchołków A, B, C;

c

B

R, r – promienie okręgów opisanego i wpisanego. •

Wzory na pole trójkąta 1 1 1 P∆ABC = ⋅ a ⋅ ha = ⋅ b ⋅ hb = ⋅ c ⋅ hc 2 2 2

•

P∆ABC =

1 1 sin β ⋅ sinγ a ⋅ b ⋅ sinγ = a 2 = 2R 2 ⋅ sinα ⋅ sin β ⋅ sinγ 2 2 sin α

P∆ABC =

abc = rp = 4R

p ( p − a )( p − b )( p − c )

Twierdzenie sinusów a b c = = = 2R sin α sin β sin γ

•

Twierdzenie cosinusów a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

•

Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a2 + b2 = c2 .

8

•

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas: hc2 = AD ⋅ DB

C γ b hc

.

α A

•

c

ab c a = c ⋅ sin α = c ⋅ cos β a = b ⋅ tgα = b ⋅ ctgβ 1 R= c 2

hc =

a β D

B

Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego) C Proste AA′ , BB′ , CC ′ są parami równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość: OA OB OC = = OA ′ OB ′ OC ′

B A O

•

A′

B′

C′

Czworokąty b

D

Trapez Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na pole trapezu: a+b P= ⋅h 2

C h E

A

B

a D

Równoległobok Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole równoległoboku: 1 P = ah = a ⋅ b ⋅ sinα = ⋅ AC ⋅ BD ⋅ sinϕ 2

C ϕ

h

b

α

A

B

a

D

Romb Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych jednakowej długości. Wzory na pole rombu: 1 P = ah = a 2 ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD 2

C h

α

A

a

B

9

D A

C

B •

Koło Wzór na pole koła o promieniu r: 2 P =πr Obwód koła o promieniu r: Ob = 2π r

r O

•

Wycinek koła

r

Wzór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α & : α& P = πr2 ⋅ 360& Długość łuku wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α & : α& l = 2π r ⋅ 360&

A

α

O

B

•

Deltoid Czworokąt, który ma oś symetrii, zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole deltoidu: 1 P = ⋅ AC ⋅ BD 2

Kąty w okręgu α α

O

α

Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.

2α

Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tych samych łukach, są równe. B A

10

•

Okrąg opisany na czworokącie C

γ β

B

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°:

D δ

α + γ = β + δ = 180& α

A •

Okrąg wpisany w czworokąt C

c D

r

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe:

b

d

a+c =b+d B a

A

12. STEREOMETRIA •

Oznaczenia P – pole powierzchni całkowitej Pp – pole powierzchni podstawy Pb – pole powierzchni bocznej V – objętość

•

Prostopadłościan H

G

E

F

P = 2( ab + bc + ac )

c

C

D

V = abc gdzie a, b, c są długościami krawędzi prostopadłościanu.

b A

a

B 11

•

Graniastosłup prosty I J H F

G h

Pb = 2 p ⋅ h V = Pp ⋅ h gdzie 2 p jest obwodem podstawy graniastosłupa.

D E C B

A •

Ostrosłup S

1 V = Pp ⋅ h 3 gdzie h jest wysokością ostrosłupa.

h D E C A •

B

Walec

Pb = 2π rh P = 2π r ( r + h ) h

V = π r2h gdzie r jest promieniem podstawy, h wysokością walca.

r O

12

•

Stożek S

Pb = π rl P =π r ( r + l ) 1 V = π r 2h 3 gdzie r jest promieniem podstawy, h – wysokością, l –długością tworzącej stożka.

h l

O •

r

Kula

O

P = 4π r2 4 V = π r3 3 gdzie r jest promieniem kuli.

r

13. TRYGONOMETRIA •

Definicje funkcji trygonometrycznych y y r y tgα = x x ctgα = y

M=(x, y)

r

y

•

cosα =

(x ≠ 0 ) (y≠0)

gdzie r = x 2 + y 2

α O

sinα =

x

M’

x

Wykresy funkcji trygonometrycznych

y = cos x

y = sin x

13

x r

y = tgx •

Związki między funkcjami tego samego kąta sin2 α + cos2 α = 1 sin α tgα = dla cos α cosα ctgα = dla sin α 1 ctgα = dla tgα

•

•

y = ctgx

π + kπ 2

α≠

k – całkowite

α ≠ kπ

k – całkowite

kπ 2

k – całkowite

α≠

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych α

0 ( 0& )

sinα

0

cosα

1

tgα

0

ctgα

nie istnieje

π 30& ) ( 6 1 2 3 2 3 3

π 45& ) ( 4 2 2 2 2

π 60& ) ( 3 3 2 1 2

1

3

nie istnieje

1

3 3

0

3

π 90 & ) ( 2 1 0

Wzory redukcyjne

– sinα

π −α 2 cosα

π +α 2 cosα

3π −α 2 – cosα

3π +α 2 − cosα

− sinα

− cosα

− cos α

sin α

– sinα

– sinα

sin α

cosα

tg α

– tgα

tgα

ctgα

– ctgα

ctgα

– ctgα

− tgα

ctgα

– ctgα

ctgα

tgα

– tgα

tgα

– tgα

− ctgα

ϕ=

−α

α

π −α

π +α

sinϕ

– sinα

sinα

sinα

cosϕ

cosα

cosα

tgϕ

– tgα

ctgϕ

– ctgα

14

2π − α

•

Funkcje sumy i różnicy kątów

Dla dowolnych kątów α , β zachodz...